Книги по разным темам
Pages: | 1 | ... | 11 | 12 | 13 | 2a a2(t - )2 - | - x||-x|
1 1 u(t, x) = u0() dS + u1() dS + 4a2 t t 4a2t |-x|=at |-x|=at 1 1 | - x| + f t -, d.
4a2 | - x| a |-x|
6.14. Решить методом свертки следующие задачи Коши для уравнения теплопроводности в R:
ut = a2uxx + e-t, ut = a2uxx + x, 1) 2) u|t=0 = 1 ; u|t=0 = x ;
ut = uxx + e-t cos x, ut = uxx + x cos x, 3) 4) u|t=0 = cos x ; u|t=0 = x cos x ;
в R2:
ut = a2u + e-t, ut = u + cos t, 5) 6) u|t=0 = 1 ;
u|t=0 = xy e-x -y2 ;
в R3:
ut = 3u + e-t, ut = u + xy cos z, 7) 8) u|t=0 = sin(x - y - z) ; u|t=0 = x2 + y2 cos z ;
6.15. Решить методом свертки следующие задачи Коши для волнового уравнения в R:
utt = a2uxx + x + t, utt = a2uxx + t ln t, 1) u|t=0 = ex, 2) u|t=0 = 3x, ut|t=0 = 0 ; ut|t=0 = 0 ;
utt = a2uxx + x2 + t2, utt = uxx + x2, 3) u|t=0 = xm, m = 1, 2,..., 4) u|t=0 = cos x, ut|t=0 = 0 ; ut|t=0 = cos x ;
utt = uxx + cos(x + t), utt = uxx + sin t, 5) u|t=0 = 0, u|t=0 = 0, 6) ut|t=0 = 2x ;
ut|t=0 = 1 + x2 -1 ;
в R2:
utt = a2u + 1, utt = a2u + e-tr2, 7) u|t=0 = 1, 8) u|t=0 = 1 + r2, ut|t=0 = 1 ; ut|t=0 = 0 ;
в R3:
utt = a2u + r2, utt = a2u + 1, 9) u|t=0 = 0, 10) u|t=0 = 1 + r2 -1, ut|t=0 = r2 ;
ut|t=0 = 0.
Ответы и указания к главе 6.1. Указание. В задачах 1 4 может быть использована лемма на с. 128.
Ответы. 1) (x); 2) (x); 3) (x); 4) (x);
5) Решение. Фиксируем произвольную функцию (x) D, и пусть spt (-R, R). Тогда + R (f, ) = f(x) (x) dx = f(x) (x) dx = - -R R R = (0) f(x) dx + f(x) [(x) - (0)] dx.
-R -R В первом слагаемом предельный переход при 0 приводит к интегралу Дирихле R/ R R 1 x sin t sin t f(x) dx = sin dx = dt - dt =.
x t t -R -R -R/ Учитывая, что C(R), по теореме Лагранжа можно записать (x) - (0) = x ( x), 0 < 1.
Обозначая (x) = ( x), получим R R R x f(x) [(x) - (0)] dx = f(x) x ( x) dx = sin (x) dx.
-R -R -R Проинтегрируем по частям и найдем предел при 0:
R R R x x x sin (x) dx = - cos (x) + cos (x) dx - 0, -R -R -R поскольку R x cos (x) | |(R) - (-R)| - 0, -R R R x cos (x) dx (x) dx = |(R) - (-R)| - 0.
-R -R Окончательно:
(f, ) - (0) f(x) (x) в D, 0.
6) Решение. Фиксируем произвольную функцию (x) D. Для определенности рассмотрим знак +. При > 0 имеем 1 x - i x, (x) =, (x) =, (x) -i, (x).
x + i x2 + 2 x2 + 2 x2 + Второе слагаемое, согласно результатам задачи 6.1.2, при 0 имеет вид -i, (x) - -i(0).
x2 + В первом слагаемом при = 0 возникает выражение. Функция x f(x) = не является локально интегрируемой (не интегрируема на инx тервале, содержащем x = 0), следовательно, регулярной ОФ нет.
x Для исследования первого слагаемого преобразуем функционал, полагая, что spt (-R, R) и > 0, запишем R x x, (x) = (x) dx = x2 + 2 x2 + -R R R x x = (0) dx + [(x) - (0)] dx.
x2 + 2 x2 + -R -R Первый интеграл равен нулю (нечетная функция интегрируется в симметричных пределах). Поскольку (x) непрерывно дифференцируема, то по теореме Лагранжа можно записать (x) - (0) = x ( x), 0 < 1, и в силу этого второй интеграл не содержит особенности при 0. Вычисляя предел и используя (6.15), получим R R x (x) - (0) [(x) - (0)] dx - dx = P, (x).
x2 + 2 x x -R -R В итоге 1 P - i(x) в D, 0.
x + i x Знак - соответствует комплексно сопряженному выражению. Эти выражения, называемые формулами Сохоцкого, часто записывают в следующем виде:
1 = P i(x).
x i 0 x 6.2. 1) 0; 2) (x); 3) 1; 4) xn-1.
