Geum.ru
   Книги по разным темам Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |   ...   | 43 |

i,j=Если вектор c = (c1,..., cN ) и матрица порядка N A(t) = (gi,j (t)), то GN (t) = cA(t)cT. Согласно (18), (20) матрица NA(t) симметричная и дважды стохастическая:

t gi,j (t) = i(x)T j (x)d(x) = t = j(x)T i(x)d(x) = gj,i(t) 0, N t Ngi,j (t) = N i(x)T 1d(x) = j= = N i(x)d(x) = N(i) = 1, 66 В. И. Иванов, Юнпин Лю поэтому по теореме Биркгофа NA(t) = s(t)As(t), N s=Nгде 1(t),..., N2(t) 0, s(t) = 1, A1(t),..., AN2(t) крайние дважды s=стохастические матрицы.

Отсюда NGN (t) = s(t)cAs(t)cT = N s=N2 N = s(t) c(i)c(s,t(i)), (29) N s=1 i=где перестановки s,t SN.

k Пусть tk =, k = 1,..., N3. Рассмотрим события NN Bsk = c(i)c(s,tk(i)) > -3 N ln N, s = 1,..., N2, k = 1,..., N3.

i=По лемме 2 слагаемые в последней сумме, для которых s,tk(i) = i, могут быть разбиты на три суммы, в каждой из которых элементы пар (i, s,tk(i)) будут различными. Как показано в [14, 16], слагаемые в каждой такой сумме Yl, l = 1, 2, 3 будут независимыми случайными величинами, принимающими значения 1 с вероятностью 1/2, поэтому согласно (24) P(Bsk) P c(i)c(s,tk(i)) -3 N ln N i:s,tk (i) =i P(Yl - N ln N) 3 exp (-2 ln2 N). (31) l=Мы воспользовались также тем, что число слагаемых в каждой сумме Yl не превосходит N.

Рассмотрим события ln N Dk = |(fN, k,)| < 2, k = 0, 1,..., n - 1. (32) N Так как N |(fN, k)| = c(i) k,(x)d(x), i i=Оценка снизу констант Джексона в пространствах Lp с весом Якоби k,(x)d(x) d(x) =, N i i то согласно (25) N 2 ln N P(Dk) = P c(i) k,(x)d(x) 2 exp (-2 ln2 N).

N i i=Отсюда и из (31) N2 N3 n-P Bsk + Dk (3N5 + 2n) exp (-2 ln2 N), s=1 k=1 k=поэтому N2 N3 n-P Bsk Dk 1 - (3N5 + 2n) exp (-2 ln2 N) > 0. (33) s=1 k=1 k=Таким образом, для каждого достаточно большого N существует функция fN (27), для которой согласно (29)Ц(33) выполнены свойства N 1 3 ln N GN (tk) > s(tk)(-3 N ln N) = -, k = 1,..., N3, (34) N N s=2 ln N |(fN, k)| <, k = 0,..., n - 1. (35) N Теперь несложно закончить доказательство теоремы 2. Согласно лемме 1 для любого t [0, ] и некоторого tk, для которого |t - tk|, будет Nln N |gi,j (t) - gi,j (tk)|, i, j = 1,..., N Nи N ln N |GN (t) - GN (tk)| |gi,j(t) - gi,j (tk)|.

N i,j=Отсюда и из (34) для всех t [0, ] ln N GN (t) -c(), c() > 0, N поэтому согласно (28), (10) ln N p(, fN )p, 2p-1 1 + c(). (36) N 68 В. И. Иванов, Юнпин Лю Пусть n-En-1(fN )p, = fN - tn-1, tn-1 = akk,.

p, k=Так как tn-1 2 fN = 2, то |ak| 1, поэтому согласно (35) p, p, n-ln N |(fN, tn-1)| |ak||(fN, k,)|.

N k=Применяя неравенство Гельдера, получим p 1 = fN = fN (fN - tn-1)d + fN tn-1d p, 0 ln N ln N fN - tn-1 + c(n, ), En-1(fN )p, 1 - c(n, ).

p, N N Отсюда и из (36) ln N 1 - c(n, ) En-1(fN )p, N 21/p-1 (N ).

1/p (, fN )p, ln N 21-1/p 1 + c() N Теорема 2 и теорема 1 доказаны.

Список литературы 1. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962.

2. Бадков В.М. Введение в единую теорию алгебраических и тригонометрических ортогональных полиномов. Учебное пособие. Екатеринбург: УрГУ, 2006.

3. Бадков В.М. Аппроксимативные свойства рядов Фурье по ортогональным полиномам // Успехи матем. наук. 1978. Т.33, №4. С.51Ц106.

4. Чертова Д.В. Теоремы Джексона в пространствах Lp, 1 p 2 с периодическим весом Якоби // Изв. ТуГУ. Естественные науки. 2009. Вып.1.

