Книги, научные публикации
Pages: | 1 | ... | 10 | 11 | 12 | В. В. ПРАСОЛОВ ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ 5-е издание, исправленное и дополненное Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации Издательство МЦНМО ОАО Московские учебники ...
-- [ Страница 12 ] --31.44. Пусть A = (a, a-1), B = (b, b-1), C = (c, c-1). Тогда при x = -x0, a, b, c получаем (x0 - x)2 + (x-1 - x-1)2 = 4x2 + 4x-2.
0 Таким образом, числа -x0, a, b, c являются корнями многочлена вида x4 - 2x0x3 +...
Поэтому -x0 + a + b + c = 2x0, т. е. a + b + c = 3x0. Аналогично a-1 + b-1 + c-1 = = 3x-1. Следовательно, точка (x0, x-1) служит не только центром описанной 0 окружности треугольника ABC, но и его центром масс. Это возможно лишь в том случае, когда треугольник ABC равносторонний.
31.45. Пусть ax2 + bxy + cy2 = (px + qy)(rx + sy). Тогда прямые px + qy = и rx + sy = 0 параллельны асимптотам рассматриваемой гиперболы. Эти пря мые ортогональны тогда и только тогда, когда pr + qs = 0, т. е. a + c = 0.
31.46. Для гиперболы доказательство такое же, как для эллипса (см. зада чу 31.6).
31.47. Для гиперболы доказательство такое же, как для эллипса (см. зада чу 31.7).
x0x y0y b 31.48. Касательная - = 1 пересекает асимптоты y = x в точках a2 b2 a - x0 y с координатами x1,2 = a . Поэтому x1x2 = a2. Ясно также, что пло a b щадь рассматриваемого треугольника пропорциональна x1x2.
31.49. Для гиперболы решение такое же, как для эллипса (см. зада чу 31.17).
31.50. Пусть Ч величина того из углов между асимптотами, который содержит гиперболу. Тогда при 90 искомое множество пусто, а при < 90 оно представляет собой окружность (с центром в центре гиперболы), из которой выброшены 4 точки пересечения с асимптотами. Для доказатель ства этого утверждения можно воспользоваться решением задачи 31.18.
31.51. П е р в о е р е ш е н и е. Пусть X Ч точка данной коники, отличная от точек A, B, C и D. Выберем числа и так, что 1 lAB(X)lCD(X) + lBC(X)lAD(X) = 0, 1 602 Глава 31. Эллипс, парабола, гипербола и рассмотрим кривую, заданную уравнением f1 = 0, где f1 = lABlCD + lBClAD.
1 Эта кривая задаётся уравнением второй степени и проходит через точки A, B, C, D и X. Но если кривая второй степени пересекает конику в пяти различных точках, то эта кривая совпадает с данной коникой (задача 31.74), а значит, f = f1, где Ч некоторое число.
В т о р о е р е ш е н и е. Введём косоугольную систему координат с осями AB и AD. Тогда прямые AB и AD задаются уравнениями y = 0 и x = соответственно, а уравнение f = 0, задающее окружность, является уравнением второй степени относительно x и y.
Ограничения функций f и lABlCD + lBClAD = ylCD + xlBC на любую из осей координат являются квадратными трёхчленами с двумя общими корнями (A и B, или A и D). Поэтому числа и можно подобрать так, что многочлен P(x, y) = f(x, y) - ylCD(x, y) - xlBC(x, y) обращается в нуль как при x = 0, так и при y = 0. Это означает, что он делится на xy, т. е. P(x, y) = qxy, где q Ч константа. В точке C многочлен P обращается в нуль, а xy = 0. Поэтому q = 0, т. е.
f = lABlCD + lBClAD.
31.52. Рассмотрим шестиугольник ABCDEF, вершины которого лежат на конике f = 0. Четырёхугольники ABCD, AFED и BEFC вписаны в эту конику, поэтому f можно представить в любом из следующих видов:
f = lABlCD + lADlBC, (1) 1 f = lAFlED + lADlEF, (2) 2 f = lBElCF + lBClEF. (3) 3 Приравнивая выражения (1) и (2), получаем lABlCD 1 - lAFlED = ( lBC - lEF)lAD.
1 Пусть X Ч точка пересечения прямых AB и ED. В точке X обращаются в нуль функции lABlCD и lAFlED, а функция lAD в этой точке в нуль не обра щается. Следовательно, в точке X обращается в нуль функция lBC - lEF, 1 т. е. точка X лежит на прямой lBC = lEF. Аналогично доказывается, что 1 точка пересечения прямых CD и AF лежит на прямой lBC = lEF. Очевидно 1 также, что точка пересечения прямых BC и EF лежит на прямой lBC = lEF.
1 В результате получаем требуемое утверждение.
31.53. а) Продолжим рассуждения из решение задачи 31.52 дальше. При равнивая (2) и (3), получим, что точки пересечения прямых AF и BE, ED и CF, AD и BC лежат на прямой lAD = lBC. А приравняв (1) и (3), 2 получим, что точки пересечения прямых AB и CF, CD и BE, AD и EF лежат на прямой lAD = lEF. Легко проверить, что полученные прямые 1 lBC = lEF, lAD = lBC, lAD = lEF 1 2 2 3 1 пересекаются в одной точке. В самом деле, если X Ч точка пересечения пер вых двух из этих прямых, то lBC(X)lAD(X) = lEF(X)lBC(X).
1 2 2 Сократив на lBC(X), получим lAD = lEF (мы не будем останавливаться на 2 1 обсуждении вырожденного случая, когда lBC(X) = 0).
Решения задач б) При доказательстве теоремы Штейнера исходными четырёхугольниками были ABCD, AFED и BEFC. Можно исходить также из четырёхугольников ABFE, ABDC и CDFE. Тогда получим теорему Киркмана.
31.54. Пусть f = 0 Ч уравнение данной окружности. Согласно задаче 31. f = lKLlMN + lKNlML. Это равенство выполняется и для ограничений всех рассматриваемых функций на прямую AB. Введём на прямой AB коорди нату x, приняв точку O за начало координат. Тогда можно считать, что f = x2 - a и lKLlMN = x2, поэтому lKNlML = bx2 - c. Следовательно, корни урав нения lKNlML = 0 равноудалены от точки O.
31.55. Пусть для определённости P = P, Q = Q и R = R. Согласно зада че 31. lKLlMN + lKNlML = f = lK L lM N + lK N lM L.
Рассмотрев ограничение этого равенства на прямую AB, получим равенство вида (x - p)(x - r) + (x - r)(x - s) = (x - p)(x - r) + (x - q)(x - s ). (1) При этом требуется доказать, что s = s.
Равенство (1) можно преобразовать к виду (x - p)(x - r) = (x - q)[ (x - s) - (x - s )].
Точка Q может совпасть только с точкой S, поэтому Q = P и Q = R, а значит, (x - p)(x - r) не делится на (x - q). Поэтому (x - s) - (x - s ) = 0. Следова тельно, s = s.
31.56. Согласно задаче 31.45 линейная комбинация уравнений гипербол с перпендикулярными асимптотами тоже является уравнением гиперболы с перпендикулярными асимптотами. В пучке же коник, проходящих через A, B, C и H, есть две вырожденные коники с перпендикулярными асимпто тами: lABlCH и lBClAH. Следовательно, согласно задаче 31.51 все коники этого пучка будут гиперболами с перпендикулярными асимптотами.
31.57. На направление осей коники влияют лишь квадратичные члены её уравнения, поэтому будем учитывать только их. Можно считать, что уравнение одной из коник имеет вид ax2 + by2 +... = 0. Если линейная ком бинация этого уравнения и уравнения a1x2 + b1y2 + c1xy +... = 0 имеет вид x2 + y2 +... = 0, то c1 = 0, т. е. оси коник перпендикулярны. Пусть наоборот a - b c1 = 0. Положим = - (случай a1 = b1 соответствует окружности). Тогда a1 - b a + a1 = b + b1. Остаётся заметить, что если a + a1 = b + b1 = 0, то рассмат риваемые коники имеют не более двух общих точек, так как среди линейных комбинаций их уравнений есть линейное уравнение.
31.58. Коника, проходящая через точки A, B, C и D, имеет уравнение F = 0, где F = lAB lCD + lBC lAD. Как видно из решения задачи 31.1, центр этой коники задаётся системой уравнений, которые линейны по x, y и. Вы разив из одного уравнения и подставив это выражение во второе уравнение, получим уравнение второго порядка, связывающее x и y.
31.59. а) Пусть точки C и D симметричны точкам C и D относительно середины M отрезка AB. Тогда точки A, B, C, D, C, D лежат на одной конике с центром M, поэтому M принадлежит Г.
604 Глава 31. Эллипс, парабола, гипербола Пусть O Ч точка пересечения прямых AB и CD. Точка O служит центром вырожденной коники, состоящей из пары прямых AB и CD. Поэтому O при надлежит Г.
б) Середины сторон четырёхугольника ABCD образуют параллелограмм, центр которого совпадает с центром масс точек A, B, C, D. Этот параллело грамм вписан в конику Г, поэтому его центр совпадает с центром коники.
в) Следует из а).
г) Фиксируем в рассматриваемом пучке коник одну конику, отличную от окружности и параболы. Из задачи 31.57 следует, что оси всех остальных коник будут перпендикулярны осям фиксированной коники. (Оси коники взаимно перпендикулярны, поэтому оси всех остальных коник параллельны осям фиксированной коники.) Среди коник пучка есть эллипс и есть гиперболы двух разных типов: ветвь гиперболы, содержащая точку A, может содержать либо точку B, либо точ ку D. Поэтому среди коник пучка есть две параболы, причём их оси взаимно перпендикулярны. Центрами этих двух парабол служат бесконечно удалённые точки двух взаимно перпендикулярных направлений.
31.60. Результат задачи 31.51 можно применять и в том случае, когда некоторые пары точек сливаются, т. е. коники не только проходят через дан ную точку, но и касаются друг друга в этой точке.
Пусть p1 = 0 и p2 = 0 Ч уравнения общих касательных к коникам Г и Г в точках A и B, q = 0 Ч уравнение прямой AB. Тогда уравнения коник Г и Г1 можно представить в виде f = p1p2 + q2 = 0 и f1 = p1p2 + q2 = 0.
1 Домножив f1 на /, можно считать, что =, а значит, f1 = f + q2.
1 Аналогично f2 = f + r2, где r = 0 Ч уравнение прямой CD. Рассмотрим урав нение f1 - f2 = 0, т. е. q2 - r2 = 0. Ему удовлетворяют четыре общие точки коник Г1 и Г2. С другой стороны, это уравнение разлагается в произведение линейных уравнений q + r = 0 и q - r = 0. Следовательно, прямые q r = 0 содержат общие хорды коник Г1 и Г2.
Ясно также, что точка пересечения этих прямых совпадает с точкой пере сечения прямых q = 0 и r = 0.
31.61. Рассмотрим отображение z az + bz. В координатах (x, y), где x + iy = z, это отображение аффинное, причём его определитель равен |a|2 - |b|2.
Образом окружности |z| = 1 при невырожденном аффинном отображении будет эллипс, а при вырожденном Ч отрезок или точка.
31.62. Несложные вычисления показывают, что (c2 + d2)x2 - 2(ac + bd)xy + (a2 + b2)y2 = (ad - bc)2.
Ясно также, что координаты всех точек рассматриваемой кривой ограничены.
Если ad = bc, то получаем эллипс, а если ad = bc Ч отрезок.
