Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | 3 |

ный фактор S (q) двумерной решетки, которая опредеУгловая зависимость и частотный спектр интенсивноляется двумя внутрислоевыми базисными векторами i сти рассеяния определяются величинами (17). Обсудим с i = 1, 2. Суммирование по узлам слоя n в (20) дает на их основе брэгговскую дифракцию света при наличии случайной упаковки ростовых слоев, характерной для 1 sin2(Niq i/2) самоорганизующихся систем, таких как синтетические S (q) = Si(q) =, (23) опалы [12Ц14,17] и родственные им фотонные кристал- Ni sin2(q i/2) i=1,2 i=1,лы [18]. При росте опалов монодисперсные шары a-SiOсубмикронного диаметра a образуют плотноупакован- где Ni Ч число узлов в направлении i. При Ni ные (гексагональные) слои. Такие двумерные кристаллы каждый сомножитель в (23) переходит в 2-периодиобразуют плотную упаковку в направлении оси роста ческую дельта-функцию трехмерной структуры. При этом гексагональные слои могут занимать одно из положений A, B, C, известных Si(q) =2 (q i - 2mi), (24) для ГЦК решетки [1]. В получающейся плотноупакован- mi ной структуре положения двух последовательных слоев где mi Ч целые числа. Для регулярной упаковки гексаразные, а сдвиг слоя из одного положения (например, A) гональных слоев (ГЦК структура) послойное суммиров соседнее положение B или C определяется вектором вание по l в (22) дает трансляции uI или uII. В идеальной ГЦК решетке реализуется только один из этих векторов, а в реальных 1 sin2(Lq 3/2) опалах выбор вектора трансляции uI или uII является S(q) = --- 2 (q 3 - 2m3), L L sin2(q 3/2) вероятностным событием.

mСлучайный характер чередования слоев A, B и C (25) предполагает, что наблюдаемые величины (17) следует где m3 Ч целые числа.

Физика твердого тела, 2005, том 47, вып. 1958 В.А. Кособукин В случае трехмерной идеальной решетки максимумы в экспериментах [12Ц14], можно выделить особенности, структурного фактора (22) соответствуют нулям дельта- характерные для дифракции света на слоях с двумерной функций, входящих в (24) и (25), т. е. уравнениям Лауэ гексагональной решеткой. В случае B свет падает на q i = 2mi с i = 1, 2, 3. Последние служат для кине- плоскость (111) наклонно. В геометрии B, используемой матического анализа процессов дифракции в идеальной в большинстве работ по оптике опалов, проявляются кристаллической решетке. Для этой решетки определим эффекты дифракции света на одномерной решетке, об обратную решетку с базисными векторами bi и по разованной плоскостями (111).

ним разложим вектор рассеяния (14). Учитывая тож- Случай A. Предположим, что волновой вектор пада дество (i bj) =2i j, убеждаемся, что три уравнения ющей волны Q (111) составляет угол с направлени q i = 2mi эквиваленты условиям дифракции ем [112] в ГЦК решетке, как на рис. 1, b. Выразив базисные векторы (II.1) в ДоптическойУ системе координат с q = b mi bi (26) ez = Q/Q, имеем i = -ex m1 sin + + m2 sin или Q -Q = b, которые зависят от набора индек3 сов (m1, m2, m3). В безразмерных величинах (15) и = ba/(2) уравнение (26) принимает вид + ez m1 cos + + m2 cos 3 = = mii, (27) m1 + mi + ey m3 - (28) где = /(a 0), = 2/k0 Ч длина волны света в в уравнении (27), где = a/A, A Ч расстояние между вакууме, a Ч фиксированное расстояние между узлами слоями, причем = 3/2 для ГЦК решетки. Подстагексагонального слоя. При m1 = m2 = m3 = 0 дифракция вив (16) и (28) в (27), находим, что x- и z -компоненты отсутствует: Q = Q ( =, = ) согласно (26).