1 5 1 6.3. 1) (0); 2) (-1); 3) - ; 4) ;
2 3 8 5) (0); 6) a(0) (0).
|a| 6.4. 1) (x); 2) (x-x0); 3) sign x; 4) 2(x); 5) (x) cos x;
+ 6) (x) - (x) sin x; 7) (x + a) - (x - a); 8) 2 (-1)k (x - k);
k=9) 4(x)-3 sign x sin x-|x| cos x; 10) 2 (x)-3 sign x cos x+|x| sin x;
11) -m (m-1)(x); 12) 0.
6.7. 1) Решение. По определению свертки локально интегрируемых функций + x = (y) (x - y) dy = (x) dy = (x) x.
- x3 2 x 2) (x) ; 3) xe-ax /2; 4) (x) x2 - 4 sin2 ;
3 8a x/(2 t) |x| 5) (t) ex+a t; 6) (t) e-z /2dz; 7) (at - |x|) t - ;
a 8) (t) [(x + at) (x + at) - (x - at) (x - at)].
sin at sh at 1 - e-4t 6.8. 1) (t) eat; 2) (t) ; 3) (t) ; 4) (t) ;
a a 5) (t) t et; 6) (t) e-t - e-2t.
6.9. 1) Решение. Убедимся, что при r = 0 функция ln r = ln x2 + y удовлетворяет двумерному уравнению Лапласа x 2 y2 - xln x2 + y2 =, ln x2 + y2 =, x x2 + y2 x2 (x2 + y2)2 x2 - y2 2 ln x2 + y2 = + ln x2 + y2 = 0.
y2 (x2 + y2)2 x2 y(6.46) В точке r = 0 функция ln r имеет особенность, и приведенные выше формулы не имеют смысла. Однако, несмотря на особенность в r = 0, функция ln r локально интегрируема, и ей соответствует регулярная ОФ. Пусть (r) D(R2) и spt UR = (x, y) : x2 + y2 < R2, тогда 2R def (ln r, )= ln r (r) dr = lim ln r (r) dr = lim ln r (r, ) rdrd.
0 UR Рассмотрим функционал ( ln r, ). В области, не содержащей точку r = 0, этот функционал равен нулю в силу (6.46). Однако в любой окрестности точки r = 0 результат будет иным: ( ln r, ) = (ln r, ) = lim ln r (r) dr. v u (u v - v u) dG = u - v dS, (6.47) n n G S где u, v C2(G) C1(G); n внешняя нормаль с S = G. Имеем ln r ln r (r) dr = (r) ln r dr+ + ln r - dl. n n r= n r r= r r= 0 Здесь мы воспользовались тем, что функция непрерывно дифференцируема и, значит, интеграл по ограничен при 0. Для второго интеграла получим 2 ln r - dl = d = (, ) d = 2 (, ) - 2(r=0). n r= 0 Здесь для интеграла от (, ) была использована теорема о среднем и учтено, что при 0 любая точка окружности стремится к точке r = 0. Таким образом, ( ln r, ) = lim ln r (r) dr = 2 (r=0) ln r = 2(r). 6.10. Указание. Воспользоваться третьим свойством свертки, выражениями для фундаментального решения оператора Лапласа при n = и n = 2 и задачей 6.6. 1. 6.12. Решение. Рассмотрим для простоты случай n = 1 (рассуждения для случаев n = 2, 3 принципиально те же): x(t) 4a2t E(t, x) = e. (6.48) 2a t При t < 0 имеем E(t, x) = 0 за счет множителя (t). При t > 0 функx4a2t ция E(t, x) = e удовлетворяет однородному уравнению теп2a t лопроводности: - a2 E(t, x) = 0. (6.49) t xНесмотря на корневую по t особенность при x = 0 и t +0, функция E(t, x) локально интегрируема и ей соответствует регулярная ОФ: + + T R (E, ) = E(t, x) (t, x) dxdt = E(t, x) (t, x) dxdt = - - 0 -R T R def = lim E(t, x) (t, x) dxdt, -R где предполагается, как обычно, что spt (t, x) (-T, T ) (-R, R). Рассмотрим действие оператора L = - a2 на ОФ E(t, x): t xE 2E LE, = - a2, = E, - - a2 = t x2 t xT R (6.50) = - lim E(t, x) + a2 dxdt. t x -R Проинтегрируем отдельные слагаемые по частям. Для первого слагаемого получим T R R T T (t, x) E(t, x) E(t, x) dxdt = E(t, x) (t, x) - (t, x)dt dx = t t -R -R R T E(t, x) = - E(, x) (, x) dx - (t, x) dtdx. t -R Здесь учтено, что (T, x) = 0. Аналогично, интегрируя дважды по частям по x второе слагаемое и учитывая финитность функции, получим T R T R 2(t, x) 2E(t, x) E(t, x) dxdt = (t, x) dxdt. x2 x -R -R Подставляя эти выражения в (6.50), найдем R T R E 2E LE, = lim E(, x) (, x) dx + lim - a2 dxdt. 0 t x -R -R Согласно (6.49) второе слагаемое равно нулю. В первом слагаемом функция x4aE(, x) = e 2a образует -образную последовательность при 0 (см. задачу 6.1. 