31.63. Пусть вершина A скользит по оси Ox, а вершина B Ч по оси Oy.
Опустим из вершины C высоту CH на сторону AB. Пусть AH = q, CH = h и BAO =. Тогда точка C имеет координаты x = h sin + (c - q) cos, y = q sin + h cos.
Поэтому согласно задаче 31.62 точка C движется по кривой (q2 + h2)x2 - 2chxy + h2 + (c - q)2 y2 = h2 - q(c - q).
Поэтому если h2 = q(c - q), то точка C движется по эллипсу.
Решения задач Угол C прямой тогда и только тогда, когда (h2 + q2) + h2 + (c - q)2 = c2, т. е. h2 = q(c - q).
З а м е ч а н и е. Если угол C прямой, то точка C движется по отрезку (см. задачу 2.5).
31.64. Точка X, равноудалённая от точки A и окружности радиуса R с центром O, должна удовлетворять соотношению OX - AX = R в случае, когда точка A расположена вне данной окружности, и соотношению OX + AX = R в случае, когда точка A расположена внутри данной окружности. В случае, когда точка A лежит на данной окружности, точка X должна лежать на луче OA.
31.65. Центр окружности, проходящей через данную точку A и касающей ся данной окружности S, равноудалён от точки A и окружности S. Поэтому можно воспользоваться результатом задачи 31.64.
31.66. Прямая AtBt задаётся уравнением x - 1 - t 1 + t + 1 - t = =, y - 1 - t 1 + t - 1 + t t т. е.
2 x x y = 1 - t2 + tx = - t - + + 1.
2 При фиксированном x, когда t пробегает все действительные значения, y при нимает все значения, не превосходящие (x2/4) + 1. Таким образом, искомое множество задаётся неравенством y (x2/4) + 1.
31.67. Выберем систему координат так, чтобы прямая l задавалась уравне нием x = 0, а точка O имела координаты (1, 0). Точка X = (x, y) принадлежит искомому множеству тогда и только тогда, когда окружность с диаметром OX пересекает прямую l. Это означает, что расстояние от центра этой окружности до прямой l не превосходит её радиуса, т. е.
2 2 y x + 1 x - +.
2 2 Таким образом, искомое множество задаётся неравенством y2 4x.
31.68. Будем называть преобразованием подобия композицию собственно го движения и гомотетии. Пусть X1 и X2 Ч два положения точки X;
X и X Ч положения точки X в те же моменты времени. Существует един ственное преобразование подобия, переводящее X1 в X, а X2 в X. Это 1 преобразование в любой момент времени переводит точку X в соответству ющую точку X. Пусть O Ч центр рассматриваемого преобразования подобия, OH Ч высота треугольника XOX. Точка H получается из X некоторым пре образованием подобия, поэтому H движется по некоторой прямой. Учитывая, что XX OH, получаем такое же множество, как и в задаче 31.67.
31.69. Можно считать, что центр окружности S расположен в начале ко ординат, а точка O имеет координаты (c, 0). Точка A = (x, y) принадлежит искомому множеству тогда и только тогда, когда окружность S пересекает окружность S1 с диаметром AO. Пусть a Ч радиус окружности S, R Ч радиус окружности S1, d Ч расстояние между центрами этих окружностей. Окруж ности S и S1 пересекаются тогда и только тогда, когда из отрезков a, d, R можно составить треугольник, т. е.
(R - a)2 d2 (R + a)2.
606 Глава 31. Эллипс, парабола, гипербола Учитывая, что 4d2 = (x + c)2 + y2 и 4R2 = (x - c)2 + y2, приходим к неравенству a2 - 2Ra cx 2Ra + a2, которое эквивалентно неравенству (cx - a2)2 4a2R2, т. е.
(c2 - a2)x2 - a2y2 a2(c2 - a2).
31.70. Можно считать, что уравнение коники имеет вид A(z2 + z2) + Bzz + Cz + Cz + D = 0. (1) В самом деле, эллипс и гиперболу можно задать уравнением A(z2 +z2)+Bzz= (при B < 2A получаем эллипс, а при B > 2A получаем гиперболу);
параболу можно задать уравнением z2 + z2 + 2zz + 2iz - 2iz = 0.
k Пусть u Ч центр правильного треугольника с вершинами u + v, где k = 1, 2, 3 и = exp(2 i/3). Если этот треугольник вписан в конику (1), то k числа zk = u + v, k = 1, 2, 3, удовлетворяют соотношению (1). Сложив три таких равенства, получим A(u2 + u2) + B(uu + vv) + Cu + Cu + D = 0 (2) 1 2 (мы воспользовались тем, что + + = 0). Подставим в (1) значение z = z3 = u + v и вычтем из (2) полученное соотношение. В результате получим Re(Fv + Av2) = 0, где F = 2Au + Bu + C. Проделав аналогичные вычисления для z = z1 = u + v, получим Fv + Av2 = 0. Так как v = 0, то при A = |v|2 = |2Au + Bu + C|2A-2;
(3) случай A = 0 соответствует окружности. Подставив (3) в (2), получим уравне ние требуемой коники.
Отметим, что вторая коника совпадает с исходной тогда и только тогда, когда B = 0, т. е. в случае равнобочной гиперболы.
31.71. Фиксируем на данной конике точку (x0, y0). Для фиксированно го t рассмотрим прямую y = y0 + t(x - x0). Эта прямая проходит через точку (x0, y0). Найдём остальные точки пересечения прямой и коники (как мы сейчас выясним, прямая почти всегда пересекает конику ещё ровно в од ной точке). Подставим выражение y = y0 + t(x - x0) в уравнение коники.
В результате получим уравнение вида A(t)x2 + B(t)x + C(t) = 0, где A(t), B(t), C(t) Ч многочлены;
например A(t) = ct2 + a. Точки пересечения рассмат риваемой прямой и коники соответствуют корням полученного квадратного уравнения. Одну точку пересечения мы знаем Ч это фиксированная точка (x0, y0). Поэтому уравнение A(t)x2 + B(t)x + C(t) = 0 имеет корень x0. Второй B(t) P(t) корень мы находим по теореме Виета: x1 = -x0 - = ;
здесь P(t) Ч сно A(t) A(t) P(t) Q(t) ва многочлен. Далее, y = y0 + t - x0 =, где Q(t) Ч многочлен.
A(t) A(t) Мы получили взаимно однозначное соответствие между точками коники и параметром t (тангенсом угла наклона прямой) за исключением некоторых особых случаев.
1) Вертикальная прямая может пересекать конику, но ей не соответствует никакой конечный параметр t (можно считать, что ей соответствует t = ).
Решения задач 2) Для исключительных значений параметра t коэффициент A(t) = ct2 + a может обращаться в нуль. В таком случае квадратное уравнение превращается в линейное уравнение, у которого нет второго корня. В этом случае прямая пересекает конику лишь в одной точке (можно считать, что вторая точка пересечения бесконечно удалённая).
Отметим, что совпадение корней квадратного уравнения соответствует то му, что рассматриваемая прямая Ч касательная к конике.
31.72. Подставим выражение y = t(x - 1) в уравнение окружности. В ре зультате получим уравнение (1 + t2)x2 + (-2t2)x + t2 - 1 = 0. Произведение t2 - корней этого уравнения равно, причём один корень равен 1. Поэтому t2 + t2 - 1 -2t другой корень равен. Далее, y = t(x - 1) =. В итоге получаем для t2 + 1 t2 + t2 - 1 -2t окружности рациональную параметризацию,.
t2 + 1 t2 + 31.73. Для многочлена A(t) = ct2 + a это видно непосредственно. Для каждого фиксированного прямая x = пересекает конику не более чем в двух точках, поэтому уравнение P(t) = A(t) имеет не более двух корней.
Следовательно, степень многочлена P не превосходит 2. Для многочлена Q доказательство аналогично.
31.74. Пусть ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey = f Ч уравнение одной коники, P(t) Q(t) а, Ч рациональная параметризация второй коники. Тогда точки A(t) A(t) их пересечения соответствуют корням уравнения aP2 + 2bPQ + cQ2 + 2dPA + 2eQA - fA2 = 0.
Согласно задаче 31.73 степень этого уравнения не превосходит 4. (Вообще говоря, мы могли бы получить уравнение вида g = 0, где g Ч некоторое число.
Но это соответствует либо случаю двух совпадающих коник, либо случаю непересекающихся коник.) Остаётся заметить, что уравнение, степень которого не превосходит 4, имеет не более 4 корней.
З а м е ч а н и е. Если речь идёт не о кониках, а о произвольных кривых второго порядка, то несовпадающие вырожденные кривые второго порядка могут иметь общую прямую.
31.75. Пусть точки A, B, C не лежат на одной прямой. Достаточно до казать, что имеется лишь конечное число точек P, расстояния от которых до A, B и C Ч целые числа. Пусть k Ч наибольшее из чисел AB и BC.
Тогда |PA - PB| AB k. Геометрическим местом точек P, для которых |PA - PB| = d, является гипербола с фокусами A и B. Так как 0 d k, точка P расположена на одной из k + 1 гипербол с фокусами A и B (одна из этих гипербол вырождается в прямую). Аналогично точка P расположена на одной из k + 1 гипербол с фокусами B и C. Поскольку две гиперболы имеют не более четырёх общих точек (задача 31.74), а гиперболы с общими фокусами вообще не имеют общих точек, то всего имеется не более 4(k + 1) точек пересечения гипербол.
31.76. Пусть коника задана уравнением px2 + qy2 + rz2 + sxy + txz + uyz = 0. (1) Эта коника проходит через точку (1, 0, 0) тогда и только тогда, когда p = 0.
608 Глава 31. Эллипс, парабола, гипербола Коника (1) касается прямой x = 0 тогда и только тогда, когда выражение qy2 + rz2 + uyz является полным квадратом, т. е. u = 2 qr.
З а м е ч а н и е 1. Уравнение эллипса касающегося всех сторон треугольни ка, можно записать в виде p1 x + q1 y + r1 z = 0, где p1 = p и т. д.
З а м е ч а н и е 2. В барицентрических координатах уравнения вписанной и описанной коники имеют такой же вид (хотя сами коэффициенты будут другими).
31.77. Если две точки имеют абсолютные барицентрические координаты (,, ) и (,, ), то середина отрезка с концами в этих точках 1 1 1 2 2 + + + 1 2 1 2 1 имеет абсолютные барицентрические координаты,,.
2 2 Поэтому в абсолютных барицентрических координатах симметрия относитель но точки (,, ) задаётся формулой 0 0 (,, ) (2 -, 2 -, 2 - ).
0 0 Таким образом, нужно проверить, что если + + =1 и p +q +r =0, то p(2 - )(2 - ) + q(2 - )(2 - ) + r(2 - )(2 - ) = 0, (1) 0 0 0 0 0 r(p + q - r) где = и т. д. Равенство (1) эквивалентно равен 2pq + 2pr + 2qr - p2 - q2 - r ству 2p + 2q + 2r = (p + q ) + (p + r ) + (q + r ). (2) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Выражение в левой части равенства (2) равно 2pqr(2pq + 2pr + 2qr - p2 - q2 - r2) 2pqr =.
(2pq + 2pr + 2qr - p2 - q2 - r2)2 2pq + 2pr + 2qr - p2 - q2 - r 2pqr Далее, p + q = = p + r = q + r. А так 0 0 0 0 0 2pq + 2pr + 2qr - p2 - q2 - r как + + = 1, то выражение в правой части равенства (2) тоже равно 2pqr.
