Книги по разным темам
Pages: | 1 | ... | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | ... | 34 | 4.6 Конструктивное определение преобразований Найдем определяющие элементы преобразований копсевдоевклидовой плоскости и способ построения образов фигур в преобразовании.
1. Поворотное отражение первого вида Выберем некоторую неизотропную прямую t и на ней пару точек N1, N2, принадлежащих одному абсолютному углу. Каждой точке M копсевдоевклидовой плоскости и действительному положительному числу k поставим в соответствие такую точку М' этой плоскости, что:
1) |MM'| = |N1N2|, то есть (l1 l2 (PМ)(PМ')) = (l1 l2 (PN1)(PN2));
2) (N2М') t = k (N1М) t;
3) точки M, М' принадлежат одному квадранту (различным квадрантам) относительно прямой t.
Покажем, что введенное соответствие является преобразованием первого рода копсевдоевклидовой плоскости. Для каждой собственной точки M копсевдоевклидовой плоскости условие 1 однозначно определяет изотропную прямую m' (рис. 34), содержащую точку М'. По условию P точки N1, N2 принадлежат одному абсолютному углу. Следовательно, прямая t образует с прямыми N2М' и m' ll2 N1М углы, меры которых M mM1' одновременно либо действительные неотрицательные, либо чисто мнимые K1 t N1 N2 K2 с неотрицательной мнимой частью mвеличины. Поэтому при M2' действительном положительном Рис. значении k условию 2 удовлетворяют две прямые m1, m2 пучка с центром в точке N2, гармонически сопряженные относительно прямых N2P и t.
Следовательно, первые два условия определения задают точки M1', M2' в различных квадрантах относительно прямой t. В зависимости от требования условия 3 однозначно определим образ точки M.
Условия 1 - 3, очевидно, однозначно определяют прообраз М каждой точки М' копсевдоевклидовой плоскости. По теореме 12 согласно условию введенное преобразование первого рода.
Точки N1, N2 принадлежат одному абсолютному углу, поэтому по условию 1 каждая точка плоскости принадлежит одному абсолютному углу со своим образом в данном преобразовании, следовательно, преобразование первого вида.
Согласно первому условию преобразование не имеет инвариантных изотропных прямых. Согласно второму условию данная неизотропная прямая t - неподвижная прямая преобразования. Предположим, что преобразование имеет еще одну неподвижную неизотропную прямую u.
Если прямые t и u не параллельны, то точка их пересечения является собственной неподвижной точкой в данном преобразовании, что противоречит условию 1.
Если прямые t и u параллельны, то прямая u проходит через одну из точек K1, K2 пересечения прямой t соответственно с прямой l1, l2 абсолюта, например, через точку K2. Тогда вторая несобственная точка U прямой u, точка ее пересечения с прямой l1, также инвариантна в данном преобразовании. Поэтому условие 2 для точки U принимает вид:
(N2U) t = k (N1U) t, где k - произвольно заданное, не зависящее от выбора точек N1, Nположительное число. Но для параллельных прямых UN1, UN2 согласно теореме 4 главы 2 отношение мер углов (N2U) t и (N1U) t вполне определено заданием точек N1, N2.
Полученное противоречие доказывает, что прямая t - единственная неподвижная прямая в данном преобразовании. Следовательно, преобразование указано в первой строке таблицы 3 (приложение 2).
Назовем данное преобразование поворотным отражением первого вида k I R с коэффициентом k от неизотропной прямой t. Обозначение:.
t Получим каноническую матрицу введенного преобразования.
Пусть в каноническом репере R поворотное отражение первого вида задано матрицей (1) при = 1, а данные точки N1, N2 - координатами:
N1(n: 1:0), N2(1:0:0). То есть репер выбран таким образом, что координатная прямая А1А2 совпадает с данной прямой. Тогда инвариантность этой прямой (x3 = 0) определяет нулевые значения коэффициентов а31, а32 матрицы преобразования. Поэтому первое условие определения поворотного отражения первого вида каждой точке M (m1: m2: m3) копсевдоевклидовой плоскости ставит в соответствие точку М' (m2 - nm1: m1 - nm2: a33m3).
