Книги, научные публикации
Pages: | 1 | ... | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права Корнилов И.А. ...
-- [ Страница 4 ] --Поэтому сравнение M(U(A+X)) и M(U(A+Y)) сводится к сравнению M(-e-bX) и M(-e(-bY) ), то есть нет зависимости от начального капитала A. (Богач и бедняк будут действовать одинаково!) Это замечательное свойство экспоненциального распределения достаточно широко используется в актуарных расчетах при исследовании функции полезности. В более общем случае исходят из суммы P, которую владелец в состоянии заплатить за полную страховую защиту. (Например, агент спрашивает клиента, какую сумму в месяц тот может платить за страхование жизни или другое накопительное страхование, и по величине взноса определяет величину страховой суммы.). После этого можно сравнить два варианта решения клиента: страховаться или нет. Ожидаемые полезности вариантов: M(полезность страхования) = M(U(A-P)) = U(A-P), M(бесполезность страхования) = M(U(A-X)). Сравнивая эти две величины, клиент делает выбор. C учетом возрастания U(x) можно получить максимальный страховой взнос, который потенциальный клиент готов заплатить за договор. Это есть сумма G, при которой: U(A-G) = M(U(A-X)). На практике клиент может согласиться вносить за договор сумму, превышающую свои ожидаемые убытки. Это не противоречит критерию ожидаемой полезности. Если U(x)>0, U ( x) > 0, U ( x) < 0, то из теории вероятности /27/ известно: M(U(x)) < U(M(x)) Тогда: U(A-G) = M(U(A-X)) < U(M(A-X)) = U(A-M(X)), Т.е. A-GM(X), т.е. максимальный страховой взнос, на который согласен клиент, больше ожидаемых убытков. Итак, позиция страхователя прояснилась. Теперь страховщик должен сам определиться со своими интересами и критериями. Его интересует минимальный взнос H, при котором он может принять риск X. Очевидно, это зависит от начального капитала страховщика W. Искомая величина H определяется из соотношения: U(W) = M(U(W+H-X)). Убедимся, что H > M(X). U(W) = M(U(W+H-X)) < U(M(W+H-X)) = U(M(W)+M(H)-M(X)) = =U(W+H-M(X)) U(W) < U(W+H-M(X));
тогда из монотонности U(x) следует: W < W+H-M(X) или H-M(X) > 0, т.е. H > M(X). Подведем предварительные итоги: страховщик должен получить не меньше, чем некоторая величина H > M(X), а клиент согласен заплатить не больше, чем другая величина G > M(X). Очевидно, они смогут договориться, только если: G > H > M(X). Это и есть количественное выражение условия возможности заключить договор: U(A-G) = M(U(A-X)), U(W) = M(U(W+H-X)), G > H > M(X) 10.3.
Сравнение различных договоров с помощью функции полезности Пример 2. Пусть функция полезности имеет вид: U(x) = x 2/3, x>0. Ущерб X равномерно распределен на (0;
100). Есть возможность застраховать риск в трех компаниях на следующих условиях: а) полная страховая защита за взнос 52;
в) защита с безусловной франшизой в 10, (при взносе 42), т.е. выплата равна 0, если X<10, и равна X-10, если X>10;
c) частичная защита (при взносе 45 ): выплата X, если X<50, и выплата (50 + (X-50)/2), при X>50. Возможен и отказ от страхования. Владелец располагает капиталом в 150. Какой вариант ему предпочесть? Решение. Сначала заметим, что если убытков не будет, то U(150 - 0) = U(150) = 1502/3 = 28.23 Если убытки максимальны, то U(150 - 100) = U(50) = 502/3 = 13.57 Таким образом, получены данные для построения шкалы. Сравним варианты. 1) Отказ от страхования. Ожидаемая полезность:
M(U(150 X)) = 0. (150 x ) 2/ dx = 21. 2) Страховаться в компании A. Капитал к концу срока: 150-52 = 98, а его полезность: U(98) = 982/3 = 21.26 3) Страховаться в компании B. Капитал: (150-42-X) при X<10, или (150-42-10) при X>10, тогда его полезность:
0.01 (108 x) dx + 0.01 982/3 dx = 21. 2/3 0 4) Страховаться в компании C. Капитал: 105, при X<50;
либо (150-45-X+(50+(X-50)/2)) = 130 - 0.5X, при X>50. Тогда полезность:
0.01 0 50 100 2/ dx + 0. (130 0.5 X ) 2/ dx = 21. Теперь сравниваем результаты и выбираем max функции полезности. Очень маленькое преимущество у компании С при всей парадоксальности предложенных ей условий и предварительных наших представлений. Рассмотрим еще некоторые примеры. Пусть имущество не подвергнется ущербу с вероятностью 0.75. Ущерб, если он будет, распределен экспоненциально со средним, равным 100. Тогда ожидаемые убытки составят 25. В данном случае используется условное математическое ожидание. Для дальнейших исследований необходимо построить функцию полезности. В частности, можно показать (см. Карри /6/), что если клиент использует функцию: U(x) = -e -0.005x, то при полной защите ему придется согласиться заплатить 44.63 (при средних убытках 25, он переплатит 19.63). А если договор предусматривает возмещение лишь половины ущерба (то есть в среднем не 25, а 12.5), то клиент заплатит 28.62 (больше на 16.12).
10.4.
Понятие о доверительных оценках в страховании В страховой компании часто возникает ситуация, при которой конкретный клиент в течение длительного времени периодически продлевает свой страховой договор (например, страхование дома). Компания накапливает информацию о нем за это время. Поэтому к данному клиенту может быть применен как подход, общий для всех клиентов из некоторой однородной группы, так и индивидуальный, основанный на его специфике. Следовательно, у компании есть два источника информации об этом клиенте. Проблема состоит в том, как, используя эти два источника, получить сведения, не противоречащие, а дополняющие друг друга, и за счет этого уточнить представления об исследуемом объекте, а, следовательно, и цену его индивидуального контракта. В книге Карри /6/ показано принципиальное решение этой задачи. Прежде, чем ввести понятие доверительного взноса, рассмотрим иллюстративный пример. Несколько лиц заключили определенные договоры на год, причем страховая компания впервые стала работать с этими рисками. Поэтому она устанавливает взносы на основе работы с подобными рисками (отдавая себе отчет в условности этого подхода). Затем прошло несколько лет работы по новым рискам (и новым договорам, тарифам), у компании появилась информация, которой ранее не было и которую теперь можно использовать. Некий страхователь хочет продлить свой договор с компанией еще на один год. На каких условиях будет продлен договор? Пусть х - среднее годичных страховых выплат (общая сумма всех произведенных выплат, деленная на число лет работы с этим риском). При определении размера страхового взноса на предстоящей год возможны следующие подходы:
1) страховщик игнорирует полученные ранее данные о новом риске и использует только данные из большего объема данных о подобных рисках, то есть оставляет прежний взнос m;
2) страховщик игнорирует подобные риски (так как у него уже накоплено достаточно информации о новом риске), поэтому взнос определяется только на основе нового риска и назначается х. Очевидно, что каждая из этих двух позиций имеет свои недостатки. С одной стороны, нельзя игнорировать новый риск, характеристики которого могут отличаться от предшествующих аналогов. А с другой - как быть, если x = 0 ? И в какой момент следует переходить от расчетов по первой методике к расчетам по второй? Очевидно, необходим компромисс между двумя крайними позициями. Это и достигается с помощью доверительного взноса, который определяется, как взвешенная сумма взносов, рассчитанных по этим двум подходам, а веса определяются с помощью коэффициента доверия (к новым данным!) Z: Z х + (1-Z)m, 0 < Z < 1. Эта формула линейна от соответствующих оценок, коэффициент доверия указывает на оценку страховщиком надежности прямых данных о новом риске, он возрастает с ростом числа наблюдений. С учетом возможности регулярного перерасчета формула обладает всеми требуемыми свойствами.
Пример 3. Пусть известна цена подобного риска m = 25. Выплаты по новому риску составили по годам: 30, 26, 25, 35, 29, 35, 37. Страховщик использует формулу доверительного взноса: V = Z х + (1 - Z) m, 0 < Z < 1. При этом он считает, что в начале (при отсутствии информации о новом риске) Z = 0, а через 10 лет у него будет достаточно данных, чтобы опираться только на новую информацию Z = 1. Предполагается, что коэффициент Z возрастает равномерно Решение. Средние выплаты по новому риску за предшествующие годы равны: 30/1 = 30 (30 + 26)/2 = 28 (30 + 26 + 25)/3 = 27 (30 + 26 + 25 + 35)/4 = 29 (30 + 26 + 25 + 35 + 29)/5 = 29 (30 + 26 + 25 + 35 + 29 + 35)/6 = 30 (30 + 26 + 25 + 35 + 29 + 35 + 37)/7 = 31 Тогда перед первым годом взнос рассчитывается, опираясь на m=25, а затем Z равен: 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7.
Следовательно, взнос V (по годам) будет принимать значения : 0.130 + 0.925 = 3 + 22.5 = 25.5 0.228 + 0.825 = 5.6 + 20 = 25.6 0.327 + 0.725 = 8.1 + 17.5 = 25.6 0.429 + 0.625 = 11.6 + 15 = 26.6 0.529 + 0.525 = 14.5 + 12.5 = 27 0.630 + 0.425 = 18 + 10 = 28 0.731 + 0.325 = 21.7 + 7.5 = 29.2 Новый риск несколько больше прежнего, поэтому взнос постепенно повышается (и темпы роста увеличиваются). В данном примере страховщик недобирает взносы (выплаты по новому риску не компенсируются). Но можно предположить, что рисковая надбавка несколько уменьшает этот негативный эффект. Возможен и подход, основанный на идеях Байеса. Ранее на их основе были получены значения оценок для нового клиента: $ =f()d и указана корректировка представлений по мере поступления новой информации: f(/данные) = f()f(данные/)/f(данные). Дальнейшее развитие этого направления и применение этого аппарата для решения более сложных актуарных задач достаточно подробно изложено в кн. Карри /6/.
10.5.
Некоторые проблемы определения рисковой надбавки.
При исследовании портфеля долгосрочных договоров также возникает задача оценки вероятности разорения. Здесь анализируется поток заявок (исков). В результате получается формула, аналогичная формуле для краткосрочной модели. Это позволяет указать правила расчета рисковой премии и рисковой надбавки в зависимости от объема собственных средств. Разумеется, в долгосрочном страховании повышается роль задачи определения коэффициента рассрочки при переходе от единовременной премии к периодической. В рамках данного раздела рассматриваются такие виды договоров страхования, для которых можно пренебречь влиянием инфляции и наращения денежных средств, получаемых от клиента. Иными словами, временная протяженность договора составляет такую единицу времени, на протяжении которой инфляция уравновешивает наращение денежных средств. Обычно, в краткосрочном страховании (например, в краткосрочном страховании жизни и, как правило, страховании имущества) в качестве такой единицы выбирают один год. Кроме того, здесь не учитывается время фактического предъявления требования о выплате. Рассматривается фиксированная совокупность договоров, по которым в момент времени t=0 поступают премии, формирующие резерв страховых выплат, который к моменту t=1 должен обеспечить все выплаты с некоторым достаточно высоким уровнем надежности. Как уже говорилось выше, в настоящем учебном курсе рассчитывается только основная часть страховой премии, которая формирует резерв страховых выплат (без нагрузки). Рассмотрим договор с фиксированным ущербом (смерть, кража, угон автомобиля), в котором человек платит страховой компании УпФ (руб.) - страховую премию. Компания соглашается выплатить сумму b (руб.), если страховой случай произойдет в течение года. Иначе страховая компания ничего не платит. Известно, что b больше п. Купив за УпФ (руб.) страховой полис, застрахованный избавил свою семью от риска финансовых потерь, связанных с неопределенностью момента наступления страхового случая и величиной потерь. Этот риск приняла на себя страховая компания. Если страхового случая нет, то иск к страховой компании равен нулю. Иначе иск к страховой компании составит b (руб.). Для упрощения расчетов положим b=1 - единица денежной суммы. (В страховании принят термин лединица страховой суммы.) Этот индивидуальный риск является элементарной составляющей финансового риска страховой компании. Случайную величину, определяющую данный элементарный риск, обозначим, как j. Индекс j означает, что данная случайная величина описывает выплаты на одного (скажем, с номером j) клиента. Вероятность наступления страхового случая может зависеть от некоторых факторов (при страховании автомобиля от угона - от марки и возраста автомобиля, а также, от его состояния). При страховании жизни вероятность зависит, прежде всего, от возраста застрахованного. В дальнейшем, для определенности, рассматриваем именно такой договор (на случай смерти). Распределение j имеет следующий вид:
p,i = 0 i = P( = i ) = x qx, i = b x - возраст застрахованного, px - вероятность того, что человек в возрасте x лет проживет еще по меньшей мере один год, qx - вероятность того, что человек в возрасте x лет умрет в течении ближайшего года. Это позволяет найти характеристики риска (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации) для отдельного договора, а затем, объединяя отдельные договора в портфель, и соответствующие характеристики всего портфеля. В общем случае здесь используется аппарат свертки, а при выполнении определенных условий (однородность и многочисленность портфеля) расчеты ведутся на основе биномиального закона или его нормальной аппроксимации. Рисковая премия обеспечивает выполнение принципа эквивалентности финансовых обязательств страховщика и страхователя, состоящего в том, что, в среднем, и страхователь, и страховщик должны платить одинаково. Следовательно, рисковая премия одного договора должна быть равна математическому ожиданию величины индивидуального иска: Страховая (рисковая) надбавка еще называется платой за риск и должна отражать возможные флуктуации (колебания, отклонения) индивидуального иска. Так как риск перераспределяется между многими участниками страховой совокупности, то страховая надбавка определяется для всей совокупности договоров. Понятно, что чем больше совокупность одинаковых независимых рисков, тем меньше фактический суммарный риск отличается от своего математического ожидания. В качестве критерия оценки суммарного риска в страховании используется степень риска - коэффициент вариации суммарных выплат по данной страховой совокупности. Коэффициент вариации показывает сбалансированность наиболее вероятных значений суммарных выплат вокруг их среднего ожидаемого значения и, следовательно, может служить критерием оценки суммарного риска страхового портфеля. В нашем случае он зависит от параметра индивидуального риска qx и обратно пропорционален объему n страховой совокупности. Эмпирически установлено, что для финансовой устойчивости портфеля достаточно, чтобы степень риска была меньше 1/3. Отсюда может быть установлен минимальный объем портфеля для обеспечения финансовой устойчивости. Если страховая совокупность состоит не из одинаковых рисков (в нашем случае это означает, что в одном страховом портфеле есть договора с людьми разного возраста), то суммарная степень риска должна быть, как минимум, не больше, чем степени рисков отдельных подсовокупностей данной совокупности, составленных из одинаковых рисков. В качестве первой цели поставим задачу вычисления фонда страховых возмещений, который с надежностью =99% обеспечит все поступающие требования о выплате возмещений по данной совокупности договоров. Страховая компания исходит из того, что величина резерва страховых выплат должна быть такой, чтобы общие выплаты ее не превышали. Это условие можно записать формально как:
(U 0 0) = 1 1, где U - величина резерва страховых выплат.
= 1% 1 = (U 0) = ( U) = U () () = Обозначим как ( ) правую часть неравенства, стоящего под знаком вероятности:
( ) = U () () ( ) = Согласно центральной предельной теореме, если j - ограничены и одинаково распределены, то при больших значениях n: 1 x2 2 e dx = F(A) ( ) = 2 - функция распределения вероятностей нормальной случайной величины. По таблице значений распределения нормальной случайной величины находим, что (99%) = 2,33. Следовательно, величина страхового резерва может быть рассчитана как:
U = 2,33 + 123 L ФЗ Э.
Страховая компания со всех клиентов данной совокупности должна собрать U. Следовательно, если сложить все премии, слева получим U, а справа:
U = j + j = общ. + L общ., j=1 j= n n где как Lобщ. мы обозначим фонд суммарной страховой надбавки. Отсюда получим что: L общ. = () ( общ ). Остается задача разделения фонда суммарной страховой надбавки между различными договорами. Существуют различные способы и подходы к решению этой задачи. Здесь мы приведем наиболее часто используемые, отличающиеся подходами к учету интереса страхователя. I. СПОСОБ заключается в том, что страховая пропорциональна индивидуальным средним выплатам, т.е.: j = k 1 j, надбавка k1 = ( общ. ) ( ) общ.
, j = ( общ. ) ( ) общ.
j 0, p x j = b j,q x 0, p (1) x (1) (1) = b j q x ;
(1) = n 1 (1) j = j j (1) b j,q x Аналогичным образом определяются риски остальных частей совокупности: 0, p (m) x (m) j = (m) ;
(m) = n m (m) j j (m) b j,q x nm - ожидаемое количество договоров в доле m-ом субпортфеле ФЗ ЭЗ = (1) + (2) + L + (m) - суммарное среднее ожидаемое значение страховых выплат.
