Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | 3 | 4 |

2 Аналитическая геометрия Домножив это равенство слева на A-1, получим X = A-1B. Уравнения прямой. Прямая есть геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению Это соотношение даёт нам новый способ решения систем линейных уравнений. Однако этот способ требует отыскаAx + By + C = 0 (A2 + B2 = 0).

ния обратной матрицы и потому является менее эффективным, чем рассмотренный выше метод Гаусса.

Если B = 0, то уравнение прямой принимает вид x = -C/A.

В противном случае, деля обе части уравнения на B, полуПример 8. Решить систему.

чим уравнение прямой с угловым коэффициентом 5x1 + 6x2 + 5x3 + 3x4 = 10, y = kx + b, 4x1 + 3x2 + x3 + 3x4 = 2, 11x1 + 9x2 + 4x3 + 8x4 = 8.

где b ордината точки пересечения прямой с осью OY, k тангенс угла, образованного прямой с OX.

Р е ш е н и е. Поменяв местами первую и вторую строки, запишем расширенную матрицу системы. Затем исключим Пример 1. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси переменную x3 из второго и третьего уравнения.

ординат отрезок b = -3 и образующей с положительным направлением оси OX угол = /6.

4 3 1 3 2 4 3 1 3 -15 -9 0 -12 0, 5 6 5 3 10, 11 9 4 8 8 -5 -3 0 -4 y 4 3 1 3 2 4 3 1 3 5 3 0 4 0, 3 0 4 0.

x /-5 -3 0 -4 0 0 0 0 0 Так как уравнение 0 = 0 всегда верно, его можно просто отбросить. В итоге получим расширенную матрицу 4 3 1 3.

5 3 0 4 Отсюда Р е ш е н и е. Так как k = tg = tg /6 = 1/ 3, то уравнение 5 прямой принимает вид x2 = - x1 - x4, 3 x3 = -4x1 - 3x2 - 3x4 + 2 = y = x - 3.

5 = -4x1 - 3 - x1 - x4 - 3x4 + 2 = x1 + x4 + 2.

3 Положив x1 = 3a и x4 = 3b, получим x1 = 3a, x2 = -5a - 4b, x3 = 3a + 3b + 2, x4 = 3b.

Угол между прямыми. Пересечение прямых. Для нахождения точки пересечения прямых y = k1x + b1, y = k2x + bA1x + B1y + C1 = 0, A2x + B2y + C2 = вычисляется из формулы k2 - k достаточно решить систему tg =.

1 + k1kA1x + B1y + C1 = 0, Отсюда же усматривается, что A2x + B2y + C2 = 0.

k1 = k2 есть условие параллельности двух прямых;

k1 = -1/k2 есть условие перпендикулярности двух пря- Если решение единственное, то прямые пересекаются.

мых. Если решений нет, то прямые параллельны. Если же решений бесконечно много, то прямые совпадают.

Различные уравнения. Уравнение прямой, проходящей через точки M1(x1, y1) и M2(x2, y2) имеет вид Расстояние от точки до прямой. Пусть даны точка M(x0, y0) и прямая Ax + By + C = 0. Тогда расстояние y - y1 x - x=. (1) между ними определяется по формуле y2 - y1 x2 - xПри этом угловой коэффициент такой прямой равен |Ax0 + By0 + C| d =. (4) y2 - yA2 + Bk =. (2) x2 - xПример 4. В треугольнике ABC из примера 2 найти длину Если x1 = x2, то прямая задаётся уравнением x = x1.

высоты CF.

Если y1 = y2, то прямая задаётся уравнением y = y1.

Р е ш е н и е. По формуле (1) найдём уравнение прямой AB.

Пример 2. Даны вершины A(1, 6), B(10, 7) и C(5, 4) треугольника ABC. Найти уравнение медианы AE.

y - 6 x - 1 y - 6 x - =, =, 7 - 6 10 - 1 1 y 9(y - 6) = 1(x - 1), x - 9y + 53 = 0.

B F Таким образом, для прямой AB A A = 1, B = -9, C = 53, E и мы можем воспользоваться формулой (4).

C |1 5 - 9 4 + 53| |5 - 36 + 53| CF = d = = =.

1 + 12 + (-9)2 D 3 Предел x Числовая последовательность. Пусть N множество 0 натуральных чисел. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое число xn, то говорят, что определена числовая последовательность x1, x2, Р е ш е н и е. Находим координаты точки E как середины от..., xn,.... Числа xn, где n N, называют элементарезка BC.

