3 3 1 1 - 2sin2 cos2 ==1 - sin2 + 1 - sin2 = ПРИМЕР 8.6. Преобразовать выражение acos x + bsin x к виду 16 16 2 8 2 Asin(x + a).
1 3 sin + cos2 ( - ) 2 - (sin2 + cos2 ) =1,5.
= 2 - = 2 8 2 8 2 8 РЕШЕНИЕ. Обозначим В = acos x + bsin x.
ПРИМЕР 8.4. Вычислить без таблиц:
Умножим и разделим В на a2 + b2, получим 2 4 8 16 B = cos cos cos cos cos cos.
a b 65 65 65 65 65 B = cos x + sin x a2 + b2.
a2 + b2 a2 + b Воспользуемся формулой 2sin cos = sin 2. Домножим B на 2sin и 2 a b Так как + =1, то точка с координатами a2 + b2 a2 + b 29 + a b cos лежит на единичной окружности, т.е. существует tg tg = =.
a2 + b2, a2 + b 2 2 + 3cos a b такое, что sin =, cos =. Угол называется a2 + b2 a2 + bИтак, равенство доказано.
вспомогательным углом.
9. Графики тригонометрических функций.
Обозначив a2 + b2 = А, получаем 9.1. График функции у = sin х (синусоида)' B = A(sin cos x + cos sin x) = Asin(x + ).
Так как у = sin х периодическая функция с Т = 2 и нечетная Итак, acos x + bsin x = Asin(x + ), (симметричная относительно начала координат), то возьмем промежуток, a b где А = a2 + b2, sin =, cos =.
равный периоду [Ц, ], и построим график на промежутке [0, ], затем a2 + b2 a2 + bотобразим симметрично, а затем с периодом 2.
ПРИМЕР 8.7. Докажите, что если sin + sin = 2sin( + ), где Для построения разделим верхнюю часть единичной окружности на + k, то tg tg =. равных дуг (рис. 13 а,б), проводя перпендикуляры из точек деления на ось 2 2 Ох, получаем геометрическое изображение соответствующих значений РЕШЕНИЕ. Преобразуем исходное равенство:
функции sin х.
+ - + + 2sin cos = 4sin cos Дальнейшее построение графика ясно из рис. 13 б, рис.14.
2 2 2 + - + cos 2sin - 2cos = 0.
2 2 + k + + Так как + k, то, тогда sin 0, cos 0.
2 2 2 - + - + Значит, cos - 2cos = 0 или cos = 2cos. Рис. 2 2 2 На всей области определения у = sin х.
Рассмотрим - + sin sin cos - cos 2 2 2 tg tg = =.
2 2 - + cos cos cos + cos 2 2 2 - + Рис. Подставляя cos = 2cos, получаем 2 Все свойства функции можно "прочитать" по графику.
1. D (sin x) = R, E (sin x) = [Ц1, I].
2. Нечетная функция (симметрия относительно начала координат).
31 3. Периодическая с основным периодом Т0 = 2. правую полуокружность на 6 равных частей (рис.16) и отложив на линии 4. Нули функции, то есть sin(x) = 0 при х = n, n Z. тангенсов равные тангенсам этих углов, легко построить график 5. Положительная, то есть sin(x) > 0 при x (2n, + 2n).
Отрицательная, то есть sin(x) < 0 при x ( + 2n, 2 + 2n) 6. Возрастает ( ) от Ц1 до 1 на [ - /2 + 2n, /2 + 2n], убывает () от 1 до Ц1 на [/2 + 2n, 3/2 + 2n].
7. Максимумы при x = /2 + 2n; минимумы при x = 3/2 + 2n.
9.2. График функции у = cos х (косинусоида) Рис.Так как cos x = sin(x + /2) на (Ц,+), то график косинусоиды Продолжим с периодом, получаем график функции во всей области получается из синусоиды сдвигом вдоль оси Ох влево на /2 (рис. 15).
определения (рис. 17).
Рис. Свойства функции.
1. D(cos x) = R, E(cos x) = [Ц1,1].
Рис.2. Четная (симметричная относительно оси ординат).
Свойства функции тангенс.
3. Периодическая, с Т0 = 2.
1. D(tg х) ={R, х 2 + n, n Z }, E (tg х) = R.
4. cos (x) = 0 при х = /2 + 2n, n Z.
5. cos(x) > 0 для x [- 2 + 2n, 2 + 2n], cos(x) < 0 для 2. Нечетная функция (симметричная относительно начала координат).