0 2,p x ( ) = 2 ( (1) ) 2 = ( (1) ) 2 j j b j,q x (1) 2 j Аналогичным образом определяется дисперсия для отдельных частей совокупности: 0 2,p x (m) 2 ( j ) = 2 ( (m) ) 2 = ( (m) ) 2 j j b j,q x D j = ( М 2 ) (М j ) 2 j D (1) = nD (1) j j D (m) = nD (m) j j D( общ ) = D (1) + D (2) + L + D (m) j j j ( - общее среднеквадратическое отклонение, - уровень выполнения обязательств по выплатам страховой компанией. Каждая страховая компания определяет для себя различный уровень надежности выполнения обязательств (который, однако, должен быть не ниже регламентируемого Страхнадзором). Если уровень надежности равен, например, 99%, то получим: (99%) = 2,33. Здесь, согласно закону больших чисел, использована нормальная аппроксимация, и соответствующее табличное значение.
общ )= D( общ ) II. СПОСОБ заключается в том, что страховая надбавка устанавливается пропорционально индивидуальной дисперсии выплат, т.е.:
j = k 2 D j k2 = j = общ. () D общ.
Dобщ. D j.
общ.() Недостатком этого способа является несоответствие единиц измерения: страховая надбавка измеряется в единицах дисперсии, т.е. в руб2. (Это учитывается в размерности коэффициента k). III.СПОСОБ заключается в том, что страховая пропорциональна среднеквадратическому отклонению, т.е.: j = k 3 j надбавка k3 = j = общ. ( ) (1) + (2) + K + (m) j j j общ. ( ) j (1) + (2) + K + (m) j j j Этот способ используется наиболее часто. Интересно отметить, что, в принципе, можно ориентироваться на равенство надежностей в каждом субпортфеле. Однако, это приводит к результатам, аналогичным для 3-го способа. Если субпортфели недостаточно многочисленны, что не позволяет использовать нормальную аппроксимацию, актуарий вынужден опираться на процентные точки распределения суммарного ущерба. Это несколько усложняет аналитические выкладки, но на практике вполне достаточно численных результатов, полученных на компьютере. В этой книге проиллюстрировано на численном примере различие получаемых при этих подходах значений рисковых надбавок для отдельных субпортфелей. При этом прокомментированы интересы самого страховщика и отдельных групп страхователей.
11. 11.1.
Перестрахование Основные принципы перестрахования. Основные договора Перестрахование - это тоже страхование (страховщика, который выступает в роли клиента, его называют лцедент). И формы его организации различны. Существуют как компании, занимающиеся исключительно перестрахованием, так и сочетающие обычные виды страхования с перестрахованием. Есть объединения компаний - пулы, члены которых (по определенным правилам) передают части своего риска всему пулу, а он перераспределяет полученный суммарный риск между членами. Перестраховочные соглашения также различаются. Условно их можно классифицировать по критериям: факультативное индивидуальное перестрахование / перестрахование на основе обязательного договора;
пропорциональное / непропорциональное;
перестраховочное покрытие на основе равных ставок / с переменными премиями. При факультативных соглашениях цедент свободен предложить отдельные риски одному или нескольким перестраховщикам, а они могут принять риск весь или часть его или отказаться. Договорное (облигаторное) перестрахование относится не к отдельному риску, а ко всему портфелю, и стороны сдают и принимают все риски, обусловленные договором. Оба перечисленных договора могут быть как пропорциональными (отношение перестраховочной премии к брутто-премии равно отношению перестрахованного убытка к брутто-убытку для каждого перестрахованного риска в отдельности), так и непропорциональными. Для последних существует множество версий. Типичный имеет постоянную ставку. Иногда премия или удержание определяются на основе статистики одной из сторон. Полезно различать фиксированные и переменные премии или условия договора. На практике цедент покупает для защиты своего портфеля комбинацию из нескольких форм договоров (перестраховочную программу). Два основных типа пропорциональных договоров: квотный и эксцедентный.
Квотный предусматривает передачу фиксированного процента от каждого риска перестраховочного портфеля. Соответственно передается процент с исходных брутто-премий и выплачивается процент возмещений. Перестраховщик комиссионными оплачивает цеденту привлечение страхователя. Соотношение действительных расходов и комиссионных определяет прибыль или убытки на этой статье. Эксцедентный предусматривает для каждого риска удержание не более определенной максимальной суммы (различающейся по классам риска). Избыточная часть риска передается до определенного предела (например, до 10-кратного удержания). Премии и возмещения делятся пропорционально отношению страховых сумм. Есть комиссия. Три основных непропорциональных договора: эксцендент убытка, эксцендент убыточности, перестрахование наибольшего убытка. В договорах эксцендента убытка от каждого страхового возмещения, превышающего приоритет (лпервый риск или удержание передающей компании, согласно договору) перестраховщик оплачивает превышение, ограниченное пределом (лвторым риском) или размером перестраховочного покрытия. Возмещение рассчитывается на полис, на риск или на событие. Различают покрытия: рабочее и чрезвычайное в зависимости от ответственности (по одному риску или по нескольким). Поэтому покрытие на полис или на риск - всегда - рабочее, а на событие может быть и рабочим и чрезвычайным. Имеет место постоянная ставка перестраховочной премии фиксированный процент от исходной премии. При переменных условиях договора отметим скользящую шкалу, где перестраховочная премия это сумма страховых возмещений по договору эксцедента убытка в процентах к исходному объему премии плюс нагрузка в некоторых пределах (премия = 1,25 горящей стоимости, но в пределах от 4% до 9%). Договор эксцедента убыточности (стоп лосс) максимально обеспечивает стабилизацию нетто результата (ограничение годовых убытков передающей компании). Перестраховщик оплачивает (до определенного предела) сумму всех страховых возмещений, превышающую определенный процент от исходного объема премии (удержание - точка стоп лосс), (покрытие = 50% сверх 110% от исходного объема премии). Обычно ставка - постоянна, встречаются и переменные (например, при страховании от града), вычисляемые по данным прошлых лет. Перестрахование наибольших убытков предусматривает выплату определенного числа наибольших возмещений (3) за год. Возможна комбинация с договором эксцедента убытка (за каждое из трех наибольших возмещений выплачивается превышение над суммой в 1 млн., но не более 10 млн. за все три). Иногда комбинируют с договором стоп лосс (выплачивается часть суммы трех максимальных страховых возмещений от 4% до 10% исходного объема премии). Договоры о перестраховании могут заключаться для предотвращения разорения вследствие катастрофических выплат, которые практически непредсказуемы. Например, страховая компания заключает договор о непропорциональном эксцедентном перестраховании, согласно которому уровень собственного удержания составляет 10000 у.е. Это означает, что при возникновении больших убытков (превышающих указанную сумму) страховщик выплачивает из своих средств только эти 10000, а все, что больше этой суммы, оплачивает перестраховщик. Для определения цены договора о перестраховании необходимо распределение большого ущерба. (Рис. 11.1.).
вероятность M уровень собственного удержания ответственность перестраховщика Xmax ущерб Рис. 11. Очевидно, рисковая премия при перестраховании будет равна математическому ожиданию ответственности перестраховщика, которое, в свою очередь, составит интеграл по отрезку, определяемому границами ответственности перестраховщика:
x p(x) dx, a b a = min x, b = max x Отметим, что возможно и пропорциональное перестрахование (которое может относиться ко всему диапазону ущерба или к некоторой его части, и в частности, может быть кусочным). Рассмотрим математический аппарат непропорционального (эксцедентного) перестрахования. Пусть X - размер требования, M - уровень собственного удержания, Y - выплата страховщика, Z - выплата перестраховщика, тогда: X=Y+Z. Если X а если X>M, то Y=M, Z=X-M; Для страховщика эффект данного вида перестрахования состоит не только в уменьшении средних значений страховых выплат, но еще и в уменьшении дисперсии страховых выплат, что создает предпосылки для снижения надбавки на безопасность. Покажем, что M(Y) M(x) = x f(x) dx После заключения договора об эксцедентном перестраховании: M(Y) = x f(x) dx + M Pr(X > M) = 0 M = x f(x) dx x f(x) dx + M f(x) dx = 0 M M = M(X) (x M) f(x) dx = M(X) y f(y + M) dy; M y = x - M; если x > M, то подынтегральная функция > 0; тогда интеграл > 0; следовательно: M(Y) < M(X). В частности, для экспоненциального распределения: M(X)=1/, M(Y)=(1-e -M)/. Учитывая, что D(X) = M(X2) - (M(X))2, получим требуемые результаты. 11.2. Особенности перестрахования имущества. Пример различных вариантов договоров о перестраховании Следуя Штраубу /32/, обозначим: S - страховая сумма, X - величина возмещения, X/S - уровень страховых возмещений, K - количество случаев за год, Z - суммарная величина возмещений, Х ~Х Z - брутто, Z - перестраховочное, Z = Z Z - нетто; P - премия, P =(1 + d)M(Z) - брутто премия за вычетом издержек, Х Х Х ~ P = (1 + d)M( Z ) - перестраховочная, P = P P - нетто; d - нагрузка передающей компании, d - нагрузка перестраховщика. Если нагрузки не равны, то из-за прибыли (или убытках) на комиссии ожидаемые брутто и нетто прибыльности передающей компании могут различаться. В квотном договоре с удержанием: 0 < a < 1 имеем: ~ ~ X = a X, Z = a Z В эксцедентном договоре передающая компания оставляет себе лодну линию, а перестраховщик берет не более (например) 10 линий, но мы сначала считаем емкость договора неограниченной, поэтому: ~ ~ X = X, при S < m = одна линия, X = X m/S при S > m. Перестрахование эксцедента убытка: Х X = 0, при X < r = удержание, X = X r, при X > r. Очевидно: Х Х ~ X = X X, ~ k~ Z = Xi, i = ~ Z = ZZ (K - число брутто возмещений). Стоп лосс влияет на Z: Z = 0, при Z < h P = точка стоп лосс, Z = Z - h P, иначе. В /32/ приведен пример, иллюстрирующий ответственность цедента и перестраховщика (а также их доли в полученных взносах) для различных договоров. Наши комментарии к примеру должны облегчить восприятие. Пример 1. риск/ставка A B C D E F убыток B F страховая сумма Брутто премия Объем убытка 0,001 0,1 0,2 0,3 0,002 0,003 страховые суммы (млн.) 2,0 10,0 20,0 0,15 2,55 0,6 0,0006 0,15 2,0 0,004 0 30,0 0,09 2,55 всего 32,6 0,0946 2, Х Х Примеры вариантов перестрахования 1. 2. 3. 4. 5. перестраховщик премии убытки квота 30% 28380 810000 эксцедент с максимумом 4 линии сверх 0,1; 0,5; 2,5 (млн.). 55800 1350000 факультативно 22500 956250 эксцедент убытка 4 млн. превышающего 1 млн. 24000 1550000 эксцедент убыточности 8 млн. сверх 2 млн. 23215 Комментарии к таблице. 1. Перестраховщик принимает участие в оплате всех убытков, поэтому его риск: 2.7 млн. 0,3 = 0,81 млн., и соответственно, его премия: 94.6 тыс. 0,3 = 28,38 тыс. 2. Риск A меньше границы ответственности перестраховщика (0,1млн.), поэтому не учитывается; по риску B ответственность перестраховщика: 0,2 - 0,1 = 0,1; по риску C соответственно: 0,3 - 0,1 = 0,2; по D: риск может быть от 0,5 до 4 0,5 = 2,0, но не более 2,0 - 0,5 =1,5, поэтому окончательно до 1,5; по E: от 2,5 до 4 2,5 = 10,0; но не более 10,0 - 2,5 = 7,5; окончательно до 7,5; по F: риск от 2,5 до 4 2.5 = 10,0; но не более 20,0 - 2,5 = 17,5; окончательно - до 10. Поэтому в соответствии с риском премия составит: 0,001 ((0,1 - 0,1) + (0,2 - 0,1) + (0,3 - 0,1)) + 0,002 (2,0 - 0,5) + + 0,003 ((10,0 - 2,5) + (20,0 Ц1,0)) = 0,001 (0,1 + 0,2) + 0,002 1,5+ + 0,003 (7,5 +10,0) = 0,0003 + 0,003 + 0,0525 = 0,0558 (млн.) Убытки определяются из доли ответственности перестраховщика в ущербе: по B (0,1 из 0,2), по F (10,0 из 20,0), поэтому: 0,1/0,2 0,15 + 10,0/20,0 2,55 = 1,350 (млн.). 3. Факультативный договор предусматривает перестрахование только риска F пропорционально (ответственность перестраховщика составляет 37,5% от фактического ущерба), поэтому он получает эту долю премии за риск F: (60000 0,375 = 22500) и оплачивает эту долю убытка: (2550000 0,375 = 956250). 4. Перестрахованы лишь два наибольших риска (E и F), причем по риску E передано 4 млн. из 10 млн., то есть 4/10 = 40% риска, а по риску F передано 4 млн. из 20 млн., то есть 4/20 = 20% риска. Поэтому премия перестраховщика составит: 0,4 30 + 0,2 60 = 24 тыс., а выплаты составят: 2,55 - 1,0 = 1,55 млн. 5. Суммарный риск 32,6 млн. Передан риск от 2000001 до 10000000 включительно, то есть 8 млн. Соответственно, доля премии: 8/32,6 94,6 = 23,215 (тыс.); доля выплаты: 2,7 - 2,0 = 0,7 (млн.). 11.3. Анализ целесообразности заключения договора о перестраховании Пример 2. Компания имеет 10000 договоров, по которым в течение года могут быть выплачено: либо частичная компенсация в 1 е.с.с. с вероятностью 0,002, либо полная компенсация в 10 е.с.с. с вероятностью 0,0005. (1 е.с.с. равна 100000 ). Проанализировать положение компании на предмет перестрахования риска /14/. Решение. Обозначим: Xi - ущерб страховщика в одном договоре, X= Xi -общий ущерб страховщика во всем портфеле. (Расчеты можно выполнять как в обычных денежных единицах, так и в е.с.с.). Рисковая премия равна математическому ожиданию ущерба в одном договоре, т.е. M(Xi) =1 0,002 + 10 0,0005 = 0,007 е.с.с. (700 денежных единиц). Дисперсия D(Xi): M(Xi 2) - M(Xi)2 = 1 0,002 + 100 0,0005 - 0,0072 = 0,052 (5,2108 ден.ед.2). Среднее квадратическое отклонение: 0,23 (2,3 104 ден.ед.). Тогда для вероятности выживания 0.95 имеем: (1-Ф(t))/2=0.05, t=1.645, d = 1,645 0,23/100 = 0,00375, т.е. нетто - премия: 0,007 + 0,00375 = 0,01075 е.с.с. (1075 ден.ед.). Соответственно, относительная надбавка: 0,00375/0,007 = 53,6%. Это объясняется достаточно большой вариацией риска: 0,23/0,007 = 32,6! Об этом подробно говорится в разделе "Степень риска". Для всего портфеля (из независимости Xi : M(X) =N*M(Xi); D(X) = N*D(Xi), ) N M(Xi)=10000 0.007=70, N D(Xi)=10000 0.0052=520, СКО= 520 =22.8, К= CKO/MO=22.8/70=0.326. Отметим, что суммарный нетто-взнос: 10000 0,01075=107,5 е.с.с. Ожидаемые общие выплаты равны суммарному рисковому взносу 70 е.с.с. Тогда ожидаемая прибыль: 107,5 - 70 = 37,5 е.с.с. равна суммарной рисковой надбавке. Пример 3. Предположим, что страховщик решает перестраховать большие риски. Т.е. собственное удержание равно 1 е.с.с. (100000 ден.ед.). А перестраховщик устанавливает свою рисковую надбавку в 60%. Проанализировать позиции сторон. Решение. Разобьем риск страховщика до заключения договора о перестраховании X на 2 составляющие: Y - оставленный риск и Z - переданный риск. Здесь для цедента есть только два значения иска (Yi): 1 е.с.с. и 0 с вероятностями: (0,002 + 0,0005 = 0,0025) и (1Ц,0025=0,9975), соотвественно. Следовательно, индивидуальные среднее значение и дисперсия равны: М(Yi) = 1 0,0025 = 0,0025 е.с.с. (250 ден.ед.), D(Yi) = 120,0025 +02 0,9975 - 0,00252 = 0,0025 е.с.с. (25 106 ден.ед. 2), СКО = 0,05 е.с.с. (5000 ден.ед.). Коэффициент вариации: 0,05/0,0025 = 20 существенно уменьшился, но продолжает оставаться довольно большим. С позиции перестраховщика ситуация следующая: Его индивидуальный иск (Zi) принимает два значения: 9 е.с.с. (900000 ден.ед.) и 0 с вероятностями: 0,0005 и 0,9995. Тогда среднее значение равно: М(Zi) = 9 0,0005 = 0,0045 е.с.с. (450 ден. ед.), а дисперсия: D(Zi) = 92 0,0005 + 02 0,9995 -0,00452= 0,0405. Следовательно, для всех договоров, переданных на перестрахование, суммарная рисковая премия составит: М(Z) = 10000 0,0045 = 45 е.