3). Следовательно, R LE, = lim E(, x) (, x) dx = (0, 0). -R Таким образом, - a2 E(t, x) = (t, x) в D. t x6.13. 1) Решение. Функция E(t, x) = (at - |x|) отлична от нуля 2a только внутри угла, ограниченного прямыми x = -at и x = at, где t > 0 (рис. 6.1). Рис. 6.Соответствующая регулярная ОФ имеет вид + + + at 1 (E, ) = (t, x) dtdx = (t, x) dxdt. 2a 2a - 0 -at |x|/a Здесь с учетом финитности интегралы по t и x на самом деле соб2 ственные. Рассмотрим ОФ E, где = - a2 одномерный a a t2 xволновой оператор. По определению производной ОФ 2E 2E 2 E, = - a2, = E, - a2 = a t2 x2 t2 x+ + + at (6.51) 1 2(t, x) a 2(t, x) = dtdx - dxdt. 2a t2 2 x- 0 -at |x|/a Преобразуем первое слагаемое: + + + 1 2(t, x) 1 (t, x) t=+ dtdx = dx = 2a t2 2a t t=|x|/a - |x|/a + 0 + (|x|, x) (-x, x) (x, x) 1 1 a a a = - dx = - dx - dx. 2a t 2a t 2a t - - x x Сделаем замену переменной = - в первом интеграле и = во a a втором интеграле и получим + + + + 1 2(t, x) 1 (, -a) 1 (, a) dtdx = - d - d. 2a t2 2 t 2 t - 0 |x|/a Преобразуем второе слагаемое: + at + x=at a 2(t, x) a (t, x) - dxdt = - dt = 2 x2 2 x x=-at 0 -at + + a (t, at) a (t, -at) = - dt + dt = 2 x 2 x 0 + + a (, a) a (, -a) = - d + d. 2 x 2 x 0 Подставляя полученные выражения в (6.51) и группируя отдельные слагаемые, запишем + + + at 1 2(t, x) a 2(t, x) E, = dtdx - dxdt = a 2a t2 2 x- 0 -at |x|/a + 1 (, -a) (, -a) = - - a d 2 t x + 1 (, a) (, a) - + a d = 2 t x + + 1 d 1 d = - (, -a) d - (, a) d = 2 d 2 d 0 + + 1 1 1 = - (, -a) - (, a) = (0, 0) + (0, 0) = (0, 0). 2 0 2 0 2 Следовательно, E(t, x) = (t, x) в D. a 6.14. 1) 2 - e-t; 2) (t + 1) x; 3) (t + 1) e-t cos x; 4) x cos x - 2 (1 - e-t) sin x; xy x2 + y5) 2 - e-t; 6) sin t + exp - ; 1 + 4t (1 + 4t)7) 1 - e-t + e-9t sin(x-y-z); 8) cos z xy (1 - e-t) + x2 + y2 + 4t e-t. 6.15. t3 xt2 1 1) + + ex ch at; 2) t3 ln t - + 3x ch at; 6 2 6 1 3) 1 - a2 t4 + t2x2 + (x + at)m + (x - at)m ; 12 t4 t2x4) + + cos x (sin t + cos t); 12 1 2x+t + 2x-t 5) t sin(x + t) - sin x sin t + ; 2 ln 1 2t t6) t - t sin t + arctg ; 7) + t + 1; 2 1 + x2 - t2 8) a2t3 + 4a2 + r2 t - 1 + e-t + 1 + r2; r2t2 a2t4 t2 1 r + at r - at 9) + + r2t + a2t3; 10) + +. 2 4 2 2r 1 + (r+at)2 1 + (r-at)Список литературы 1. Сборник задач по уравнениям математической физики/ Под ред. В. С. Владимирова. М.: Физматлит, 2001. 2. Боголюбов А. Н., Кравцов В. В. Задачи по математической физике. М.: Изд-во МГУ, 1998. 3. Будак Б. М., Самарский А. А., Тихонов А. Н. Сборник задач по математической физике. М.: Наука, 1972. 4. Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. М.: Физматлит, 2000. 5. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 6. Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высш. шк., 1970. 7. Полянин А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: Физматлит, 2001. 8. Полянин А. Д. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: точные решения. М.: Физматлит, 2003. 9. Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики. М.: Наука, 1984. 10. Справочник по специальным функциям/ Под ред. М. Абрамовица, И. А. Стегун. М.: Наука, 1979. 11. Шилов Г. Е. Математический анализ: Спец. курс. М.: Физматлит, 1961. 12. Садовничий В. А. Теория операторов. М.: Высш. шк., 1999. 13. Васильева А. Б., Тихонов Н. А. Интегральные уравнения. М.: Физматлит, 2002. 14. Шилов Г. Е. Математический анализ: Второй спец. курс. М.: Физматлит, 1965. 15. Варшалович Д. А., Москалев А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента. Л.: Наука, 1975.
Pages: | 1 | ... | 11 | 12 | 13 |
Книги по разным темам