2pq + 2pr + 2qr - p2 - q2 - r 31.78. Если прямая не проходит через вершины треугольника, то в три линейных координатах она задаётся уравнением px + qy + rz = 0, где числа p, q, r отличны от нуля. Её образ при изогональном сопряжении задаётся урав p q r нением + + = 0, т. е. pyz + qxz + rxy = 0. Это уравнение задаёт некоторую x y z конику, проходящую через вершины треугольника.
Прямая, проходящая через вершину A, задаётся уравнением qy + rz = 0, Её образ при изогональном сопряжении задаётся уравнением x(ry + qz) = 0.
Это уравнение задаёт две прямые: x = 0 (прямая BC) и ry + qz = 0 (эта прямая симметрична исходной прямой относительно биссектрисы угла A).
31.79. а) При изогональном сопряжении описанная окружность переходит в бесконечно удалённую прямую (задача 2.95). Поэтому количество точек пе ресечения с бесконечно удалённой прямой образа прямой l при изогональном сопряжении равно количеству точек пересечения прямой l с описанной окруж ностью. Ясно также, что коника является эллипсом, если она не пересекает Решения задач бесконечно удалённую прямую;
параболой Ч если касается;
гиперболой Ч если пересекает в двух точках.
б) Рассмотрим аффинное преобразование, переводящее треугольник ABC в правильный треугольник A B C. Для правильного треугольника изотоми ческое сопряжение одновременно является изогональным сопряжением. Ясно также, что изотомическое сопряжение инвариантно относительно аффинных преобразований. Поэтому задача б) следует из задачи а).
31.80. а) Согласно задаче 31.78 рассматриваемая кривая является коникой, проходящей через вершины треугольника. Нужно лишь доказать, что эта коника является равнобочной гиперболой.
П е р в о е р е ш е н и е. При изогональном сопряжении точка O переходит в ортоцентр. Если коника проходит через вершины треугольника и его орто центр, то она Ч гипербола с перпендикулярными асимптотами (задача 31.56).
В т о р о е р е ш е н и е. При изогональном сопряжении точки описанной окружности переходят в бесконечно удалённые точки (задача 2.95). Легко также видеть, что если точки P1 и P2 лежат на описанной окружности тре угольника ABC и прямые, симметричные прямым APi, BPi и CPi относительно биссектрис углов A, B и C, параллельны прямой li, то угол между прямыми l1 и l2 равен углу P1AP2. Поэтому диаметрально противоположным точкам P1 и P2 соответствуют перпендикулярные прямые l1 и l2.
б) Это непосредственно следует из задачи 31.59 в), поскольку рассматрива емая коника проходит через вершины треугольника и его ортоцентр.
31.81. а) Сначала найдём уравнение прямой OK в трилинейных координа тах. Точка O имеет трилинейные координаты (cos A : cos B : cos C), а точка K имеет трилинейные координаты (a : b : c). Легко проверить, что обе эти точки лежат на прямой bc(b2 - c2)x + ac(c2 - a2)y + ab(a2 - b2)z = 0.
Поэтому гипербола Киперта (изогонально сопряжённая этой прямой) задаётся уравнением bc(b2 - c2) ac(c2 - a2) ab(a2 - b2) + + = 0, x y z т. е. bc(b2 - c2)yz + ac(c2 - a2)xz + ab(a2 - b2)xy = 0.
б) В барицентрических координатах гипербола Киперта задаётся уравне нием (b2 - c2) + (c2 - a2) + (a2 - b2) = 0.
31.82. Будем считать, что 0 < /2 в случае треугольников, по строенных внешним образом, и - /2 < 0 в случае треугольников, по строенных внутренним образом. Точка C1 имеет трилинейные координаты sin( + ) : sin( + ) :
- sin, поэтому прямая CC1 задаётся уравнением x sin( + ) = y sin( + ). Таким образом, точка с трилинейными координа тами sin( + ) sin( + ) : sin( + ) sin( + ) : sin( + ) sin( + ) является точкой пересечения прямых AA1, BB1 и CC1. Нужно проверить, что изогонально сопряжённая ей точка sin( + ) : sin( + ) : sin( + ) лежит на прямой OK, т. е.
bc(b2 - c2)(sin cos + cos sin ) +... = 0.
610 Глава 31. Эллипс, парабола, гипербола Но bc(b2 - c2) sin +... = 0 и bc(b2 - c2) cos +... = 0, поскольку точки K и O лежат на рассматриваемой прямой.
31.83. Уравнение гиперболы Киперта получено в решении задачи 31.81.
Поэтому, воспользовавшись задачей 31.77, получим, что барицентрические координаты центра гиперболы Киперта равны (b2 - c2)2 : (c2 - a2)2 : (a2 - b2)2.
Соответственно, его трилинейные координаты равны (b2 - c2)2 (c2 - a2)2 (a2 - b2) : :.
a b c 31.84. Сначала найдём уравнение прямой Эйлера в трилинейных ко ординатах. Точка пересечения медиан имеет трилинейные координаты 1 1 : :, а точка пересечения высот имеет трилинейные координа sin sin B sin C A 1 1 ты : :. Легко проверить, что обе эти точки лежат на прямой cos A cos B cos C sin 2A cos(B - C)x + sin 2B cos(C - A)y + sin 2C cos(A - B)z = 0.
Поэтому гипербола Енжабека (изогонально сопряжённая этой прямой) задаётся уравнением sin 2A cos(B - C) sin 2B cos(C - A) sin 2C cos(A - B) + + = 0.
x y z ДОПОЛНЕНИЕ Кубические уравнения, связанные с треугольником Для любого треугольника несложно доказать соотношение A p - a = r ctg, где p Ч полупериметр, r Ч радиус вписанной окружности. В самом де ле, пусть u = AC1 = AB1, v = BC1 = BA1, w = CA1 = CB1 (рис. Д1). Тогда b + c - a u + v = c, v + w = a, w + u = b. Поэтому u = = p - a. Остаётся A заметить, что AB1 = r ctg.
Рис. Д Воспользуемся теоремой синусов и заменим a на 2R sin A, где R Ч радиус описанной окружности. В результате получим A p = 2R sin A + r ctg.
Рассмотрим для треугольника с некоторыми значениями p, R и r уравнение p = 2R sin + r ctg. (1) 612 Дополнение Это уравнение имеет корни = A, = B, = C Ч величины углов 1 2 треугольника. Можно ожидать, что уравнение (1) в каком-то смысле является кубическим уравнением.
В уравнение (1) входят sin и ctg( /2). Их можно выразить через какую-нибудь одну тригонометрическую функцию. Например, 2 tg( /2) sin =, ctg( /2) =.
tg( /2) 1 + tg2( /2) Поэтому при x = tg( /2) уравнение (1) принимает вид 4Rx r p = +, 1 + x2 x т. е.
4R + r r x3 - x2 + x - = 0. (2) p p Уравнение (2) имеет корни x1 = tg(A/2), x2 = tg(B/2), x3 = tg(C/2).
В том случае, когда эти числа различны, по теореме Виета получаем A B C 4R + r tg + tg + tg =, 2 2 2 p A B B C C A tg tg + tg tg + tg tg = 1, 2 2 2 2 2 A B C r tg tg tg =.
2 2 2 p С помощью предельного перехода легко убедиться, что эти формулы остаются справедливыми и в том случае, когда среди чисел tg(A/2), tg(B/2), tg(C/2) есть равные.
Выразим теперь sin и ctg( /2) через x = cos :
sin 1 - x sin = 1 - cos2 = 1 - x2, ctg = =.
2 1 - cos 1 - x Подставив эти выражения в уравнение (1), получим r p = 1 - x2 2R +.
1 - x При x = 1 это уравнение приводится к виду r p2 + r2 - 4R2 p2 - (2R + r) x3 - 1 + x2 + x - = 0.
R 4R2 4R Следовательно, r cos A + cos B + cos C = 1 +, R p2 + r2 - 4R cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A =, 4R p2 - (2R + r) cos A cos B cos C =.
4R Дополнение Легко проверить, что при x = 2R sin уравнение (1) принимает вид x3 - 2px2 + (p2 + 4Rr + r2)x - 4Rrp = 0.
Поэтому a + b + c = 2p, ab + bc + ca = p2 + 4Rr + r2, abc = 4Rrp.
Аналогичным образом sin и tg( /2) можно выражать через другие тригонометрические функции и подставлять эти выражения в уравнение (1).
При x = tg получаем уравнение (p2 - (2R + r)2)x3 - 2prx2 + (p2 - 4Rr - r2)x - 2pr = 0.
При x = sin2( /2) получаем уравнение 16R2x3 - 8R(2R - r)x2 + (p2 + r2 - 8Rr)x - r2 = 0.
При x = cos2( /2) получаем уравнение 16R2x3 - 8R(4R + r)x2 + (p2 + (4R + r)2)x - p2 = 0.
Точки пересечения диагоналей правильных многоугольников Известно довольно много задач про треугольники с целочисленны ми углами. Вот два примера таких задач.
З а д а ч а 1. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC угол при вершине A равен 80. Внутри треугольника взята точка M так, что MBC = 30 и MCB = 10 (рис. Д2, a). Докажите, что AMC = 70.
Рис. Д 614 Дополнение З а д а ч а 2. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC угол при вершине B равен 20. На сторонах BC и AB взяты точки D и E соответственно так, что DAC = 60 и ECA = 50 (рис. Д2, б).
Докажите, что ADE = 30.
Задачи такого типа обычно бывают связаны с точками пересече ния троек диагоналей правильных многоугольников, в данном слу чае Ч правильного восемнадцатиуголь ника.
Обратимся к рис. Д3. Этот рисунок показывает, что задача 1 эквивалентна следующему утверждению:
в правильном восемнадцатиугольни ке диагонали A1A13, A3A14 и A6A15 пе ресекаются в одной точке.
В самом деле, если эти диагонали пе ресекаются в некоторой точке M, то A1MA6 = ( A1A6 + A13A15) = = 50 + 20 = 70.
Рис. Д Ясно также, что углы треугольника A1A6A14 равны 80, 50, 50 и MA14A6 = 30, MA6A14 = 10.
Что же касается задачи 2, то она эквивалентна следующему утверждению: в правильном восемнадцатиугольнике диагонали A1A14, A7A16 и A11A17 пересекаются в одной точке (рис. Д4).
Рис. Д4 Рис. Д Но задачу 2 можно решить и с помощью совсем другой трой ки пересекающихся диагоналей, а именно, диагоналей A1A13, A3A и A6A15 (рис. Д5). В качестве треугольника ABC мы берём треуголь ник A14OA15. Диагонали A1A13 и A9A15 симметричны относительно Дополнение диаметра A5A14, поэтому обе диагонали пересекают диаметр в одной точке.
Но мы пока не доказали, что тройки диагоналей на рис. Д3ЧД действительно пересекаются в одной точке. Проверять, пересекаются ли тройки диагоналей в одной точке, удобно с помощью следующего утверждения.
Т е о р е м а. На сторонах треугольника ABC взяты точки A1, B1, C1 (A1 на BC и т. д. ). Отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда sin BAA1 sin ACC1 sin CBB = 1.
sin CAA1 sin BCC1 sin ABB Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим сначала, что отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке O (рис. Д6). Тогда 2SAOB : 2SAOC = (AB AO sin BAO) : (AC AO sin CAO).