с.с., а с учетом своей относительной рисковой надбавки (60%) общая нетто-премия: 45 1,6 = 72 е.с.с.. (Отметим, что в этом примере, где относительная рисковая надбавка перестраховщика уже известна, вычислять его дисперсию не надо. Она нужна, скорее, для сравнения с дисперсией цедента после заключения перестраховочного договора и иллюстрирует процесс передачи риска.) Итак, страховщик собрал 10000 0,01075 = 107,5 е.с.с. неттовзносов (70-РП и 37.5-РН) и из них заплатил перестраховщику 72 е.с.с. У него осталось 35,5 е.с.с. - одна треть собранных премий (две трети ушли к перестраховщику!). Ожидаемый доход страховщика: 35,5 - 25 = 10,5 е.с.с. (вместо 37,5 !). Рассмотрим, как перестрахование отразилось на вероятности разорения цедента. До перестрахования эта вероятность равна 5%. После перестрахования разорение означает превышение суммарного размера требований (к страховщику!), т.е. Y величины его остатка - 35,5 е.с.с. (выполняем нормирование Y): Pr(Y > 35,5) = Pr((Y - 10000 0,0025)/(0,0025 0,9975 10000)0,5 > > (35,5 - 25)/5)= (1 - Ф(10,5/5))/2 = (1 - Ф(2,1))/2 = (1 - 0,9643)/2 = 1,8%. Итак, удалось снизить вероятность разорения с 5% до 1,8% за счет уменьшения ожидаемого дохода в 3,5 раза. Пример 4. Попробуем с позиции страховщика улучшить его положение, варьируя размер удержания: 1 < r < 10. Решение. Индивидуальный иск к основному страховщику Yi принимает 3 значения: 1 е.с.с., r е.с.с. и 0 с вероятностями: 0,002; 0,0005; 0,9975. Его среднее значение и дисперсия, равны: M(Yi ) = 1 0,002 + r 0,0005 + 0*0.9975 = 0,0005 (r + 4); M(Yi 2)=12*0.002+r2*0.0005+0=(r2+4)*0.0005 D(Yi ) = (r2+4)*0.0005 - 25 10-8 (r + 4)2 = 0,0005 (r2 + 4). Иск к перестраховочной компании Zi принимает значения: 0 с вероятностью 0.9995 и (10-r) с вероятностью 0.0005. Поэтому: Среднее значение одного иска к перестраховочной компании: M(Zi ) = 0,007 - 0,0005 (r + 4) = 0,0005(10 - r) А дисперсия (аналогично Х): D(Zi )=M(Zi 2)=(10-r) 2*0.0005 Плата за перестрахование одного иска (с учетом *) равна: 1,6 0,0005(10 - r) = 0,0008 (10 - r). Характеристики суммарного иска к страховщику: N M(Yi) = 10000 0,0005 (r + 4) = 5(r + 4); N D(Yi) = 10000 0,0005 (r2 + 4) = 5(r2 + 4). Среднее значение и дисперсия суммарного иска к перестраховщику: N M(Zi) = 10000 0,0005 (10 - r) = 5 (10 - r) N D(Zi) = 10000 0,0005 (r2 + 4) = 5 (r2 + 4) Общая плата цедента перестраховщику равна: 10000 0.0008 (10 - r) = 8 (10 - r) = 80 - 8r Поэтому капитал (ожидаемый доход) цедента после перестрахования: 107,5 - 8 (10 - r) = 27,5 + 8r Разорение цедента наступит, если суммарный иск к нему Y больше этого значения капитала. Используя нормальную аппроксимацию, найдем вероятность разорения: 0,5(1 Ф(((27,5 + 8r) 5(r + 4))/ 5r 2 + 20 )) = = 0,5(1 Ф((7,5 + 3r)/ 5r 2 + 20 ) = 0,5(1 Ф(t)). Для минимизации вероятности разорения надо максимизировать аргумент t функции Ф. Рассмотрим: t2 = (7,5 + 3r)2/(5r2 + 20) и найдем производную от него. Она равна: d(t2 )/dr = (2(7.5 + 3r) 3 (5r2 + 20) - (7.5 + 3r) 2 (10r))/(5r2 +20)2 = (30r2 + 120 - (7.5 + 3r) 10r) (7.5 + 3r)/(5r2 + 20) 2 = (30r2 + 120 - 75r - 30r2) (7.5 + 3r)/(5r2 + 20) 2 = (120 - 75r) (7.5 + 3r)/(5r2 + 20) 2 = 2*(7.5 + 3r) (12 - 7.5r)/(5(r2 + 4) 2); d(t2 )/dr =2 (7,5 + 3r) (12 - 7,5r)/ (5(r2 + 4))2 Приравняв нулю и учитывая, что r > 0, получим: r = 12/7,5 = 1,6 е.с.с. (в абсолютных значениях: 160000), тогда: t = (7,5 + 3 1,6)/ 5 1,62 + 20 = 12,3/ 12,8 + 20 = 12,3/5,7 = 2,15. Ф(2,15) = 0,9684; (1 - Ф(t))/2 = 0,0158 = 1,58%. А средний доход компании: 7,5 + 3 1,6 = 12,3 е.с.с. (1230000). Таким образом, если изменить предел удержания с 1 е.с.с. на 1,6 е.с.с., то вероятность разорения уменьшится, а ожидаемый доход возрастет. В качестве упражнения рекомендуется рассмотреть различные значения r, например, 1,3; 2,0; 2,5; и исследовать влияние r на вероятность разорения (или, наоборот, выживания), ожидаемую прибыль, степень риска цедента. Можно также проанализировать показатели перестраховщика. Замечание. В этом примере условие сформулировано корректно: а) полная компенсация существенно выше частичной, б) соответствующая вероятность, наоборот, существенно ниже, в) у перестраховщика относительная рисковая надбавка выше, чем у цедента, но соизмерима с ней. Поэтому проблем не возникает. Функция зависимости вероятности разорения цедента от его уровня собственного удержания - строго выпукла, имеет глобальный минимум, который можно найти, приравняв нулю первую производную. При выполнении перечисленных условий оптимальное решение находится внутри интервала, указывающего min и max возможного уровня удержания. При выполнении студентами домашнего задания по данному примеру выяснилось, что иная ситуация возникает, если задача сформулирована некорректно. Например, относительная рисковая надбавка у перестраховщика в несколько раз выше, чем у цедента. Тогда глобальный минимум находится вне допустимого интервала. Это означает, что плата за перестрахование - слишком велика. Поэтому для цедента имеет смысл перестраховать только очень большие риски, которых у него нет. (Отсутствует приемлемое решение.) На отрезке, задающем область допустимых решений, первая производная - отрицательна, т.е. чем больше уровень собственного удержания, тем лучше для цедента. Таким образом получено математическое объяснение мотивов поведения на страховом рынке в данной ситуации. Видно, что перестраховщик не может решить всех своих проблем за счет своей рисковой надбавки. Пример 5. Компания имеет N = 20000 договоров на 1 год. Вероятность случая у всех одинакова и равна 0,01, тогда страховая сумма выплачивается полностью, иначе выплаты нет. Но страховые суммы различны: N1=10000, S1=100000; N2=5000, S2=200000; N3=4000, S3=500000; N4=1000, S4=1000000. Относительная рисковая (страховая) надбавка установлена компанией (для всех одинакова) 15%. Исследовать целесообразность перестрахования превышения потерь при пределе удержания 500000, если у перестраховщика относительная надбавка 20% /13/. Решение. 5-1. Оценим вероятность разорения и ожидаемый доход без перестрахования. Сгруппируем иски по величине S. Т.к. M(Xi) = Sp, D(Xi) = S2pq, то: M(X) = NSp; D(X) = D(NSp) = NpqS2. (= NpS qS). Составим таблицу. Группа N S NSp D(NSp) 1 10000 100000 107 99 1010 2 5000 200000 107 198 1010 3 4000 500000 2 107 990 1010 4 1000 1000000 107 990 1010 Всего 20000 5 107 СКО 48 10 5 = 9.6% = МО 5 10 7 Итак, страховщик в виде нетто-премий собрал: (1 + 0,15) (5 107) = 5,75 107; (57.5 е.с.с.), а ожидаемый доход (разность между собранными нетто-премиями и ожидаемыми выплатами): 5,75 107 - 5 107 = 0,75 107 = 7,5 млн. (0.75 е.с.с.) Тогда t = (0,75 107)/ 2277 1010 = 75/48 = 1,57, следовательно, вероятность разорения равна: (1 - Ф(1,57))/2 = (1 - 0,8836)/2 = 0,06 = 6%. 5-2. Теперь рассмотрим договор перестрахования с пределом удержания 500000 (0.5 е.с.с.). Это означает, что по договорам последней группы страховщик платит только 500000, столько же, сколько и в третьей, поэтому эти две группы можно объединить, и тогда получим. M(X)=NSp, D(X)=NSp*Sq. Строится аналогичная таблица: Группа N S NSp D(NSp) 1 10000 100000 107 99 1010 2 5000 200000 107 198 1010 3 5000 500000 2,5 107 1237,5 1010 всего 20000 4,5 107 1534,5 СКО 39.2 10 5 = = 8.72% МО 45 10 6 Итак, средний иск к цеденту уменьшился на 10% (с 50 млн. до 45 млн.), а дисперсия уменьшилась в 1,5 раза (с 2277 до 1534,5), при этом коэффициент вариации уменьшился с 9,6% до 8,7%. Средний суммарный иск к перестраховочной компании 5 млн. Плата за него составит 1,2 5 = 6 млн. Поэтому капитал передающей компании уменьшится на эти 6 млн. (с 57,5 до 51,5 млн.). А ожидаемый доход передающей компании составит 51,5 - 45 = 6,5 млн. (уменьшился на 1 млн. по сравнению с предыдущим вариантом). Вероятность разорения после перестрахования равна: 0,5(1-Ф(t)), t = (51,5 45) 10 6 / 1534,5 1010 = 60 / 1534,5 = 1, P = 0,5(1 - Ф(1,66)) = (1 - 0,9031)/2 = 0,05 = 5%. Итак, перестрахование уменьшило вероятность разорения с 6% до 5% за счет уменьшения ожидаемого дохода с 7,5 до 6,5 млн. Дополнение к данному примеру. В примере рассмотрены два варианта: без перестрахования и с перестрахованием при уровне удержания 500000. Разумеется, можно найти оптимальный уровень удержания. При этом отдельно анализируется интервал (0,2 млн., 0,5 млн.) и (0,5 млн., 1 млн.). Дело в том, что в этих двух интервалах различен передаваемый риск, а, следовательно, и плата за него, и вероятность разорения, и ожидаемый доход страховщика. Поэтому придется оптимизировать различные функции. Конечно, необходимо использовать не только первую производную, но и вторую, знак которой определяет min, max. Однако, если известен заранее характер оптимума, можно обойтись без второй производной. Итак, при кусочной аппроксимации возникают два локальных оптимума, из которых надо выбрать глобальный. Это исследование целесообразно выполнить в качестве самостоятельной подготовки. Далее, с точки зрения страховщика, ситуация выглядит следующим образом. Он знает характеристики своего портфеля и условия договора с перестраховщиком. Предположим, что он пришел к выводу о достаточности суммарной рисковой надбавки 7,5 млн. (или ожидаемой прибыли без перестрахования) для оплаты перестрахования и получении некоторой прибыли. Теперь он должен вернуться к анализу своего портфеля, чтобы решить, как ему распределить суммарную надбавку между субпортфелями. (Внутри каждого субпортфеля все полисы одинаковы, поэтому и надбавки будут равными!). Следовательно, возникает вопрос о справедливом распределении этой суммарной надбавки. Напомним, что в первом варианте предполагалось, что надбавка пропорциональна рисковой премии (или, что эквивалентно, математическому ожиданию риска). Однако, ситуация в разных субпортфелях - различна: и из-за разных страховых сумм, и по причине различных объемов субпортфелей. Пример 6. Проанализировать различные варианты формирования рисковой надбавки по данным предыдущего примера. Решение. Нетрудно убедиться, что надбавка в 15% обеспечивает разную надежность в каждом субпортфеле. Рассчитаем СКО, степень риска и вероятность разорения для каждого субпортфеля (15% = t/M). t=0.15/K; e=(1- Ф(t))/2. K=/M T Pr 9,95 105 0,0995 1,51 0,065 14,07 105 0,1407 1,07 0,142 31,46 105 0,1573 0,95 0,171 31,46 105 0,3146 0,48 0, Итак, при одинаковой относительной рисковой надбавке 15% вероятности разорения существенно различны: от 6,5% (меньше, чем во всем портфеле!) до 30,9% (вдвое больше, чем во всем портфеле!). Таким образом, благополучие в 4-м субпортфеле обеспечивается за счет взносов страхователей из 1-го субпортфеля (а также, частично, из 2-го и 3-го). Очевидно, такая ситуация устраивает клиентов из 4-й группы, но совершенно не устраивает представителей 1-й группы. (И, в какой-то мере, клиентов из 2-й и 3-й групп). Важно, что 1-й субпортфель может вполне обойтись без остальных. 2-й и 3-й могут объединиться (создать коалицию!) для повышения устойчивости всего портфеля. И они будут приветствовать объединение с 1-м субпортфелем, если он согласится на такое объединение. Но они совсем не заинтересованы в объединении с 4-м! Ясно, что если страховщик не изменит правила формирования взносов в пользу трех первых групп, они выйдут из общего портфеля. Хотя могут создать новый портфель (коалицию), где ситуация будет для них более привлекательна. Клиенты из 4-го портфеля тоже все это понимают, как и то, что только они заинтересованы в объединении 4-х субпортфелей. Но тогда они должны согласиться на изменение правил игры в пользу своих партнеров. Это означает, что надбавка в 4-м субпортфеле должна существенно возрасти, чтобы снизить взносы в 3-х других группах, и тем самым удержать их от выхода из общего портфеля или создания коалиции внутри него! Страховщик, понимая всю эту ситуацию, решает изменить правило формирования надбавки. Но это может быть сделано на основе различных принципов. Рассмотрим их поочередно. Страховщик может назначить рисковую надбавку, исходя из равенства вероятностей разорения для каждого субпортфеля. При этом суммарная рисковая надбавка должна приблизительно составлять 7,5 млн. Понятно, что эта задача может быть решена итерационно. Мы будем постепенно увеличивать вероятность разорения. На основании ее найдем t и соответственно, абсолютную и относительную надбавки. Итак, вероятность разорения увеличим с 0,06 (в рассмотренном примере) до 0,1. Тогда t = 1,28, i = d i /M i = t i pq/N i /( i p) = t q/p / N i = = 1,28 99 / N i = 12,74/ N i 1 = 0,1274 = 13%, 2 = 18%, 3 = 20%, 4 = 40,3%. Отметим, что для четвертой группы надбавка слишком велика. Найдем собранные с каждой группы суммы (в млн.): 10 1,13 = 11,3; 10 1,18 = 11,8; 20 1,20 = 24.0; 10 1,40 = 14,0. Всего: 11,3 + 11,8 + 24,0 + 14,0 = 61,1 > 57,5. Это позволяет снизить надежность в каждом субпортфеле. Пусть вероятность разорения 0,12. Тогда t = 1,175, относительные надбавки: 0,1169; 0,1653; 0,1848; 0,3697. Собрано: 11,169 + 11,653 + 23,696 + 13,697 = 60,2 > 57,5. Продолжаем процесс. = 0,15; t = 1,037, i: 0,1032; 0,1459; 0,1632; 0,3264. Собрано: 11,032 + 11,459 + 23,264 + 13,264 = 59. Наконец: = 0,18; t = 0,915, i: 0,091; 0,129; 0,144; 0,288. Собрано: 10,91 + 11,29 + 22,88 + 12,88 = 57,96 57,5. На этом можно и остановиться, а можно рассмотреть = 0,19, или 0,185. Другой подход основан на том, что сумма 7,5 млн. распределяется пропорционально СКО каждой группы, 9,95:14,07:31,46:31,46 или 0,32:0,45:1:1. Это означает, что группы должны внести (суммарные абсолютные) рисковые надбавки в размере 0,87; 1,22; 2.71; 2,71. (млн.) Тогда относительные надбавки составят: 8,7%, 12,2%, 13,6%, 27,1%. Соответственно, t: 0,874; 0,867; 0,864; 0,861. Они практически одинаковы и соответствуют вероятностям разорения 0,19 по каждому субпортфелю. Результат очень близок к полученному на основе одинаковых вероятностей разорения. (В качестве упражнения предлагается объяснить этот эффект). Наконец, можно ориентироваться не на СКО, а на дисперсии, тогда пропорция: 99:198:990:990 или 1:2:10:10. Следовательно, 7,5 млн. распределятся так: 0,326:0,652:32,6:32,6. Соответственно, относительные надбавки равны: 3,26%; 6,52%; 16,3%; 32,6%. Тогда: t: 0.328, 0.463, 1.036, 1.036. i: 0.37, 0.32, 0.15, 0.15. Здесь страховщик беспокоится, в основном, о больших рисках, игнорируя ухудшение ситуации в субпортфелях с малыми рисками. Если сравнить все рассмотренные варианты, то наиболее предпочтительно выглядят почти совпадающие варианты, основанные на равенстве вероятностей разорения или при надбавке, пропорциональной СКО. Однако, видно, что проблема существует, решение ее - неоднозначно, и необходимо ориентироваться на взвешенную формулу. Нахождение весовых коэффициентов представляет самостоятельную нетривиальную проблему. Интересно отметить, что надбавка в 4-й группе около 30% (у страховщика), а у перестраховщика 20%. Ранее отмечалось, что по одному и тому же риску надбавка перестраховщика всегда выше. Возможно, что перестраховщик установил надбавку 20% для всего портфеля (другой договор - облигаторный!), а при принятии только больших рисков (факультативный!) он свою надбавку несколько повысит. Но, с другой стороны, портфель перестраховщика состоит не только из 4-го субпортфеля. Ему аналогичные риски принесли и другие цеденты. Объем его портфеля велик, поэтому относительная надбавка может и не возрасти. Таким образом, показано, что в имущественном страховании роль перестрахования имеет свою специфику. Особенно это относится к крупным рискам. Очевидно, что особенности страхового портфеля существенно влияют на выбор перестраховочной программы и плату за перестрахование. 