С.5Ц27.

5. Черных Н.И. О неравенстве Джексона в L2 // Труды МИАН СССР. 1967. Т.88.

С.71Ц74.

6. Черных Н.И. Неравенство Джексона в Lp(0, 2) (1 p < 2) с точной константой // Труды МИРАН. 1992. Т.198. С.232Ц241.

7. Бердышев В.И. О теореме Джексона в Lp // Труды МИАН СССР. 1967. Т.88.

С.3Ц16.

8. Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина для L2-приближений на отрезке с весом Якоби и проективных пространствах // Изв. РАН. Сер. Матем.

1998. Т.62, №6. С.27Ц52.

9. Иванов В.И., Liu Yongping. Об оценке снизу констант Джексона в пространствах Lp, 1 p < 2 с периодическим весом Якоби // Теория функций, Оценка снизу констант Джексона в пространствах Lp с весом Якоби ее приложения и смежные вопросы: матер. 9 Межд. Казанской летней школы-конференции. Казань: Казанское матем. об-во, 2009. Т.38. С.136Ц139.

10. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т.2. М.: Наука, 1966.

11. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т.1. М.: Мир, 1965.

12. Бадков В.М. Приближение функций частными суммами ряда Фурье по обобщенным многочленам Якоби // Матем. заметки. 1968. Т.3, №4. С.671Ц682.

13. Петров В.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин.

М.: Наука, 1987.

14. Иванов В.И., Смирнов О.И. Константы Джексона и константы Юнга в пространствах Lp. Тула: ТуГУ, 2010.

15. Маршалл А., Олкин И. Неравенства: теория мажоризации и ее приложения.

М.: Мир, 1983.

16. Иванов В.И. Приближение в Lp кусочно-постоянными функциями // Матем.

заметки. 1988. Т.44, №1. С.64Ц79.

Иванов Валерий Иванович (ivaleryi@mail.ru), д.ф.-м.н., профессор, декан, механико-математический факультет, Тульский государственный университет.

ю Юнпин (ypliu@bnu.edu.cn), доктор наук, профессор, факультет математических наук, Пекинский нормальный университет, Пекин, Китай.

Lower estimation of Jackson constants in Lp-spaces with periodical Jacobi weight V. I. Ivanov, Yongping Liu Abstract. The exactness of Jackson inequality in Lp,(T)-spaces, 1 p < on one dimensional torus T = [-, ) with periodic Jacobi weight | sin x|2+1, > -1/2, which was established by D.V. Chertova, is proved.

Keywords: torus, periodical Jacobi weight, Lp-spaces, trigonometric polynomials, best approximation, generalized translation operator, module of continuity, Jackson inequality.

Ivanov Valeriy (ivaleryi@mail.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, dean, mechanical and mathematical faculty, Tula State University.

Liu Yongping (ypliu@bnu.edu.cn), doctor of sciences, professor, School of Mathematical Sciences, Beijing Normal University, Beijing, China.

Поступила 10.06.Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 70ЦМатематика УДК 517.О некоторых классах целых функций экспоненциального типа в пространствах Lp(Rd) со степенным весом В. И. Иванов, Юнпин Лю, О. И. Смирнов Аннотация. Для целых функций многих переменных экспоненциального типа даны двусторонние оценки норм в пространствах Lp,(Rd), 1 p <, = (1,..., d), -1/2 со d j степенным весом v(x) = |xj|2 +1 через суммы их значений по некоторым последовательностям точек в Rd, доказаны многомерные весовые аналоги неравенств Бернштейна и Никольского Ключевые слова: евклидово пространство Rd, целая функция экспоненциального типа, степенной вес, пространство Lp с весом, неравенство Планшереля-Полиа, неравенство Боаса, неравенство Бернштейна, неравенство Никольского.

Пусть d N, Rd(Cd) d-мерное действительное (комплексное) d евклидово пространство со скалярным произведением (x, y) = xiyi i=d ((x, y) = xjyj), U-выпуклое центрально-симметричное комплексное j=тело в Rd, функционал Минковского которого определяет в Rd норму d | |U, = (1,..., d), j -1/2, v(x) = |xj|2j+1 степенной j=вес, d(x) = v(x)dx, 1 p, Lp,(Rd) пространство комплексных измеримых по Лебегу на Rd функций f с конечной нормой 1/p f = |f(x)|pd(x), 1 p <, p, Rd f = f = vrai sup |f(x)|, p =.

, Rd В случае единичного веса ( = (-1/2,..., -1/2)) пространство и норму будем обозначать Lp(Rd) и f соответственно.

p * Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 10-01-00564, № 1201-91158-ГФЕН).