Прямые N1М и N2М' в репере R имеют соответственно уравнения:
- m3x1 + nm3x2 + (m1 - nm2 )x3 = 0, (57) a33m3x2 + (nm2 - m1)x3 = 0.
(58) Определим меры углов, образованных прямой t с прямыми N1М и N2М'.
2 m3 1- n m3 nm ((MN1) t)= + (59) 0 m1 - nm2 - - m1 - nm2 = m1 - nm2, i a33 m a33m ((M N2) t)= (0 - 0) - (60) 0 nm2 - m1 = m1 - nm2.
Точки N1, N2 принадлежат одному (первому) абсолютному углу, следовательно, n2 - 1 > 0. Равенства (59), (60) и второе условие определения поворотного отражения первого вида приводят к условию:
a33 = k n2 -1.
(61) Таким образом, матрица поворотного отражения первого вида с коэффициентом k в достаточно удобно выбранном каноническом репере может иметь вид:
- n 1 1 - n.
(62) 0 0 k n2 - Каждое требование условия 3 в определении поворотного отражения первого вида однозначно задает знак л+, или - в матрице (62).
Действительно, если точки M, М' принадлежат одному квадранту (различным квадрантам) относительно прямой t, то для их координат согласно условию (30) главы 1 выполняется соответствующее неравенство:
( a33(n +1) > 0 ) a33(n + 1)< 0, (63) Из условий (61), (63) учитывая, что k > 0 и n2 -1 > 0, получаем в матрице (62) в случае принадлежности точек M, М' одному квадранту относительно прямой t знак л+ при n < Ц1, и знак - при n > Ц1. В случае принадлежности точек M, М' различным квадрантам относительно прямой t - знак л+ при n > Ц1, и знак - при n < Ц1.
Матрица (62) задает движение копсевдоевклидовой плоскости при k =1 и |n| > 1.
Точки N1, N2 принадлежат одному абсолютному углу, следовательно, в матрице (62) n 0. При этом условии матрица (62) не может иметь вид ни одной из матриц H1, H2 (50). Таким образом, абсолютных движений среди поворотных отражений первого вида от неизотропной прямой нет.
2. Поворотное отражение второго вида Выберем некоторую неизотропную прямую t и на ней пару точек N1, N2, принадлежащих соответственно второму и первому абсолютным углам.
Каждой точке M копсевдоевклидовой плоскости и мнимому с положительной мнимой частью числу k поставим в соответствие такую точку М' этой плоскости, что:
1) |MM'| = |N1N2|, то есть (l1 l2 (PМ)(PМ')) = (l1 l2 (PN1)(PN2));
2) (N2М') t = k (N1М) t;
3) точки М', M1 (М', M2) принадлежат одному квадранту относительно прямой t, где Мi - точка пересечения прямой Ki M, i =1, 2, с изотропной прямой, гармонически разделяющей с прямой PM абсолютные прямые.
По условию 1 для каждой точки M плоскости определена единственная изотропная прямая m', проходящая через точку М'.
Точка N2 (N1) принадлежит первому (второму) абсолютному углу, поэтому для точки М (М'), не принадлежащей прямой t, величина угла (N2М')t ((N1М) t) - число мнимое с положительной мнимой частью (действительное положительное). Следовательно, при каждом мнимом с положительной мнимой частью значении k условию 2 удовлетворяют две прямые m1, mпучка с центром в точке N2, причем эти прямые гармонически сопряжены относительно прямых N2P и t. Поэтому точки M1', M2' пересечения прямых m1, m2 с изотропной прямой m' принадлежат различным квадрантам относительно прямой t.
Точки M1, M2 принадлежат одной изотропной прямой, гармонически сопряженной с прямой МР относительно прямых абсолюта, поэтому, в частности, принадлежат одному абсолютному углу.