12. Концептуальные проблемы перестрахования (и некоторые смежные вопросы) 12.1. Проблема определения размера удержания Сложность проблемы определяется влиянием на выбор решения целого ряда факторов, таких, как: платежеспособность, емкость, финансовое состояние, обслуживание, взаимность, выравнивание нетто результата. На практике ситуация усложняется тем, что стороны интересует не отдельное, а оптимальная комплексная программа страхования или перестрахования. Отметим, что в отличие, например, от страхования ответственности, где страховая сумма и уровень страховых возмещений не требуются или даже не определены, в страховании собственности эти величины играют решающую роль. Интуитивно ясно, что с ростом капитала необходимость в перестраховании уменьшается. Аналогично, этому способствует увеличение вероятности разорения (готовность к риску) и уменьшение флуктуаций (колебаний, разброса) брутто-итога. В кн. Штрауба /32/ выведены некоторые рекомендации для определения уровня удержания в наиболее распространенных договорах. В общем виде удержание пропорционально брутто нагрузке премии и обратно пропорционально величине q, характеризующей потребность в перестраховочной защите. (a = d/q). Для конкретных договоров это общее правило принимает вид. 1. Для квотного договора: 2 M (Z ) U d lnw V ( Z ) где: U - резерв, w - допустимая вероятность разорения. 2. В эксцедентном договоре подбирается (итерационно) уровень удержания, чтобы выполнилось условие: лотношение средних страховых сумм (нетто к брутто) = a. 3. В договоре эксцедента убытка на основе статистики по отдельным cтраховым возмещениям (для соответствующего приоритета) аналогично п.2 обеспечивается выполнение условия: лотношение средних страховых возмещений (нетто к брутто) = a . 4. В договоре эксцедента убыточности аналогично: лотношение средних суммарных страховых возмещений (н/б) = a. Кроме решения абсолютной задачи для однородного субпортфеля необходимо решать относительную задачу для всего неоднородного портфеля. Интерес представляет зависимость удержания от категории риска. Замечание. Полученное выше правило для определения удержания: лудержание = капитал готовность к риску прибыльность несбалансированность показывает лишь качественное решение задачи. Более точное количественное решение получается по формуле: ~ ~ M(Z)/U V(Z) ( 0,5 lnw) = (M(Y)/M(Z))/(V(Z)/V(Z)) Левая часть характеризует потребность в перестраховочной защите. Три сомножителя характеризуют ситуацию до перестрахования (брутто портфель): финансовая слабость: M(Z)/U, несбалансированность брутто портфеля: V(Z) = Var(Z)/(M(Z))2 неприятие коммерческого риска: -0,5 ln w. Для определения потребности в перестраховании перемножаются: слабость, несбалансированность и неприятие риска. В правой части - нетто ситуация (после заключения договора). Здесь рассматривается отношение (польза/стоимость) перестраховочной программы. При удорожании перестрахования числитель уменьшается, а с ростом эффективности перестрахования уменьшается знаменатель. Различие правил для разных договоров свидетельствует о значительно большей специфике этой задачи по сравнению с задачей определения тарифов. 12.2. Проблема резервов Этот вопрос является одним из наиболее сложных и в то же время важных. В страховании существует много различных видов резервов. Резервы премий, резервы возмещений, чрезвычайные резервы, резервы колебания валюты и целый ряд других резервов, каждый из которых имеет свое назначение. Резервы премий (незаработанные премии) возникают, если договор заключен в июле на один год и премия внесена единовременно (всю первую половину следующего года компания несет ответственность, не получая никаких взносов). В перестраховании (например, от несчастного случая) резервы возмещений недостаточны, их приходится увеличивать. Технические резервы состоят из резервов премий и резервов возмещений. Они превышают суммарные годовые нетто поступления приблизительно вдвое. Эти деньги принадлежат не компании, а клиентам. Компании необходим резерв случайных рисков для сглаживания колебаний на рынке. Особое внимание уделяется капиталам риска или требованиям платежеспособности - амортизаторам флуктуаций годового результата. К чрезвычайному фонду предъявляются требования, чтобы он мог выдержать убытки, которые нанесет компании событие, происходящее раз в 100 лет. Естественно, методы расчета существенно зависят от целей создания резерва и случайных процессов, связанных с этим резервом. Очевидно, что с одной стороны, проблема резервов является самостоятельной, но с другой стороны, она тесно связана со всеми остальными актуарными проблемами, и в первую очередь, с перестрахованием. Как отмечено ранее, на практике актуарные задачи решаются в комплексе, и в большинстве случаев возникает многоцелевая задача, которую приходится решать итерационно до получения решения, приемлемого со всех точек зрения. 12.3. Исследование позиции цедента при перестраховании Смысл страхования для клиента - предотвращение финансовых потерь, связанных с неопределенностью наступления случайных событий. Клиент имел некоторый риск, способный привести к случайным потерям X, (или не привести). Страховой договор избавляет клиента (страхователя) от этого случайного риска за неслучайную плату (1+)M(X). Но этот риск не исчез, его принял на себя страховщик. Имея большой портфель договоров, страховщик обеспечивает малую вероятность своего разорения. Но возможны очень большие иски, которые могут привести его к разорению. Т.е. возникает опасность финансовых потерь из-за неопределенности предъявления очень больших исков. Поэтому страховая компания сама стремится застраховать свой риск у другого страховщика. Заключается перестраховочный договор между передающей компанией (цедентом) и перестраховочной компанией. Перестраховочный договор может охватывать как чрезмерно большие индивидуальные иски, так и суммарный иск за определенный период (год). С математических позиций некоторые виды страхования довольно близки к перестрахованию (при наличии существенных экономических и юридических отличий). Например, сострахование - договор нескольких страховщиков с одним клиентом, или групповое страхование - договор работодателя со страховщиком о страховании работников предприятия. Договоры перестрахования классифицируются по виду разделения ответственности между цедентом и перестраховщиком. Если согласно договору цедент оплачивает долю a от каждого иска (предел или доля удержания), а остальную долю платит перестраховщик, то имеет место пропорциональное перестрахование. Если цедент оплачивает индивидуальные иски до предела удержания r, а все сверх этого значения оплачивает перестраховщик, то имеет место перестрахование превышения потерь или эксцедентное перестрахование. Если это правило применяется к общему иску за некоторый период, то имеет место перестрахование, останавливащее потери, или перестрахование на базе эксцедента убыточности. Здесь r называется вычитаемой франшизой. Перестраховочные договора задаются функцией h(x), указывающей сумму выплат перестраховщика при иске x. Плата за перестрахование определяется по тем же принципам, что и в обычном страховании: (1+*)M(h(x)). При рассмотрении перестраховочного договора с позиции цедента считается, что рисковая надбавка перестраховщика * - фиксирована. Поэтому выбирается договор перестрахования и оптимизируется числовой параметр. Ранее изложена модель индивидуального риска, предназначенная для расчета вероятности разорения, основанная на следующих упрощающих предположениях: анализируется фиксированный относительно короткий промежуток времени (год), что позволяет пренебречь инфляцией и не учитывать доход от инвестирования; число договоров фиксировано и неслучайно; взнос - единовременный в начале периода; для каждого отдельного договора известны статистические свойства связанного с ним индивидуального иска. В этой модели определяется суммарный иск к страховщику. Если он больше резерва, компания не может выполнить свои обязательства и разоряется. Поэтому вероятность разорения - это дополнительная функция распределения величины суммарного иска. Отметим, что резерв может и увеличиться за счет ожидаемого дохода (разности между собранными нетто-премиями и математическим ожиданием выплат). При пропорциональном перестраховании уменьшается суммарный иск к цеденту (aS вместо S) и его капитал: U+(1+)M(S) (на (1+*)(1-a)M(S)). Поэтому после заключения договора резерв цедента станет равным: U + ( - * + (1 + *)a)M(S). Цедент разоряется, если: aS > U + ( - * + (1 + *)a)M(S). Т.е. S > (1 + * + (U/M(S) + - *)/a). Исследуем множитель при a. Если *< + U/M(S), то при пределе удержания от 1 (отсутствие перестрахования) до 0 (полное перестрахование) вероятность разорения цедента убывает от начального значения P(S > (1 + + U/M(S))M(S)) до 0. При этом ожидаемый доход уменьшается до: (1 + )M(S) - (1 + *)(1 - a)M(S) - aM(S) = ( - * + a*)M(S) Поскольку на практике * >, то при полном перестраховании доход отрицателен, т.е. имеет место убыток (* - )M(S). Поэтому параметр ла не может быть меньше (* - )/* = 1 - /*, когда ожидаемый доход равен 0. Следовательно, при * < + U/M(S) пропорциональное перестрахование позволяет снизить вероятность разорения за счет уменьшения ожидаемого дохода. Но при обратном знаке неравенства уменьшение предела удержания приводит к возрастанию вероятности разорения, поэтому подобный договор нецелесообразен. Если имеет место равенство, то вероятность разорения не зависит от предела удержания. Но ожидаемый доход уменьшается с уменьшением предела удержания, поэтому и здесь перестрахование нецелесообразно. Проанализируем перестрахование превышения потерь. Смысл этого договора в том, что иск Х разбивается на две составляющие: X(r)=min(X,r) - к цеденту, max(X-r,0) - к перестраховщику. Предполагается независимость и одинаковые распределения индивидуальных рисков, и соответственно, исков Xi. Собрано взносов: N(1 + )П0, где П0 = M(X). Плата за перестрахование: N(1 + *)(M(X) - M(X(r))). Разность - это ожидаемый доход цедента после перестрахования. Разорение наступает, если суммарный иск к цеденту превышает этот скорректированный ожидаемый доход. S > N( - *)M(X) + N(1 + *)M(X(r)) Или: S(r) - NM(X(r)) > N( - *)M(X) + N* M(X(r)). Теперь при большом N можно использовать нормальную аппроксимацию (делим обе части неравенства на ND X ). Если обозначить дробь в правой части неравенства через t, то вероятность выполнения неравенства: (1 - Ф(t))/2. Для минимизации этой вероятности надо максимизировать t. Экстремум находится приравниванием к 0 первой производной. (Заметим, что можно искать и экстремум t2). Конечно, в общем случае надо исследовать и вторую производную, а затем из всех локальных максимумов выбрать глобальный, но в некоторых частных случаях процесс упрощается. () (r) В рассмотренных задачах исследовалась вероятность разорения в зависимости от условий перестрахования без учета влияния резерва. В других задачах, наоборот, исследовалось влияние величины резерва на вероятность разорения, но без учета перестрахования. Реальный страховщик, разумеется, решает комплексную задачу, пытаясь найти оптимальную стратегию на страховом рынке (сочетание своей относительной рисковой надбавки, величины своего резерва с учетом возможности инвестирования временно свободных средств, различных вариантов перестраховочных договоров). Такой пример рассмотрен в /3/ где исследуется коллективная модель (портфель генерирует пуассоновскй поток исков). Замечание по квотному перестрахованию. Страховщик оставил себе долю (а) и передал на перестрахование долю (1 - а). Тогда: X=Y + Z, причем: Y = aX, Z = (1 - a)X, следовательно: M(Y)=a M(X), D(Y)=a2 D(X), Sy=a Sx M(Z)=(1-a) M(X), D(Z)=(1-a)2 D(X), Sz=(1-a) Sx. Если бы Y и Z были бы независимы, то возник бы эффект: D(Y) + D(Z) < D(X), из которого следовало бы уменьшение СКО/МО. Но ситуация иная. Y и Z связаны функционально: Z=Y (1-a)/a. Поэтому складываются не дисперсии, а СКО. Следовательно, общая дисперсия сохраняется, тогда сохранится и СКО/МО. Так же, как и в отдельности для Y и Z. Складывается впечатление, что никакого выигрыша нет! Однако каждую сторону интересует только своя дисперсия (т.е. ковариация никакой роли не играет и потому не учитывается!). Следовательно, неравенство выполняется (как это ни парадоксально) и тогда СКО растет медленнее, чем МО. Возникает эффект, аналогичный объединению субпортфелей. 12.4. Сравнение и графическая иллюстрация различных перестраховочных договоров Среди всех перестраховочных договоров наиболее простым является договор о пропорциональном перестраховании. Пусть основной договор предусматривает полное возмещение ущерба. Страховая сумма S равна рыночной цене. Пусть Х - размер обоснованного иска, предъявленного страхователем страховщику. Относительно этого риска есть договор о пропорциональном перестраховании, согласно которому цедент платит часть возмещения в объеме Y = a*X, а Z = (1 - a)*X перестраховщик оплачивает остальное. Ситуация проиллюстрирована на первом рисунке. Видно, что доля цедента a указывает тангенс угла наклона. y C Рис 12. y x x=y+z z Y Рис 12. C x Перестраховщику практически неважно, как именно распределена величина ущерба. Если он доверяет квалификации своего цедента, ему нужны лишь условия основного контракта, т.к. и взносы и возмещения делятся в оговоренной пропорции. Ситуация предельно упрощается, если перестраховщик уступает своему цеденту комиссионные в размере разности между относительными рисковыми надбавками (перестраховщика и цедента). Исключение составляет ситуация, когда страховая сумма достаточно велика, а цедент стремится почти весь риск передать на перестрахование. Это может возникнуть, если цедент принял данный риск (невыгодный) в пакете с выгодными рисками, и хочет поправить свои дела за счет перестраховщика. Здесь последний может потребовать, чтобы уровень собственного удержания у цедента, был не ниже определенного. На втором рисунке представлена возможная модификация договора. Здесь сначала ущерб возмещает только цедент, затем следующую часть ущерба цедент и перестраховщик возмещают в определенной пропорции, и наконец, если ущерб превышает оговоренную величину, цедент платит лишь фиксированную сумму, а весь ущерб сверх этой суммы возмещает перестраховщик. Пропорциональный договор перешел в эксцедентный. На объем ответственности влияет площадь фигур, однако, здесь перестраховщик обязательно потребует от цедента информацию о распределении величины ущерба. Потому, что задача может быть решена геометрически только при равномерном распределении. В общем же случае распределение отразится на оценках параметров (МО и СКО), а следовательно, и на рисковой премии, и на рисковой надбавке для перестраховочного договора. z y X z r1 X C y r2 C Рис 12.3.б. Рис 12.3.а. Цель эксцедентного договора, в некотором смысле, аналогична безусловной франшизе - состоит в ограничении сверху ответственности цедента на уровне собственного удержания r, передав на перестрахование весь следующий риск (рис. 12.3.а, 12.3.