Книги по разным темам Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |   ...   | 43 |

Задача определения дифракционной картины в данном случае приводит к решению уравнений Гельмгольца [1] 2 1 1 + + + k3 = 0, r2 r r r2 (2) 2 1 1 + + + k4 = 0, r2 r r r2 где и соответственно скалярные потенциалы продольных и поперечных волн в упругом цилиндре; k3 = kl, k4 = k волновые числа продольных и поперечных волн в материале цилиндра.

Дифракция звука на цилиндре с коаксиальным включением в вязкой среде На поверхности цилиндра при r = a должны выполняться граничные условия:

prr = -rr, pr = r, (3) Vr = -iUr, V = -iU.

Здесь Ur, U радиальное и окружное смещения упругого цилиндра;

prr, pr радиальная и касательная компоненты тензора напряжений в жидкости; rr, r нормальная и касательная компоненты тензора напряжений в цилиндре; Vr, V радиальная и касательная составляющие скорости частиц жидкости, определяемые соотношениями Vr = +, r r (4) V = -, r r где = i + s скалярный потенциал продольных волн в жидкости, складывающийся из потенциала i продольных падающих волн и потенциала s продольных отраженных волн; скалярный потенциал поперечных (сдвиговых) волн в жидкости.

Кроме того, необходимо удовлетворить условиям на внутренней r = b поверхности цилиндра:

Ur = U = 0. (5) Решение задачи ищем в форме рядов. Потенциал поля скоростей i падающей волны представим в виде i = eik1r cos = Jn (k1r)ein, (6) n=где Jn (x) цилиндрическая функция Бесселя порядка n [3].

Скалярные потенциалы отраженных продольных s и поперечных волн в вязкой среде представим следующим образом:

(1) s = AnHn (k1r) ein (7) n=и (1) = BnHn (k2r)ein, (8) n=где Hn (x) цилиндрическая функция Ханкеля первого рода порядка n [3];

k1, k2 волновые числа продольных и поперечных волн соответственно в вязкой жидкости.

112 В. В. Аверина, В. И. Желтков Решения уравнений (2) для потенциалов продольных и поперечных смещений в упругом цилиндре имеют вид (1) (2) = CnHn (k3r) + EnHn (k3r) ein, n= (9) (1) (2) = DnHn (k4r) + FnHn (k4r) ein.

n=Так как 1 Ur = + ; U = -, (10) r r r r то перемещения упругого цилиндра можно определить по формулам in (1) (1) k3Cnn (k3r) + Dnn (k4r) + r ein, Ur = in (2) (2) n=+ k3Enn (k3r) + FnHn (k4r) r (11) in (1) (1) CnHn (k3r) - k4Dnn (k4r) + r ein.

U = in (2) (2) n=+ EnHn (k3r) - k4Fnn (k4r) r Радиальная и тангенциальная компоненты тензора напряжений будут определяться в соответствии с соотношениями [2] rr + 2 1 1 2 1 2 - = k3 + + - +, 2 2 r r2 2 r r r 1 2 1 1 1 = - k3 + + + -, (12) 2 2 r2 2 r r r2 r r r 1 1 1 2 1 1 = k4 + + - +, 2 2 r r r2 2 r2 r r откуда + + 2 k3 (1) n2 (1) 2 (1) rr = -2 k3Hn (k3r) + n (k3r) - Hn (k3r) Cnein2 r r+ in in (1) (1) -2 k4n (k4r) - Hn (k4r) Dnein4 r+ + 2 k3 (2) n2 (2) 2 (2) -2 k3Hn (k3r) + n (k3r) - Hn (k3r) Enein2 r r+ in in (2) (2) -2 k4n (k4r) - Hn (k4r) Fnein, 4 rДифракция звука на цилиндре с коаксиальным включением в вязкой среде + k4 (1) k4 (1) n2 (1) r = 2 Hn (k4r) + n (k4r) - Hn (k4r) Dnein2 r r+ in in (1) (1) -2 Hn (k3r) - k3n (k3r) Cneinr2 r + in in (2) (2) -2 Hn (k3r) - k3n (k3r) Enein+ r2 r + k4 (2) k4 (2) n2 (2) +2 Hn (k4r) + n (k4r) - Hn (k4r) Fnein.

2 r rУдовлетворяя граничным условиям на внешней (3) и внутренней (5) поверхностях цилиндра, получим систему уравнений для определения произвольных постоянных An, Bn, Cn, Dn, En, Fn:

