Книги по разным темам Pages:     | 1 |   ...   | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |   ...   | 34 |

ix1 ix2 ix x = y = z =,,. (5) x12 - x22 x12 - x22 x12 - xПринципиально различны два следующих возможных варианта взаимного отношения реперов R и R'.

1. Реперы R и R' согласованы.

2 По определению в формулах (9) главы 1 = а11 - а12 > 0. Если точка М принадлежит первому (второму) абсолютному углу в репере R, то она принадлежит первому (второму) абсолютному углу и в репере R'. Подставим в равенства (2) ((3)) значения x1, x2, x3 из формул (9) главы 1. С учетом равенств (4) ((5)) получаем:

a11 a x = x + y, 2 2 2 a11 - a12 a11 - a a12 a y = x + y, 2 2 2 a11 - a12 a11 - a (6) a31 a32 az = 2 2 x + 2 2 y + 2 2 z.

a11 - a12 a11 - a12 a11 - a Формулы (6) определяют преобразование копсевдоевклидовых координат точек при переходе от репера R к согласованному с ним реперу R'.

2. Реперы R и R' - несогласованные реперы копсевдоевклидовой 2 плоскости. Тогда в формулах (9) главы 1 перехода от R к R': = а11 - а12 < 0.

Если точка М принадлежит первому (второму) абсолютному углу в репере R, то она принадлежит второму (первому) абсолютному углу в репере R'. Подставим в равенства (2) ((3)) значения x1, x2, x3 из формул (9) главы 1.

После замены по формулам (5) ((4)) получаем:

a11 a x = x + y, 2 2 2 a12 - a11 a12 - a a12 a y = x + y, 2 2 2 a12 - a11 a12 - a (7) a31 a32 az = 2 2 x + 2 2 y + 2 2 z.

a12 - a11 a12 - a11 a12 - a Формулы (7) определяют в копсевдоевклидовых координатах точек переход от репера R к несогласованному с ним реперу R'.

3.2 Изображение копсевдоевклидовой плоскости в трехмерном евклидовом пространстве 1. Пусть на копсевдоевклидовой плоскости K2 задан некоторый канонический репер R, а в евклидовом трехмерном пространстве E3 - декартова прямоугольная система координат Oxyz.

Изображением в пространстве E3 точки M' плоскости K2 с копсевдоевклидовыми координатами (x; y; z) относительно репера R назовем точку M евклидова пространства E3 с координатами (x; y; z) в системе Oxyz.

Изображением F фигуры F' коевклидовой плоскости назовем множество всех точек пространства E3, являющихся изображением точек фигуры F'.

Согласно формулам (2), (3) первые две копсевдоевклидовы координаты каждой точки первого, второго абсолютного угла относительно репера R копсевдоевклидовой плоскости связаны соответственно условиями:

2 x - y = 1, (8) 2 y - x = 1.

(9) Следовательно, изображением точки первого (второго) абсолютного угла копсевдоевклидовой плоскости в трехмерном евклидовом пространстве является пара точек на гиперболическом цилиндре (8) ((9)), симметричных относительно начала координат. Гиперболические цилиндры (8), (9) с отождествленными симметричными относительно начала координат точками являются изображением копсевдоевклидовой плоскости.

2. В пункте 2 з3 (гл. 3, часть 1) определен способ построения изображения точек коевклидовой плоскости в пространстве Е3.

Проводя аналогичные рассуждения, можно показать, что изображением некоторой точки первого (второго) абсолютного угла копсевдоевклидовой плоскости, заданной в каноническом репере R проективными координатами m1 M (m1: m2: m3), - m2, является пара отождествленных точек пространства Е3 пересечения гиперболического цилиндра (8) ((9)) прямой, проходящей через начало координат в направлении вектора m (m1; m2; m3).

3. Пусть А, В - неколлинеарные точки копсевдоевклидовой плоскости.

Выберем канонический репер R Y плоскости так, чтобы относительно него точка А находилась в первом абсолютном углу. Пусть относительно Aрепера R точки A, B с проективными координатами (ai), (bi), i = 1, 2, 3, Bимеют копсевдоевклидовы O координаты: А (xa; ya; za), B (xb; yb; zb).