б). Видно, что в зависимости от выбора r, при одном и том же ущербе страхователя X доля цедента Y и доля перестраховщика Z - различны. Уменьшение r приводит к возрастанию ответственности перестраховщика и, соответственно, к росту цены перестраховочного договора. Однако, перестраховщик не обязан принимать весь предлагаемый риск. В эксцедентном договоре перестраховщик может ограничить свою ответственность: А) сверху: задав предел своей ответственности, тогда, если ущерб превзойдет это значение, то весь ущерб сверх того компенсирует сам цедент; Б) снизу: потребовав, чтобы ответственность перестраховщика превышала ответственность самого цедента (одну линию) не более, чем в k раз ( k линий). Причина такого поведения уже указана ранее. Никто не стремится отвечать за особо опасный риск. По крайней мере, если это не компенсируется выгодным договором. y S Y z Y z Y z y S YY Рис 12.3 x Рис 12. x В) двустороннее ограничение, т.е. снизу и сверху; здесь одну линию возмещает цедент, следующие k линий возмещает перестраховщик, а весь ущерб сверх этого возмещает сам цедент. Замечание. В действительности, цеденту невыгодно передавать на перестрахование весь риск по какому-то договору, т.к. перестрахование одной единицы риска стоит дороже страхования той же единицы. Перестраховщик берет наиболее крупные (и опасные) риски, таких рисков немного, поэтому его портфель, как правило, невелик, а от него требуется обеспечить более высокую надежность, чем от цедента. Рисковые премии у них одинаковы, но рисковая надбавка у перестраховщика - выше, поэтому у него выше и ставка. Следовательно, передавая весь риск, цедент не только ничего не заработает, но и будет вынужден платить из своего кармана. Кроме ограничения своей ответственности, у перестраховщика есть и другие возможности воздействовать на цедента. Например, тарифная политика. На сверх- опасные риски устанавливаются более высокие тарифы (увеличивается надбавка). Перестраховщик может предложить встречные условия, например, чтобы цедент передал на перестрахование не отдельный риск, а пакет (субпортфель). Тогда неблагоприятная ситуация по одним рискам будет компенсирована благоприятной ситуацией по другим. Это позволяет удешевить перестраховочный договор. 12.5. Сравнение квотного и эксцендентного перестраховочных договоров Выше было показано, что для квотного договора размеры выплат сторон (цедента и перестраховщика) прямо пропорциональны, поэтому ковариация этих двух случайных величин положительна. Следовательно, из условия: D(X) = D(Y) + D(Z) + 2*Cov(Y,Z) вытекает: D(X) > D(Y) + D(Z). Таким образом, не только каждое слагаемое в правой части, но и их сумма меньше левой части. Для каждой стороны, в отдельности, коэффициент вариации сохранился. Но для цедента и перестраховщика ВМЕСТЕ этот коэффициент уменьшился. В этом эффекте и заключается смысл квотного договора. D(Y) + D(Z) /(M(Y)+M(Z)) < D(X) /M(X) В эксцедентном договоре ситуация несколько иная. Предположим, что страховой случай произошел. Размер обоснованного требования об оплате (со стороны страхователя) превышает уровень собственного удержания цедента, но меньше предела ответственности перестраховщика. Тогда размер компенсации, полученной цедентом от перестраховщика, равен разности между размером обоснованного иска к нему со стороны страхователя, и уровнем собственного удержания в перестраховочном договоре. Т.е., если рассматривать размер иска, как фиксированную величину, то чем больше платит перестраховщик, тем меньше размер фактической выплаты цедента. (Это определяется уровнем собственного удержания в перестраховочном договоре.) Таким образом, в этом перестраховочном договоре (в отличие от квотного) связь между случайными величинами: X и Y - обратная. Поэтому ковариация - отрицательная, и D(X) < D(Y) + D(Z). Однако, каждое слагаемое в правой части должно быть меньше левой части. Иначе ухудшается ситуация в целом, чего быть не должно. Следовательно, в эксцедентном перестраховочном договоре передача риска заключается (в основном) в передаче именно большей части разброса (дисперсии) размера ущерба. Здесь этот эффект значительно сильнее, чем в квотном договоре. Дело в том, что в квотном - передаются все ущербы: и малые, и средние, и большие. В эксцедентном - малые остаются на ответственности цедента. Поэтому в эксцедентном договоре: цедент зафиксировал свои убытки, следовательно, можно ожидать, что для него коэффициент вариации несколько (или даже существенно) уменьшится, по сравнению с ситуацией при отсутствии перестраховочного договора. Зато у перестраховщика этот коэффициент существенно возрастет. Напомним, что в квотном договоре эти коэффициенты у сторон - равны. Таким образом, при одинаковом объеме ответственности перестраховщика в этих двух договорах, риск перестраховщика (в смысле коэффициента вариации) значительно выше в эксцедентном договоре. Это приведет к повышению рисковой надбавки, а, следовательно, и тарифа эксцедентного договора, по сравнению с квотным. После приведенных пояснений становится более понятным и различие облигаторного и факультативного перестраховочных договоров. Ситуация, в определенном смысле, аналогичная. Это позволяет, в первом приближении, сформулировать требования к перестраховочной программе. Цедент стремится передать на перестрахование свои наиболее лопасные риски. Но если передать только их, то придется очень дорого заплатить за перестраховочный договор. Поэтому, чтобы удешевить этот договор, приходится идти на компромисс, и вместе с лопасными (а потому - дорогими) рисками передать на перестрахование и некоторую часть рисков, выгодных для перестраховщика. Т.е. цедент идет на дальнейшее уменьшение своей ожидаемой прибыли ради снижения платы за перестрахование. Разумеется, при этом выполняются требования к надежности (по всему страховому портфелю). 12.6. Учет инфляции В договоре перестрахования может быть учтена инфляция. Например, в первом году убытки X, уровень собственного удержания M, а во втором году выплаты корректируются (kX вместо X), а уровень M не меняется. (Если и M превратится в kM, то все сводится к замене переменной X на U=kX). y = kx, kx M ; y = M, kx > M. M/k M(Y) = k f(x) x dx + M Pr(X > M/k) = 0 M/k = k x f(x) dx k x f(x) dx + M f(x) dx = M/k = k M(X) k (x M/k) f(x) dx = k M(X) y f(y + M/k) dy. M/k Видно, что среднее значение выплат не пропорционально соответствующему среднему значению без учета инфляции. В частности, при экспоненциальном распределении с и k: M(Y) = k/ (1 - e- M/k ). 12.7. Влияние информации на цену договора Выше было отмечено, что при эксцедентном перестраховании можно не регистрировать убытки, меньшие M. При этом вольно или невольно происходит дезинформация перестраховщика. Он не знает о малых ущербах и поэтому может считать, что страховые случаи более редки, чем в действительности. Однако вопреки ожидаемому улучшению представлений перестраховщика о своем клиенте, эффект совершенно противоположный. Перестраховщик, не подозревая о малых ущербах, считает, что если страховой случай произошел, то ущерб велик. И эти соображения, основанные на элементарном здравом смысле, вполне согласуются с идеями Байеса. Априорные вероятности возникновения страховых случаев с большими ущербами существенно отличаются от апостериорных. Покажем это. Пусть страховщик платит: x1,x2,M,x3,M,x4,x5,... Перестраховщик учитывает только те требования, которые больше M, потому что по ним он выплатил (xi-M). У него нет полных сведений об ущербе. Полученная выборка называется цензурированной. И для ее исследования может быть использован метод максимального правдоподобия, который применяется в два этапа. На первом этапе учитываются только точно зарегистрированные величины. Тогда L1() = f(xi, ). 1 n Вклад цензурированных величин: L2() = Pr(X > M) m (m выплат совместно с перестраховщиком). L(( = L1(1 L2(2 = f(xi, ) (1 F(M)) 1 n m Далее работаем по обычному алгоритму метода максимального правдоподобия. Например, для экспоненциального распределения с неизвестным его оценка =n/( xi +mM), стандартная ошибка равна / n. n m n L(( = e xi e M l( ) = lnL(n= n ln xi m M 1 1 l n n n = xi + m M = 1 xi + m M для дисперсии: n 2 2l = 2 V(( = V( ) = / n n 2 Теперь рассмотрим процесс с позиции перестраховщика. Его интересуют только ущербы, превосходящие M. (Об остальных он и не знает!) То есть он имеет дело с усеченными распределениями. Y=X-M, X>M. Если X имеет функции: f(X) и F(X), то какова функция g(Y) и соответственно G(Y)? M +y Pr(Y g(y) = f(y+M)/(1-F(M)), y>0. Знаменатель учитывает неполноту информации, он меньше единицы. Важно отметить, что в действиях перестраховщика нет злого умысла (стремления повысить свою устойчивость за счет своего клиента). Это просто формальная реакция математического аппарата на неполноту данных! Вывод очевиден: если страховщик не хочет платить перестраховщику больше того, чем стоит перестраховочный договор (в условиях полной осведомленности перестраховщика), он должен информировать последнего обо всех страховых случаях, а не только о крупных выплатах. Понятно, что такая же рекомендация и для частного лица, заключившего договор с безусловной франшизой. Таким образом, откровенность страхователя со своим страховщиком (естественная в западных странах, но еще не осознанная и потому не вошедшая в практику в России) базируется не столько на природной честности, сколько на точном расчете! В то же время видно, что страховщик не должен рассчитывать на дисциплинированность страхователя, который будет информировать его обо всех убытках, зная при этом, что компенсацию за них он не получит. Поэтому он обязан учесть неполноту информации. Аналогична и позиция перестраховщика по отношению к цеденту (но они, в принципе, могут составить юридический договор об обязательном информировании). 12.8. Позиции цедента и перестраховщика Рассмотрим распределение выплат перестраховщика, если распределение ущерба - экспоненциальное с параметром и установлен уровень удержания M. Оказывается, что результат такой же, как и у основного страховщика! Этот эффект - следствие особых свойств экспоненциального распределения, которое ничего не запоминает. g(y) = f(y+M)/(1-F(M)) = e- (y+M) /e- M = e-y у страховщика e- x. В данном случае использовано обобщение формулы Байеса. В начале очередного года страховщик опирается на предыдущий опыт и (планируя свою деятельность на этот год) оперирует с априорными распределениями, то есть для нового клиента первоначальный взнос: = f()d. Это - математическое ожидание априорного распределения. К концу года появилась новая информация. Это позволяет скорректировать представления о процессе. Используем условное (по отношению к полученным данным) распределение риска. f(/данные) = f()f(данные/)/f(данные) Слева плотность, зависящая от, а справа в знаменателе величина, не зависящая от, то есть константа. Тогда f(/данные) пропорциональна числителю. При этом f() - прежняя информация, а новые данные (уточнение представлений о процессе) сосредоточены в f(/данные), то есть в апостериорном распределении. Этот общий теоретико-вероятностный факт, который звучит: Апостериорная плотность пропорциональна произведению априорной плотности на плотность максимального правдоподобия достаточно широко используется в актуарных исследованиях и расчетах. Несколько замечаний о пропорциональном перестраховании. Ущерб величиной X оплачивается: страховщиком aX и перестраховщиком (1-a)X. Очевидная замена переменных позволяет решить задачу. Например, потери подчиняются экспоненциальному закону с параметром, доля удержания УaФ, каждое требование погашается (нет франшизы). Тогда потери страховщика подчиняются экспоненциальному закону со средним a/, а для перестраховщика - тот же закон со средним (1-a)/. Складываются средние. Итак, показано, что в определенном смысле эксцедентное перестрахование аналогично безусловной франшизе. Роли уровня удержания M и безусловной франшизы L совпадают. Эксцедентное перестрахование Удержание М Убыток X=Y+Z Страховщик Y=min(X,M) Перестраховщик Z=max(0,X-M) безусловная франшиза франшиза L убыток X=Y+Z страхователь Y=min(X,L) страховщик Z=max(0,X-L) Специфика в позициях сторон: клиента, страховщика и перестраховщика определяются информацией об убытках и размерах выплат у каждой стороны. Например, при безусловной франшизе L среднее значение страховых выплат (x L) f(x) dx L Но компания не знает об убытках, меньших, чем L, (страхователю они известны!) То есть компания работает с усеченным распределением, плотность которого f(x)/(1-F(L)). Тогда компания подсчитает величину убытков: 1 (x L) f(x)/(1 - F(L)) dx = 1 F(L) (x L) f(x)dx, L L то есть несколько большую. Другой пример. Перестраховочная компания располагает информацией о выплатах, превосходящих удержание страховщика M. То есть работает с усеченным распределением и получает результаты, как в последней формуле. Но перестраховщик может собрать данные и о всех страховых выплатах (в том числе и меньших M) и тогда он подсчитает убытки по предыдущей формуле. Вывод: Актуарию страховой компании необходимо знать, какой информацией о страховых выплатах (убытков страхователей) он располагает. От этого зависит вид распределения страховых выплат, и соответственно результаты. На необходимость информировать своего страховщика обо всех страховых случаях (включая те, которые тот не станет оплачивать) указано ранее. 12.9. Некоторые практические рекомендации Замечание. Рассмотрим позицию перестраховщика. Выше отмечалось, что страховщик в зависимости от величины процентной ставки выбирает приоритет своих стратегий: либо увеличение своего начального резерва, либо увеличение передаваемого риска и платы за него. Очевидно, что перестраховщик, принимая некоторый риск, обязан иметь свой соответствующий начальный капитал. Поэтому и для него существует аналогичная зависимость выбираемой стратегии от процентной ставки. Таким образом, обе стороны (и страховщик, и перестраховщик) одновременно заинтересованы в увеличении (или наоборот, сокращении) своих начальных резервов. Следовательно, их интересы в определенном смысле противоположны. Когда первый стремится уменьшить свой капитал и увеличить передаваемый риск, второй так же не заинтересован в увеличении своего начального резерва, поэтому он хотел бы принять меньший риск. Выбор величины передаваемого риска принадлежит страховщику. А перестраховщик может влиять на это решение, только несколько меняя плату за свои услуги. Не выходя при этом из допустимого на данном страховом рынке диапазона. Параллельно учитывается и заинтересованность перестраховочной компании в этом конкретном клиенте. Другая возможность перестраховщика - в заключении договора о перестраховании своего риска в третьей компании. Поэтому на цивилизованном страховом рынке принята практика оказания взаимных услуг по перестрахованию. Однако имеется определенный нюанс. Необходимо исключить возможность возникновения абсурдной ситуации, когда компания A передает компании B на перестрахование определенный риск, а затем этот же риск передается на перестрахование от B к A. Добросовестные страховщики сами не станут прибегать к подобным трюкам, поскольку надежность при этом не повышается. Следовательно, такая сделка является фикцией. Поэтому в законодательстве развитых стран существуют юридические ограничения на такие договора. Для нас важно отметить, что подобное ограничение опирается на результаты актуарных выводов о невозможности повысить надежность при таком договоре. Ранее указывалось, что в договоре о перестраховании, кроме рисковой премии, существуют комиссионные, которые он платит страховщику (своему клиенту), а также рисковая надбавка и расходы на ведение дела. Принципы решения этих вопросов такие же, как и у страховщика. Различие - лишь техническое - в соответствующем законе распределения. На практике на перестрахование передаются, как правило, очень большие и редкие риски. Договор о перестраховании может соединить в себе элементы пропорционального и эксцедентного перестрахования. Например, ущерб до 10000 у.