ak1An + ak2Bn + ak3Cn + ak4Dn + ak5En + ak6Fn = bk, k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, (13) где (1) (1) a11 = k1an (k1a), a12 = inHn (k2a), (1) (1) a13 = iak3n (k3a), a14 = -nHn (k4a), (1) (1) a21 = inHn (k1a), a22 = -k2an (k2a), (1) (1) a23 = -nHn (k3a), a24 = -iak4n (k4a), (1) (1) a31 = i0a2 + 20n2 Hn (k1a) - 20k1an (k1a), (1) (1) a32 = 20 ink2an (k2a) - inHn (k2a) = (1) (1) = 20in k2an (k2a) - Hn (k2a), + 2 2 (1) (1) (1) a33 = 2 k3a2Hn (k3a) + k3an (k3a) - n2Hn (k3a), (14) 2 (1) (1) a34 = -2in k4an (k4a) - Hn (k4a), (1) (1) a41 = 20 nik1an (k1a) - niHn (k1a) = 114 В. В. Аверина, В. И. Желтков (1) (1) = 20ni k1an (k1a) - Hn (k1a), k2a2 (1) (1) (1) a42 = 20 Hn (k2a) - n2Hn (k2a) + k2an (k2a), (1) (1) a43 = 2in Hn (k3a) - k3an (k3a), k4a2 (1) (1) (1) a44 = - Hn (k4a) + k4an (k4a) - n2Hn (k4a), b1 = -k1aJn (k1a), b2 = -inJn (k1a), b3 = i0a2 - 20n2 Jn (k1a) + 20k1aJn (k1a), b4 = 20ni Jn (k1a) - k1aJn (k1a), (2) (2) a15 = iak3n (k3a), a16 = -nHn (k4a), (2) (2) a25 = -nHn (k3a), a26 = -iak4n (k4a), + 2 2 (2) (2) (2) a35 = 2 k3a2Hn (k3a) + k3an (k3a) - n2Hn (k3a), 2 (2) (2) a36 = -2 ink4an (k4a) - inHn (k4a) = (2) (2) = -2in k4an (k4a) - Hn (k4a), (2) (2) a45 = in Hn (k3a) - k3an (k3a), k4a2 (2) (2) (2) a46 = - Hn (k4a) + k4an (k4a) - n2Hn (k4a), a51 = a52 = a61 = a62 = b5 = b6 = 0.

Решение системы (13) позволяет определить давление в вязкой среде как суперпозицию давлений в падающей волне pi и в отраженной волне ps:

p = pi + ps, (15) откуда в соответствии с формулой p = (i0 - (0 + 20) k1) и решениями (7) и (8) окончательно получим Дифракция звука на цилиндре с коаксиальным включением в вязкой среде pi = i0 - (0 + 20) k1 Jn (k1r) ein, (16) n= 2 (1) ps = i0 - (0 + 20) k1 AnHn (k1r) ein. (17) n=Список литературы 1. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. Киев:

Наукова думка, 1978. 308 с.

2. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными напряжениями. Т. 2.

Закономерности распространения. Киев: Наукова думка, 1986. 536 с.

3. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1977. 228 с.

Аверина Виктория Валериевна (vickochcka@gmail.com), аспирант, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Желтков Владимир Иванович (glob@tula.net), д. ф.-м. н., профессор, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Diffraction of elastic waves on the cylinder with a coaxial inclusion in a viscous medium V. V. Averina, V. I. Zheltkov Abstract. The investigation is devoted to study the diffraction of elastic waves propagating in a viscous fluid on the surface of an elastic deformable cylinder with a coaxial absolutely rigid inclusion. Describes the relation for the pressure in a viscous medium in the incident and reflected waves. The analytical solution is presented.

Keywords: diffraction of elastic waves, Helmholtz equation, wave equation, the inclusion of co-axial, harmonic wave, the scalar potential, vector potential.

Averina Victoria (vickochcka@gmail.com), post-graduate student, department of mathematical modeling, Tula State University.

Zheltkov Vladimir (glob@tula.net), professor, department of mathematical modeling, Tula State University.

Поступила 25.02.Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 116ЦМеханика УДК 539.Деформирование сплавов в режиме сверхпластичности и близких к нему режимах О. И. Быля, Р. А. Васин Аннотация. Обсуждаются оптимальные условия протекания процесса сверхпластического деформирования ( оптимальная сверхпластичность ) и особенности поведения материалов, когда некоторые из этих условий нарушаются ( процессы, близкие к сверхпластическим ). Предлагается вариант математической модели (одноосный случай), включающий параметр, характеризующий изменяющуюся микроструктуру материала, средний размер зерна. Этот вариант позволяет качественно правильно описывать диаграммы деформирования при скачкообразном изменении скорости деформации в режиме сверхпластичности и близких к нему режимах деформирования.

Ключевые слова: сверхпластичность, математическая модель, трансформация микроструктуры, немонотонное нагружение.

Хорошо известно [1, 2], что практически все поликристаллические материалы и даже керамики способны при определенных условиях демонстрировать особый вид механического поведения, который принято называть сверхпластичностью (СП). При этом даже исключительно хрупкие в нормальных условиях материалы могут быть деформированы на сотни, а иногда и тысячи процентов зачастую без возникновения локализации деформаций, ускоряющей процесс разрушения. Условия, требуемые для такого поведения материала, обычно находятся экспериментально и являются по природе своей эмпирическими. Например, для большинства сплавов для обеспечения СП течения необходимо чтобы температура (T) была порядка 0,4Tпл, где Тпл температура плавления по абсолютной шкале, скорость деформирования лежала в диапазоне 10-5 10-2c-1, а микроструктура материала была мелкозернистой (средний размер зерна 10 мкм) и глобулярной. Однако, в силу приближенного характера этих ограничений, практически невозможно точно сказать, * Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 09-08-92651, № 11-08-00961).