Следовательно, AB CA BC SAOB SCOA SBOC sin BAO sin ACO sin CBO 1 = = , SAOC SCOB SBOA AC CB BA sin CAO sin BCO sin ABO т. е.
sin BAA1 sin ACC1 sin CBB = 1.
sin CAA1 sin BCC1 sin ABB Предположим теперь, что для точек A1, B1 и C1 выполняет ся указанное соотношение. Пусть O Ч точка пересечения отрезков AA1 и BB1. Нужно доказать, что отрезок CC1 проходит через точку O.
Иными словами, если C Ч точка пересечения прямых CO и AB, то C = C1. Отрезки AA1, BB1 и CC пересека 1 ются в одной точке, поэтому, как только что было доказано, sin BAA1 sin CBB1 sin ACC = 1.
sin CAA1 sin ABB1 sin BCC Сравнив эту формулу с условием теоремы, получим sin ACC1 : sin BCC1 = sin ACC : sin BCC.
1 Остаётся доказать, что при движении точки X по отрезку AB величина Рис. Д sin ACX : sin BCX изменяется монотонно.
Сами углы ACX и BCX изменяются монотонно, но их синусы могут быть не монотонными в случае тупого угла C. Это не беда. В любом треугольнике есть острый угол, и мы с самого начала могли бы взять в качестве угла C острый угол треугольника. Доказательство теоремы завершено.
616 Дополнение Теперь проверка того, что тройка диагоналей, изображённая на рис. Д3, пересекается в одной точке, сводится к проверке тождества sin 10 sin 30 sin = 1.
sin 70 sin 20 sin Доказать его несложно:
sin 30 sin 40 = sin 40 = sin 20 cos 20 = sin 20 sin 70.
Тройка диагоналей, изображённая на рис. Д3, соответствует тожде ству sin 20 sin 40 sin 20 = sin 30 sin 60 sin 10.
Есть ещё три тождества, приводящих к тройкам пересекающихся диагоналей:
sin 10 sin 20 sin 80 = sin 20 sin 20 sin 30, sin 20 sin 30 sin 30 = sin 10 sin 40 sin 50, sin 10 sin 20 sin 30 = sin 10 sin 10 sin 100.
Проверку этих тождеств мы оставляем читателю.
Обратите внимание, что перестановка сомножителей в таких тожде ствах приводит к совсем другим тройкам пересекающихся диагоналей.
Наш интерес к восемнадцатиугольни ку, а не к какому-либо другому правиль ному многоугольнику, связан с тем, что именно к нему приводят треугольники с углами, кратными 10. Среди всех пра вильных многоугольников, число вершин которых меньше 18, интересные наборы пересекающихся диагоналей есть лишь у двенадцатиугольника. Например, диаго нали A1A5, A2A6, A3A8 и A4A11 правиль ного двенадцатиугольника пересекаются в одной точке (рис. Д7). Это утверждение Рис. Д эквивалентно следующей хорошо извест ной задаче.
З а д а ч а 3. Внутри квадрата ABCD взята точка P так, что тре угольник ABP равносторонний. Докажите, что PCD = 15.
Упражнения 1. Дан треугольник ABC с углами A = 50, B = 60, C = 70.
а) На сторонах BA и AC взяты точки D и E так, что DCB = EBC = 40.
Докажите, что AED = 30.
Дополнение б) На сторонах BA и BC взяты точки D и E так, что DCA = и EAC = 40. Докажите, что AED = 30.
2. В треугольнике ABC углы A, B и C равны 14, 62 и 104. На сторонах AC и AB взяты точки D и E соответственно так, что DBC = и ECB = 94. Докажите, что CED = 34.
3. Докажите, что диагонали A1An+2, A2n-1A3 и A2nA5 правильного 2n-уголь ника пересекаются в одной точке.
4. Докажите, что диагонали A1A7, A3A11 и A5A21 правильного 24-угольни ка пересекаются в точке, лежащей на диаметре A4A16.
5. Докажите, что в правильном тридцатиугольнике семь диагоналей A1A13, A2A17, A3A21, A4A24, A5A26, A8A29, A10A пересекаются в одной точке.
Кубические кривые, связанные с треугольником Каждому треугольнику можно многими разными способами сопо ставить кубическую кривую, т. е. кривую, заданную уравнением вида aijxiyj = 0.
i+j Некоторые из таких кубических кривых обладают интересными гео метрическими свойствами. Эти кубические кривые, или кубики, обыч но называют по именам геометров, впервые их исследовавших: кубика Дарбу, кубика Томсона, кубика Нейберга, кубика Мак-Кэя.
Наиболее интересные свойства кубик, связанных с треугольником, так или иначе используют изогональное сопряжение относительно этого треугольника. Поэтому наше изложение будет опираться на свойства изогонального сопряжения. Мы будем также пользоваться трилинейными координатами. Несложно понять, что в трилинейных координатах (x : y : z) кубическая кривая задаётся уравнением вида cijkxiyjzk = 0.
i+j+k= Первоначально кубики, связанные с треугольником, определялись посредством разнообразных геометрических конструкций. Но наиболее известные из этих кубик можно получить единой конструкцией1.
Эта конструкция основывается на следующем утверждении.
Т е о р е м а 1. Пусть на плоскости задана точка F. Для данного треугольника ABC рассмотрим всевозможные пары изогонально со пряжённых точек P и Q, для которых прямая PQ проходит через Cundy H. M., Parry C. F. Some cubic curves associated with a triangle // Journal of Geometry. 1995. V. 53. P. 41Ч66.
618 Дополнение точку F. Тогда точки P и Q заметают кубическую кривую, кото рая проходит через вершины треугольника, через центры вписанной и трёх вневписанных окружностей, а также через саму точку F.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть точка F имеет трилинейные координа ты (f1 : f2 : f3). Если точка P имеет трилинейные координаты (x : y : z), то точка Q, изогонально сопряжённая с ней, имеет трилинейные коор динаты (x-1 : y-1 : z-1), т. е. (yz : zx : xy). Поэтому условие, что точки P, Q, F лежат на одной прямой, запишется в виде f1 f2 f x y z = 0, yz zx xy т. е.
f1x(y2 - z2) + f2y(z2 - x2) + f3z(x2 - y2) = 0. (1) Легко проверить, что точка F = (f1 : f2 : f3), точки A = (1 : 0 : 0), B = (0 : 1 : 0), C = (0 : 0 : 1) и точки I = (1 : 1 : 1), Ia = (-1 : 1 : 1), Ib = (1 :
-1 : 1), Ic = (1 : 1 :
-1) лежат на кривой, заданной урав нением (1), т. е. координаты указанных точек удовлетворяют этому уравнению.
Непосредственно из геометрического определения кривой (1) видно, что она переходит сама в себя при изогональном сопряжении. В самом деле, если точка P лежит на кривой (1), то изогонально сопряжённая с ней точка Q тоже лежит на кривой (1).
Точку F, с помощью которой строится кубическая кривая (1), будем называть центром вращения для этой кривой.
Кубика Дарбу Центром вращения для этой кривой служит точка H, симметричная точке пересечения высот H относительно центра описанной окружно сти O. Легко проверить, что точка H имеет трилинейные координаты (cos - cos cos : cos - cos cos : cos - cos cos ), где,, Ч углы треугольника.
В трилинейных координатах кубика Дарбу задаётся уравнением (cos - cos cos )x(y2 - z2) +... = 0.
(Мы написали только коэффициент при x(y2 - z2);
коэффициенты при y(z2 - x2) и при z(x2 - y2) записываются очевидным образом.) Кубика Дарбу проходит через следующие точки: ортоцентр и центр описанной окружности.
Кубика Дарбу допускает следующее геометрическое описание.
Т е о р е м а 2. Пусть A1, B1, C1 Ч проекции точки D на прямые BC, CA, AB. Точка D лежит на кубике Дарбу тогда и только тогда, когда прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке.
Дополнение Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно теореме Чевы прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда AC1 BA1 CB1 = C1B A1C B1A, где AC1 и т. д. Ч ориентированные длины отрезков (т. е. числа AC и C1B имеют один и тот же знак, если точка C1 лежит на отрез ке AB, а если точка C1 лежит вне отрезка AB, то эти числа имеют противоположные знаки).
Пусть (x, y, z) Ч абсолютные трилинейные координаты точки D, т. е. x, y, z Ч расстояния от точки D до прямых BC, CA, AB с учётом z cos + y знака. Легко проверить, что AC1 = и т. д. Поэтому прямые sin AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда (z cos + y)(y cos + x)(x cos + z) = (z cos + x)(x cos + y)(y cos + z).
Полученное уравнение легко преобразуется в уравнение кубики Дарбу.
З а м е ч а н и е 1. Если равенство AC1 BA1 CB1 = C1B A1C B1A выполняется для некоторой точки D, то такое же равенство выпол няется и для точки D, симметричной точке D относительно центра описанной окружности. Поэтому кубика Дарбу симметрична относи тельно центра описанной окружности.
З а м е ч а н и е 2. Несложно доказать, что прямые AA1, BB1, CC пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда существует кривая второго порядка, касающаяся сторон треугольника (или их продолжений) в точках A1, B1, C1.
Кубика Томсона Центром вращения для этой кривой служит центр масс M. На помним, что центр масс треугольника имеет трилинейные координаты (bc, ca, ab).
В трилинейных координатах кубика Томсона задаётся уравнением bcx(y2 - z2) + cay(z2 - x2) + abz(x2 - y2) = 0.
По-другому это уравнение можно записать в виде (cos + cos cos )x(y2 - z2) +... = 0.
Кубика Томсона проходит через следующие точки: ортоцентр и центр описанной окружности, середины сторон, середины высот.
Из замечания 2 к теореме 2 видно, что кубика Дарбу допускает следующее геометрическое описание. Рассмотрим всевозможные кри вые второго порядка, касающиеся сторон данного треугольника или 620 Дополнение их продолжений. Выделим среди них те кривые второго порядка, для которых перпендикуляры к сторонам треугольника в точках ка сания пересекаются в одной точке. Тогда точки пересечения этих перпендикуляров заметают кубику Дарбу. Можно доказать, что цен тры выделенных таким образом кривых второго порядка заметают кубику Томсона.
Кубика Мак-Кэя Центром вращения для этой кривой служит центр описанной окружности O. Напомним, что центр описанной окружности имеет трилинейные координаты (cos : cos : cos ).
В трилинейных координатах кубика Мак-Кэя задаётся уравнением cos x(y2 - z2) + cos y(z2 - x2) + cos z(x2 - y2) = 0.
Кубика Мак-Кэя проходит через следующие точки: ортоцентр и центр описанной окружности.
Т е о р е м а 3. Пусть вершины треугольника расположены в точ ках a, b, c единичной окружности на комплексной плоскости. Точка, соответствующая комплексному числу z, лежит на кубике Мак-Кэя тогда и только тогда, когда выполняется равенство (z - a)(z - b)(z - c) = abc(az - 1)(bz - 1)(cz - 1).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть точки z и w изогонально сопряжены относительно данного треугольника. Тогда согласно теореме Морли (задача 29.45) точки z и w связаны соотношением z + w + abczw = a + b + c. (2) Следовательно, z + w + abczw = a + b + c. (3) Умножим обе части соотношения (3) на abcz и вычтем из полученного выражение соотношение (2). В результате получим a + b + c - z - (a + b + c - z)abcz w =. (4) 1 - |abcz| По определению кубики Мак-Кэя прямая zw проходит через центр описанной окружности, т. е. через начало координат. Это означает, что w/w = z/z. Выразив w/w с помощью соотношения (4), после несложных преобразований получим требуемое уравнение.