е. страховщик погашает сам, ущерб от 10001 до 20000 погашается двумя сторонами в пропорции (a) и (1-a), свыше 20000 передается на эксцедентное перестрахование. Возможен и более сложный вариант договора, например, ущерб от 10001 до 15000 погашается в пропорции 0.67:0.33, а ущерб от 15001 до 20000 - в пропорции 0.33:0.67. То есть по мере увеличения величины ущерба доля ответственности перестраховщика возрастает. Это возрастание доли может быть задано произвольной функцией, выбираемой страховщиком. Необходимо только наличие возможности рассчитать риск перестраховщика (для определения цены договора о перестраховании). Принципиальных сложностей в актуарных расчетах здесь не возникает. Очевидно, все изложенное может быть использовано и в обычном договоре с франшизой, однако на практике существенное усложнение подобных договоров достаточно редко. 12.10. Перестрахование и взнос страхователя Поскольку на перестрахование передаются большие риски, то особую роль приобретает вопрос определения величины рисковой надбавки. При анализе эксцедентного перестрахования отмечалось, что уменьшается не только математическое ожидание риска страховщика, но и дисперсия этого риска. Это создает предпосылки для снижения тарифов страховщика (несмотря на появление платы за перестрахование, которую страховщик также перекладывает на своих клиентов). Может сложиться впечатление, что, так как весь разброс ущерба сохранился, то это означает увеличение разброса (дисперсии) риска перестраховщика. Следовательно, возрастет и его рисковая надбавка. Перестраховщик будет вынужден поднять свои тарифы, а это приведет к подорожанию страхования и для частных лиц. В действительности ситуация иная. Договор об эксцедентном перестраховании разбивает все множество рисков на малые риски (оставляемые у страховщика) и большие риски (передаваемые перестраховщику). Очевидно, что имеет место классификация рисков (как объектов). Из кластер-анализа известно, что вся дисперсия при классификации делится на две составляющие: внутригрупповую и межгрупповую. После вступления в силу договора о перестраховании страховщика интересует только свой риск, а перестраховщика - только свой. Поэтому в расчетах учитывается не вся, а только внутригрупповая дисперсия. Следовательно, обе стороны: страховщик и перестраховщик получили возможность уменьшить свои дисперсии (и тем самым, рисковые надбавки). В конечном итоге, это приводит к удешевлению страхования в целом для клиента (Рис. 4.2.). вероятность f(x) Sy My Mx Sx M Mz Sz ущерб Рис. 12.5. Этим проиллюстрировано действие еще одного фактора снижения риска при перестраховании. Следует предостеречь от упрощенного взгляда на вопрос снижения дисперсии. Очевидно, не проходит аргумент, что для трех случайных величин: X=Y+Z справедливо: D(X)=D(Y)+D(Z), из-за контр - аргумента: Z=X-Y, поэтому: D(Z)=D(X) + D(Y)! Дело в том, что X разбивается на Y и Z не произвольным случайным образом, а по определенной системе (с помощью классификации). 12.11. Объединение распределенных рисков Ранее рассматривались, в основном, договоры с фиксированным размером ущерба. На практике чаще встречаются ситуации, где размер ущерба представляет собой случайную величину с некоторым законом распределения. В этом случае актуария интересует величина суммарного ущерба и ее распределение. Пример 1. Пусть есть два клиента, у которых вероятность страхового случая одинакова и равна 0.1, а величина ущерба имеет одинаковое распределение: Х Р 100 0.1 200 0.2 300 0.3 400 0. Тогда необходимо сначала найти распределение числа страховых случаев (эта задача - вспомогательная, страховщика интересует как количество случаев, так и общий ущерб). Pr(k=0) = qq = 0.92 = 0.81; Pr(k=2) = pp = 0.12 = 0.01; Pr(k=1) = pq + qp = 20.10.9 = 0.18. Эти три события образуют полную группу событий, поэтому сумма их вероятностей равна 1. Теперь можно перейти к построению закона распределения случайной величины Y- суммарного ущерба, которая является композицией двух случайных величин. (В данном примере иллюстрируется обработка смеси распределений.) Pr(Y=0) = Pr(k=0) = 0.81 Pr(Y=100) = Pr(k=1) Pr(X=100) = 0.180.1 = 0.018 Pr(Y=200) = Pr(k=1)Pr(X=200) + Pr(k=2)Pr(X=100)Pr(X=100) = = 0.180.2 + 0.010.10.1 = 0.036 + 0.0001 =.0361 Pr(Y=300) = Pr(k=1) Pr(X=300)+Pr(k=2)Pr(X=200)Pr(X=100)2= = 0.180.3 + 0.010.20.12 = 0.0544 Pr(Y=400) = Pr(k=1)Pr(X=400)+Pr(k=2)(Pr(X=200)Pr(X=200)+ + Pr(X=100) Pr(X=300) 2) =... = 0.073 Pr(Y=500) = Pr(k=2) (Pr(X=100) Pr(X=400)2+ + Pr(X=200) Pr(X=300) 2) =... = 0.002 Pr(Y=600) = Pr(k=2) (Pr(X=200) Pr(X=400)2+ + Pr(X=300) Pr(X=300)) =... = 0.0025 Pr(Y=700) = Pr(k=2) (Pr(X=300) Pr(X=400)2) = 0.0120.30.4 = 0.0024 Pr(Y=800) = Pr(k=2) Pr(X=400) Pr(X=400) =... = 0. Проверка показывает, что сумма вероятностей равна единице. Составляем закон распределения: Y P 0 100 200 300 400.81.018.0361.0544.073 500.002 600 700 800.0025.0024. M(Y) = YPy = 0 + 1.8 +...+ 1.28 = 60 ( M(X)= 300, M(k)=np = 0.2, M(X) M(k) = M(Y) ) 2 M(Y ) = 21800, D(Y) = 21800 - 602 = 18200, y = 136, К=136/60=2.27 12.12. Перестрахование суммарного распределенного риска Рассмотрим на этом числовом примере, что происходит при перестраховании. Предположим, что страховщик оставил себе риск до 300 включительно, а весь риск сверх этого значения передал на эксцедентное перестрахование. Каковы математические ожидания и дисперсии рисков страховщика и перестраховщика после заключения договора? В зависимости от наличия или отсутствия у перестраховщика информации о малых ущербах возникают различные варианты. Сначала рассматриваем ситуацию с точки зрения страховщика, у которого есть вся информация. Пусть X - ущерб, Y - выплата страховщика, Z - выплата перестраховщика. Рассмотрим различные варианты. Пример 2. По договору страховщик полностью освобождается от оплаты возмещения ущерба Y>300, такой ущерб полностью оплачивает перестраховщик. Y Py 0.81 100.018 200 300 Z.0361.0544 Pz 400 500.073.002 600 700 800.0025.0024. Чтобы каждая таблица была законом распределения, необходимо выполнение условия: P = 1. Это достигается при учете: P(Y = 0) = P(X = 0) + P(X > 300), т.е. 0.81 + 0.0815 = 0.8915 P(Z = 0) = P(X 0), т.е. P(Z = 0) = 0.9185. 2-1. Здесь обе стороны знают всю картину. M(Y) = 25.34, M(Y2) = 6520, D(Y) = 5877.9, y=76.7 < 136, K=76,7/25,34=3,03 M(Z) = 34.66, M(Z2) = 15280, D(Z) = 14078.7, z=118.7 < 136. K=118,7/34,7=3,4 Итак, сумма математических ожиданий сохранилась, но у каждой стороны уменьшились и математические ожидания и дисперсии их собственных рисков по сравнению с соответствующими характеристиками общего риска. Выше отмечено, что это приводит к снижению обеих рисковых надбавок, следовательно, к удешевлению страхования, в целом, для страхователя. 2-2. Теперь рассмотрим ситуацию со стороны перестраховщика, который знает только о тех страховых случаях, по которым ему пришлось выплачивать возмещение. Значения Z для него сохраняются, но вероятности будут совсем другими. Полная вероятность того, что перестраховщик узнает о страховом случае есть Pr(X>300) = 0.0815. Это есть 1 - F(M), которая находится в знаменателе в формуле для М.О. риска перестраховщика в условиях неполной информации. Если страховщик рассматривает общий риск X=Y+Z, то перестраховщику известен только Z, поэтому при разбиении X на Y и Z необходимо подправить значения вероятностей. Например, условная вероятность (Z=400) (при условии, что X>300), равна 0.073/0.0815 = 0.8957. (В то время, как для страховщика просто добавляется Pr(X>300) = 0.0815. То есть, в законе распределения Y добавится (Pr(Y=0) = 0.0815) ). Поэтому каждое значение вероятности Pz увеличится в 1/0.0815 = 12.27 раз. Соответственно увеличится и его М.О. M(ZТ) = 12.2734.66 = 425.3 >>34.66 ; M(ZТ2) = 12.2715280 = 187439 ; D(ZТ) = 187439 - 425.32 = 6650 ; zТ = 81.5 < 136. K=84,5/425,3=0,19. Естественно, перестраховщик назначит совсем другую плату за свои услуги (рисковая премия существенно возрастет, рисковая надбавка, наоборот, снизится, причем, и абсолютная, и относительная, но нетто-премия существенно возрастет), что отразится на цене страхования в целом. Отметим, что ситуация стала менее благоприятной, чем до заключения перестраховочного договора - абсурд! Причина - не вполне корректное условие о полном возмещении всего ущерба (сравните условную франшизу с безусловной!). Поэтому такие договора не практикуются. Пример 3. Изменим условие договора о перестраховании. Если X>300, то страховщик платит Y=300, а перестраховщик платит Z = X-300. Так как Pr(X>300)=0.0815, то для страховщика Pr(Y=300)=0.0544+0.0815=0.1359. Тогда закон распределения Y примет вид: Y Py 0 0.81 100 0.018 200 0.0361 300 0. Соответственно: M(Y)=49.79, M(Y2)=13855, D(Y)=11360, y=107. K=107/49,79=2,27. По сравнению с предыдущим договором существенно увеличилось математическое ожидание (то есть рисковая премия), а также увеличились дисперсия и среднее квадратическое отклонение (что отразилось на надбавке: абсолютная возросла, хотя относительная уменьшилась). 3-1. Перестраховщик знает обо всех убытках. Тогда для него закон распределения примет вид: Z Pz 100.073 200.002 300 400 500 0.0025.0024.0016. Следовательно: M(Z)=10.21, что вполне соответствует значению M(Y)=49.79. M(Z2)=1819, D(Z)=1715, z=41.7 < 136. K=41,7/49,79=0,94 < 2,27. Сумма рисков страховщика и перестраховщика сохранилась, но их дисперсии и средние квадратические отклонения уменьшились, поэтому надбавки снизились у обоих (причем, и относительные и абсолютные), то есть страхование, в целом, подешевело. 3-2. Теперь, с учетом того, что перестраховщик знает лишь об убытках свыше 300, в компенсации которых он принимает участие, построим закон распределения Z. Как и в п.45.2., все вероятности увеличились в 12.27 раз. Поэтому: ZТ 100 200 300 400 500 0 PzТ.8957.0245.0308.0294.0196 Соответственно: M(ZТ)=125.27 (сравнить с 425.3 в предыдущем примере), M(Z2)=22313, D(ZТ)=6650, zТ=81.5. K=81,5/125,27=0,65. Если математическое ожидание уменьшилось на те 300 у.е., на которые снизились выплаты перестраховщика, то увеличение дисперсии и среднего квадратического отклонения (по сравнению с п.3.1. и п.2.2.) приведет к повышению надбавки в договоре о перестраховании. Поэтому страхование в целом может стать дороже, чем в п.3.1. В то же время zТ = 81.5 < 136, что должно снизить цену страхования в целом. (Факторы действуют в противоположных направлениях.) Сравнение этих двух договоров о перестраховании показывает зависимость цены договора от условий, а также влияние полноты информации на цену страхования в целом. В данном примере для страхователя цена договора (рисковая премия плюс надбавка) без перестрахования составит (при условии, что надбавка равна 10% от среднего квадратического отклонения): 60 + 10% 136 = 73.6. А при эксцедентном перестраховании в условиях полной информации (п.3.1.): рисковая премия распределяется между страховщиком и перестраховщиком, а надбавка берется с весовым коэффициентом, равным доле стороны в рисковой премии. Тогда полная цена договора: (49.79 + 10% 107 49.79/60 ) + (10.21 + 10% 41.7 10.21/60 ) = = 49.79 (1 + 107/600) + 10.21 (1 + 41.7/600) = 69.6 < 73.6. Таким образом, в целом для страхователя договор стал дешевле на 4 у.е. или на 5%. Аналогичные расчеты для п. 3.2. дают результат 70.2, что несколько больше, чем 69.6, (но меньше, чем 73.6). Это показывает, почему в практике получило распространение именно эксцедентное перестрахование. При некоторой условности и упрощенности примера он достаточно нагляден. В частности, видно, что варианты с отсутствием у перестраховщика полной информации неконкурентоспособны. 13. Некоторые концептуальные проблемы оценки устойчивости 13.1. Задача о разорении В отличие от предыдущих задач, где рассматривалось состояние страхового портфеля в конце срока страхования, в данном разделе анализируется состояние портфеля в произвольный момент времени. Компания должна быть в состоянии выполнить свои обязательства в любой момент, не дожидаясь поступления всех страховых взносов. Пример 1. Компания должна получить за год суммарный страховой взнос 600 е.с.с. и рассчитывает, что взносы будут поступать равномерно в течение года, (так и бывает на практике), поэтому к определенному дню накопленная сумма взносов будет пропорциональна отрезку времени, прошедшему с начала года. Требование о выплате возмещения может поступить в любой момент и размер требования случаен (известно лишь его распределение). Например, компания надеется получить к 60-му дню года (2 марта) взносы в объеме: 600 (60/365) = 98,6 = 99 е.с.с. Тогда может возникнуть следующая ситуация (см. табл.): День Размер выплаты Поступившие взносы 60 87 99 96 113 158 202 212 332 301 64 495 363 58 К концу года все благополучно: суммарный размер выплат (534) меньше собранных взносов. Однако, к 96-му дню ситуация недопустимая: собрано 158, а необходимо выплатить 200. Аналогично и к 202-му дню: собрано 332, а выплатить придется 412. Очевидно, что если у компании в начале года не будет капитала, то она окажется несостоятельной. (Подобная задача с потоком платежей в коммерческом банке рассматривалась в курсе Основы финансовой математики /30/.) В данном примере достаточно начального резерва 80 (изменение цены денег не учитывается). Активы на момент времени t = исходные активы + взносы на момент времени t - выплаты на момент времени t. Итак, принцип определения исходных активов (начального капитала, резерва), в том, что на первом этапе, полагая их равными нулю, строим график изменения активов во времени. Эта ломаная линия может опуститься ниже горизонтальной оси (причем неоднократно). На втором этапе находим глобальный минимум. Теперь необходимо поднять ломаную линию настолько, чтобы она вся находилась над горизонтальной осью. То есть резерв по абсолютной величине должен быть больше найденного глобального минимума. (Рис. 13.1). U(t) U(t) U t t Рис. 13.1. Актуария интересует вероятность разорения и, в частности, зависимость этой вероятности от резерва (начальных активов) и от рисковой надбавки. Очевидно, эта зависимость есть убывающая функция. В простейшем случае предположим, что требования оплачиваются немедленно, процентная ставка равна нулю (цена денег постоянна), издержки страховщика игнорируются. Пусть для каждого t > 0 есть случайная величина N(t) - число требований до момента t. Тогда семейство случайных величин (N(t))t0 - пример случайного процесса. Пусть Xi - размер i-й страховой выплаты, Z(t) - общий размер страховых выплат до момента t. Тогда (Z(t))t0 - случайный процесс, описывающий общий размер выплат. Z(t) = Xi, i = 1,...,N(t). Для единицы времени имеем: N(1) и Z(1), которые соответствуют N и Z в коллективных моделях. Поступающие взносы исследуются на уровне портфеля; при этом предполагается, что взносы поступают непрерывно и с фиксированной скоростью СcТ Активы обозначим U. Тогда: U(t) = U + ct - S(t) представляет случайный процесс изменения активов. Пример 2. В течение года произведено 6 выплат (по графику); День Размер выплаты 47 97 99 104 199 157 286 56 306 23 358 В предыдущие 5 лет число требований k составило: 4, 3, 6, 2, 5. Среднее значение страховой выплаты составляло 120 е.с.с. Надбавка равна 25%. Найти совокупный страховой взнос за год. Построить график процесса изменения активов. Искомый взнос равен: M(Z) (1 +) = 120 1,25 (4 + 3 + 6 + 2 + 5)/5 = 600 Тогда на 47-й день поступит взносов: 600 (47/365) = 77 и т.