О некоторых классах целых функций экспоненциального типа В пространствах Lp,(Rd) в качестве аппарата приближения обычно применяются различные классы целых функций экспоненциального типа, поэтому изучение их свойств является важной задачей.

Пусть = (1,..., d), j > 0, Ed, класс целых функций f(z) на Cd экспоненциального типа, для которых для любого > 0 справедлива оценка |f(z)| ce(1+)|z1|+... +(d+)|zd|, z Cd, > 0, Ed,U класс целых функций f(z) на Cd экспоненциального типа U, для которых для любого > |f(z)| ce(+)|z|U, z Cd, d, Ep, класс целых функций f(z) на Cd, для которых |f(z)| cf e1| Im z1|+... +d| Im zd|, z Cd, d, а сужение на Rd принадлежит Lp,(Rd), Ep,U класс целых функций f(z) на Cd, для которых |f(z)| cf e | Im z|U, z Cd, Im z = (Im z1,..., Im zd), а сужение на Rd принадлежит Lp,(Rd). В случае единичного веса будем d, d,U использовать обозначения Ep, Ep.

Понятно, что при 1 p d, d, d, Ep, Ed, Lp,(Rd), Ep,U Ep U Lp,(Rd).

В случае единичного веса d, d,U Ep Ed, Lp(Rd), Ep = Ed, U Lp(Rd). (1) Доказательство первого равенства можно найти в [1], доказательство второго равенства при p = 2 в [2] (при p = 2 оно устанавливается аналогично).

Наша цель доказать равенства, аналогичные (1), в весовом случае.

Согласно (1) для этого достаточно доказать вложение Ed, Lp,(Rd) Lp(Rd), Ed, U Lp,(Rd) Lp(Rd).

Второе вложение будет вытекать из первого, так как при некоторых c1, c2 > d d и = (,..., ) 1 Ed,cd Ed,U Ed,cd.

Основная трудность состоит в том, что вес v(x) обращается в нуль. Для того чтобы справиться с нею для норм целых функций будут даны двусторонние оценки через суммы их значений по некоторым последовательностям точек Rd, на которых вес не обращается в нуль. Эти оценки будут обобщать на 72 В. И. Иванов, Юнпин Лю, О. И. Смирнов многомерный и весовой случай известную нижнюю оценку ПланшереляПолиа [3] |f(n)|p e |f(x)|pdx, 1 p <, (2) nZ где n возрастающая действительная последовательность, n+1 - n 2, а f(x) целая функция экспоненциального типа, и верхнюю оценку Боаса [4] |f(x)|pdx c(, L,, p) |f(n)|p, (3) nZ где дополнительно n - n L, а f(x) имеет тип <.

Мы также обобщим на весовой случай известные неравенства Бернштейна и Никольского (см. [1]) для целых функций многих переменных.

Для функций одной переменной это сделано первыми двумя авторами в [5].

Через c(,... ) будем обозначать положительные постоянные, зависящие от указанных параметров и, вообще-говоря, различные в разных местах.

Будем писать = (1,..., d) < = (1,..., d), если 1 < 1,..., d < d.

1. Обобщение неравенства Планшереля-Полиа nd n Пусть для последовательности n = (1,..., d ), n = (n1,..., nd) nj Zd из Rd одномерные последовательности j, nj Z возрастают. Для последовательности n выполнено условие A[], = (1,..., d), j > nj+1 nj (условие отделимости), если для всех j и nj j - j 2j; выполнено условие B[] (условие отделимости от гиперплоскостей xj = 0), если для nj всех j и nj |j | j; выполнено условие C[a, L], a = (a1,..., ad), aj > 0, nj L = (L1,..., Ld), Lj > 0, если для всех j и nj j - nj Lj (условие aj близости к решетке n1,..., nd.

a1 ad nZd Лемма 1. Если для последовательности {n} Rd выполнено условие A[], то для любой f Ed, Lp(Rd), 1 p < справедливо неравенство d |f(n)|p ep(,) |f(x)|pdx. (4) Rd nZd Доказательство. Воспользуемся индукцией по d. При d = 1 (4) совпадает с (2). По теореме Фубини f Lp(Rd-1) для почти всех xd R и по индуктивному предположению для почти всех xd d-... |f(x1,..., xd-1, xd)|pdx1... dxd-1 e-p(11+... +d-1d-1) - О некоторых классах целых функций экспоненциального типа n1 nd- |f(1,..., d-1, xd)|p.

n1,...,nd-1Z Интегрируя это неравенство по xd и применяя (2), получим d- |f(x)|pdx e-p(11+... +d-1d-1) Rd d n1 nd- |f(1, d-1, xd)|pdxd e-p(,) |f(n)|p.

n1,...,nd-1Z nZd Лемма 1 доказана.

