Книги по разным темам Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |   ...   | 11 |

Потребитель максимизирует эту величину, выбирая сообщаемую функцию оценки. При этом потребитель учитывает влияние этого выбора на выбранный объем общественного блага x и на величину налога Кларка, которую он должен в результате выплатить. Налог Кларка должен быть изъят из данной экономики.

Задание. Специфицируйте игру, определяемую механизмом Гровса-Кларка, и докажите, что сообщать истинные оценки является доминирующей стратегией каждого игрока в этой игре, т. е. любой индивид не может увеличить свой выигрыш, сообщив оценку, отличную от чистой полезности, какие бы оценки ни сообщали другие индивиды.

Покажем, например, что сообщать истинные оценки является доминирующей стратегией при 0, < 0. В этой си jI j ji j туации общественное благо производится, индивид i является ключевым и платит налог -. Сообщенная им оценка общест ji j венного блага положительна, так как сумма оценок других индивидов отрицательна. И наконец, поскольку потребитель сообщает свою оценку, максимизируя при этом свой выигрыш, этот выигрыш неотрицательный. В противном случае он сообщил бы в качестве оценки величину - ic + < 0 (или просто ноль) и получил бы ji j больший выигрыш (ноль).

Но точно такой же выигрыш он получил бы, сообщив в качестве своей оценки величину своей чистой полезности.

Может ли он увеличить свой выигрыш, манипулируя оценкой Сообщив оценку, не меняющую общественный выбор, он не изменит и свой выигрыш. Значит, изменить выигрыш можно, только сообщив такую оценку, при которой общественное благо не финансируется. Но в этом случае его выигрыш будет равным нулю и не превышает величину - ic + 0, которую он получит, сооб ji j щив (выявив) свою чистую оценку блага.

Проиллюстрируем расчет налогов Кларка для случая трех индивидов, Приведем пример действия механизма в случае дискретного общественного блага.

Пример расчета налога Кларка для сообщества из трех индивидов. Пусть три соседа по комнате принимают решение относительно покупки телевизора ценой 6000 руб. при равных долях финансирования i = 1/3. Исходные данные приведены в таблице:

Полезность Оценка полезноВзнос потреби- телевизора за сти телевизора i Налог Кларка, i вычетом взноса, теля, ic потребителем, vi vi - ic 1 2000 1000 -1000 2 2000 2000 0 3 2000 5000 3000 Сумма 6000 8000 2000 Приведем порядок расчета налога Кларка в случае дискретного блага, объем которого может быть любым целым числом (не превышающим некоторой величины).

1. Выбирается уровень общественного блага x, максимизирующий суммарную чистую объявленную полезность.

i iI 2. Для каждого индивида определяется величина x(i), максимизирующая сумму чистых оценок всех индивидов, за исключением индивида i, и рассчитывается значение Vi = (x ). Эта величи j j ji на - максимальная суммарная оценка этими индивидами выгоды от предоставления общественного блага (в оптимальном, в свете оценок самих этих индивидов, объеме).

3. Налог Кларка вычисляется как потери остальных потребителей и рассчитывается из их же оценок:

i = Vi - (x).

j ji Задание. Покажите, что налог Кларка и в этой - более общей - ситуации предоставления общественного блага является неотрицательным (т. е. никогда не оказывается дотацией).

Задание. Специфицируйте игру, определяемую механизмом Гровса-Кларка в данной ситуации, и докажите, что сообщать истинные оценки является доминирующей стратегией каждого игрока в этой игре, т. е. любой индивид не может увеличить свой выигрыш, сообщив оценку, отличную от чистой полезности, какие бы оценки ни сообщали другие индивиды.

2.4. Механизмы финансирования общественного блага (лнепрерывный случай): добровольное финансирование общественного блага Обозначим добровольный взнос i-го потребителя на приобретение общественного блага через ti. Будем предполагать также, что существуют рынки общественных благ. Поскольку благосостояние потребителя зависит от общего количества этих благ, при определеe нии своего взноса ti потребитель i формирует ожидания (ts, s i ) относительно взносов других потребителей.