3. Периодическая, с Т0 =.
x[ 2 + 2n, 3 2 + 2n].
4. Нули функции, tg х = 0 при х = n, n Z.
6. Убывает () от 1 до Ц1 на [2n, 3 2 + 2n], возрастает () от Ц1 до 5. Положительная, tg х > 0 при x(-n, 2 + n), на [ + 2n, 2n].
отрицательная, tg х < 0 при x(- 2 + n,n).
7. 7..Максимумы при х = 2n; минимумы при x = + 2n.
6. Возрастает на каждом промежутке (- 2 + n, 2 + n).
9.3. График функции у = tg x (тангенсоида) 9.4. График функции у = ctg х (котангенсоида) Так как tg x периодическая функция с Т0 =, то достаточно взять 'Гак как ctg х = Цtg (х + 1) для (0, /2), то сначала отразим у = tg х промежуток, равный, где тангенс определен. Это (Ц/2, /2). Разделив 33 относительно оси абсцисс, затем сдвинем влево на /2. Функции f и g называют взаимно обратными функциями.
Затем воспользуемся симметрией и периодичностью Если точка (х, y) принадлежит графику функции = f(x), то точка (у, х) принадлежит графику у = g(х), где g Ч обратная функция. Поэтому график обратной функции получается из трафика у = f(x) с помощью преобразования плоскости ху, переводящего точку (х, у) в точку (у, х).
Рис.Свойства функции котангенс.
Этим преобразованием является симметрия относительно прямой у = х.
1. D(ctg х) ={R, х n, n Z }, E (ctg х) = R.
Итак, графики взаимно обратных функций у = f(x), у = g(x) симметричны 2. Нечетная (симметричная относительно начала координат) относительно прямой у = х.
3. Периодическая, с Т0 =. Теорема 10.1. (без доказательства). Если функция f определена и 4. Нули функции, т.е. ctg х = 0 при х = - 2 + n, n Z. монотонна на промежутке I, а множество ее значений есть промежуток J, то на промежутке J существует функция g, обратная функции f и 5. Положительная, т.е. ctg х > 0 при (n, 2 + n ), отрицательная, обладающая следующими свойствами:
т.е. ctg х < 0 при ( - 2 + n,n ).
1) функция g определена и монотонна на J;
6. Убывающая на каждом промежутке (n, + n).
2) если функция f возрастает (убывает) на I, то g возрастает (убывает) на J.
10. Обратная функция. График обратной функции Теорема 10.2. Очень важная теорема о корне. Пусть функция f Определение 10.1. Функция g называется обратной к f, если область возрастает (убывает) на промежутке I, число а Ч любое из значений, определения функции f является областью значений функции g, а область принимаемых f на этом промежутке. Тогда уравнение f(x) = а имеет значений f является областью определения g, причем g (у) = х и f(x) = у единственный корень в промежутке I.
(D(f) = Е(g) и D(g) = E(f)).
Рассмотрим процесс получения обратной функции.
11. Обратные тригонометрические функции.
1. Пусть у = f(x) Ч заданная функция. Выражая х через у (если это 11.1. Функция у = arcsin x (арксинус) возможно), получаем равенство х = (y).
Функция синус на промежутке [Ц, ] определена и возрастает и 2. Переходя к общепринятым обозначениям для функции и аргумента, 2 получаем функцию у = (х), которая является обратной.
35 принимает все значения от Ц1 до 1. Поэтому она обратима, т.е. имеет до и такое, что его синус равен m По графику видно, что имеет место обратную функцию. Эту обратную функцию называют арксинусом и равенство:
обозначают arcsin х.
arcsin(Цх) = - arcsin х.
Из определения обратной функции следует, что D(arcsin) = [Ц1,1], E(arcsin) = [Ц, ]. По теореме арксинус возрастающая функция. Ее график 1.1.2. Функция у = arccos x (арккосинус) 2 симметричен графику у = sin х относительно прямой у = х (рис.19). Функция у = cos х убывает на [0, ] и принимает все значения из [Ц1, 1] Значит, существует обратная функция. Она обозначается arcos x. График у = arccos x симметричен у = cos х относительно прямой у = х (рис. 20).
Рис.Свойства функции арксинус.
Рис. 20 Рис. 1. D(arcsin x) = [Ц1,1], E(arcsin x) = [Ц, ].
2 Свойства функции у = arccos х.