Построим (рис. 35) точку L2 (L1) пересечения прямой MK1 (MK2) с абсолютной прямой l2 (l1). По построению P, M, M0 - диагональные точки полного четырехвершинника K1L1K2L2. Следовательно, точки M1, Mпересечения противоположных сторон этого четырехвершинника с диагональю PM0 гармонически сопряжены с диагональными точками P, M0.
Это означает, что точки M1, M2 принадлежат различным квадрантам относительно прямой t = K1K2. Поэтому в квадранте каждой точки Мi, i = 1, 2, найдется единственная точка Мj', j =1, 2. Таким образом, условия 1 - однозначно определяют точку М'.
Повторяя рассуждения предыдущего пункта, можно показать, P что введенное соответствие является преобразованием первого рода копсевдоевклидовой плоскости.
KПричем прямая t - единственная Mнеподвижная прямая данного LМпреобразования. Следовательно, преобразование указано в первой M K2 M2 L1 строке таблицы 3 копсевдоевклидовых t преобразований.
Рис. Точки N1, N2 принадлежат различным абсолютным углам, поэтому согласно условию 1, различным абсолютным углам принадлежат и точки М, М'. Следовательно, данное преобразование второго вида.
Назовем введенное преобразование поворотным отражением второго k II R вида с коэффициентом k от неизотропной прямой t. Обозначение:.
t При соответствующем задании канонического репера поворотное отражение второго вида с коэффициентом k от неизотропной прямой t можно задать матрицей (62) при |n| < 1.
Заметим, что согласно равенствам (59), (60) условие (61) имеет вид:
a33 = -ik 1- n2.
(64) Если точки М', M1 (М', M2) принадлежат одному квадранту относительно прямой t, то в соответствии с неравенством (30) главы 1 для матрицы (62) получаем первое (второе) неравенство из (63). Учитывая, что при |n| < всегда выполняется неравенство n > Ц1, необходимо иметь а33 < 0 (а33 > 0), поэтому случаю принадлежности точек М', M1 (М', M2) одному квадранту относительно прямой t в матрице (62) соответствует знак л+ (Ц).
Матрица (62) задает псевдодвижение копсевдоевклидовой плоскости при |n| < 1 и k = i. Абсолютных псевдодвижений среди поворотных отражений второго вида от неизотропной прямой нет.
Применяя теоремы 5, 13, можно показать, что каждое преобразование, указанное в первой строке таблицы 3 (приложение 2) преобразований копсевдоевклидовой плоскости, является поворотным отражением от неизотропной прямой либо первого, либо второго вида.
3. Гомотетия относительно пучка параллельных прямых Пусть заданы две неизотропные параллельные прямые a, b и некоторое действительное число ( 0, 1). Пучок прямых, параллельных прямым a, b, будем обозначать (a, b).
Гомотетией относительно пучка (a, b) с коэффициентом назовем Н( b) преобразование копсевдоевклидовой плоскости, которое каждой точке a, М плоскости ставит в соответствие такую точку М', что:
1) прямая ММ' принадлежит пучку (a, b);
ln 2) |MM'| =, то есть прямые абсолюта разделяют изотропные прямые (РМ), (РМ') в отношении : ((PM)(PM') l1l2) =.
Условия 1, 2 при 0 определяют взаимно однозначное отображение копсевдоевклидовой плоскости на себя. Заметим, что в определении гомотетии 1, то есть изотропные прямые (РМ), (РМ') - различные, следовательно, гомотетия не является тождественным преобразованием.
Если > 0, то по условию 2 при гомотетии с коэффициентом каждая точка плоскости принадлежит одному абсолютному углу со своим образом, если < 0, то точка и ее образ принадлежат различным абсолютным углам.
Следовательно, при > 0 ( < 0) гомотетия является преобразованием первого (второго) вида.
Найдем аналитическую запись гомотетии относительно пучка параллельных прямых с коэффициентом.
