Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | 3 | Физика твердого тела, 2002, том 44, вып. 10 Генерация второй гармоники и выпрямление волн пространственного заряда в фоторефрактивных кристаллах й В.В. Брыксин, М.П. Петров Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук, 194021 Санкт-Петербург, Россия (Поступила в Редакцию 19 декабря 2001 г.

В окончательной редакции 17 января 2002 г.) Впервые представлена теория эффектов генерации второй гармоники и полного (пространственного и временного) выпрямления волн пространственного заряда (ВПЗ) в фоторефрактивных кристаллах и полуизолирующих полупроводниках. Теория предсказывает два механизма возбуждения второй гармоники ВПЗ. Предложена методика эксперимента для регистрации второй гармоники и получены необходимые формулы для интерпретации экспериментальных данных.

Установлено, что эффект полного выпрямления ВПЗ может приводить к изменению тока, протекающего через образец, на десятки процентов. Результаты расчетов находятся в качественном согласии с предварительными экспериментами.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант 02-02-17603.

В фоторефрактивных кристаллах (или в более общем Эффекты второго порядка (пропорциональные m2) случае в полуизолирующих полупроводниках), поме- в системе ВПЗ могут рассматриваться в терминах взаищенных во внешнее электрическое поле, могут возни- модействия друг с другом и их рассеяния на статических кать волны пространственного заряда (ВПЗ) [1]. Иногда решетках, если таковые возникают при выбранной медля описания этих волн используются термины Двол- тодике возбуждения ВПЗ (например, при возбуждении ны перезарядки ловушекУ [1], Дфоторефрактивные вол- осциллирующей интерференционной картиной). Взаимодействие ВПЗ друг с другом имеет определенные ныУ [2], или ДфоторефрактоныУ. ВПЗ характеризуются необычным законом дисперсии: их частота обратно про- аналогии с некоторыми нелинейными эффектами второго порядка в оптике, например с генерацией второй порциональна волновому вектору. Как правило, ВПЗ Ч гармоники и оптическим выпрямлением. Напомним, что довольно быстро затухающие волны; их время жизни в нелинейной оптике за возникновение волн с удвоенсравнимо с периодом собственных колебаний.

ным волновым вектором и удвоенной частотой колеВозможности успешного экспериментального исслебаний отвечает вклад в нелинейную восприимчивость дования ВПЗ в значительной степени зависят от вывторого порядка (2) A A (где A Ч комплексная бранной методики их возбуждения и регистрации. Среди амплитуда волны), а за оптическое выпрямление Ч различных способов генерации ВПЗ одним из наиболее вклад (2) A A = const(x, t). В результате оптическоэффективных является оптическое возбуждение их пого выпрямления в образце возникает статическое односредством освещения кристалла периодической (синусородное электрическое поле (однородная поляризация), идальной) интерференционной картиной, колеблющейся т. е. происходит как временное, так и пространственное около равновесного положения. В том случае, когда выпрямление оптических колебаний. Насколько нам изпериод интерференционной картины совпадает с провестно, проблема возбуждения второй гармоники и выстранственным периодом какой-либо ВПЗ, а частота прямления ВПЗ до сих пор не обсуждалась в литературе.

колебаний интерференционной картины также совпадает Целью настоящей работы являются строгий теоретис собственной частотой данной волны, возникает резоческий расчет указанных явлений и анализ методов их нансное возбуждение ВПЗ, которое легко регистрируетрегистрации. При этом в качестве метода возбуждения ся оптическими методами [2].

ВПЗ предполагается использовать осциллирующую инПри относительно малых значениях контраста m интерференционную картину. Как видно из численных оцетерференционной картины (m 1) обсуждаемые эффекнок, приводимых в конце работы, явление выпрямления ты имеют линейный характер. В этом случае осциВПЗ Ч сильный эффект, вызывающий большие (десятки лирующие поля и токи в образце пропорциональной процентов) изменения постоянного тока, протекающего первой степени m. Однако при больших значениях m через образец. Некоторые предварительные результаты (сравнимых с единицей) оказываются важными нелинейопубликованы в [3].

ные эффекты, приводящие к появлению полей и токов, пропорциональных второй и высшим степеням m. Нелинейность возникает из-за того, что вновь возбуждаемые 1. Расчет индуцированного поля светом носители заряда испытывают влияние не только приложенного к образцу электрического поля, но и по- Условия возбуждения и техника расчета ВПЗ, раслей уже сформировавшихся статических и динамических сматриваемые далее, аналогичны описанным в [2,4,5].

решеток заряда. Схема оптического возбуждения приведена на рис. 1.

1786 В.В. Брыксин, М.П. Петров полного тока во внешней цепи к площади поперечного сечения образца S. В выражении (6) опущен вклад диффузионных процессов, так как полагается, что при больших E0 и сравнительно малых Kg диффузионным вкладом в ток можно пренебречь.

