85 и старше

217

974

214,4

46525

208826

Всего

69289

78320

15,0

779467

1428193

Во-вторых, считаю необходимым повторнопредупредить читателя о том, что сама по себе величина стандартизованныхкоэффициентов носит условный характер, зависит от выбранного стандарта(стандарт-населе­ния),поэтому она не имеет никакого самостоятельногозначения. Име­етзначение только разница между стандартизованнымикоэффициента­ми, котораяв идеале остается неизменной при любом стандарте (небольшая разница врезультатах может быть следствием грубости расче­та, округлений цифр либо не оченьудачного выбора стандарт-населения, если оно по своим характеристикам оченьсильно отличается от сравнивае­мых населений).

6.5. Вероятностные таблицы смертности (чаще

называемые просто таблицами смертности)

Это самый совершенный инструмент дляанализа состояния и тенденций уровня смертности. Они представляют собой системувзаимосвязан­ныхпоказателей, характеризующих изменение вероятности смерти по мере увеличениявозраста людей, или, напротив, изменение вероятности дожития до некотороговозраста, а также среднюю продолжительность жизни некоторого поколенияродившихся. Иначе говоря, таблицы смерт­ности описывают последовательность искорость вымирания поколения.

Показатели (колонки) таблицсмертности:

lx — числадоживающих до возраста хлет;

dx —числа умирающих в возрасте х лет (т.е. в возрастном интервале отлх до х + 1);

qx —вероятность умереть в возрасте х (т.е. в возрастном интервале отлх до х + 1);

рх — вероятность для доживших до возраста х дожить и до следующе­го года возраста х + 1;

Lx —числа живущих в возрасте x (в возрастном интервале отлх до х + 1;

Тх —числа живущих в возрасте х лет и старше (число человеко-летпредстоящей жизни для данного поколения);

е0 —средняя ожидаемая продолжительность жизни дляноворожденных;

ех —средняя ожидаемая продолжительность жизни длядостигших возраста х.

В таблицах смертности принимаютпервоначальную численность поколения (число родившихся, основание или кореньтаблицы смертности) не­изменной во времени и равной единице и прослеживают, как спереходом от возраста к возрасту, от 0 до предельного возраста (100 лет или 100с небольшим) первоначальная совокупность поколения родившихся убывает врезультате смерти от 1 до 0.

Отсюда следует, что в таблицах смертностивсе числа, кроме числа родившихся, равного 1, меньше 1, т. е. дроби. Чтобыизбежать большого количества дробных чисел, число родившихся (основаниетаблицы) в практических расчетах принимают равным 100000 или 10000, взависимости от желаемой значности (точности) расчетов. Но не менее10000.

Различают таблицы полные и краткие. Вполных таблицах возрастные интервалы равны одному году, в кратких — пяти годам. Целесообразнорассмотреть взаимосвязи показателей таблиц смертности на примере полных таблиц.В них с переходом от возраста х к возрасту х+ 1 число до­живающих lxбудет последовательно уменьшаться на величину числаумирающих в возрасте х,т.е. dx. Математически эта связь выглядитследующим образом:

Lx+1= lx –dx(6.5.1)

Если проследить эту последовательность(порядок) вымирания поколения, начиная с основания таблицы смертности, то онабудет выглядеть следу­ющим образом: l0 = 1 или 10000или чаще 100000 –d0 = l1– d1 = l2– d2 = l3и т.д. В общем виде эту последовательность можно записать так: lx+1 = lx– dx (для полныхтаблиц) и lх+п = lx – dx+n, гдеп — длина возрастного интервала.

Каждый родившийся рано или поздно умирает,и в конечном счете чис­ло умерших (из каждого поколения, численность которых мы определилизаранее) составит l0, т. е. число родившихся,или

где ω –1 — предельный возраст, до которого доживает последний человек изпоколения родившихся.

Формула (6.5.1) может быть использована вразличных перестановках, к примеру:

lx = lx+1+ dx; dx = lx – lx+1, ит.д.

Вероятность смерти в возрасте х (в возрастном интервале отлх до х+1) -qx —определяется в соответствии с правилами теориивероятностей как отношение числа умирающих в возрасте х – dxк числу дожива­ющих до этого возраста, т.е.lz. В виде формулы эта связь выглядиттак:

(6.5.2)

Из формулы хорошо видно, что вероятностьсмерти qx можно интерпре­тировать и как долю умирающих ввозрасте х из числадоживающих до начала возрастного интервала х.