д. Достроим таблицу: поступило взносов 77 общий размер 97 выплат 163 327 470 503 588 201 358 414 437 Нетто-взнос: 120*1.25*(4+3+6+2+5)/5 = 600. Потребность в резерве по дням: 97 - 77 = 20; 201 - 163 = 38; 338 - 327 = 31. Далее сумма взносов больше общего размера выплат, поэтому обращаться к резерву не приходится. Требуемый резерв равен: 20/77 = 26%, 38/163 = 23.3%, 31/327 = 9.5%. Необходимость в начальном резерве в 26% от собираемых (ожидаемых) взносов косвенно объясняет размер относительной надбавки в 25%. Результат можно объяснить и иначе. Заметим, что если найти MAX (сумма выплат / сумма взносов) ( 97/77 = 1,259; 201/163 = 1,233; и т.д.) то становится понятным выбор надбавки 25%. Следующий подход основан на разбросе при оценке резерва. D =1,41, K= D /M = 1,41/4 = 0,35 = Так как M(k) = 4, D(k) = 2, 35%. То при = 25% (которой недостаточно) видна потребность в резерве: 20, 38, 31. Можно попытаться рассуждать несколько иначе и проанализировать разброс числа требований. k = 4; D(k) = 1/(n-1) (ki - k)2 = (0 + 1 + 4 + 4 + 1)/4 = 2.5; 2.5 = 1.58; СКО/МО = 1.58/4 = 0.4 = 40%. И здесь относительная надбавка будет исчисляться, исходя из найденного коэффициента вариации в 40%. Показано, что использование недостаточно обоснованных УэвристическихФ подходов существенно снижает как точность выводов, так и их надежность. Однако, на практике они иногда используются. 0. i = n 13.2. Вероятность разорения С актуарных позиций разорение означает падение активов до нуля. Необходимо минимизировать вероятность разорения, а если это не получается, то не допустить выход этой вероятности выше некоторого критического уровня. ф(U) = Pr( U(t) < 0, при некотором t, 0 < t < ) - вероятность окончательного разорения при некотором начальном резерве U. (Т.е. в момент t резерв стал отрицательным!) Чтобы задача была корректной, необходимо предположить, что разорение происходит до некоторого фиксированного (конечного) момента t, (иначе при бесконечном t вероятность разорения равна 1 для любого U ). Логично считать, что при малом t : ф(U,t) = ф(U). Если на (0,t) произошли неблагоприятные для страховщика события (выплаты превысили поступления), то вероятность разорения возросла. На практике контроль активов осуществляется не непрерывно, а в дискретные моменты времени (например, раз в квартал). В первом приближении будем игнорировать эти детали. 13.3. Нормальная аппроксимация при расчете вероятности разорения Данный подход, используемый при большом N, основан на технике построения доверительных интервалов для нормально распределенной СВ Х. Резерв U должен компенсировать превышение размера выплат X над ожидаемой (средней) величиной М на t*СКО. Здесь t определяется из таблицы функции Лапласа. Пример 3. Компания имеет 10000 договоров, по которым с вероятностью 0.0005 выплачивается полная сумма в 1000000. Кроме того, возможна выплата частичной компенсации в 250000: с вероятностью 0,004 для 4000 договоров и с вероятностью 0,002 для остальных 6000. Найти нетто- премию, обеспечивающую вероятность выполнения обязательств не менее 95%. Решение. Пусть 1 е.с.с. = 250000, тогда есть два субпортфеля: N1 = 4000, p1(п) = 0,0005, p1(ч) = 0,004; N2 = 6000, p2(п) = 0,0005, p2(ч) = 0,002; S(п) = 4, S(ч) = 1. Сначала рассмотрим индивидуальные иски. Для первой группы: M1 = 10,004 + 40,0005 + 00,9955 = 0,006; D1 = 120,004 + 420,0005 - M122 = 0,012. И соответственно, для второй группы: M2 = 10,002 + 40,0005 = 0,004; D2 = 120,002 + 4220,0005 - M22 = 0,010. Тогда для суммарного иска (во всем портфеле) среднее и дисперсия, равны: M = N1 M1 + N2 M2 = 4000 0,006 + 6000 0,004 = 48 D = N1 D1 + N2 D2 = 4000 0,012 + 6000 0,010 = 108 Ширина доверительного интервала равна: d = t D = 1,645 108 = 17,1 ; т.е. необходимо собрать со всех 10000 страхователей в виде рисковой надбавки сумму 17,1 250000 = 4,275 млн., что обеспечит требуемую надежность. Очевидно, назначать одинаковые премии в двух группах нельзя. Однако представляется справедливым, чтобы относительная надбавка была одинаковой. Поэтому сначала найдем эту относительную надбавку: d/M = 17,1/48 = 35,6%. Отсюда для договоров первой группы рисковая премия равна: 250000 0,006 = 1500, тогда нетто-премия равна: 1500 1,356 = 2034; а для второй, соответственно: 250000 0,004 = 1000 и 1000 1,356 = 1356. Пример 4. Однако возможен и другой подход. Надбавка (в п.41) делится пропорционально не математическому ожиданию (М), а дисперсии (D). Решение. Тогда коэффициент пропорциональности равен: d/D = 17,1/108 = 15,8% = k. Для первой группы надбавка составит: k D1 = 0,0019, поэтому нетто-премия равна: 0,006 + 0,0019 = 0,0079 е.с.с. (1975 вместо 2034), а ее относительная надбавка равна: k D1/M1 = 0,0019/0,006 = 32%; а для второй соответственно: k D2 = 0,0016, нетто-премия: 0,004 + 0,0016 = 0,0056 е.с.с. (1396 вместо 1356), а ее относительная надбавка: k D2/M2 = 0,0016/0,004 = 40%. Пример 5. Возможен и третий подход, когда пропорциональна средним квадратическим отклонениям. надбавка Решение. Проиллюстрируем это: К = d/(N 1 D 1 + N 2 D 2 = 17,1/(4000 0,012 + 6000 0,010 ) = = 17,1/(4000 0,11 + 6000 0,01) = 17,1/(440 + 600) = 17,1/1040 = 0, Тогда для первой группы надбавка равна: k D 1 = 0,0165 0,11 = 0, а нетто-премия равна: 0,006 + 0,0018 = 0,0078 е.с.с. (1951) при этом ее относительная надбавка: 0,0018/0,006 = 30%. Для второй группы соответственно: k D = 0,0165 0,11 = 0, нетто-премия: 0,004 + 0,00165 = 0,00565 е.с.с. (1415) и при этом ее относительная надбавка 0,00165/0,004 = 41%. Эффект объясняется так называемым коэффициентом рассеяния D/M - 1 = 108/48 - 1 = 1,25 для всего портфеля, в то время, как для первой группы он равен: D1/M1 - 1 = 48/24 Ц1 =( 0,012/0,006 - 1 )= 1, а для второй: D2/M2 - 1 =60/24 - 1 =( 0,010/0,004 - 1 )= 1,5. Можно объяснить это и с помощью коэффициента вариации D /M. Для первой группы он равен 0,11/0,006 = 18,26, для второй 0,10/0,004 = 25, а усредненный по всему портфелю с весами есть: c1 N1 M1/M + c2N2 M2/M = 18,26 24/48 + 25 24/48 = 21,63 В данном портфеле дисперсия величины индивидуального иска для второй группы меньше (0,010 < 0,012), но для нее флуктуации (колебания, отклонения) индивидуальных исков выше средних для всего портфеля (на это указывают оба коэффициента). Поэтому в основу расчета надбавки могут быть положены как дисперсия, так и СКО. 13.4. Влияние капитала на вероятность разорения Пример 6. Есть два договора страхования домов от пожара: S1 = 1, p1 = 0,3, S2 = 2, p2 = 0,2. При пожаре убытки распределены равномерно от 0 до S. Найти зависимость вероятности разорения R от капитала U /14/. Предполагается независимость случайных событий. Т.е. мы абстрагируемся от варианта, что дома расположены рядом, и пожар может перекинуться с одного дома на другой. Но в реальных условиях такую возможность следует учитывать. Решение. Пожары - это случайные события Ai, соответствующие величины ущербов Xi, общий ущерб (X1 + X2). Разорение означает: X1+X2>U. R = Pr(X 1 + X 2 > U/(A 1 A 2 )) Pr(A 1 A 2 ) + + Pr(X 1 + X 2 > U/(A 1 A 2 )) Pr(A 1 A 2 ) + + Pr(X 1 + X 2 > U/(A 1 A 2 )) Pr(A 1 A 2 ) + + Pr(X 1 + X 2 > U/(A 1 A 2 )) Pr(A 1 A 2 ) Очевидно, что в 4-м случае пожаров нет, т.е. нет и ущерба, поэтому: X1 = X2 = 0, следовательно, 4-е слагаемое обращается в 0. Тогда остается только первые три слагаемых, причем: Pr(A 1 A 2 ) = p 1 q 2 = 0,3 0,8 = 0, Pr(A 1 A 2 ) = p 2 q 1 = 0,2 0,7 = 0,14 Pr(A 1 A 2 ) = p 1 p 2 = 0,3 0,2 = 0,06 Ущерб возникает с вероятностью: 0,24 + 0,14 + 0,06 = 0,44. Рассмотрим каждое слагаемое отдельно. Pr(X 1 + X 2 > U/(A 1 A 2 )) = Pr(X 1 > U/(A 1 A 2 )) Pr(X 1 + X 2 > U/(A 1 A 2 )) = Pr(X 2 > U/(A 1 A 2 )) (Третьим слагаемым займемся после.) 1.1. 0 < X1 < 1; a) U < 0, тогда Pr(X1 > U) = 1; b) 0 < U < 1, тогда Pr(X1 > U) = 1 - U; c) U > 1, тогда Pr(X1 > U) = 0. Так как U меняется непрерывно, то в крайних точках (0 и 1) можно ставить строгое или нестрогое неравенство, от этого результат не изменится. Аналогичная ситуация будет и в других неравенствах в граничных точках. 1.2. 0 < X2 < 2; a) U < 0, тогда Pr(X2 > U) = 1; b) 0 < U < 2, тогда Pr(X2 > U) = 1 - U/2; c) U > 2, тогда Pr(X2 > U) = 0. 0 < X1 + X2 < 3; при: 0 < X1 < 1; 0 < X2 < 2. Надо решить некоторую вспомогательную задачу использованием аппарата свертки. Цель: построить функцию: с f(x) = f 1 (x - y) f 2 (y)dy, где fi - плотности ущербов: x 0, если t < 0, f 1 (t) = 1, 0 < t < 1; 0, t > 0, если t < 0, f 2 (t) = 1 2, 0 < t < 2; 0, t > 2. Интеграл зависит от значения верхнего предела, поэтому исследуем 3 случая: 0 < x < 1; 1 < x < 2; 2 < x < 3. 2.1. 0 < x < 1; тогда: a) если 0 < y < 1, то f2(y) = 1 2 ; b) если 0 < x - y < 1, (т.е. x - 1 < y < x), то f1(x-y) = 1; следовательно: f(x) = f 1 (x y) f 2 (y) dy = 1 1/2 dy = x/ 0 x x 2.2. 1 < x < 2, тогда: a) если 0 < y < 2, то f2(y) = ?; b) если 1 < x - y < 2, то f1(x-y) = 0; c) если 0 < x - y < 1, (т.е. x - 1 < y < x), то f1(x-y) = 1; поэтому: f ( x) = f x x 1 f 2 dy = f f 2 dy + x f x f 2 dy ; В первом интеграле подынтегральная функция: 0 f2 = 0, поэтому он обратится в 0, и останется только второй: f ( x) = x f x f 2 dy = 1 1 / 2 dy = 1 / x x 2.3. 2 < x < 3, тогда: a) при 0 < y < 2 имеем f2(y) = 1 2 ; b) при 2 < y < 3 имеем f2(y) = 0. f(x)= f1 f2 dy = f1(x y) 1/2 dy + f1(x y) 0 dy = 1/2 f1(x y)dy 0 0 2 x x c) проанализируем f1(x - у) на (0; 2). Если 1 < x - у < 2, то f1(x - у) = 0; Если 0 < x - у < 1, (т.е. x - 1 < y < x), то f1(x - у) = 1. Поэтому: f(x)= 1/2 ( f1(x y)dy+ f1(x y)dy)= 1/2 1dy = (2 (x 1))/2= (3 x) / 2. 0 x1 x x Замечание. Ситуацию на л2 2) и (х-1; х) образует отрезок: (х-1, 2). x-1 0 1 2 x Рис. 13.2. Таким образом, вне интервала (0,3): f(x) = 0; при 0 < x < 1: f(x) = x/2; при 1 < x < 2: f(x) = 1 2 ; при 2 < x < 3: f(x) = (3 - х)/2. Рис. 13.3. Теперь, зная f(x), можно найти f(x)dx. u Естественно, рассматриваем различные варианты. 3.1. U < 0, тогда f(U) = 0, поэтому 1 1 u = = = + + 0 0 0 1 2 a) f(x)dx = x/2 dx = x /4 = 1/4. 0 0 b) f(x)dx = 1/2dx = x/2 = 1/2. 3 x2 3 ) = 3/2 5/4 = 1/4. c) f(x)dx = (3 x)/2x = ( x 2 42 2 Таким образом, при U < 0: 1 1 g(U)= f(x)dx = 1/4 + 1/2 + 1/4 = 1. u Т.е. разорение наступает обязательно! 3. 2. 0 < U < 1, тогда u = + + u 1 Очевидно, второй и третий интегралы сохранятся, а первый равен: 2 2 2 x/2dx = x /4 = (1 U )/4 = 1/4 U /4 ; u u Поэтому: f(x)dx = 1/4 U u /4 + 1/2 + 1/4 = 1 U 2 /4 ; Итак: g(U) = 1 - U2/4. 3.3. 1 < U < 2; 3 2 3 = + = 1/2dx + 1/4 = (2 U)/2 + 1/4 = 5/4 U/2 ; u u 2 u Итак, g(U) = 5/4 - U/2. 3.4. 3 2 < U < 3, 3 x2 3 = (3 x)/2dx = 3/2 dx 1/2 xdx = 3/2 (3 U) 1/2 2 U uu u u = = 9/2 - 3/2 U - (9 - U 2 ) / 4 = ( 3 U ) 2 / g(U) = (3 - U)2/4. 3.5. U > 3; g(U) = 0. Получили 5 различных формул для g(U) в зависимости от U. Теперь для удобства составим таблицу. Pr(X1 > U) Pr(X2 > U) Pr(X1 + X2 > U) U<0 1 1 1 0 - неизбежное банкротство. Но, с другой стороны, нас интересует только разорение в результате страховой деятельности. И здесь играет роль не столько отрицательный U, сколько возникновение требований об оплате, которые невозможно удовлетворить. А вероятность этого 0,44. Тот же результат получается, если формально вычислить: 1 0,24 + 1 0,14 + 1 0,06 = 0,44. Поэтому необходимо точно указывать, что именно понимается под разорением. Рассмотрим остальные варианты. 4.1. 0 < U < 1; R = (1 - U) 0,24 + (1 - U/2) 0,14 + (1 - 0,25 U2) 0,06 = = 0,44 - 0,31U - 0,015U2 R(0) = 0,44, что обеспечивает непрерывность функции. R(1) = 0,115. Первая и вторая производные - отрицательны. Вероятность монотонно убывает с ростом капитала, причем, чем дальше, тем скорее (парабола с ветвями вниз). 4.2. 1 R(2) = 0,015. Функция продолжает монотонно убывать, но по прямой. 4.3. 2 < U < 3; R = 0,06(3 - U)2 /4 = 0,135 - 0,09U + 0,015U2; R(2) = 0,015; R(3) = 0. Функция непрерывна и продолжает убывать, но если первая производная отрицательна, то вторая - положительна. Т.е. функция достигла глобального минимума при U = 3. Это вполне согласуется со здравым смыслом. Если капитала достаточно для выплаты полного возмещения по всем договорам, то разорение невозможно. В качестве упражнения рекомендуется построить график функции R(U). Для наглядности можно использовать переменный масштаб. Так как функция монотонно убывает на всем отрезке (0,3), то каждому значению вероятности разорения R соответствует единственное значение U, обеспечивающее это R. Т.е. можно построить и обратную функцию зависимости U(R), (просто поменяв местами оси координат). Замечание. При самоподготовке рекомендуется составить аналогичный пример, заменив значения Si,pi. Легко убедиться, что изменения в расчетах весьма незначительны. В частности, принципиальный вид графиков сохранится. В реальных задачах, где число договоров существенно больше двух, аналитическое решение с использованием аппарата свертки, конечно, возможно, но на практике применяется численный расчет. 13.5. Суммарный ущерб в портфеле из двух договоров Согласно теории вероятности, плотность распределения суммы двух независимых случайных величин определяется с помощью операции свертки: H(z) = P{Z < z} = P{X + Y < z} = P{(X < x) (Y < z x)} = f(x) g(z Z x)dx В частности, можно показать, что если первая распределена произвольно, а вторая - равномерна на (a,b), то плотность суммы этих двух величин задается формулой: p(z) = (F1(z-a) - F1(z-b))/(b-a) Из этого следует, что для двух равномерных на (a,b) и (c,d) СВ справедливо: F1(x) = (x - c)/(d - c), тогда: F1(z-a) = (z-a-c)/(d-c) и F1(z-b) = (z-b-c)/(d-c); поэтому: p(z) = p1(x)p2(z-x)dx Причем: a (c,d)=(0,2). Тогда: p(z) = z/2, если (z<1 и z<2), т.е. z<1. p(z) = 1/2, если (z>1 и z<2), т.е. 1 Замечание. Если появляется третья равномерная величина, то при ее добавлении к СВ, равной сумме двух первых, плотность вновь построенной СВ в зависимости от соотношения между длинами отрезков, на которых заданы эти три исходные СВ, будет иметь вид: f(x) f(x) x Рис 13. x Понятно, что по мере увеличения количества СВ в исследуемой сумме форма графика будет приближаться к нормальной кривой, что является следствием Закона Больших Чисел и иллюстрирует его действие. 13.6. Сложные пуассоновские процессы Предположим, что случайные величины Xi - независимы и одинаково распределены; что они не зависят от N(t) при любом неотрицательном t; что случайный процесс (N(t)) - пуассоновский с параметром. - * t k Pr(N(t) = k) = е ( t) / k!, k = 0, 1, 2, 3,... Ранее показано, что случайная величина S(t) при каждом t имеет сложное распределение Пуассона с параметром t. Тогда процесс (S(t)) - сложный пуассоновский процесс с параметром. Пусть P(x) пуассоновская функция распределения, общая для всех Xi. Размеры требований - положительны, поэтому P(0) = 0. За единицу времени собранные взносы должны превосходить выплаты: c > M(Xi). Иначе (в терминах надбавки): c = (1 +) M(Xi). 13.7. Неравенство Лундберга Если начальные активы не слишком малы, то существует достаточно простая оценка верхней границы вероятности разорения (причем аппроксимация - очень хорошая): ф(U) < e -R*U, где: R - поправочный коэффициент, зависящий только от функции распределения страховых выплат P(x) и от надбавки. Это неравенство очень наглядно: при возрастании начальных активов U вероятность разорения существенно уменьшается, (как и с ростом R). Необходимо знать величину R. Для этого составляется уравнение: Mx(R) = 1 + (1 +) M(Xi) R где: Mx(t) - производящая функция моментов распределения страховых выплат; - надбавка безопасности; M(Xi) - среднее распределения страховых выплат. R - единственный положительный корень этого уравнения. Как правило, уравнение решается численно, но в одном важном частном случае его можно решить точно. Пример 7. Выплаты распределены экспоненциально: P(x) = 1 - е-ax, x > 0. Тогда производящая функция моментов: M(t) = a/(a - t), среднее 1/a, поэтому уравнение примет вид: a/(a - R) = 1 + (1 +) R/a Так как R > 0, то R = a /(1 + ) = a - a/(1 + ) При численном решении этого уравнения полезной является нижняя граница R. 1 + (1 + ) M(Xi) R = M(R) = exp(R x) p(x)dx > > (1 + R x + 0,5 (R x)2) p(x) dx = =1 + R M(Xi) + 0,5 R2 M(Xi2) т.