K X 1. Если точка В принадлежит первому абсолютному углу в репере R, Рис. то согласно равенствам (2), (3) формула (19) главы 1 для вычисления гиперболического косинуса расстояния между точками A и B в копсевдоевклидовых координатах имеет вид:

ch AB = xaxb - ya yb.

(10) Найдем геометрическую интерпретацию полученной формулы.

Обозначим через А', В' изображения точек А, В в евклидовом пространстве Е3. Пусть A0, В0 - проекции точек А', В' на координатную плоскость Oxy. Согласно рассуждениям пункта 1 точки А', В' лежат на цилиндре (8), следовательно, точки A0, B0 лежат на гиперболе 1:

2 x - y = 1, z = (11) плоскости Oxy с центром в начале системы координат Oxyz, параметрические уравнения которой можно записать в виде:

x = cht, y = sht, z = 0.

(12) Для определенности будем считать, что точки А0, B0 имеют положительные абсциссы (рис. 32).

Пусть а, b - параметры точек А0, B0 гиперболы 1 соответственно. Тогда евклидовы координаты точек А0, B0 имеют вид:

A0 (cha ; sha ;0), B0 (chb ; shb ;0), (13) где параметры а, b численно равны удвоенной площади секторов А0ОK, В0ОK соответственно, где A0K, В0K, - дуги гиперболы 1 [12, стр. 154]:

a = 2Sсек A0OK; b = 2Sсек B0OK.

(14) Точки А0, B0 - проекции изображений точек А (xa; ya; za), B (xb; yb; zb) копсевдоевклидовой плоскости на плоскость Oxy, следовательно, xа = ch а, yа = sh а, zа = 0, (15) xb = chb, yb = shb, zb = 0.

Формула (10) при условиях (15) имеет вид:

ch AB = cha chb - sha shb = ch(a - b).

(16) Откуда получаем равенство:

AB = (a - b) = 2(Sсек A0OK - Sсек B0OK )= 2Sсек A0OB0.

(17) Таким образом, интерпретацией длины неизотропного отрезка АВ является удвоенная площадь гиперболического сектора, ограниченного дугой с концами в проекциях изображений точек А, В на координатную плоскость Oxy.

2. Если точка В принадлежит второму абсолютному углу, то ортогональная ей точка В на прямой АВ принадлежит первому, одному с точкой А, абсолютному углу. Расстояние между ортогональными точками равно i, поэтому по свойству аддитивности расстояния между точками имеем:

|AB| = |AB| + |BB| = |AB| + i, (18) откуда |AB| = i - |BA|.

Тогда по формуле (17) AB = i 2Sсек A0OB0, (19) где В0 - проекция изображения в евклидовом пространстве Е3 точки В на координатную плоскость Oxy. Формула (19) дает интерпретацию расстояния между точками различных абсолютных углов копсевдоевклидовой плоскости.

4. Пусть уравнение прямой l копсевдоевклидовой плоскости в проективных координатах имеет вид u1x1 + u2 x2 + u3x3 =, (20) тогда, переходя к копсевдоевклидовым координатам точек прямой l, получим совокупность систем уравнений:

u1x + u2 y + u3z = 0, x2 - y2 = 1, u x + u2 y + u3z = 0, (21) y2 - x2 = 1, определяющую в евклидовом пространстве изображение прямой l. Первое уравнение каждой системы уравнений совокупности (21) в системе координат Oxyz задает плоскость, проходящую через начало координат и перпендикулярную вектору n (u1; u2; u3). Каждая из систем уравнений совокупности (21) определяет в евклидовом пространстве Е3 сечение одного из гиперболических цилиндров (8), (9) указанной плоскостью, которое является изображением в пространстве Е3 одной из ветвей прямой l.

Таким образом, изображением прямой копсевдоевклидовой плоскости в евклидовом пространстве является сечение гиперболических цилиндров (8), (9) плоскостью, проходящей через начало координат, со склеенными диаметрально противоположными точками.