ми или членами последовательности. Числовую последо10 + 5 7 + 4 15 вательность (в дальнейшем последовательность) будем ещё E =, =,.

2 2 2 записывать в виде {xn}, а выражение xn называть общим членом последовательности, n номером члена.

Составляем уравнение прямой, проходящей через точки A и Последовательности встречались уже в средней школе, E (которая и является искомой медианой), по формуле (1).

например, бесконечная геометрическая прогрессия 1, q, q2, y - 6 x - 1 y - 6 x - 1 y - 6 x -..., qn,..., где q < 1 является числовой последовательно=, =, =, 11 - 6 - 1 -1 13 -1 2 2 2 2 стью.

Последовательности {xn + yn}, {xn - yn}, {xnyn}, 13(y - 6) = -1(x - 1), x + 13y - 79 = 0.

{xn/yn} называются соответственно суммой, разностью, Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент k и произведением и частным двух последовательностей {xn} проходящей через точку M(x1, y1) имеет вид и {yn} (для частного yn = 0 для n N).

y - y1 = k(x - x1). (3) Последовательность {xn} называется ограниченной, если существует такое число M > 0, что для любого n N Пример 3. В треугольнике ABC из примера 2 найти ураввыполняется неравенство xn M.

нение высоты AD.

В этом определении, а также в формулировках многих Р е ш е н и е. По формуле (2) вычислим угловой коэффицидругих определений и теорем используются слова сущеент kBC прямой BC.

ствует и для любого. Для краткости записи вместо этих терминов будем использовать символы соответственно и 4 - 7 -3 kBC = = =.

. Символ называют квантором существования, а символ 5 - 10 -5 квантором общности. С помощью указанных симвоТогда из условия перпендикулярности двух прямых следулов определение ограниченной последовательности выгляет, что дит следующим образом: последовательность xn называет1 1 kAD = - = - = -.

ся ограниченной, если M > 0 такое, что n N |xn| M.

kBC 3 По формуле (3) находим теперь искомое уравнение. Пример 1. Последовательность 1 1 (-1)n-y-6 = - (x-1), 3(y-6) = -5(x-1), 5x+3y-23 = 0, 1, -,,...,,...

2 3 n ограничена, так как n N |xn| = 1/n 1. Переменная x называется независимой переменной или Последовательность аргументом функции, переменная y зависимой переменной или значением функции. Множество X называют обла1, 22, 32,..., n2,...

стью определения функции f. Множество всех значений y = f(x) (x X) называется множеством значений функ является неограниченной, так как каково бы ни было число ции. Например, функция y = 1 - x2 определена на отрезM > 0 найдётся такое xn = n2, что xn > M.

ке [-1; 1], т.е. областью определения является множество X = [-1; 1]. Множеством значений функции в данном слуПредел последовательности. Число a называется пречае является отрезок Y = [0; 1].

делом последовательности {xn}, если > 0 N0 N Функция, все значения которой равны между собой, натакой, что n > N0 |xn - a| <. Для обозначения предела зывается постоянной. Постоянную функцию часто обознаиспользуется выражение чают буквой C.

Функция f, определенная на множестве X, называется a = lim xn.

ограниченной, если M > 0 такое, что n Последовательность, имеющая предел, называется сходя x X |f(x)| M.

щейся, а последовательность, не имеющая предела, расходящейся. Например, функция y = cos x является ограниченной на R, Например, так как x R | cos x| 1, lim = 0, n n а функция y = tg x не является ограниченной на интервале так как при возрастании n выражение 1/n становится как (-/2, /2), так как не существует числа M > 0 такого, угодно малым.

чтобы Приведем основные свойства сходящихся последова x -, | tg x| M.

2 тельностей.

1) Сходящаяся последовательность имеет только один Предел функции. Число b называется пределом функпредел.

ции f в точке x = a (или при x a), если для любой последовательности {xk}, сходящейся к a, соответствующая 2) Сходящаяся последовательность ограничена. Однако последовательность значений функции {f(xk)} сходится к ограниченная последовательность не обязательно схоb. Для обозначения предела функции f в точке x = a исдится. Например, последовательность пользуется формула 1, -1, 1,..., (-1)n-1,...

lim f(x) = b.

xa ограниченна, но расходится.