векторного уравнения (27) не зависят от, т. е. форНабор (m1, m2, m3) с хотя бы одним ненулевым инмально имеют тот же вид, что в случае изолировандексом определяет потенциально возможный максимум ного слоя ( 0). Эта пара уравнений инвариантна интенсивности (рефлекс), обусловленный дифракцией относительно поворотов вектора Q на углы, кратна системе кристаллических плоскостей, перпендикуные /3, если для каждого из эквивалентных пололярных вектору b из (26). Существенно, что mi не жений гексагонального слоя сделан соответствующий являются индексами Миллера (hkl) дифрагирующей = плоскости и перпендикулярного к ней вектора b(hkl).1 выбор индексов m1 и m2. В случае Q [112] ( 0) эти уравнения x = (m2 - m1), z = (m1 + m2)/ 3 с При заданных значениях, решения уравнений (26) m1 = m2 = -1 дают решения 1 = /2 и 2 = 3/2 и или (27) определяют углы, для направления условие брэгговской дифракции на слое распространения дифрагировавшего света в кристалле.

Вследствие ограничения || 2 в (27) при увеличении a индексов (m1, m2, m3) уменьшается величина /(a 0 ), [112]( ) = (1 + cos ). (29) при которой может появиться этот рефлекс.

Чтобы исчерпывающе проанализировать кинематику Выражение (29) описывает дисперсию света по углу дифракции света в опалах, достаточно рассмотреть две 0 рис. 1, b. В этой геометрии, исследовавшейся недавно Чтобы рассмотреть дифракцию света на трех1 мерных ГЦК решетках, добавим третье уравнение Для описания брэгговской дифракции в настоящей работе используются следующие системы координат. 1) ДОптическаяУ система с y = (3m3 - m1 - m2) из (27), которое с учетом (29) ортами e, в которой задаются волновые векторы (7) и (12) (рис. 1, a).

при m1 = m2 = -1 дает 2) Кристаллографическая система с ортами X [100], [010] и [001], относительно которой определяются индексы Миллера 3 основной ГЦК решетки (рис. 1, b). 3) Система с ортами x, и, в tg = m3 +. (30) 2 2 sin 1,2 которой разделяются эффекты дифракции на гексагональных слоях и их упаковке согласно представлению (22). Индексы Миллера, с помощью которых определяются системы кристаллических плоскостей Для решетки ГЦК-I уравнение (30) имеет два реше(hkl) и направление волнового вектора Q в кристалле, мы относим к ния: 1 = 70.5 при 1 = /2, m3 = 0 и 2 = 39 при основной ГЦК решетке; при этом (hkl) выражается формулой (II.4) 2 = 3/2, m3 = -1. Соотношение (II.4) показывает, через индексы {mi } из уравнения (26). Для решетки ГЦК-II, которая получается при зеркальном отражении основной решетки ГЦК-I в что этим решениям соответствует дифракция света на плоскости (111), удобно рассматривать уравнение (26), используя плоскостях (002) и (111) соответственно. При других систему координат, орты которой получаются путем инверсии ортов x, значениях m3 из (30) следует, что >/2, т. е. свет и. Тогда при заданном направлении Q параметры {mi } и индексы дифрагирует в прямую полусферу. Аналогично, для Миллера (hkl) плоскостей, ответственных за дифракцию в решетках ГЦК-I и ГЦК-II, будут отличаться знаком. решетки ГЦК-II в обратной полусфере получаются два Физика твердого тела, 2005, том 47, вып. К теории дифракции света в фотонных кристаллах с учетом межслоевой неупорядоченности Случай B. При падении света под углом = /2 к направлению [111] в плоскости, образующей угол с направлением [112], выразим величину (28) в ортах e x = ex, e y = ez, e z = -ey = -e x m 1 sin + + m 2 sin 3 + e y m 1 cos + + m 2 cos 3 m 1 + m + e z - m 3. (31) Отсюда следует, что при m 1 = m 2 = 0 дифракция не зависит от. При этом уравнение (27) с = -m 3e z определяет при m 3 1 дифракцию на одномерной цепочке бесструктурных плоскостей по закону зеркального отражения от них ( = и = ). Брэгговские длины волн 2 a () = cos (32) m соответствуют периоду a/ такой структуры в однородной среде с диэлектрической постоянной 0.