По теореме 12 гомотетия является преобразованием первого рода, так как расстояние между точками и их образами в данном преобразовании постоянно.
Напомним, что термин гомотетия образован от греческих слов: л - равный, одинаковый, л - установленный, расположенный.
Пусть в произвольном каноническом репере R точка M копсевдоевклидовой плоскости имеет координаты: M (x1: x2: x3). Тогда точка М', заданная координатами (54) при = 1, является ее образом в преобразовании первого рода.
Запишем условие ((PM)(PM') l1l2) = в координатах:
x1 x2 a11x1 + a12 x2 a12 x1 + a11x1 1 -1 =.
(65) x1 x2 a11x1 + a12 x2 a12 x1 + a11x-1 1 1 После необходимых преобразований равенство (65) принимает вид:
2 (x1 - x2 )(a11 (1 - ) + a12 (1 + )) =. (66) x1 Учитывая, что M - собственная точка плоскости, то есть - x2, находим связь на коэффициенты матрицы исследуемого преобразования:
-a12 = a11.
(67) +Параллельные прямые a, b однозначно определяют точку S, центр пучка (a, b). Так как S лежит на одной из абсолютных прямых, ее однородные координаты в репере R можно записать в виде: S (1:1: s).
Согласно первому условию определения гомотетии точки S, M, M' принадлежат одной прямой, следовательно, выполняется равенство:
x1 x2 xa11x1 + a12x2 a12x1 + a11x2 a31x1 + a32x2 + a33x3 = 0.
(68) 1 1 s Преобразуем равенство (68) к виду:
2 x1 (a31 msa12)-x2(a32 msa12)+ x1x2(a32 ma31)+(x1x3 -x2x3)(a33 -a11 a12)=0.
Последнее равенство является тождеством, так как справедливо для любой точки копсевдоевклидовой плоскости. Поэтому a31 = a32 = sa12, a33 = a11 m a12.
(69) Условия (67), (69) однозначно определяют формулы преобразования координат при гомотетии с коэффициентом относительно пучка (a, b) с центром в точке S (1:1: s).
a11 = + Положим, тогда если S принадлежит первой прямой абсолюта (в равенствах (69) это условие соответствует верхнему знаку), имеем:
a12 = -1, a31 = a32 = s( -1), a33 =, если S лежит на второй абсолютной прямой (нижний знак в (69)), имеем:
a12 = -1, a31 = -a32 = s( -1), a33 =.
Следовательно, матрицы преобразования имеют соответственно вид:
+1 -1 0 +1 -1 G1 = -1 +1 0, G2 = -1 +1. (70) s( -1) s( -1) 2 s( -1) s(1- ) Гомотетия относительно пучка параллельных прямых представлена в третьей строке таблицы 3 преобразований копсевдоевклидовой плоскости, так как каждая из матриц (70) имеет вид А1 при условиях (20).
С другой стороны, для каждой матрицы А1 при условиях (20) можно найти действительные числа s и (причем 0, 1), при которых матрица А1 совпадает с одной из матриц (70). Следовательно, каждое преобразование, представленное в третьей строке таблицы 3 преобразований копсевдоевклидовой плоскости, является гомотетией относительно некоторого пучка параллельных прямых.
Согласно проведенной классификации преобразований при гомотетии инвариантна каждая точка одной из абсолютных прямых, следовательно, каждая прямая плоскости, не принадлежащая пучку гомотетии, переходит в параллельную ей прямую. Каждая прямая пучка гомотетии остается инвариантной.
Расстояние между параллельными прямыми, пересекающимися на второй (первой) прямой абсолюта при гомотетии с коэффициентом относительно пучка с центром на первой (второй) прямой абсолюта, заданной соответствующей матрицей (70), согласно равенству (43) изменяется в || Ц1 (||) раз.
Последнее равенство из (69) является одним из условий (47), следовательно, гомотетия в общем случае является полудвижением.
Pages: | 1 | ... | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | ... | 34 | Книги по разным темам