С л е д с т в и е. Кубика Мак-Кэя пересекает описанную окруж ность треугольника в трёх точках, являющихся вершинами пра вильного треугольника. (Мы учитываем только точки пересечения, отличные от вершин исходного треугольника.) Д о к а з а т е л ь с т в о. Будем считать, что вершины треугольни ка расположены в точках единичной окружности на комплексной Дополнение плоскости. Тогда для точки z, лежащей на описанной окружности тре угольника, выполняется равенство z = z-1. Поэтому точки пересечения кубики Мак-Кэя с описанной окружностью удовлетворяют уравнению (z - a)(z - b)(z - c) = -z-3abc(z - a)(z - b)(z - c).
Если исключить вершины треугольника, то останутся точки, удовле творяющие соотношению z3 = -abc. Эти точки образуют правильный треугольник.
Будем считать, что PQR Ч величина угла, на который нужно # - повернуть против часовой стрелки вектор QP так, чтобы он стал сона # - правлен с вектором QR.
Т е о р е м а 4. Точка M лежит на кубике Мак-Кэя тогда и толь ко тогда, когда MAB + MBC + MCA = + k.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Снова будем считать, что вершины тре угольника расположены на единичной окружности на комплексной плоскости. Положим = MAB, = MBC, = MCA. Пусть z Ч ком плексное число, соответствующее точке M. Тогда b - a z - a az - = e2i, т. е. e2i = -b.
z - a - a z - a b Поэтому (az - 1)(bz - 1)(cz - 1) e2i( + + ) = -abc.
(z - a)(z - b)(z - c) Таким образом, точка z лежит на кубике Мак-Кэя тогда и только тогда, когда e2i( + + ) = -1, т. е. + + = + k.
Легко проверить, что MAB + MBC + MCA + MAC + MCB + MBA = (2n + 1).
Поэтому точка M лежит на кубике Мак-Кэя тогда и только тогда, когда MAB + MBC + MCA = MAC + MCB + MBA + 2l.
Отметим без доказательства следующее свойство кубики Мак-Кэя, которое обобщает теорему Фейербаха: описанная окружность тре угольника, вершинами которого служат основания перпендикуляров, опущенных из любой точки кубики Мак-Кэя на стороны треугольни ка ABC (или на их продолжения), касается окружности девяти точек треугольника ABC.
622 Дополнение Кубика Нейберга Центром вращения для этой кривой служит бесконечно удалённая точка прямой OH. Иными словами, кубика Нейберга состоит из таких пар изогонально сопряжённых точек P и Q, что прямая PQ параллель на прямой OH.
В трилинейных координатах кубика Нейберга задаётся уравнением (cos - 2 cos cos )x(y2 - z2) +... = 0.
Кубика Нейберга является бесспорным лидером по количеству замечательных точек треугольника, через которые она проходит.
Действительно, эта кривая проходит через следующие точки: центр описанной окружности;
ортоцентр;
вершины правильных треугольни ков, построенных на сторонах треугольника ABC (как внешним, так и внутренним образом);
точки, симметричные вершинам треугольни ка ABC относительно его сторон;
две точки, из которых стороны треугольника ABC видны под углом 60 или 120 (изогональные центры треугольника);
две точки, для которых выполняется соотно шение AX BC = BX CA = CX AB (изодинамические центры треуголь ника).
Другое описание кубик Для рассмотренных выше кубик Дарбу, Томсона, Мак-Кэя и Ней берга центр вращения лежит на прямой Эйлера OH. Кубики, цен тры вращения которых лежат на прямой Эйлера, можно построить и посредством другой геометрической конструкции2. Эта конструкция основывается на следующем утверждении.
Т е о р е м а 5. Пусть A1, B1, C1 Ч основания перпендикуляров, опущенных из точки P на прямые BC, CA, AB, а треугольник A2B2C2 получен из треугольника A1B1C1 гомотетией с центром P и коэффициентом k. Тогда при фиксированном k = 0 точки P, для которых прямые AA2, BB2, CC2 пересекаются в одной точке, заме тают кубическую кривую.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть (x : y : z) Ч трилинейные координаты точки P. Тогда точка A2 имеет трилинейные координаты (1 - k)x : y + kx cos : z + kx cos.
Поэтому прямая AA2 задаётся линейным уравнением с коэффици ентами (0, -z - kx cos, y + kx cos ). Следовательно, прямые AA2, BB2, CC2 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда Pinkernell G. M. Cubic curves in the triangle plane // Journal of Geometry. 1996. V. 55.
P. 141Ч161.
Дополнение обращается в нуль определитель 0 -z - kx cos y + kx cos z + ky cos 0 -x - ky cos = -y - kz cos x + kz cos = k(cos - k cos cos )x(y2 - z2) +...
При k = 1 получаем кубику Дарбу, при k = -1 Ч кубику Томсона, а при k = 2 Ч кубику Нейберга. Если подходить формально, то кубика Мак-Кэя этой конструкцией не охватывается. Но естественно считать, что она относится к случаю k = 0.
Посмотрим теперь по-другому на конструкцию, изложенную в фор мулировке теоремы. А именно, фиксируем точку P и будем считать число k переменным. Для каких точек P прямые AA2, BB2, CC будут пересекаться в одной точке при всех k? И какие кривые будут заметать точки пересечения этих прямых?
Прямые AA2, BB2, CC2 при всех k пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда точка P при всех k лежит на кубике (cos - k cos cos )x(y2 - z2) +... = 0.
Девять таких точек нам известны: A, B, C, I, Ia, Ib, Ic, H, O. Две кубические кривые, пересекающиеся в конечном числе точек, не могут иметь более девяти общих точек. Поэтому какие-то другие точки P могут обладать требуемым свойством лишь в исключительных слу чаях. Например, в случае правильного треугольника этим свойством обладают все точки, лежащие на высотах или их продолжениях.
Если P = A, B, C или H, то прямые AA2, BB2, CC2 при всех k пере секаются в точке P. Интересные случаи соответствуют только центрам окружностей Ч описанной, вписанной и вневписанных.
Т е о р е м а 6. а) Если P = O, то точки пересечения прямых AA2, BB2, CC2 заметают прямую Эйлера OH.
б) Если P = I (P = Ia), то точки пересечения прямых AA2, BB2, CC2 заметают гиперболу, изогонально сопряжённую прямой OI (прямой OIa).
Д о к а з а т е л ь с т в о. а) Пусть прямые AA2, BB2, CC2 пересека ются в точке с трилинейными координатами (x : y : z ). Уравнение прямой AA2 показывает, что y y + kx cos cos + k cos cos = =, z z + kx cos cos + k cos cos поскольку точка O имеет трилинейные координаты (x : y : z) = = (cos : cos : cos ). Поэтому (x : y : z ) = (cos + k cos cos : cos + k cos cos : cos + k cos cos ).
Все такие точки лежат на прямой OH.
624 Дополнение б) Ограничимся разбором случая P = I. В этом случае (x : y : z) = = (1 : 1 : 1), поэтому y y + kx cos 1 + k cos = =.
z z + kx cos 1 + k cos Таким образом, точка, изогонально сопряжённая точке (x : y : z ), имеет трилинейные координаты (1 + cos : 1 + k cos : 1 + k cos ).
Все такие точки лежат на прямой OI.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Антипараллель 5.151Ч5.153, 5.158Ч гипербола с. 583;
31.41Ч31.50, 31.81Ч 5.161 31.84, 31. асимптота гиперболы с. 584;
31.41, Ч Енжабека с. 592;
31. 31.45, 31.48, 31.56, 31.59 Ч Киперта с. 592;
31.81Ч31. Ч равнобочная с. гомотетия с. 388;
2.28, 4.12, 4.56, 5.7, Биссектриса 1.13, 1.17, 1.28, 1.57 а), 5.99, 5.107, 5.126, 5.129, 5.159 б), 2.4 а), 2.20 а), 2.25, 2.28, 2.35, 2.44, 5.165, 6.29, 7.27Ч7.30, 8.15, 8.16, 2.68Ч2.72, 2.95, 2.96, 3.44, 4.35, 4.48, 8.52, 8.74, 12.81, 17.2, 17.26, 19.1Ч 4.57, 5.14, 5.22, 5.42, 5.54Ч5.56, 5.70, 19.26, 20.13, 20. 5.74Ч5.76, 5.104, 5.107, 6.42, 6.100, Ч поворотная с. 388;