Приведем основные свойства пределов функций. Пусть 3) Пусть lim xn = a и lim yn = b. Тогда: функции f и g имеют в точке a пределы b и c:

n n lim f(x) = b, lim g(x) = c.

(a) lim (xn yn) = a b, xa xa n (b) lim xnyn = ab, Тогда n xn a (c) lim = (при условии, что b = 0). 1) lim f(x) g(x) = b c, n xa yn b 2) lim f(x)g(x) = bc, 2n2 + n + xa Пример 2. Найти lim.

n - nf(x) b Р е ш е н и е. При n числитель и знаменатель стремят- 3) lim = (при условии c = 0).

xa g(x) c ся к бесконечности. Следовательно, непосредственно применить свойство о пределе частного нельзя. Поэтому необx2 + Пример 3. Найти lim.

ходимо преобразовать общий член этой последовательноxx + сти, разделив числитель и знаменатель на n2 (на n в макР е ш е н и е. Так как симальной степени). Получим lim (x + 2) = lim x + lim 2 = 0 + 2 = 2 = 0, 1 x0 x0 x1 1 lim 2 + + 2n2 + n + 1 2 + + n n2 n n nlim = lim = = 1 1 то предел знаменателя не равен нулю, и, следовательно, n - 1 1 lim 1 n nn2 n nприменимо свойство 3). Поэтому 1 lim 2 + lim + lim n n2 + 0 + n n n lim (x2 + 1) lim x2 + lim = = = 2.

1 x2 + x0 x0 xlim 1 - lim 1 - lim = = = nn n xx + 2 lim (x + 2) lim x + lim x0 x0 x0 + 1 Понятие функции. При изучении явлений природы, = =.

физических, экономических и др. процессов часто встреча- 0 + 2 ются с совокупностью переменных величин, которые свяx3 - заны между собой так, что значения одних величин поПример 4. Найти lim.

x1 - x2 + x ностью определяют значения других. Например, площадь круга S однозначно определяется значением его радиуса с Р е ш е н и е. Поскольку помощью формулы S = r2.

Пусть X и Y два произвольных множества действи- lim (x2 + x - 2) = lim x2 + lim x - lim 2 = 1 + 1 - 2 = 0, x1 x1 x1 xтельных чисел X R, Y R. Если каждому элементу x из множества X по некоторому правилу f поставлен в то свойство предела частного здесь применить нельзя. Одсоответствие определенный элемент y из множества Y, то нако заметим, что и говорят, что задана функция f. Для функции используется lim (x3 - 1) = lim x3 - lim 1 = 1 - 1 = 0.

обозначение y = f(x).

x1 x1 xГоворят, что здесь имеем неопределённость вида 0/0. Так Второй замечательный предел задаётся равенством как при рассмотрении предела функции в точке x = 1 ее аргумент принимает значения близкие к единице, но не равx lim (1 + x) = e, e = 2,71828....

xные ей, то Его следствия:

x3 - 1 (x - 1)(x2 + x + 1) lim = lim = x1 - 2 (x x1 - 1)(x + 2) x2 + x ln(1 + x) ex - lim = 1, lim = 1.

x0 xx2 + x + 1 3 x x = lim = = 1.

xx + 2 4x 2x - Пример 9. Найти lim.

9x2 + x + x - 2x Пример 5. Найти lim.

x x2 + Р е ш е н и е. Имеем неопределённость вида 1, так как Р е ш е н и е. Числитель и знаменатель в отдельности при x неограниченно возрастают (неопределённость 2x - lim = 1, lim 4x =.

/). Поэтому непосредственно перейти к частному преx - x 2x делов на основании свойств предела нельзя. Преобразуем функцию, стоящую под знаком предела. Разделим числи- Выделяя у дроби целую часть, получим тель и знаменатель на x в наибольшей степени, т.е. в данном 4x 4x 2x - 3 2x - 1 - случае, x2. Имеем lim = lim = x - 1 2x x - 2x 1 9x2 + x + 1 9 + + 9 + 0 + x x4x lim = lim = = 9.

9 -x x x2 + 9 1 + 1 + = lim 1 + = xx 2x - 2x3 + 3x + 2x-1 -4x Пример 6. Найти lim.