Деформирование сплавов в режиме сверхпластичности когда процесс деформирования материала станет сверхпластическим и в какой момент СП течение перестанет быть таковым. По этой причине при разработке технологических процессов, использующих явление СП, обычно стараются, чтобы весь процесс деформирования происходил в режиме оптимальной сверхпластичности. Этот режим находится экспериментально как совокупность условий, при которых параметр скоростной чувствительности [3Ц5] log m = log T,=const достигает своего максимума. Здесь и безразмерные напряжение и скорость деформации соответственно(здесь и всюду далее речь идет только об одноосном нагружении). Существуют даже исследования, предлагающие интерактивное изменение условий нагружения для поддержания максимального значения скоростной чувствительности в течение всего процесса деформирования [6]. При оптимальной СП материал ведёт себя как вязкая жидкость и напряжение течение можно считать функцией скорости деформирования, температуры и начального размера зерна:

= f(, T, d0).

Микроструктура материала при этом изменяется незначительно и её трансформацией в первом приближении можно пренебречь, довольствуясь лишь указанием среднего размера зерна материала до начала деформирования.

На практике реализовать оптимальные условия сверхпластического деформирования (СПД) в технологических процессах зачастую бывает затруднительно или просто невозможно и, кроме того, экономически невыгодно. Действительно, трудно осуществить процесс изотермического деформирования в течение длительного времени, особенно при больших габаритах заготовки; сложно подготовить требуемую достаточно однородную ультрамелкозернистую исходную микроструктуру; не эффективно вести процесс при малых скоростях деформаций, характерных для СПД. Иногда выход за оптимальные пределы СП может происходить и преднамеренно при увеличении скорости деформирования для ускорения технологического процесса на некотором этапе (так называемая высокоскоростная СП ), при понижении температуры для уменьшения энергозатрат ( низкотемпературная СП ) или при попытке измельчения неподготовленной структуры непосредственно в ходе изготовлении изделия. Такого рода процессы, когда условия оптимальной СП нарушаются, но материал тем не менее деформируется относительно однородно и разрушается при сравнительно больших (по сравнению с обычным высокотемпературным деформированием) деформациях, будем классифицировать как процессы, близкие к СП.

118 О. И. Быля, Р. А. Васин Основным отличием таких процессов от оптимальной СП является ярко выраженная трансформация мирокроструктуры, происходящая в процессе деформирования и, как результат, функциональный характер определяющих соотношений, описывающих эти процессы.

Качественно различие обсуждаемых процессов деформирования можно проследить, изображая их в пространстве трех параметров, оказывающих основное влияние на механическое поведение материала. В качестве таких параметров выберем температуру T, скорость деформирования и параметр, характеризующий текущее состояние микроструктуры (рис. 1).

Рис. 1. Графическое представление пространства управляющих параметров высокотемпературного деформирования. А область эмпирических ограничений, требуемых для СП деформирования, В область оптимальной сверхпластичности Выбранные параметры не являются равноправными: температура и скорость деформирования являются независимыми управляющими параметрами, а микроструктуру можно выбирать только начальную, и её дальнейшее изменение зависит от процесса деформирования. По этой причине не любая кривая в таком пространстве будет представлять реально существующий процесс.

В данном пространстве область ограничений, требуемых для реализации сверхпластического течения, представляет собой параллелепипед (рис.1, область А), однако поверхность этого параллелепипеда, вообще говоря, не является поверхностью сверхпластичности, так как данные условия носят очень приближенный характер и даже их выполнение не всегда гарантирует СПД материала, а строго математически сформулированного критерия СП пока не предложено. По-видимому, четкой границы между областью СП и не СП не существует. Область оптимальной СП, условно изображенная на рис. 1 (область В) в принципе может быть построена Деформирование сплавов в режиме сверхпластичности экспериментально. Для этой цели необходимо провести серии экспериментов на одном и том же материале, но с различной исходной микроструктурой, варьируя температуру и скорость деформирования в пределах условий СП. Те сочетания параметров, при которых скоростная чувствительность материала m будет максимальной или отличаться от абсолютного максимума для данного материала на величину заданного допуска, дадут координаты точек, лежащих в области оптимальной СП. Форма и размер области, естественно, зависят от величины заданного допуска. На основе известных экспериментальных данных можно сделать ряд предположений о форме этой области. Например, при приближении температуры или скорости деформации к границам диапазона, рекомендуемого для СП, площадь соответствующего сечения области оптимальной СП будет уменьшаться и постепенно исчезнет. Такой же эффект наблюдается при ухудшении микроструктуры, например, при увеличении среднего размера зерна.

Сложнее представить форму этой области при сильном измельчении микроструктуры, когда размер зерен уменьшается до нанометров. В принципе, зона оптимальной СП должна расшириться, однако известно, например, что наноструктуры могут оказаться очень нестабильными, и тогда высокая температура может привести к резкому росту зерен.

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |   ...   | 43 |    Книги по разным темам