2.89, 5.108 б), 7.48, 10.17Ч10.22, 10.78, 10.91, 10.98, 5.145, 18.32, 19.27Ч19. 12.37, 16.1, 28. Ч внешнего угла 1.17, 1.57 б), 3.72 б), Двенадцатиугольник 4.64, 6.61, 6. 5.38, 5.54, 5.156, 17. движение с. Ч второго рода с. Векторы 6.26, 6.69Ч6.81, 9.78, 13.1Ч Ч несобственное с. 13. Ч первого рода с. Ч сторон многоугольников 13.1Ч13. Ч собственное с. восьмиугольник 4.61, 9.47 б) делимость 23.9, 23. высота 1.20, 1.53Ч1.60, 1.64, 2.1, десятиугольник 8. 2.20 б), 2.51, 2.56, 2.63, 2.64, 2.68Ч диаметр Брокара с. 395;
19. 2.70, 2.93, 3.72 а), 4.52, 4.58, 5.5, 5.7, Ч гиперболы с. 5.9, 5.47 а), 5.59, 5.165, 6.6, 6.100, Ч эллипса с. 7.25, 9.26, 10.8Ч10.16, 10.77, 10.81, диаметры сопряжённые гиперболы с. 10.83, 10.91, 12.35, 12.36, 18. Ч Ч эллипса с. 584;
31.11, 31.16, вычисления 12.52Ч12. 31.19, 31.20, 31. директриса гиперболы с. Ч параболы с. 587;
31.33, 31.37Ч31. Геометрическое место точек (ГМТ) Ч эллипса с. 585;
31. с. 183;
2.5, 2.39, 3.58, 7.1Ч7.51, 12.82, 14.21 а), 15.16, 18.12, 18.15, 19.10, 19.22, 19.39, 30.37, 30.39 а) Задача Аполлония 28. ГМТ Ч прямая 2.39, 3.45, 3.58, 6.5, 6.17, Ч Брахмагупты 5.45, 8. 7.1Ч7.10, 7.28, 7.30, 8.6, 12.82, 15.16, Ч о бабочке 2.66, 2.99, 30.43, 30.48, 30.24, 30.37 31. ГМТ Ч окружность 2.14, 2.67 б), 5.156, Ч о луночках Гиппократа 3. 7.11Ч7.18, 7.27, 7.29, 14.21 а), 18.15, Ч Штейнера 30. 28.23, 28.24 задачи на максимум и минимум 2.84, ГМТ с ненулевой площадью 7.37Ч7.40, 6.74, 11.1Ч11.48, 15.1, 15.3, 18.22, 18.12, 31.66Ч31.69 18.31, 20.17, 20. 626 Предметный указатель замощение с. 479 10.7, 10.52, 10.54, 10.65, 10.77, 10.79, 10.92, 13.1, 13.2, 16.1, 17.17, 18.2, 18. Изогональное сопряжение (см. точки метод ГМТ 4.17, 6.5, 6.17 б), 7.31Ч7.36, изогонально сопряжённые) 8.1Ч8.6, 8. изогонический центр треугольника Ч координат 3.58, 3.75, 7.6, 7.14, 7.49, с. 332;
14. 12.79Ч12.82, 18.26, 22.36, 30. изодинамический центр треугольника Ч усреднения 13.42Ч13. с. 185;
7.16, 7.17, 28. многоугольник 4.50, 6.1Ч6.106, 9.36, инварианты с. 453;
23.11Ч23. 9.52, 9.77Ч9.90, 11.3Ч11.37, 13.16, инверсия с. 517;
28.1Ч28.42, 29.33, 13.19, 16.21, 17.28Ч17.30, 17.35, 29.35, 29.36, 29. 17.36, 18.45, 19.8, 20.11, 20.13, 20.18, индукция 2.13, 5.119 б), 13.26, 22.8Ч 23.15, 24. 22.13, 22.32 б), 22.41, 22.44, 22.50, Ч аффинно правильный с. 536;
4.9, 23.40Ч23.42, 24.17, 25.24, 25.26, 13.10, 29.7, 29.10, 29.43, 29. 25.33, 25.36, 25.39, 25.57, 26.4, 26.20, Ч вписанный с. 151;
1.45, 2.12, 2.13, 27.1Ч27.5, 28.37, 28. 2.62, 5.119 а), 6.82Ч6.86, 9.36, 11.36, 11.48 б), 13.38, 22. Касательная с. 55;
1.21 а), 1.61, 1.65, Ч выпуклый с. 151, 430;
3.71, 4.38, 1.67, 2.22Ч2.31, 3.1Ч3.9, 3.28Ч3.34, 4.39, 4.51, 6.92Ч6.96, 7.34, 9.19, 9.21, 7.7, 7.9, 7.13, 7.24, 7.26, 14.47Ч14.49, 9.22, 9.29 б), 9.44, 9.49, 9.54, 9.58Ч 19. 9.60, 9.77Ч9.86, 9.89, 9.90, 10.67, касающиеся окружности 2.28, 3.6, 11.37, 13.4, 13.7, 13.43, 13.45, 13.47, 3.16Ч3.24, 3.46, 3.52, 5.66, 5.67, 7.13, 13.49, 13.56, 14.51, 16.8, 18.29, 19.6, 12. 19.9, 20.10, 20.34, 21.10, 21.11, 22.1Ч квадрат 1.19, 1.41, 1.42, 1.47, 2.6, 22.13, 23.13, 23.19, 23.30, 23.33, 2.37, 2.58, 2.97, 4.25, 4.42, 5.26, 5.27, 26.10, 27.2, 27.8, 27. 5.32 б), 5.59, 5.60, 6.43, 6.50, 6.61, Ч описанный с. 151;
4.40 б), 4.54, 7.20, 8.45, 9.37, 9.45, 9.95, 12.64, 6.87Ч6.91, 11.46 б), 19. 12.65, 12.67, 12.82, 18.1, 18.3Ч18.8, Ч невыпуклый 9.29 а), 9.94, 22.37Ч 18.12, 18.38Ч18.40, 19. 22.50, 23.1, 23. комбинаторика 21.27Ч21.29, 25.6, Ч правильный с. 151;
2.9, 2.49, 4.28, 27.6Ч27. 4.61, 4.64, 6.39, 6.45, 6.48Ч6.51, композиция гомотетий 19.23Ч19. 6.58Ч6.81, 8.69, 9.51, 9.79, 9.87, Ч параллельных переносов с. 9.88, 10.66, 11.46, 11.48, 13.15, 17.32, Ч поворотов 18.37Ч18. 18.34, 19.48, 23.8, 24.2, 25.3, 25.4, Ч симметрий 6.57 б), 17.22Ч17. 27.11, 30. коника с. многоугольники гомотетичные 19.1Ч19. координаты барицентрические с. 328;
Ч подобные с. 14.32Ч14.43, 31.81, 31.83, 31. момент инерции с. 325;
14.19Ч14.26, Ч Ч абсолютные с. 23. Ч трилинейные с. 331;
14.50Ч14.59, монотонность 4.23, 12.62, 22. 31.78, 31.81, 31.83, 31. Ч Ч абсолютные с. Непрерывность 4.39, 6.50, 6. коэффициент гомотетии с. неравенства 4.37, 4.38, 4.54, 4.60, кривые постоянной ширины 13. 5.141, 6.42, 6.52 а), 6.71, 7.33Ч7.36, 9.1Ч9.98, 13.21Ч13.28, 13.42Ч13.47, Лемма Шпернера 23. 13.49, 14.25Ч14.27, 15.3 а), 15.8, ломаные внутри квадрата 9.61Ч9. 17.16Ч17.21, 19.7, 20.1, 20.4, 20.6, луночки Гиппократа с. 56;
3. 20.7, 29.41 а) Ч для элементов треугольника 10.1Ч Медиана 1.4, 1.27, 1.37, 1.51, 2.7, 10. 2.68Ч2.70, 4.1, 4.59, 5.17, 5.19Ч5.24, неравенство Брунна с. 5.42, 5.107, 5.163, 9.1Ч9.5, 10.1Ч Ч БруннаЧМинковского с. Предметный указатель неравенство изопериметрическое с. 432;
18.30, 19.7, 19.15, 19.49, 19.53 а), 22.20, 22.22, 22.23, 22.30 а) 28.27, 28.29, 28.35, 28.36, 31. Ч Йиффа 5.146 б) Ч подерная (педальная) с. 115;
5.125, Ч между средним арифметическим 5. и средним геометрическим с. Ч подобия с. 394;
19.53Ч19. Ч Пидо 10. Ч Тукера 5.159Ч5. Ч Птолемея 9.70, 29.37 а) Ч Схоуте 5. Ч треугольника 6.93, 9.6Ч9.31, 10.95, Ч ФермаЧАполлония 7.49Ч7. 13.43, 20. ориентированное отношение отрезков Ч ЭрдёшаЧМорделла 4.60 в) с. ортоцентр (см. точка пересечения высот) ось гиперболы с. Оболочка выпуклая с. 409;
9.29, 9.50, Ч параболы с. 584;
31.30Ч31.32, 31.34, 13.49, 20.22, 20.23, 20.25Ч20.28, 31. 22.1Ч22.4, 24. Ч подобия с. окружности вписанные в сегмент 3.43Ч Ч Ч треугольника с. 3.48, 5.102, 6.104, 19.15, 28.23, 28. Ч радикальная двух окружностей с. 63;
Ч гомотетичные 19.10Ч19. 3.54Ч3.82, 8.90, 14.56 б), 28. Ч касающиеся 1.65, 2.28, 2.31, 3.16Ч Ч симметрии с. 361;
14.28, 17.31Ч 3.24, 28.33, 28.35, 28. 17. окружность 1.65Ч1.67, 2.2, 2.9Ч2.11, Ч эллипса с. 2.15, 2.18, 2.20Ч2.33, 2.39, 2.53Ч отношение двойное с. 560;
12.6, 29.36, 2.55, 2.65Ч2.67, 2.96, 2.98, 2.99, 3.1Ч 30.2Ч30.6, 30. 3.75, 4.32, 4.41, 5.1Ч5.17, 5.62, 5.66Ч Ч отрезков ориентированное с. 5.68, 5.73, 5.100, 6.1Ч6.20, 6.31Ч отображение дробно-линейное 30. 6.35, 6.37Ч6.47, 6.51, 7.1, 7.7Ч7.9, 7.11Ч7.21, 7.29, 7.38, 7.40, 8.55Ч 8.67, 14.56, 15.10, 15.11, 15.14, 16.3, 16.6, 16.13, 16.14, 16.18Ч16.20, 17. Парабола с. 584;
31.29Ч31. Ч Аполлония 2.67 б), 7.14, 7.15, 8.63Ч параллелограмм 1.2, 1.6Ч1.8, 1.22Ч 8.67, 19.31, 19.41, 19. 1.24, 1.46, 1.47, 1.49, 2.23, 2.24, 2.30, Ч Ч для треугольника 5.156, 7.16, 7. 2.45, 2.60, 3.7, 3.13, 3.27, 4.19, 4.23, Ч Брокара с. 395;
19.59, 19. 4.26, 4.27, 4.51, 4.55Ч4.57, 4.63, 5.24, Ч вписанная 1.60, 1.61, 2.44, 2.61 б), 6.25, 6.44, 6.48, 7.10 а), 8.6, 9.55, 3.2, 3.3, 3.7, 4.52, 5.1, 5.3, 5.4, 5.8, 9.56, 9.76, 12.14, 13.20, 15.4, 15.7, 5.9, 5.33, 5.92, 5.101, 5.136, 6.11, 6.84, 15.8, 16.17, 18.8, 18.39, 19.47, 25.1, 6.100, 10.53, 10.100, 12.72, 14.47, 25.4, 29.21, 29. 14.54 б), 14.57, 14.58, 17.18, 17.26, перегруппировка площадей 2.77, 3.41, 19.7, 19.11, 19.15, 20.21, 28.31, 30. 4.35, 4.61Ч4.64, 9. Ч вневписанная 3.2, 3.7, 5.2, 5.3, 5.6, перенос параллельный с. 345;
7.5, 15.1Ч 14.48, 14.54 в), 28. 15.17, 16.9, 17.22 а), 17.24, 20. Ч девяти точек с. 116;