е. 1 + R M(Xi) + R M(Xi) > 1 + R M(Xi) + 0,5 R2 M(xi2), тогда: R < 2 M(Xi)/M((Xi)2). Замечание. R является возрастающей функцией от надбавки, (возрастание надбавки уменьшает вероятность разорения). Возрастание R снижает верхнюю границу ф(U). На следующем рисунке 13.5 показано, что поправочный коэффициент возрастает с ростом надбавки и что в случае экспоненциального распределения выплат этот коэффициент меньше, чем при постоянном распределении выплат. R пост. распр. экспон. распр. Рис. 13.5. В кн. Карри /6/ показано, что для экспоненциального распределения неравенство Лундберга дает очень хорошее приближение к точному значению вероятности разорения, причем с ростом начальных активов точность повышается. Можно показать, что неравенство (граница) не зависит от единицы измерения денег, что вероятность ф(U) не зависит от. (ф(U) определяется на бесконечном интервале времени, а параметр проявляет себя в конечный момент времени, когда происходит разорение; но параметр не влияет на вероятность разорения). Для иллюстрации рассмотрим два риска. В первом общий размер выплат распределен по сложному пуассоновскому закону с = 1, а выплаты имеют экспоненциальное распределение со средним 10. С учетом надбавки взнос равен 1 10 (1 + ). Второй риск отличается лишь параметром = 0,5 и для него взнос вдвое меньше: 0,5 10 (1 + ). При исследовании процесса на бесконечном интервале времени можно первый риск оставить без изменения, а для второго ввести новую единицу времени Сдва годаТ. Тогда второй риск на этом промежутке времени будет иметь те же характеристики, что и первый на традиционном (1 год), Поэтому на бесконечном интервале оба эти риска имеют одинаковые вероятности разорения! 13.8. Дисперсия, как мера стабильности При выборе формы перестрахования важную роль играет оценка платежеспособности цедента, которая может быть получена на основе вероятности разорения страховщика. Эта вероятность вычисляется с помощью построения доверительных интервалов для агрегированных убытков. А границы интервала зависят от дисперсии. Полезно использовать и степень риска (СКО/МО). Следующий подход основан на непосредственном использовании дисперсии агрегированных убытков. При большом числе рисков фактическое распределение можно аппроксимировать нормальным, для которого при заданном уровне безопасности (1 - ) минимальный начальный рисковый резерв U пропорционален СКО. Поэтому уменьшение дисперсии повышает безопасность. Следовательно, из нескольких возможных перестраховочных договоров, лучшим (с точки зрения платежеспособности) является тот, который обеспечивает минимальную дисперсию (при прочих равных). Можно ожидать, что этот подход применим и при других законах распределения величины ущерба. Поэтому выбор оптимального перестраховочного договора сводится к минимизации дисперсии. В некоторых случаях, когда применима нормальная аппроксимация, (или использование сложного распределения Пуассона), может быть получено аналитическое обоснование этого результата. Приведем некоторые результаты без доказательства. Пусть страховщик ищет перестраховочную политику с минимальной дисперсией для удерживаемого бизнеса (риска), в предположении о фиксированных перестраховочных рисковых взносах (рисковая надбавка перестраховщика не учитывается, например, если она пропорциональна его рисковой премии). Предполагается также, что перестрахование организовано так, что однозначно определяет распределение убытка цедента и соответственно, средний убыток. В этом случае можно показать /6/, что перестрахование "стоп - лосс", где убыток цедента ограничен уровнем собственного удержания М, обеспечивает минимальную дисперсию при правильном выборе М. (Выбор М рассмотрен ранее). В этом договоре цеденту остается максимальная часть собранных взносов и при этом минимизируется его перестраховочный рисковый взнос. На практике взносы в договоре "стоп - лосс" имеют большие рисковые надбавки (и нагрузки на ведение дел), поскольку на перестрахование переданы редкие очень большие риски, что сильно повышает дисперсию, а в надбавке растут весовые коэффициенты при дисперсии и СКО. Поэтому правильнее считать, что перестраховочный взнос состоит из рискового взноса и "нагрузочной" функции, которая, очевидно, должна быть неубывающей. Пусть цедент хочет сохранить неизменной дисперсию своего риска и определить форму договора с минимальной ценой перестрахования. В этом случае можно показать /6/, что результат достигается в квотном перестраховании. Причем коэффициент пропорциональности равен отношению СКО оставленного риска к СКО общего риска. 13.9. Взаимные услуги по перестрахованию Рассмотрим две страховые компании, которые оказывают друг другу услуги по перестрахованию. Первая имеет портфель с общим убытком Х1, вторая - Х2. Они хотят обменяться перестраховочными договорами на условиях: ожидаемый доход от обмена равен нулю; дисперсия нетто - удержания должна быть минимальной для обеих компаний. Как им обменяться рисками? Первое условие требует, чтобы перестраховочные взносы равнялись рисковым взносам, т.е. перестраховочная функция отсутствует. Второе условие приводит к договору квотного типа, т.е. если первый страховщик оставляет себе долю с1, а второй - долю с2, то после договора риски сторон: 1) c1 X1 + (1 - c2) X2 ; 2) c2 X2 + (1 - c1) X1. Доли с1 и с2 определяются по принципу Парето /2/. Можно показать, что с1 + с2 = 1, но решение не единственное, т.к. стороны стремятся к разным точкам на этой прямой. Необходим компромисс, достигаемый с помощью дополнительного условия, состоящего в том, что объем обмена должен быть сбалансирован, т.е. перестраховочные премии должны быть равны. (1 - с1) Р1 = (1 - c2) Р2 Тогда вместе с условием (с1 + с2 = 1) получим систему с единственным решением: c1 = P1/(P1 + P2); c2 = P2/(P1 + P2). Этот результат можно обобщить на случай нескольких компаний. Решение получается использованием аппарата теории игр нескольких игроков. Например, есть k страховщиков с одинаковым распределением общих убытков Xi, причем убытки компаний взаимно независимы, и страховщики хотят организовать пул. Условия взаимного обмена: i - й страховщик оплачивает R(Xj) убытков j - й компании, причем минимизируется СКО убытков собственного удержания (включая принятые убытки других компаний). Тогда: R(X) = X/k, - искомое решение. Т.е. каждый сохранил за собой только 1/k часть своего риска, что эквивалентно объединению всех компаний. 13.10. Роль дисперсии в формировании рисковой надбавки Выше показано, что именно за счет надбавки общий доход от всего портфеля должен быть достаточно велик, чтобы обеспечить требуемую платежеспособность. При этом возникает проблема "справедливого" распределения (между всеми полисами с разными рисками) суммарного превышения всех нетто - премий над всеми рисковыми премиями. Это - самостоятельная задача, особенно актуальная для "нон лайф" страхования. В основе подхода - (граница) маржа платежеспособности (резерв) U для защиты портфеля. Можно показать /6/, что резерв должен быть пропорционален СКО размера агрегированных убытков Х, т.е. r2 2 + Sq, U = t Sx = t p n где t - характеристика безопасности, например, 3. (Для нормального закона отклонение СВ от своего МО больше, чем на 3*СКО, практически невозможно.) Для частной компании следует учитывать плату процентов на капитал безопасности U (или недополученную прибыль). В общих компаниях этот резерв создается за счет самофинансирования и поддерживается за счет рисковых надбавок (что может быть принципиальным в условиях инфляции). В соответствии с этим рассчитывается общая рисковая надбавка L и соответствующий общий (ожидаемый) доход L P, пропорциональный СКО (Sx), а следовательно, и пропорциональный U. Интересная ситуация возникает в обществе взаимного страхования. Здесь группа владельцев полисов создает страховую компанию и собирает начальный капитал U. Возможен подход, основанный на теории игр нескольких лиц. Предположим, что рисковая надбавка пропорциональна СКО размера ущерба, и следовательно, пропорциональна минимальному начальному капиталу: L P = k U, где k - коэффициент пропорциональности (иногда без потери общности полагают: k = 1). Для примера, портфель состоит из трех однородных субпортфелей. Малые (но многочисленные) риски (автомобили и домашнее имущество), большие (но менее многочисленные) риски (морские суда, самолеты, промышленные пожары и т.д.), очень большие (малочисленные) риски, связанные с природными явлениями (лесные пожары и т.д.). Можно рассчитать характеристики каждого субпортфеля и по ним определить резерв для этого субпортфеля. А затем эти резервы сложить. Если учесть, что для независимых случайных величин дисперсии складываются, то можно показать, что: 2 S 2 = S 2 = N j A 2j + N 2 M 2 S qj = x xj j j ( ) r 2 2 2 2 = N A 2 + N 2 M 2 S q = 2 + S q p 2, S q = j S qj N ( ) Теперь можно рассчитать общий резерв для всего портфеля. Он незначительно превысит самый большой резерв для субпортфеля, но будет значительно меньше суммы резервов. (Это еще одно подтверждение того факта, что увеличение портфеля повышает устойчивость.) В частном случае, когда k = 1, эта разность: G =Uj - U может быть названа "доходом от объединения субпортфелей". Теперь надо распределить этот доход между группами (и затем, внутри групп - между полисами). Каждому субпортфелю надо выделить его часть дохода Gj, (Gj = G). Очевидно, что эти части дохода Gj должны быть не меньше дохода, получаемого при объединении (кооперировании) любых двух групп (в этом примере, без третьей). В противном случае возникнут предпосылки для создания коалиций внутри портфеля. Эта идея позволяет рассмотреть поочередно каждую комбинацию и найти соответствующие этой комбинации доходы, т.е. получить систему соотношений: Gi + Gj > Gij, которая должна выполняться для любых комбинаций (i, j). Решение этой системы неравенств позволит определить Gi. Однако, отметим, что возможно условий, которые изменят это решение. наличие дополнительных Таким образом, это пример кооперативной игры N лиц, где есть набор решений, удовлетворяющих требованиям, и называемых "ядром игры". Он может быть распространен на произвольное число страховщиков, участвующих в общих рисках. 13.11. Распределение надбавки между субпортфелями Выше отмечено, что субпортфели содержат различные риски, поэтому возникает проблема "справедливого" распределения рисковой надбавки между субпорфелями. Если граница платежеспособности (резерв U), и пропорционально ей рисковые надбавки делятся в соответствии с групповыми СКО (а они пропорциональны рисковым резервам): U = t Sx = t P r2 2 + Sq, n то доли не удовлетворяют условию (Gi + Gj > Gij). Группы малых рисков "перенагружены" в пользу групп с большими рисками (бедные платят за богатых!). Ситуация еще ухудшится, если использовать не СКО, а дисперсию. Часть дохода, выделяемая группе с большими рисками, возрастет, а для других групп - уменьшится, что потребует соответствующего изменения надбавки. Возникает ситуации, когда большая масса страхователей с малыми рисками будет расплачиваться за уравнивание больших рисков. Если выразить L = k U/P, то видно, что с ростом портфеля относительная надбавка падает, т.е. устойчивость и конкурентоспособность крупной компании - выше. Этот факт был установлен и ранее, но на примере нормального закона. Теперь этот же результат получен для произвольного распределения. Отметим, что проблему надбавки можно анализировать и с другой точки зрения. Известна рисковая премия, ниже которой взнос быть не может. Оценивается, какую нетто - премию может заплатить страхователь (здесь используется теория полезности). Разность указывает надбавку и соответственно, позволяет оценить платежеспособность. В частности, если все страховщики договорились использовать экспоненциальную функцию полезности, то обмен рисков между ними может быть представлен в виде аналитических формул. 13.12. Влияние перестрахования на вероятность разорения При изучении перестрахования отмечалось, что для пропорционального перестрахования вопрос сводится к замене переменных, поэтому принципиальный интерес представляет эксцендентное перестрахование. По тем же соображениям и в этом разделе нас будет интересовать именно такой договор. Сначала обсудим ограничения на уровень собственного удержания M. Совокупный страховой взнос, собранный страховщиком (до перестрахования) за единицу времени, составил (1+). Взносы, собранные перестраховщиком за единицу времени (после перестрахования), равны: с = (1 + ) M(Xi) - (1 + h) M(Z) Для страховщика его нетто-взнос (собранные суммы без перестраховочных платежей) должен превышать ожидаемые страховые выплаты, то есть: (1 + ) M(Xi) - (1 + h) M(Z) > M(Y) Ранее показано: M(Y) + M(Z) = M(Y + Z) = M(X), поэтому: M(X) > h M(Z) Логично предположить, что < h, иначе страховщик луступает весь риск перестраховщику, а прибыль оставляет себе. Если = h, то M(X) > M(Z), что справедливо при любом уровне удержания M. Стороны делят между собой риск. Если < h, то из условия M(X) > M(Z) возникает ограничение на M. Разница между h и дает страховщику оценку того, какая часть риска может быть передана перестраховщику. Существует нижний предел M. Пример 8. Выплаты страховщика распределены экспоненциально со средним 1. Надбавки безопасности страховщика - и перестраховщика - h, (h > ); уровень удержания M. Проанализировать целесообразность перестрахования. Решение. Математическое ожидание выплат перестраховщика: M(Z) = (x M) exp( x)dx = y exp(y M)dy = exp(M) M так как M(X) > h M(Z), то > h exp(-M), тогда M > ln(h/). Например, = 0,15, h = 0,3. Тогда M > ln 2 = 0,693. То есть минимальное значение M равно 0,693. Итак, установлен предел, показывающий, насколько большой риск можно передать перестраховщику. Но это не означает, что определена оптимальная часть передаваемого риска. h >, перестрахование уменьшает прибыль страховщика. Определяется компромисс между ожидаемыми прибылями и безопасностью. Перестрахование повышает безопасность, уменьшая вероятность разорения или увеличивая поправочный коэффициент. В частности, для рассмотренного выше примера можно показать зависимость вероятности выживания от M (например, графически) и найти значение M*, при котором эта вероятность достигает максимума (на практике эта задача решается численно). (Рис. 13.6). R M* M Рис. 13.6. Если рассмотреть окрестность экстремума, то видно, что отклоняться от M* влево нецелесообразно. Передается слишком много риска по слишком высокой цене, что повышает вероятность разорения. При отклонении вправо несколько повышается вероятность разорения при повышении ожидаемой прибыли. На практике часто решают аналогичную задачу: минимизируют вероятность разорения. Соответственно меняется график. Таким образом, выбор стратегии при перестраховании зависит от готовности руководства компании к риску ради возможной прибыли. Следовательно, актуарий должен в общем случае подготовить несколько приемлемых вариантов и четко сформулировать их сравнительные достоинства и недостатки (и возможные последствия принятия различных решений). 14. 14.1. Книги, научные публикации