Для изотропных прямых копсевдоевклидовой плоскости в уравнении (20) u3 = 0, следовательно, изображением изотропной прямой копсевдоевклидовой плоскости в евклидовом пространстве является пара диаметрально противоположных образующих одного из цилиндров (8), (9).

5. Пусть различные неизотропные прямые a, b копсевдоевклидовой плоскости заданы в каноническом репере R соответственно уравнениями:

a1x1 + a2x2 + a3x3 = 0, b1x1 + b2x2 + b3x3 = 0.

Тогда точка K пересечения прямых а и b имеет в репере R координаты:

a b b1 a1 a1b - a b2 2 2 - ; - ;

K (22) a b3 b3 a a b3.

3 3 Проведем рассуждения, предполагая для определенности, что точка K принадлежит второму абсолютному углу. То есть для координат точки K справедливо неравенство:

2 b1 a1 b a 2 - - - > 0.

(23) b3 a b a 3 3 Нормальные векторы плоскостей, содержащих изображения прямых a, b в евклидовом пространстве, имеют (см. п. 4) координаты:

a1 a b1 b 2 n ; ;1 n a (24), b b3 ; b3 ;.

a a 3 3 Введем обозначение: n = na - nb. Тогда координаты вектора n, однозначно определеннные координатами прямых а, b, имеют вид:

a1 b1 a b 2 - ; - ; n (25) a b3 a b3.

3 Для координат вектора Y n выполняется неравенство (23).

Следовательно, прямая n, проходящая через начало координат в системе Oxyz в направлении этого вектора, содержит согласно рассуждениям пунктов 1, N изображения точек первого N' O абсолютного угла копсевдоевклидовой плоскости. Поэтому прямая n A1 X пересекает гиперболу 1 (11), (12), содержащую проекции изображений Рис. всех точек первого абсолютного угла копсевдоевклидовой плоскости.

Вектор n коллинеарен координатной плоскости Oxy. Отложим этот вектор от начала координат в плоскости Oxy (рис. 33). Пусть ON = n, ON = n, где N' - точка пересечения прямой ON = n с гиперболой 1 (11),(12).

Векторы n, n' коллинеарны, следовательно, можем ввести обозначение:

k = n : n.

(26) Заметим, что ненулевое число k однозначно определено координатами прямых а и b, так как этими координатами однозначно определены векторы n, n'. Согласно условию (25) координаты вектора n' можно записать в виде:

1 a b1 1 a b 1 2.

- - n (27) k a b3 ; k a b3 ; 3 Точка N', очевидно, имеет те же координаты (26). Учитывая, что точка N' принадлежит гиперболе 1, то есть ее координаты удовлетворяют уравнению (11), получаем равенство:

2 b1 a1 b a 2 - - - k =.

(28) b3 a b3 a 3 Правая часть равенства (23) есть копсевдоевклидова мера угла между прямыми а и b ((17), гл. 2). Таким образом, число k, определенное равенством (26), является интерпретацией меры угла между неизотропными прямыми копсевдоевклидокой плоскости.

Если прямые а и b параллельны, то первая и вторая координаты вектора n (25) равны по абсолютной величине. Интерпретацией расстояния между параллельными прямыми а и b ((19), гл. 2) является длина проекции вектора n на координатную прямую, например, Ox.

Если прямые a, b - изотропные, то расстояние между ними равно расстоянию между любыми двумя точками А и В, взятыми на прямых а и b соответственно. Интерпретация копсевдоевклидова расстояния между точками получена в пункте 3.

6. Пусть на копсевдоевклидовой плоскости в каноническом репере R проективными координатами заданы: точка А (а1: а2: а3) и неизотропная прямая m (m1: m2: m3). Расстояние от точки А до прямой m определено формулой (20) главы 2. Перепишем эту формулу в копсевдоевклидовых координатах (2), (3) (xa; ya; za) точки А:

m m 1 (A, m ) = x + y + z.

a a a (29) m m 3 Вектор m m 1 m ; ;(30) m m 3 евклидова пространства Е3 является нормальным с единичной проекцией на ось Oz вектором плоскости, содержащей изображение прямой m.