3.72, 5.129Ч периметр фигуры с. 5.132, 5.134, 5.137, 13.36 б), 14.55, площадь 1.34Ч1.39, 2.44, 2.58, 2.72, 14.58, 28.31, 31.42, 31.59, 31. 2.73, 2.77, 3.39Ч3.42, 4.1Ч4.75, 5.11, Ч инверсии с. 6.52, 6.55, 6.56, 6.85, 6.87, 7.2, 7.32, Ч Лемуана 5. 8.2, 9.32Ч9.60, 9.73, 10.9, 10.55Ч Ч Нейберга 5. 10.61, 11.2, 11.3, 11.7Ч11.9, 11.12, Ч описанная 1.18, 1.55, 1.60, 2.4 а), 11.14, 11.28, 11.30Ч11.33, 11.46, 2.25, 2.46, 2.52, 2.59, 2.67, 2.71, 11.48, 12.1, 12.3, 12.12, 12.19Ч12.21, 2.72, 2.82Ч2.88, 2.94, 2.95, 3.47Ч 12.72, 12.74, 13.40, 13.55Ч13.59, 15.8, 3.49, 3.52, 3.69, 5.10Ч5.16, 5.71, 5.72, 5.97, 5.102, 5.105Ч5.117, 5.132, 16.5, 17.19, 20.1, 20.7, 20.17, 20.18, 5.140 в), 5.153Ч5.155, 5.164, 6.49 а), 24.7, 24.11, 25.4, 26.13, 26.16, 26.18, 6.98, 7.30, 9.97, 14.40, 14.54 а), 18.28, 29.13, 29.25, 29.41 а) 628 Предметный указатель площадь вспомогательная 1.60, 4.47Ч прямая опорная с. 409;
9.59, 9.60, 20.24, 4.60, 5.5, 5.34, 6.5, 6.31, 6.38, 6.40, 20.28, 22. 6.83, 9.26, 10.6, 10.52, 10.99, 11.21, Ч Паскаля с. 12.35, 22.49 Ч Симсона с. 113;
2.88 б), 2.92, 5.11, Ч ориентированная с. 313 5.72, 5.105Ч5.119, 19.61, 29. Ч треугольника 5.46 б), 5.57, 5.60, Ч Уоллеса (см. прямая Симсона) Ч Эйлера с. 116;
5.12, 5.128, 5.130, 5. 5.131, 5.135, 5.136, 8.34, 29. Ч четырёхугольника 4.43Ч4.46, 11. прямоугольник 1.65 б), 1.66, 2.47, 4.10, поворот с. 373;
1.43, 1.47, 1.52, 4.25, 4.24, 6.16, 6.33, 7.4, 7.22, 7.28, 7.37, 6.69, 6.74, 6.81, 8.45, 17.22 б), 18.1Ч 8.9, 28. 18.48, 19.37, 19. прямые и кривые, делящие фигуры на покрытие с. 479;
20.13, 20.17, 20.28, равновеликие части 2.73, 4.36Ч4.42, 20.34, 22.5, 22.10, 22.24, 22.33, 22.35, 6.55, 6.56, 16.8, 18. 25.48Ч25. пучок коник с. 589;
31.51Ч31. поляра точки относительно окружности Ч окружностей с. 65;
3.76Ч3. с. 60, 563;
3.33, 3.34, 30.37, 30. Ч Ч гиперболический с. поризм Штейнера 28. Ч Ч ортогональный с. последовательность Фарея 24. Ч Ч параболический с. построения 3.37, 3.62, 8.1Ч8.96, 16.13Ч Ч Ч эллиптический с. 16.21, 17.4Ч17.15, 18.11, 18.27, 18.33, пятиугольник 2.62, 4.9, 6.48Ч6.51, 18.45, 19.16Ч19.21, 19.40, 19.41, 6.60, 6.95, 9.24, 9.46, 9.77, 9.78, 10.66, 28.9Ч28.15, 30.50Ч30. 10.70, 12.8, 13.10, 13.59, 20.12, 29. Ч одним циркулем 28.16Ч28. Ч с помощью двусторонней линейки 8.75, 8.84Ч8.90 Равновеликие фигуры с. Ч Ч одной линейки 3.37, 6.105, 8.78Ч равносоставленные фигуры с. 8.83 разрезания 3.71, 4.54, 22.45, 22.46, Ч Ч прямого угла 8.91Ч8.96 23.15, 23.18, 23.19, 23.30, 23.40, предельные точки с. 65 23.41, 25.9Ч25. преобразования аффинные 29.1Ч29.25 Ч на параллелограммы 25.22Ч25. Ч проективные с. 562;
30.1Ч30.58 раскраски 23.36Ч23.42, 24. Ч Ч плоскости 30.13, 30.24Ч30.44, Ч вспомогательные 23.21Ч23. 30.57, 30.58 расстояние наибольшее или наименьшее 9.18, 9.20, 9.58, 17.35, 19.9, 20.8Ч Ч Ч прямой 30.45Ч30. 20.16, 25. примеры и контрпримеры 6.81, 6.92Ч растяжение с. 6.95, 22.37Ч22.39, 22.47, 22.48, 22.50, рациональная параметризация с. 23.38, 24.12, 24.13, 26.13Ч26. решётки целочисленные с. 469;
21.1, принцип Дирихле 21.1Ч21. 21.13, 21.23, 23.4, 23.33, 24.1Ч24. Ч (правило) крайнего с. 407;
9.49, ромб 1.52, 2.43, 2.76, 7.5, 20.19Ч20. 9.57Ч9.59, 13.26, 16.11, 17.35, 19.9, 20.1Ч20. проектирование центральное с. 559, Семиугольник 6.39, 9.82, 17.33, 22. Ч параллельное с. 559;
6.70, 6.78, 7.3, сжатие с. 535;
29. 13.16, 13.37Ч13. симедиана с. 119;
5.149, 5.150, 5.153, проекция стереографическая с. 5.154, 5. произведение псевдоскалярное с. 313;
симметрия осевая с. 361;
1.58, 2.16, 13.50Ч13. 2.42, 2.65, 2.87, 2.93, 2.95, 2.99, 3.69, Ч скалярное с. 308;
6.72, 6.73, 6.75Ч 4.11, 5.10, 5.95, 6.3, 6.6, 6.29, 9.40, 6.80, 6.89, 7.3, 9.78, 10.5, 11.5, 11.11, 11.27, 17.1Ч17.39, 22.22, 22. 13.11Ч13.25 Ч относительно прямой (см. симметрия прямая бесконечно удалённая с. 561 осевая) Ч Гаусса 3.67, 4.56 Ч Ч точки (см. симметрия централь Ч исключительная с. 561, 562;
30.11, ная) 30.13 Ч скользящая с. Предметный указатель симметрия центральная с. 353;
1.39, теорема Птолемея обобщённая 6. 4.41, 4.42, 5.49, 8.13, 8.49, 8.52, 8.53, Ч Рамсея с. 11.7, 11.24, 11.35, 16.1Ч16.21, 22.49 Ч Сильвестра 20. системы окружностей 20.5, 21.18, 23.42, Ч синусов с. 289;
2.87 в), 3.32 б), 4.44, 26.12, 28.39Ч28. 5.27, 5.59, 5.74 а), 5.94, 5.98, 5.120, Ч отрезков 20.30, 21.15, 21.17, 21.19, 12.1Ч12. 22.36, 26.8, 26.9, 26. Ч Тебо 3.49, 3. Ч прямых 20.15, 21.14, 25.5Ч25.12, Ч Фейербаха 14.58, 28. 26.10, 28.37, 28. Ч Хелли 22.32Ч22. системы точек 9.20, 9.50, 9.63, 20.3, Ч Шаля 17.37Ч17. 20.4, 20.8, 20.9, 20.14, 20.16, 20.17, Ч Штейнера 5.126, 31.53 а) 20.22, 20.23, 20.25, 20.27, 20.28, 21.2, Ч Чевы 4.49 б), 5.85Ч5.104, 10.59, 21.3, 21.5, 21.6, 21.8, 21.10, 21.25, 14.7, 14. 21.26, 22.1, 22.8, 22.33, 23.20, 26.1Ч точка бесконечно удалённая с. 26.7, 26.16, 26.20, 27.11, 28.35, 31. Ч Жергонна 5.86, 6.41, 30. соотношения метрические 12.1Ч12. Ч Лемуана с. 119;
5.148, 5.157Ч5.165, средняя линия трапеции с. 6.41, 7.17, 11.22, 19.58Ч19. Ч Ч треугольника с. Ч Микеля 2.88Ч2.92, 19.46, 28.34, степень инверсии с. 28.36, 28. Ч точки относительно окружности с. 63, Ч Нагеля 5.87, 14. 517;
3.55Ч3.58, 3. Ч пересечения биссектрис 1.57 б), 2.34, сумма длин диагоналей четырёхугольни 2.35, 2.48, 2.52, 5.14, 5.50, 7.19 б), ка 9.15Ч9. 8.29 б) Ч Минковского с. Ч Ч высот 1.56, 2.85, 2.89, 2.94, 3.25, суммы векторов 13.29Ч13.36, 13.38, 3.35Ч3.38, 3.66, 3.67, 5.10, 5.31, 5.38, 13. 5.40, 5.51, 5.61 а), 5.88, 5.117, 5.118, 5.128Ч5.130, 6.17, 6.30, 6.36, 7.19 а), Теорема Брианшона 3.73, 5.84, 30.33, 7.42, 8.29 а), 8.30, 8.31, 10.82, 12.76, 30. 13.12 б), 13.13, 13.14, 13.35, 13.58, Ч Бретшнейдера 29. 14.22, 14.35, 15.6, 18.35, 31.38, 31.39, Ч Гаусса 13. 31.43, 31. Ч Дезарга 5.78, 5.80Ч5.84, 30. Ч Ч диагоналей 30.25, 30. Ч Карно 7.41Ч7. Ч Ч медиан 1.50 б), 4.59, 5.128, 5.162, Ч Киркмана 31.53 б) 6.30, 7.27, 10.89, 11.18, 11.19, 12.16, Ч косинусов с. 289;
3.24 б), 4.45, 4.46, 13.33, 13.40, 14.4, 14.6, 14.12, 14.16, 5.9, 5.60, 6.21, 7.9, 7.10, 11.1, 11.4, 14.23, 14.37, 14.39, 19.1, 19.4, 19.10, 12.11Ч12. 19.33, 24.9, 29. Ч Менелая 5.69Ч5.85, 6.106, 14. Ч Торричелли с. 32, 332;
2.8, 11.21, Ч Минковского 24. 14.53, 18.9, 18.22, 31. Ч Морли 5.64, 29. Ч Ферма (см. точка Торричелли) Ч Наполеона 1.48, 18.42, 19.52, 29. Ч Штейнера с. 395, 542;
14.59, 19.61, Ч о группировке масс с. 29. Ч о дважды перспективных треугольни точки Брокара с. 117;
5.138Ч5.145, ках 30. 14.52, 19. Ч о полном четырёхстороннике 30.32, Ч изогонально сопряжённые с. 112;
2.1, 30. 2.95, 5.95Ч5.97, 5.125, 5.127, 5.140 б), Ч о седьмой окружности 5.67, 5. 5.164, 14.41 б), 29.45Ч29.47, 31.14, Ч Паппа 5.79, 5.81Ч5.83, 30.27, 30. 31.78Ч31. Ч Паскаля 5.84, 6.97Ч6.106, 30.33, Ч изотомически сопряжённые с. 112;
30.42, 30.49, 31. 5.93, 14.41 а), 31. Ч Пифагора 3.24 а), 3.39, 3.51, 4.8, 5.28, 5.43, 5.47, 6.51 Ч постоянные подобных фигур с. Ч Помпею 18.23 Ч Ч треугольника с. Ч Птолемея 6.37Ч6.47, 9.70 Ч соответственные с. 630 Предметный указатель трапеция 1.1, 1.10, 1.15, 1.21, 1.35, фокус эллипса с. 584;
31.12Ч31.15, 2.17, 2.32, 2.42, 5.20, 5.23, 6.31, 9.31, 31. 11.31Ч11.33, 12.71, 15.5, 19.2, 19.3, формула Герона с. 291;
5.44, 5.46 б), 19.26, 27.3, 29.23 9.13, 9.39, 10.6, 12.19 б), 12. треугольник 5.1Ч5.165 Ч Пика 24.7Ч24. Ч Брокара с. 395;
14.59, 19.60 Ч Эйлера 5.12 а), 23.15, 23. Ч наибольший 20.19Ч20. Ч пифагоров с. 106;
5.43, 5.45, 5. Центр вневписанной окружности 1.57 б), Ч подерный (педальный) с. 115;