Общая сумма таких взносов составляет величину и позвоti iI ляет (по равновесным рыночным ценам p производства данного блага) приобрести /p единиц общественного блага.

ti iI Производитель общественного блага, рассматривая цену (производства) общественного блага как данную, выбирает его объем, максимизируя свою прибыль: py - c(y). При ценах, когда ему выгодно производить это благо, он выбирает объем производства, при кото ром цена этого блага равна предельным издержкам: p - c (y).

e Потребитель i при заданных ожиданиях tsi, s i и ценах (производства) p выбирает оптимальный, с его точки зрения, вклад ti, при котором достигает максимального значения его оценка ситуаe ции: vi (ti + ) + wi - ti.

tsi si Заметим, что при том же значении вклада достигает максимальe ного значения и величина vi (ti + ) - ti, называемая потребиtsi si тельским излишком, поскольку она показывает прирост полезности потребителя от предоставления общественного блага (в данном слуe чае - в ожидаемом объеме (ti + ) / p )).

tsi si Равновесие тогда характеризуется ценами общественного блага p, вкладами индивидов в его финансирование {t1,t2,...,tm} и ожиданиями такими, что:

- ожидания всех индивидов относительно вкладов других индивидов оправдываются, т. е.

e tsi = ts для всех i и всех s ;

- спрос на общественное благо x = / p при ценах p совпаti iI дает с его предложением при этих ценах, т. е. y = / p.

ti iI Приведем формальное определение равновесия.

В случае квазилинейной экономики равновесие с добровольным финансированием общественного блага - это набор ( p,t, x, y ) такой, что:

1) при цене p взнос ti является решением задачи потребителя vi ti + / p - ti max ts ;

si ti 2) суммарная величина взносов совпадает с суммой, требуемой для финансирования общественного блага в объеме x по цене p, = px;

ti iI 3) при цене p величина y является решением задачи производителя py - cy max ;

y 4) спрос на общественное благо равен предложению x = y.

Задание. Какие механизмы (игры) финансирования общественного блага, рассмотренные в дискретном случае, можно рассматривать как дискретные аналоги данного механизма финансирования общественного блага (в непрерывном случае). Какие дополнительные предположения при этом были сделаны В равновесии этой модели (игры), как и в случае ее дискретных аналогов, имеет место эффект недопроизводства общественного блага, т. е. если x* - оптимальный объем производства общественного блага - положителен, то x < x*. Покажем это в предположении, что общественное благо производится (т. е. выполняется соот ношение p = c ( y) ). В ситуации, когда такое предположение не выполняется, читателю, знакомому с основами математического анализа (дифференциальное исчисление для функций одной переменной), предлагается установить это утверждение самостоятельно.

Необходимое (а в предположениях, в которых мы проводим анализ18, и достаточное) условие оптимальности выбора равновесного значения вклада vi (x) p, причем vi (x) = p, если вклад такого потребителя положителен. Заметим, что поскольку общественное благо производится, следовательно, его кто-то финансирует, т. е.

вклад по крайней мере одного индивида положителен. Будем считать, что общественное благо (в количестве x ) желательно для всех потребителей, т. е. vi (x) > 0. Будем предполагать также, что предельные издержки производства общественного блага возрастают.

Тогда (x) > p, поскольку по крайней мере одно слагаемое vi iI суммы, стоящей в левой части выражения, совпадает с p, а остальные слагаемые положительны.

Но цена блага равна его предельным издержкам, т. е.

p - c (y) = c (x), поэтому (x) > c (x).

vi iI Далее, если, как мы предполагали, предельные полезности убывают при росте объема потребления общественного блага, а предельные издержки возрастают, предельный лобщественный изли шек - функция W (x) = (x) - c (x) также убывает. Она полоvi iI жительна при x = x и равна нулю при x = x*, поскольку лобщественный излишек принимает максимальное значение при оптимальУбывание предельной полезности общественного блага для каждого индивида и рост предельных издержек его производства.

ном объеме предоставления общественного блага. Откуда и следует требуемый результат x* > x.

Появление этого эффекта недопроизводства общественных благ легко понять в контексте анализа экстерналий, методы которого мы продемонстрируем в следующей главе. Каждый потребитель, планируя приобретение общественного блага, не учитывает влияние своих действий (поскольку не заинтересован при таком механизме его финансирования учитывать это влияние) на рост благосостояния других потребителей, а поэтому планирует приобрести его слишком мало. Эта незаинтересованность учитывать влияние своих действий на благосостояние других составляет суть проблемы безбилетника: каждый потребитель заинтересован в увеличении вклада в финансирование общественного блага другими, но не заинтересован сам в увеличении своего вклада.

Определить, кто именно из потребителей будет безбилетником в квазилинейной экономике, особенно просто в ситуации, когда потребители ранжированы по их предельной оценке общественного блага безотносительно к объему его потребления, т. е. в случае если выполняется соотношение:

v1(x) < v2 (x) <... < vm (x) x > 0.

Проанализируем свойства равновесий с добровольным финансированием в этой ситуации. Пусть ( p, t, x, y ) - такое равновесие. То гда vm (x) p. Поскольку vi (x) < vm (x) для всех потребителей, кроме потребителя с индексом m, для этих потребителей vi (x) < p.