2. Нечетная.
1. D(arсcos x) = [Ц1, 1]; Е(arccos x) = [0, ].
3. Положительная, arcsin x > 0 при х[0, 2] ;
2. Нули, arccos х = 0 при х = 1.
отрицательная, arcsin х < 0 при х[- 2,0].
3. Убывающая функция.
Записи у = arccos х и х = cos y, 0 у эквивалентны. Тогда cos (arccos 4. Нули, arcsin х = 0 при х = 0.
х) = х, 0 arccos х.
5. Возрастающая.
Итак, arccos m, где Ц1 < m < 1 Ч это число, взятое в пределах от Записи у = arcsin х и х = sin у, - у эквивалентны. Подставив в 2 до и такое, что его косинус равен т.
равенство х = sin у вместо у его выражение, получаем х = sin(arcsin х), Имеет место равенство: arccos(Цх) = - arccos x (рис. 21).
- arcsin х.
2 11.3. Функция у = arctg x (арктангенс) Итак, arcsin m, где - 1 < m < 1 Ч это число, взятое в пределах от - Функция у = tg x возрастает на (Ц, ) и принимает значения от - до 2 37 +. Поэтому для нее существует обратная функция, которая обозначается arctg x (рис. 22).
Рис.Рис. 12. Простейшие соотношения между Свойства функции arctg x.
обратными тригонометрическими функциями 1. D(arctg x) = R; E(arctg x) = (Ц, ).
2 2 x arcsin x = -arcsin(-x) = - arccos x = arctg, 2. Нечетная. 1 - x3. Нули, т.е. arctg x = 0 при х = 0.
x arccos x = - arccos(-x) = - arcsin x = arcctg, 4. Возрастающая. Для любого х имеем 1 - x x tg (arctg x) = x, - < arctg x < arctgx = -arctg(-x) = - arcctgx = arcsin, 2 2 1 + x x arcctgx = - arcctg(-x) = - arctgx = arccos.
11.4. Функция у = arcctg x (арккотангенс) 1 + xФункция у = ctg x убывает на (0, ) и принимает все значения от + до arcsin x + arccos x =, arctgx + arcctgx =.
Ц. Поэтому для нее существует обратная функция, которая обозначается 2 arcctg x (рис.23).
Свойства функции arcctg x.
1. D(arcctg x) = R; E (arcctg x) = (0,).
2. Убывающая.
Для любого х имеем ctg (arcctg х) = х 0 < arcctg х <.
39 13. Тождественные преобразования выражений, там положительный, т.e. sin у = 1 - x2, значит, содержащих обратные тригонометрические функции sin (arccos х) = 1 - x2, где |х| 1.
ПРИМЕР 13.1. Доказать, что arcsin x + arccos x =.
ПРИМЕР 13.3. Упростить выражение sin(arctg х), где х + k, ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Перепишем равенство:
(k Z).
arcsin x = - arccos x.
РЕШЕНИЕ. По определению, - < arctg x <. Обозначим у = arctg x.
2 sin у и положителен (IV ч.) и отрицателен (1 ч.), a cos y точно По определению, - arcsin х, а 0 arccos x. Выясним, в 2 положителен.
каком промежутке находится - arccos x.
cos y =, найдем sin у.
1 + tg y 0 Цarccos x - => - Цarccos x 0.
tg y x sin y = tg y cos y = =.
Добавим к неравенству, получим 1 + tg2 y 1 + x x - - arccos х.
Значит, sin(arctg х) =.
2 2 1 + xИтак, оба угла находятся в IV и I четверти, это промежуток ПРИМЕР 13.4. Упростить выражение sin(2 arccos х).
монотонности синуса.
РЕШЕНИЕ. Так как sin 2 = 2 sin cos, то Значит, из равенства синусов будет следовать равенство углов.
sin(2 arccos x) = 2 sin(arccos х) cos(arccos x) = 2 1 - x2. х = = 2 х 1 - x2.
sin(arcsin x) = x, sin( - arccos x) = cos(arccos x) = x.
1 ПРИМЕР 13.5. Вычислить sin ( arcctg ( - )).
2 В промежутке монотонности синуса [Ц, ] нет двух различных 3 2 РЕШЕНИЕ. Пусть = arcctg ( - ) => 0 < и ctg = Ц, так как 4 углов, имеющих разные синусы, значит, - < 0, то <.
arcsin x = - arccos x arcsin x + arccos x =, 4 2 1 - cos Найдем sin. Так как sin2 =, найдем cos.