При m 3 = 1 из (32) находим длинноволновую границу Рис. 2. Зависимости нормированных структурных факторов SI,II/L от угла при Q [112] для структур ГЦК-I и ГЦК-II, состоящих из L гексагональных слоев. a Ч величины SI /L (1), SII /L (2) и (SI + SII )/(2L) (3) при L = 10; b Ч величина (SI + SII )/(2L) при L = 5 (4) и L = 20 (5). Вычислено по формуле (25) при a 0 = 370 nm, что в случае опала с 0 = 1.37 соответствует радиусу a/2 = 135 nm шаров a-SiO2.

Зависимость брэгговской длины волны от угла, равного = при = /2 и = - при = 3/2, определяется формулой (29).

решения, зеркально симметричные предыдущим относительно плоскости (111): 1 = 39 при 1 = /2, m3 = и 2 = 70.5 при 2 = 3/2, m3 = 0.

На рис. 2 показаны угловые зависимости нормированных структурных факторов для решеток ГЦК-I и ГЦК-II, состоящих из небольшого числа гексагональных слоев L.

Величины SI,II(q)/L рассчитаны по формуле (25) как функции угла = при = /2, т. е. выше плоскости (111), и = - при = 3/2 (ниже этой плоскости), а шкала ( ) соответствует формуле (29).

Из рис. 2, a видны максимумы величины SI /L при най денных из (30) значениях углов = -39 и = 70.5, а максимумы SII /L Ч при = -70.5 и = 39.

На рис. 2 показаны также величины (SI + SII )/(2L), Рис. 3. Зависимость от x = |q|a/2 величины которые выражают форм-фактор смеси ГЦК-I и ГЦК-II q/(i - b) из (33) (кривая 1) в сравнении с функцией структур, имеющих общую ростовую ось и одинаковое F(x) =(/ 2)(sin x - x cos x)/x3 (кривая 2). Вычислено число слоев L. Как видно из рис. 2, b, уширение всех для ГЦК решетки ( f = 0.74). Точки (hkl) на кривой дифракционных максимумов | | 1/L связано с масоответствуют условиям |q| = |b(hkl)| с векторами обратной лым числом слоев в ГЦК структурах: согласно (25), решетки b(hkl), относящимися к плоскостям (111), (200) SI,II(q)/L = 1 при L = 1. и (220).

Физика твердого тела, 2005, том 47, вып. 1960 В.А. Кособукин (0) =2a 20/3 дифракции на системе плоскостей с с дефектами упаковки. В последнем случае матрица b [111] в ГЦК решетке, а при m 3 2 Ч верхние граpe-iq uI (1 - p)e-iq uII ницы (0)/m 3 для дифракции более высоких порядков.

M(q) = (35) (1 - p)e-iq uI pe-iq uII Эти выводы одинаковы для решеток ГЦК-I и ГЦК-II.

Заметим, что дифракция типа m 1 = m 2 = 0 и m 3 = 1 проопределяет среднее значение фазового множителя является в спектрах отражения (пропускания) света от 0,l= e-iqR =(1/2)eT M(q) e, где e Ч матрица-вектор, ростовой плоскости (111) опалов, которые исследуются транспонирование которой дает eT =(1, 1), причем в большинстве работ. Картина дифракции существенeT e = 2. Учитывая, что при l > но усложняется при уменьшении длины волны, когда m 1 = 0 или m 2 = 0 в (31).

e-iq R0,l = eT Ml(q) e, (36) Согласно (17), для того чтобы максимум структур- ного фактора, заданный вектором b, был наблюдаемым, из (34) получаем необходимо чтобы соответствующая величина | b|L-была достаточно большой. Простейшая оценка форм- l 1 l S(q) = eT I + 1 - Ml + M e.