-2 2x--x 11x2 + 5x + = lim 1 + = x 2x - Р е ш е н и е. Как и в предыдущем примере, разделим чис- 2x-1 4x литель и знаменатель на x в наибольшей степени. Получим 2x---3 2x3 + 3x + 2 2 + + = lim 1 +.

x2 xlim = lim. x 2x - 11 5 x x 11x2 + 5x + 3 + + x x2 xВ этом выражении предел знаменателя равен нулю, в то Так как время как предел числителя нулю не равен. В таких слу-2 - -чаях считают, что предел всей дроби равен бесконечности.

x lim = lim = = 0, x - x - 2 - Поэтому 2x x 2x3 + 3x + 2 2 + 0 + то выражение в больших скобках стремится к числу e и lim = =.

x 11x2 + 5x + 3 0 + 0 + 4x -2 -8x 2x - 3 lim 4x lim x + 13 - 4 2x-1 2x-x x lim = e = e = Пример 7. Найти lim.

x - 2x x3 - x-8 -lim Р е ш е н и е. Получим в числителе разность квадратов.

2-1/x x 2-= e = e = e-4 =.

ex + 13 - 4 x + 13 + x + 13 - lim = lim = Число e имеет экономическую интерпретацию. При x3 - x3 - 9) x + 13 + x(xнепрерывном начислении процентов зависимость суммы (x + 13) - вклада в банке S(t) от времени t имеет вид = lim = x3 - 3)(x + 3) x + 13 + (x S(t) = S0ept, x - = lim = x3 - 3)(x + 3) x + 13 + (x где S0 начальная величина вклада в момент t = 0, p пара1 метр определяющий скорость роста вклада.

= lim = = x(x + 3) x + 13 + 4 (3 + 3) 3 + 13 + 1 = =.

4 Теория дифференцирования 6 (4 + 4) Понятие производной. Если мы хотим получить предЗамечательные пределы. Первым замечательным преставление, как быстро изменяется значение функции при делом называется следующее равенство изменении независимого переменного в окрестности точки sin x x, то должны сопоставить или сравнить каким-то образом lim = 1.

xx приращение аргумента x и приращение функции y. С целью более глубокого изучения функции, исследования Приводимые ниже пределы являются его следствиями скорости изменения ее значений вводится понятие произtg x arcsin x arctg x lim = 1, lim = 1, lim = 1. водной одно из важнейших понятий математики.

x0 x0 xx x x Производной функции y = f(x) в точке x называетsin 4x ся предел отношения приращения функции в этой точке к Пример 8. Найти lim.

xsin 8x приращению аргумента при стремлении последнего к нулю.

Р е ш е н и е. Для обозначения производной используется символ f (x).

Таким образом, по определению sin 4x sin 4x 4x sin 4x 4x 4x lim = lim = lim = f(x + x) - f(x) x0 x0 sin 8x x0 sin 8x sin 8x f (x) = lim. (1) 8x x0 x 8x 8x sin 4x Операцию нахождения производной называют дифференlim 1 1 1 x4x цированием.

= = =.

sin 8x 2 2 1 lim Пример 1. Найти производную функции f(x) = x2.

x8x / y N Р е ш е н и е. Находим приращение функции.

l N f(x + x) // f(x + x) - f(x) = (x + x)2 - x2 = N = x2 + 2xx + (x)2 - x2 = 2xx + (x)2.

Находим предел (1).

M f(x + x) - f(x) 2xx + (x)f(x ) lim = lim = x0 x x0 x = lim (2x + x) = 2x + 0 = 2x.

xТо есть x (x2) = 2x.

x x + x 0 Если такую же операцию проделать со всеми основными элементарными функциями, то получится следующая Угловой коэффициент секущей MN равен таблица производных.

f(x0 + x) - f(x0) f(x0 + x) - f(x0) 1) c = 0, 2) (x) = x-1, kMN = =.

(x0 + x) - x0 x 3) (ax) = ax ln a, 4) (log x) =, x ln a Если устремить приращение аргумента x к нулю, то уг5) (sin x) = cos x, 6) (cos x) = - sin x, ловой коэффициент секущей MN будет стремиться к угло1 вому коэффициенту k касательной l, то есть 7) (tg x) =, 8) (ctg x) = -, cos2 x sin2 x f(x0 + x) - f(x0) 1 k = lim kMN = lim = f (x0).

9) (arcsin x) =, 10) (arccos x) = -, x0 x0 x 1 - x2 1 - x1 Таким образом искомая касательная проходит через точку 11) (arctg x) =, 12) (arcctg x) = -.

Pages:     | 1 | 2 | 3 | 4 |    Книги по разным темам