5.120Ч 2.4 а), 2.96, 5.6, 5.12, 5.38 б), 5.132, 5.126, 5.162, 5.163, 14.21 б) 7. Ч подобия с. Ч вписанной окружности 1.30, 2.4 а), Ч постоянный с. 2.52, 2.67 б), 2.96, 3.47Ч3.49, 3.72 б), Ч правильный 1.29, 1.45, 1.46, 1.50 б), 4.40 а), 5.4, 5.7, 5.12Ч5.16, 5.38 б), 1.59, 2.14, 2.16, 2.19, 2.38, 2.47, 5.50, 5.57, 5.132, 6.16, 6.104, 7.47, 2.57, 4.47, 5.28Ч5.34, 5.64, 5.65, 6.48, 9.73, 10.32, 10.82, 11.20, 12.29, 13.41, 6.61, 6.82, 7.16 б), 7.18, 7.23, 7.39, 14.13, 14.35 б), 19.12, 19. 7.47, 10.3, 10.80, 11.3, 14.21 а), 16.7, Ч гомотетии с. 18.10Ч18.16, 18.18Ч18.21, 18.23Ч Ч Ч поворотной 5.145, 19.42Ч19. 18.25, 18.42, 18.43, 24.1, 29.34, 29.42, Ч инверсии с. 29.46, 29.47, 31.44, 31. Ч коники с. Ч прямоугольный 1.40, 1.43, 1.50 а), Ч масс с. 325;
14.1Ч14.59, 19.8, 19.33, 2.5, 2.41, 2.68, 2.69, 3.39, 5.18Ч5.27, 23.20, 31. 5.35, 5.43, 5.46, 5.75, 5.157, 6.82, Ч описанной окружности 1.32, 1.55 б), 11. 2.1, 2.38, 2.51, 2.86, 2.87 в), 2.89, Ч с углом 60 или 120 2.34, 2.35, 2.93, 3.72 б), 4.58, 5.12, 5.13, 5.16, 5.35Ч5.41, 12. 5.17, 5.38 б), 5.40 б), 5.61 а), 5.123, Ч целочисленный 5.42Ч5.47, 26. 5.128, 5.132, 6.40, 7.16 а), 7.17, треугольники ортологические с. 7.51, 10.82, 12.16, 12.79, 13.13, 13.40, Ч подобные с. 11;
1.1Ч1.67, 2.53Ч2.67, 13.41, 14.24, 14.35 а), 15.7, 18.32, 6.35, 7.16 а), 7.26, 8.12Ч8. 18.48, 19.13, 19.58, 19. Ч собственно подобные 29.27, 29. Ч подобия с. Ч равные вспомогательные 1.23, 1.40Ч Ч правильного многоугольника с. 1.52, 3.1, 3.22, 5.15, 5.16, 7.24, 7.25, Ч радикальный с. 63;
3.60Ч3.62, 3.66Ч 8. 3.68, 3.73, 7.17, 8. триангуляция с. 457;
22.9, 23.7, 23.9, Ч симметрии с. 353, 14.29, 17.36, 23.15, 23.16, 23.35, 23.40, 23. 18.25, 22.31, 24.14, 25.1, 25. трисектриса 5. Чёт и нечёт 23.1Ч23. Угол Брокара с. 118;
5.140, 5.141, четыре прямые 2.88, 2.89, 2. 5.146Ч5.148, 14.45, 19. четырёхугольник 1.2, 1.5, 1.16, 1.38, Ч вписанный с. 30;
2.1Ч2.99, 7.19Ч 1.39, 1.52, 2.45, 3.4, 3.67, 4.5, 4.7, 7.23, 8.7Ч8.11, 15.17, 18. 4.14Ч4.25, 4.29, 4.30, 4.33, 4.36, Ч между окружностями с. 55;
3.51, 4.43Ч4.46, 4.56, 5.47 б), 5.80Ч5.82, 3.52, 3.63, 3.80Ч3.82, 19. 6.21Ч6.36, 7.2, 7.10 б), 7.32, 7.36, Ч Ч прямыми с. 8.6, 8.46Ч8.54, 9.33, 9.34, 9.40, 9.65Ч Ч наименьший или наибольший 20.1Ч 9.76, 10.64, 11.29Ч11.34, 13.6, 14.5, 20. 14.8, 14.50, 14.51, 15.12, 15.15, 16.5, Ч ориентированный с. 30, 17.4, 17.19, 18.38, 18.41, 19.1, 20.19Ч узел решётки с. 20.21, 26.14, 26.15, 29.38, 30.24, 30.28, 30.30, 30. Фигура выпуклая с. 430;
24.18, 26.23 Ч вписанно-описанный 2.81, 4.46 в), фокус гиперболы с. 588;
31.46 8. Ч параболы с. 587;
31.33, 31.34, Ч вписанный 1.9, 1.44, 2.15, 2.18, 2.43, 31.36Ч31.40 2.48, 2.73Ч2.81, 2.90, 2.91, 3.10, 3.23, Предметный указатель 3.32, 3.50, 4.46 б), 5.45, 5.118, 6.15Ч 6.52Ч6.56, 6.97, 9.47 а), 9.79Ч9.81, 6.20, 6.24, 6.37, 6.38, 6.101, 6.102, 13.3, 14.6, 18.16, 18.17, 18.24, 18.25, 8.54, 13.35, 13.36, 16.4, 30.44 29.37 а), 30.41, 30. Ч описанный 2.81 б), 3.6, 3.8, 4.46 в), 4.59, 6.1Ч6.14, 6.31, 7.50, 17.5, 30. Эксцентриситет гиперболы с. 588;
31. числа комплексные 29.26Ч29.47, 31.43, Ч эллипса с. 585;
31. 31.61, 31. эллипс с. 583;
31.6Ч31.28, 31.61Ч31. Шестиугольник 1.45, 2.12, 2.21, 2.49, эллипсы Штейнера с. 542;
29.48Ч29.49, 3.73, 4.6, 4.28, 4.31, 5.17, 5.84, 5.98, 31. ПРОГРАММЫ ЭЛЕКТИВНЫХ КУРСОВ ПО ГЕОМЕТРИИ Для элективных занятий по геометрии предлагаются следующие почасовые программы. Отметим, что списки задач приведены с некото рым запасом;
на каждом занятии не обязательно разбирать все задачи.
Тема занятий: избранные задачи планиметрии (18 часов) Занятие 1. 1.1Ч1.6.
Занятие 2. 1.7Ч1.11.
Занятие 3. 1.17Ч1.22.
Занятие 4. 1.34Ч1.38.
Занятие 5. 1.40Ч1.44.
Занятие 6. 1.46Ч1.50.
Занятие 7. 1.53Ч1.57.
Занятие 8. 1.61Ч1.65.
Занятие 9. 2.1Ч2.5, 2.8.
Занятие 10. 2.22Ч2.26.
Занятие 11. 2.32Ч2.37.
Занятие 12. 2.32Ч2.37.
Занятие 13. 2.41Ч2.45.
Занятие 14. 2.53Ч2.57.
Занятие 15. 2.68Ч2.72.
Занятие 16. 4.1Ч4.5.
Занятие 17. 4.8Ч4.10, 4.14, 4.15.
Занятие 18. 4.47Ч4.51.
Тема занятий: геометрия окружностей (12 часов) Занятие 1. Вводные задачи 1Ц4 к главе 3;
3.1Ч3.5.
Занятие 2. 3.10Ч3.15.
Занятие 3. 3.16Ч3.20.
Занятие 4. 3.21Ч3.23, 3.25.
Занятие 5. 3.28Ч3.30, 3.33.
Занятие 6. 3.35Ч3.37, 3.39, 3.40.
Занятие 7. 3.43Ч3.45, 3.51Ч3.53.
Программы элективных курсов по геометрии Занятие 8. 3.54Ч3.58.
Занятие 9. 3.59Ч3.63.
Занятие 10. 28.1Ч28.5.
Занятие 11. 28.9, 28.10, 28.16, 28.17.
Занятие 12. 28.18, 28.19, 28.23, 28.24.
Тема занятий: геометрические места точек и построения (18 часов) Занятие 1. 7.1Ч7.4.
Занятие 2. 7.6Ч7.9.
Занятие 3. 7.11Ч7.15.
Занятие 4. 7.19Ч7.21, 7.27, 7.28.
Занятие 5. 7.31Ч7.36.
Занятие 6. 7.41Ч7.45, 7.49.
Занятие 7. 8.1Ч8.5.
Занятие 8. 8.7Ч8.10.
Занятие 9. 8.12Ч8.16.
Занятие 10. 8.17Ч8.23.
Занятие 11. 8.27Ч8.32.
Занятие 12. 8.36Ч8.40.
Занятие 13. 8.45Ч8.50.
Занятие 14. 8.55Ч8.57, 8.63, 8.64.
Занятие 15. 8.72Ч8.77.
Занятие 16. 8.78Ч8.82.
Занятие 17. 8.83Ч8.86.
Занятие 18. 8.91Ч8.96.
Тема занятий: треугольники и многоугольники (18 часов) Занятие 1. 5.1Ч5.5.
Занятие 2. 5.10Ч5.14.
Занятие 3. 5.18Ч5.23.
Занятие 4. 5.28Ч5.32.
Занятие 5. 5.35Ч5.39.
Занятие 6. 5.42Ч5.46.
Занятие 7. 5.48Ч5.53.
Занятие 8. 5.69Ч5.71, 5.78, 5.79.
Занятие 9. 5.85Ч5.89.
Занятие 10. 5.93Ч5.97.
Занятие 11. 5.105Ч5.109.
Занятие 12. 5.120Ч5.123.
Занятие 13. 5.128Ч5.132.
Занятие 14. 5.138Ч5.141.
Занятие 15. 5.149Ч5.153.
Занятие 16. 6.1Ч6.3, 6.37, 6.38.
634 Программы элективных курсов по геометрии Занятие 17. 6.69Ч6.74.
Занятие 18. 6.83, 6.89, 6.90, 6.97.
Тема занятий: геометрические преобразования (18 часов) Занятие 1. 15.1Ч15.5.
Занятие 2. 15.9Ч15.13.
Занятие 3. 16.1Ч16.5.
Занятие 4. 16.9Ч16.12.
Занятие 5. 16.13Ч16.18.
Занятие 6. 17.1Ч17.5.
Занятие 7. 17.6Ч17.11.
Занятие 8. 17.16Ч17.20.
Занятие 9. 17.22Ч17.26.
Занятие 10. 17.31Ч17.34.
Занятие 11. 17.37Ч17.40.
Занятие 12. 18.1Ч18.5.
Занятие 13. 18.9Ч18.14.
Занятие 14. 18.26Ч18.31.
Занятие 15. 18.37Ч18.41.
Занятие 16. 19.1Ч19.5.
Занятие 17. 19.10, 19.11, 19.16Ч19.18.
Занятие 18. 19.23Ч19.28.
Тема занятий: векторы и центр масс (12 часов) Занятие 1. 13.1Ч13.5.
Занятие 2. 13.11Ч13.16.
Занятие 3. 13.21Ч13.25.
Занятие 4. 13.29Ч13.33.
Занятие 5. 13.37Ч13.40.
Занятие 6. 13.42Ч13.45, 13.48.
Занятие 7. 13.50Ч13.54.
Занятие 8. 14.1Ч14.5.
Занятие 9. 14.6Ч14.10.
Занятие 10. 14.19Ч14.23.
Занятие 11. 14.28Ч14.31.
Занятие 12. 14.32Ч14.35, 14.40.
Тема занятий: задачи на разрезания (12 часов) Занятие 1. 25.1Ч25.4.
Занятие 2. 25.5Ч25.8.
Занятие 3. 25.9Ч25.13.
Занятие 4. 25.16Ч25.19.
Программы элективных курсов по геометрии Занятие 5. 25.22Ч25.25.
Занятие 6. 25.26Ч25.30.
Занятие 7. 25.31Ч25.34.
Занятие 8. 25.35Ч25.39.
Занятие 9. 25.40Ч25.43.
Занятие 10. 25.44Ч25.47.
Занятие 11. 25.48Ч25.52.
Занятие 12. 25.56Ч25.59.
У ч е б н о е и з д а н и е Виктор Васильевич Прасолов ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ Подписано к печати 20.02.2006 г. Формат 70 90/16. Печать офсетная.
Объем 40 печ. л. Тираж 62 000 экз. Заказ №.
Издательство Московского центра непрерывного математического образования.
119002, Москва, Бол. Власьевский пер., 11. Тел.: (495) 241-74-83.
Отпечатано с готовых диапозитивов в ОАО Московские учебники и Картоли тография. 125252, Москва, ул. Зорге, 15.
Pages: | 1 | ... | 10 | 11 | 12 | Книги, научные публикации