Радиус-вектор а точки А', изображения точки А в пространстве Е3, в системе координат Oxyz имеет координаты: (xa; ya; za). Согласно равенству (30) расстояние от точки до неизотропной прямой копсевдоевклидовой плоскости можно интерпретировать как модуль скалярного произведения векторов а и m.

Интерпретацией высоты точки в заданном каноническом репере является согласно формуле (23) главы 2 модуль аппликаты изображения данной точки в пространстве Е3.

Интерпретацией модуля расстояния между коллинеарными точками по формуле (21) главы 2 является модуль разности аппликат изображений данных точек в пространстве Е3.

Глава 4. Линейные копсевдоевклидовы преобразования 4.1 Вид преобразования. Инвариантные изотропные прямые копсевдоевклидовых преобразований 1. Пусть фундаментальная группа Q преобразований копсевдоевклидовой плоскости ((3), гл. 1) задана матрицей a11 a12 a a11, (1) a31 a32 a 2 а33(а11 - а12) 0.

где = 1, Если в каноническом репере R некоторая точка копсевдоевклидовой плоскости задана своими координатами: M (m1: m2: m3), то условие принадлежности точки M первому (второму) абсолютному углу ((4), гл. 2) в координатах имеет вид:

2 2 2 m1 - m2 (m1 - m2 < 0) > 0.

Точка M' (a11m1 + a12m2: a12m1 + a11m2: m'3), образ точки M в преобразовании Н, заданном матрицей (1), принадлежит первому (второму) абсолютному углу, если выполняются соответствующие неравенства:

2 2 2 2 2 2 2 (a11 - a12)(m1 - m2)> 0 ((a11 - a12)(m1 - m2 )< 0).

Следовательно, преобразование копсевдоевклидовой плоскости, заданное матрицей (1), сохраняет (изменяет) принадлежность точки данному абсолютному углу, то есть сохраняет (изменяет) согласование плоскости (см.

з2, гл. 1), тогда и только тогда когда для коэффициентов матрицы (1) выполняется соответствующее неравенство:

2 2 2 (а11 - а12)> 0 ((a11 - a12)< 0). (2) Преобразования копсевдоевклидовой плоскости, сохраняющие (изменяющие) принадлежность точки данному абсолютному углу, будем называть соответственно преобразованиями первого (второго) вида.

2. Прежде чем провести классификацию преобразований копсевдоевклидовой плоскости докажем утверждения, позволяющие найти инвариантные изотропные прямые преобразований каждого рода.

Образом точки М (m1: m2: m3) в копсевдоевклидовом преобразовании H первого рода ((1), =1) является точка M (a11m1 + a12m2 : a12m1 + a11m2 : a31m1 + a32m2 + a33m3) (3) Изотропная прямая, содержащая точку M, является инвариантной в преобразовании Н тогда и только тогда, когда точки M и М' коллинеарны.

Условие коллинеарности точек М, М' в координатах имеет вид:

m1 m2 ma11m1 + a12m2 a12m1 + a11m2 a31m1 + a32m2 + a33m3 = 0, 0 0 или 2 a12(m1 - m2 )=.

Если для преобразования H а12 0, то последнее условие равносильно равенству |m1| = |m2|, которое имеет место только для точек абсолютных прямых l1, l2 копсевдоевклидовой плоскости.

Следовательно, при а12 0 преобразование не имеет собственных инвариантных изотропных прямых.

Если в матрице (1) преобразования H а12 = 0, то каждая точка копсевдоевклидовой плоскости коллинеарна со своим образом в данном преобразовании. То есть каждая изотропная прямая в преобразовании H является инвариантной. Такие преобразования в соответствии с определением, введенным в первой части пособия для преобразований коевклидовой плоскости, будем называть коллинеарными преобразованиями копсевдоевклидовой плоскости.

Образом точки М (m1: m2: m3) в копсевдоевклидовом преобразовании второго рода, заданном матрицей (1) при = - 1, является точка M (a11m1 + a12m2 :-a12m1 -a11m2 :a31m1 + a32m2 + a33m3). (4) Условие коллинеарности точек М, М' в координатах имеет вид:

Pages:     | 1 |   ...   | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |   ...   | 34 |    Книги по разным темам