Теорема 1. Если для последовательности {n} Rd выполнены условия A[], B[], то для любой f Ed, Lp,(Rd), 1 p < справедливо неравенство v(n)|f(n)|p c(,,, p, d) |f(x)|pd(x). (5) Rd nZd Доказательство. Пусть -1/2, n = [ + 1/2] + 1, a = [ + 1/2] -.

Тогда n N, 1/2 < a 1/2, 2 + 1 = n - (2a + 1). Рассмотрим функцию (z) = z2nja(z + i)ja(z - i), z C.

Она определена в [6], где доказано, что (z) четная целая функция экспоненциального типа 2, для которой для x, y R справедливы оценки 1) (x) > 0, |x| > 0, (0) = 0;

2) (x) c()|x|2+1, x R;

3) (x) c(, )|x|2+1, |x|. (6) Пусть j = (2j + 1 - p)/2p, f Ed, Lp,(Rd), d g(z) = f(z) j (zj) = f(z)(z), j=e = (1,..., 1). Тогда g Ed,+2e и g Lp(Rd):

d p |g(x)|pdx = |f(x)|p j (xj)dx Rd Rd j=d c(p,, d) |f(x)|p |xj|2j+1dx <, Rd j=поэтому применяя лемму 1, получим p p |f(n)|p(n) c(,, p, d) |f(x)|p(x)dx.

Rd nZd 74 В. И. Иванов, Юнпин Лю, О. И. Смирнов Согласно свойству B[] и (6) p v(n)|f(n)|p c(,, p, d) (n)|f(n)|p nZd nZd p c(,, p, d)c(,, p, d) |f(x)|p(x)dx Rd c(,,, p, d) |f(x)|pv(x)dx.

Rd Теорема 1 доказана.

2. Обобщение неравенства Боаса Лемма 2. Если для последовательности {n} Rd выполнены условия A[], C[, L], функция f Ed,, <, |f(n)|p <, 1 p <, то nZd f Lp(Rd) и выполняется оценка |f(x)|pdx c(,, L, p, d) |f(n)|p. (7) Rd nZd Доказательство. Вначале покажем, что для s = 0, 1,..., d - 1, любых n1 ns 1,..., s и любых xs+1,..., xd R n1 ns |f(1,..., s, xs+1,..., xd)|p c(,, L, p, d) |f(n)|p. (8) njZ s+1 j d ns+1-1 ns+Применим индукцию по d s + 1. Если d = s + 1 и s+1 < xs+1 s+1, n1 ns+n = (1,..., s+1 ), то из условия C[, L] ns+1 ns+1 ns+1-|s+1 - xs+1| |s+1 - s+1 | 2Ls+1 +.

s+Применяя неравенства Гельдера и Бернштейна [1], получим n1 ns |f(1,..., s, xs+1)|p 2p{|f(n)|p+ n1 ns n1 ns ns++|f(1,..., s, xs+1) - f(1,..., s, s+1 )|p} ns+p s+f n1 ns 2p |f(n)|p + (1,..., s, t) dt t xs+p f ns+n1 ns 2p |f(n)|p + |s+1 - xs|p-1 (1,..., s, t) dt t p- p n1 ns 2p |f(n)|p + 2Ls+1 + s+1 |f(1,..., s, xs+1)|pdxs+1.

s+(9) О некоторых классах целых функций экспоненциального типа n1 ns ns+Так как по условию |f(1,..., s, s+1 )|p <, то применяя ns+1Z неравенство Боаса (3), получим n|f(1,..., bns, xs+1)|pdxs+s n1 ns ns+ c(, Ls+1, s+1, p) |f(1,..., s, s+1 )|p.

ns+1Z Отсюда и из (9) вытекает (8) при d = s + 1.

Пусть d > s + 1. По индуктивному предположению для любых действительных xs+1,..., xd n1 ns n1 nd-|f(1,..., s,..., xd-1, xd)|p c(,, L, p, d) |f(1,..., d-1, xd)|p.

njZ s+1 j d-Применяя к каждому слагаемому последней суммы рассуждения, проведенные при d = s + 1, получим (8).

Итак, для любых xs+1,..., xd согласно (8) n1 ns |f(1,..., s, xs+1,..., xd)|p c(,, L, p, d) |f(n)|p <. (10) njZ nZd 1 j s Теперь нетрудно закончить доказательство леммы. Применяя последовательно неравенства (3), (10), получим n|f(x1,..., xd)|pdx1 c(,, L, p, d) |f(1, x2,..., xd)|p, R n1Z n1 n|f(x1, x2,..., xd)|pdx1dx2 c(,, L, p, d) |f(1, 2, x3,..., xd)|p, Rn1,n2Z...

|f(x)|pdx c(,, L, p, d) |f(n)|p.

Rd nZd Лемма 2 доказана.

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |   ...   | 43 |    Книги по разным темам