Это влечет за собой то, что ti = 0 для всех i m, т. е. все потребители, кроме потребителя с индексом m, не участвуют в финансировании общественного блага.

(Аналогичный результат имеет место и в дискретном случае, когда v1 < v2 <... < vm. А именно в равновесии общественное благо будет финансировать только m Ч й потребитель.) Таким образом, x = tm / p, и возможны равновесия двух типов:

(1) tm = 0 и y = 0 ;

(2) tm > 0 и y > 0.

В первом случае vm (0) p c (0). Поскольку предельная по лезность vm (x) не возрастает, а предельные издержки не убывают, любое такое состояние будет соответствовать равновесию. Данную ситуацию иллюстрирует приведенный ниже рис. 1.

Если vm (0) < c (0), то равновесие может быть только первого типа, а если vm (0) > c (0), то равновесие может быть только второго типа.

Предположим дополнительно, что функция vm (x) - c (x) убывает. Тогда необходимые условия равновесия являются достаточными.

А именно если x = y, p = vm (x) = c (y), tm = px и ti = 0 для всех i, кроме tm, то ( p, t, x, y ) является равновесием с добровольным финансированием. Действительно, необходимые условия решений задач потребителя и производителя выполнены, поскольку vi (x) < vm (x) = p = c (y) и ti = 0 i m.

Заметим, что сделанные выше предположения относительно поведения предельных полезностей и предельных издержек гарантируют, что необходимые условия решений задач потребителя и производителя при добровольном финансировании являются достаточными.

Рис. 1. Равновесие с добровольным финансированием при упорядоченности оценок общественного блага Задание. Покажите, что если vm (0) p c (0), то ( p,0,0,0 ) является равновесием.

Проведенный анализ и результат предыдущего задания показы вают, что если функция vm (x) - c (x) непрерывна, равновесие существует тогда и только тогда, когда существует объем обществен~ ного блага x такой, что c (~) vm (~). Поскольку равновесный x x объем x удовлетворяет этому условию, то это условие является необходимым. Поэтому остается доказать достаточность.

Действительно, если vm (0) c (0), то существует равновесие с x = 0. Если же vm (0) > c (0), то вследствие непрерывности функ ции vm (x) - c (x) существует x > 0, такой что vm (x) = c (x), и на его основе можно сконструировать равновесие.

Задание. Докажите, что в рассматриваемых условиях равновесие единственно.

Задание. Покажите, что игра 1 (аналог механизма добровольного финансирования в ситуации дискретного блага) при относительно невысоких издержках предоставления этого блага имеет два равновесия даже в том случае, когда индивиды различаются оценками этого блага. Почему, по вашему мнению, возникает это качественное различие в решениях похожих игр Задание. Пусть c( y) = y. Специфицируйте вариант модели добровольного финансирования дискретного общественного блага в случае упорядоченности оценок этого блага потребителями и охарактеризуйте отличия ее решения от рыночного равновесия.

Чтобы проиллюстрировать проведенный анализ и его результаты, рассмотрим следующий пример.

Пусть ui (x, zi ) = 2i ln x + zi, c( y) = y2.

Оптимальный объем производства общественного блага составляет тогда величину x*, удовлетворяющую уравнению Самуэльсона:

(x*) = c (x*).

vi iI В данном примере это соотношение принимает вид / x*) = 2x* или (x*)2 = (2i i iI iI Заметим попутно, что r = x2 - это как раз издержки производства общественного блага. Таким образом, оптимальный объем общеУтверждение - следствие теоремы о том, что непрерывная функция, принимающая значения разных знаков на концах некоторого интервала [a, b], принимает значение, равное нулю в некоторой точке этого интервала.

ственных расходов на производство общественного блага составляет величину r* = (x*)2 =.

i iI В случае же равновесия с добровольным финансированием vi (x) c (x) i, т. е. 2i / x 2x i или x i i.

Поскольку x > 0, то существует по крайней мере один потребитель, который делает положительный взнос. Это означает, что x = maxi i. Объем расходов на общественное благо составляет величину r = maxi i.

Цена общественного блага равна p = c (x) = 2x, а сумма взносов равна = px = 2x2 = 2r.

ti iI Пусть в экономике 3 потребителя, и i = i. Платить будет потребитель, который ценит общественное благо больше всех, а именно третий. Остальные предпочтут пользоваться благом бесплатно. Отсюда r = 3, x = y = 3, p = 2 3, t3 = 6, t1 = t2 = 0.

В Парето-оптимуме x = 6, то есть равновесное количество общественного блага меньше оптимального.

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |   ...   | 11 |    Книги по разным темам