Напротив, вероятность дожития до возрасталх + 1 — рхдля тех, кто до­жил до возраста х (до начала возрастного интервалалх), будет определяться какотношение числа доживающих до возраста х + 1 к числудо­живших до возрасталх (до начала возрастногоинтервала х). Запишем этусвязь в виде формулы:

(6.5.3)

Отсюда можно так же, как и в предыдущейформуле, видеть, что вероятность дожития есть не что иное, как доляпереживающих возраст х изчисла доживающих до его начала.

Формулы (6.5.2) и (6.5.3) так же, как и(6.5.1), используются в виде различных преобразований, например: lx+1 =lxрх; dx = lxqxb и т.д.

Поскольку мы рассматриваем смертность, то впределах одного возрастного интервала возможна только единственнаяальтернатива: либо пере­жить этот интервал и благополучно отметить следующий день рождения,либо, увы, не дожить до него. Иначе говоря, сумма вероятностей дожития доследующего возраста либо умереть, не дожив до него, равна единице, что можноизобразить в виде формулы:

qx + рх =1.(6.5.4)

Эта простейшая формула оказывается, однако,очень полезной, так как, зная одну из двух вероятностей, всегда легко найтивторую (вычитанием из единицы).

Начав прослеживать закономерное уменьшениечисел доживающих с основания таблицы смертности, замечаем вскоре, что:l1 = l0p0.

Если основание таблицы l0 =1, то, естественно,l0 в формуле можно опу­стить, и она примет вид:l1 = р0.

Далее, следуя той же логике: l2 =l1p1.Подставим вместо l1 егозначение из предыдущей формулы (l1 = р0).Получим: l2 = р0p1. Затем: l3 = l2р2 = p0p1p2 ит.д. Отсюда, кстати, видно, что число доживающих — нечто иное, как произведениевероятностей дожития, или, иначе говоря, оно само — тоже вероятность, вероятностьдля новорожденного дожить довозраста х. В обобщенномвиде эту связь можно записать и так:

lx = p0p1p3 xЕЕЕ. x px-1.(6.5.5)

Поскольку в практических расчетах основаниетаблицы смертности принимается равным не 1, а 10000 и чаще всего 100000, тоl0 опускать не приходится и формула (6.5.5)выражается в следующем виде:

lx = l0p0p1p2p3x ЕЕЕ. x px-1.

Здесь, пожалуй, самое время сказать, что втаблицах смертности нет ни одного доживающего или умирающего. Вообще— ни одного человека.Одна смерть в чистом виде. Одни вероятности и доли. В этом их большоепреимущество перед другими измерителями уровня смертности, посколь­ку при отсутствии человека нет изависимости показателей таблиц смерт­ности от возрастной структуры населения. Наименования числадожива­ющих, числаумирающих — опять жеусловные наименования, не более того.

Рис. 6.2. Вероятность умереть qxдля мужского и женского населения СССР,1986—1987гг.

Последовательность изменений чиселдоживающих lx графически представляет собой линиюдожития, характеризующую порядок вымирания поколения. Чем нижеуровень смертности, чем большая доля ро­дившихся (поколения) доживает достарших возрастов, тем более выпуклой формы будет кривая дожития (см.рис.6.4).

Числа живущих. Втаблицах смертности числа доживающих показывают долю остающихся в живых кначалу каждого следующего года возра­ста, то есть к возрасту x лет остается в живых часть поколения lx, квозра­сту х + 1— часть lx+1,и т.д.

Однако на самом деле при переходе от одноговозраста к следующему численность поколения убывает непрерывно, поэтому числоживущих в возрасте х естьнекоторая средняя величина между значениями чисел доживающих lx иlx+1. Если разбить каждый год возраста на предельно малые промежуткивремени и с помощью дифференциального исчисления определить средние величиныживущих в каждом таком мельчайшем интерва­ле, то изменение чисел живущихопределяется путем интегрирования та­ких средних. В реальности интегрирование заменяетсясуммированием.

Рис. 6.3. Число умирающих dxмужчин и женщин СССР,

1986—1987 гг.

На практике обычно мы не располагаемзначениями чисел доживающих lx, для более дробных возрастных интервалов, чем год. Поэтому длясредних возрастов, в которых число доживающих изменяется почти пря­молинейно, число живущихрассчитывается как обычная средняя арифме­тическая величина из двух чиселдоживающих, на начало и конец возраст­ного интервала, т. е.:

(6.5.6)

На тех же участках кривой дожития, где еекривизна значительна, число живущих определяют по формуле, учитывающей этукривизну:

(6.5.7)

где dx — числоумирающих в таблицах смертности; тх — возрастные коэффициенты смертности того же населения, для которогостроились таблицы смертности.