фактора b получается из (21) в изотропном приближе2 L l=нии, когда многогранная элементарная ячейка Вигнера - (37) Зейтца ГЦК решетки заменяется шаром равновеликого Суммирование в этой формуле с точностью до членов объема v0 = a3/ 2. Вычисление интеграла (21) дает порядка 1/L 1 (L ) дает qa qa -- q =(i - e) F - F. (33) S(q) = eT I - M + I - M - I e, (38) 1/2 2 f где I Ч единичная матрица. Используя элементы матриЗдесь F(x) =(/ 2)(sin x - x cos x)/x3, f Ч фактор цы (35), получаем заполнения ГЦК решетки шарами, i(e) Ч диэлектрическая проницаемость внутри (вне) шаров. Кри- S(q) вая 1 на рис. 3 показывает нормированный форм-фактор p(1 - p) sin1/F(x) - F(x/ f ) в сравнении с форм-фактором отдель- =, (1- 2p) sin2 0 + p2(1- 2cos0 cos + cos2 ) ного шара F(x) (кривая 2). Точки (hkl) на кривой (39) дают величины b/(i-e), вычисленные из (33) при где q = b(hkl) для плоскостей (111), (200) и (220). Далее 1 рассмотрим каким образом особенности дифракции све = q (uI - uII), 0 = q (uI + uII). (40) та, рассмотренные выше для ГЦК решетки, модифици- 2 руются при учете ростовой неупорядоченности опалов.

В случае A, когда Q [112] и uI,II = a(/ / 3), из выражений (39), (40) находим усредненный структурный фактор 5. Дифракция на случайной плотной 3 p(1 - p) упаковке слоев S(q) = 2 (2p - 1)(cos 20 - 1) +p2(2cos0 + 5/2) (41) Для случайной упаковки L гексагональных слоев сред на длине волны (29), причем 0 = 4 tg( /2)/( 3).

нее значение входящего в (22) структурного фактора Заметим, что в соответствии с этим выводом в формузаписывается в виде [19] ле (13) из [12], являющейся частным случаем (41), знаки L-котангенса следует поменять на знаки тангенса.

|l| S(q) = 1 - e-iq R0,l. (34) Структурный фактор (41), нормированный на единиL l=-L+1 цу в максимумах, показан на рис. 4, a для плотных ( = 3/2) случайных упаковок с разными коэффициенКак указано выше, при плотной упаковке гексагональтами корреляции p. Кривые 1Ц3 дают зависимость (41) ных слоев последующий слой получается путем трансот угла, который равен при = /2 и - при ляции предыдущего на вектор uI или uII. Введем коэф = 3/2, а также от длиныволны(29). Видно, что при фициент корреляции упаковки p, равный вероятности увеличении p в области p > 0.5 функция S сущетого, что векторы двух последовательных трансляций ственно меняется, приближаясь при 1 - p 1 к сумме слоев одинаковы. При p = 0 образуется трехмерная угловых зависимостей, характерных для ограниченных гексагональная плотноупакованная (ГПУ) решетка, а по толщине решеток ГЦК-I и ГЦК-II. Это следует из при трансляциях на вектор uI(uII) с вероятностью p = 1 рис. 4, b, где дано сравнение нормированной величины образуется структура ГЦК-I (ГЦК-II). Если0< p < 1, то S, вычисленной для случайной упаковки с p = 0.получается статистическая смесь ГЦК и ГПУ структур (кривая 4), со структурным фактором (SI + SII )/L, Физика твердого тела, 2005, том 47, вып. К теории дифракции света в фотонных кристаллах с учетом межслоевой неупорядоченности бенности, характерные для ГЦК решеток. Как показано выше, это позволяет оценивать из угловых зависимостей интенсивности дифракции не только коэффициент корреляции p [12], но и характерный размер ГЦК доменов.

В связи с этим представляется актуальным теоретически найти функцию распределения ГЦК доменов по длинам при заданной величине p и вычислить среднее значение длины и ее дисперсию с учетом сосуществования ГЦК и ГПУ доменов, дефектов упаковки и т. д.

В заключение заметим, что обсуждавшиеся эффекты межслоевой неупорядоченности не должны проявляться в стандартной геометрии зеркального отражения света от плоскостей (111), т. е. при дифракции с m 1 = m 2 = на длинах волн (32). Действительно, в этом случае 0,l I,II u I = u II и e-iqR = e-ilqu в формуле (34), т. е. вклад данного процесса дифракции в структурный фактор (34) не зависит от случайной упаковки слоев, если слои расположены эквидистантно. Однако эффекты двойникования структуры должны проявиться в незеркальных процессах с m 1 = 0 или m 2 = 0.

Pages:     | 1 | 2 | 3 |    Книги по разным темам