что и требовалось доказать.
2 2 1 1 cos2 =, то cos2 = =.
ПРИМЕР 13.2. Упростить выражение sin (arccos х), где |х| 1.
1 + tg 1 + (- 3) РЕШЕНИЕ.
Так как в интервале (,) косинус отрицателен, то cos y = - => Положим у = arccos х, тогда 0 у и cos y = cos(arccos х) = х.
2 sin2 у = 1 - cos2у = 1 - х2, так как у находится в I и II четверти, то sin у 41 1 + + ) находится либо во II, либо в III четверти, а во II четверти.
sin2 = =.
2 2 Из Т(а + ) = Т() не следует, что а + =.
Таь как <, то синус положительный, sin =, отсюда 4 2 2 Например, cos 30 = cos 330, но 30 330.
1 3 Равенство будет выполняться, если Т(а + ) = Т(), и, кроме того, а + sin( arcctg(- )) =.
2 и принадлежат одному и тому же промежутку монотонности функции Т (по теореме о корне).
ПРИМЕР 13.6. Вычислить arcsin (sin( - )).
Во II и III четверти целесообразно взять функцию синус, так как она РЕШЕНИЕ. По определению Ц/2 arcsin (sin( - )) /2, значит, монотонна во II и III четверти.
sin(а + ) = sin а cos + sin cos a= 15 равенство arcsin (sin( - )) = - ложно.
1 3 4 3 3 7 =sin (- ) + cos 1 - cos2 = - + =, 3 7 3 14 14 Надо найти угол из [Ц/2, /2], синус которого ранен sin ( - ).
13 3 sin = 1 - cos2 = 1 - (- )2 = 14 По формулам приведения положителен.
15 sin ( - ) = sin (Ц2 - ) = sin( - ); - [Ц, ].
Итак, sin(а + ) = sin, причем а + и принадлежат одному 7 7 7 7 2 промежутку монотонности (по теореме о корне), то равенство доказано.
Отсюда arcsin (sin( - )) = arcsin (sin( - ) = Ц.
7 7 ПРИМЕР 13.8. Построить график у = sin (arcsin x), ПРИМЕР 13.7. Проверить равенство:
'Гак как |sin | < 1, то область существования 1 1 D(у) = [Ц1,1], E(у) = [Ц1,1].
arccos + arccos(- ) = arccos(- ).
2 7 В пределах области существования sin (arcsin x) = x.
1 РЕШЕНИЕ. Положим а = arccos => а = ; = arccos( - ), 0, 2 3 => cos = - => косинус отрицателен во II четверти, значит, < ;
7 = arccos( - ) => < (аналогично рассуждая).
14 Докажем, что а + = ПРИМЕР 13.9. Построить график у = arcsin(sin x).
1. Сначала докажем, что выполняется равенство Т(а + ) = Т(), где Т 1. Е(у) = [Ц/2, /2], D(у) = (Ц, +).
Ч некоторая тригонометрическая функция. Сумма углов ( + <а + < 2. Функция нечетная, так как arcsin(sin (Цx)) = arcsin( - sin x) = - arcsin х.
2 Значит, достаточно построить график функции для х > 0, а затем 43 симметрично отобразить относительно начала координат. Математика: Тригонометрия 3. Функция периодическая, так как arcsin(sin (x+2)) = arcsin(sin x), т.е. Модуль № 1 для 10 класса Т = 2. Можно взять отрезок [Ц, ] и затем периодически продолжить. Учебно-методическая часть За счет симметрии построим только на отрезке [0, ].
Для 0 х имеем arcsin(sin х) = х.
Составитель: Татьяна Ивановна Качаева Выясним, чему равен arcsin (sin х) для х. Надо найти х0 в первой четверти, чтобы sin х0 = sin х для х [,]. Это будет угол х0 = - х, Редактор: О.Ф.Александрова Корректура автора так как sin х0 = sin ( - х) = sin х.
Тогда arcsin (sin ( - х)) = - х при х [,].
Подписано в печать 25.12.2006. Формат 60х84/16.
Получаем уравнение прямой у = - х. Строим на полупериоде, Бумага газетная. Печать ризографическая.
симметрично относительно начала координат отражаем. Затем периодически Усл. печ. л. 2,8.
продолжаем. Получаем график:
Pages: | 1 | 2 | 3 | 4 | Книги по разным темам