Обычно уравнения (5)Ц(7) дополняются условием L E(x, t)dx = 0 [6], что означает отсутствие однородного электрического поля, индуцированного сформированной решеткой пространственного заряда. Это вполне оправдано, если цепь не содержит каких-либо сопротивлений, включенных последовательно с образцом. К числу таких сопротивлений относятся реальное нагрузочное сопроРис. 1. Схема возбуждения волн пространственного заряда тивление (как это изображено в схеме на рис. 1), внуи регистрации нулевого (I0), первого (I1) и второго (I2) треннее сопротивление источника и возможное дополнинебрэгговских пиков дифракции луча AS. I0, I1, I2 направтельное сопротивление на границах кристалЦэлектрод.

ены под углами w, 3w, 5w соответственно.

В нашем рассмотрении все эти возможные источники учитываются путем включения в схему эффективного нагрузочного сопротивления R. Тогда в качестве доКристалл освещается когерентными лазерными лучаполнительного условия для решения уравнений (5)Ц(7) ми, один из которых промодулирован по фазе с частобудем использовать следующее выражение:

той и амплитудой. В результате интенсивность L падающего на кристалл света имеет вид dxE(x, t) =-I(t), (8) L W (x, t) =W0 [1 + m cos(Kgx + cos t)]. (1) Здесь где = RS/L. Фактически условие (8) означает уменьW0 = W1 + W2, (2) шение приложенного поля внутри образца по сравнению с E0 за счет падения напряжения на сопротивлении R, W1 и W2 Ч интенсивности записывающих лучей, а также возможность появления как статического, так 2 W1Wи переменного во времени и однородного в пространстве m = (3) поля за счет формирования решеток пространственного W1 + Wзаряда.

Ч контраст интерференционной картины, Kg = 2/, Скорость генерации фотоэлектронов g(x, t) при осве Ч период интерференционной картины. При симметщении образца светом с интенсивностью (1) равна ричной схеме = W /(2 sin W ), (4) g(x, t) =g0 [1 + m cos(Kgx + cos t)], (9) где W Ч длина волны записывающего света, W Чугол где g0 = HW0, H Ч коэффициент, определяемый энерпадения записывающих лучей.

гией фотона, квантовым выходом и коэффициентом Для расчета внутреннего индуцированного поля поглощения кристалла.

E(x, t) воспользуемся стандартной системой нелинейИсключив из системы уравнений (5)Ц(7) концентраных дифференциальных уравнений [6] (см. также [4,5]) цию фотоэлектронов n(x, t), получаем замкнутое уравнение для индуцированного поля n(x, t) 1 j(x, t) - = g(x, t), (5) e x Y(z, T) 2Y (z, T ) + h(z, T ) - d j(x, t) =en(x, t)[E0 + E(x, t)], (6) T z T E(x, t) [1 + Y (z, T )] = f (T ). (10) + j(x, t) =I(t), (7) 4 t где j(x, t) Ч неоднородная плотность омического тока, Здесь введены следующие безразмерные переменные:

n(x, t) Ч концентрация фотоэлектронов, Ч время f (T ) =4MI(T )/(E0), d = KgL0, z = Kgx, T = t, жизни фотоэлектронов в зоне проводимости, Чпо- Y (z, T ) =E(z, T )/E0, = M, h(z, T ) =1 + m движность фотоэлектронов, Ч статическая диэлектри- cos(z + cos T ). Величины L0 = E0 и M = ческая проницаемость, E0 Ч электрическое поле, опре- = /(4eg0 ) Ч дрейфовая длина и максвелловское деленное как E0 = U/L (U Ч напряжение источника, время релаксации соответственно. Заметим, что здесь L Ч расстояние между электродами), I(t) Ч плотность введены дрейфовая длина L0 и так называемый параметр тока во внешней цепи, определенная как отношение качества d для случая, когда реальное приложенное Физика твердого тела, 2002, том 44, вып. Генерация второй гармоники и выпрямление волн пространственного заряда... поле равно E0. При наличии сопротивления R p = 0. Подставляя в (12) p = 0, с учетом (13) можно реальное значение L0 и, следовательно, d должны получить выражение для тока во внешней цепи быть соответствующим образом перенормированы, что l,и будет сделано в дальнейшем.

f =, (17) i 1 + q Решение уравнения (10) Y (z, T ) есть периодическая функция обеих переменных: Y (z, t) =Y(z + 2 p, T где q =.

+ 2l), поэтому ее можно разложить в двойной ряд Следует подчеркнуть, что выражение для тока (17) Фурье получено в низшем (нулевом) приближении по m (но справедливо при любой величине амплитуды фазовой модуляции ).

Y (z, T ) = Yp,l exp(i pz + ilT). (11) Обратимся теперь к случаю p = 1. Из (15) имеем p,l=h1,l Уравнение для компонент Фурье имеет вид Y1,l = (1 + q)(1 + ld + il) (i + pd)lYp,l + hp,l m ilJl( ) = -. (18) 2(1 + q) 1 + ld + il + Yp-p,l-l [hp,l + p l dYp,l ] = f p,0. (12) p,l=- Здесь d = d/(1 + q), что соответствует перенормировке электрического поля, определяющего дрейфовую длину, Набор фурье-компонент по времени тока во внешней за счет падения напряжения на нагрузочном сопротивцепи f определяется из условия (8), которое в предl лении R. В частности, в интересующих нас случаях ставлении Фурье принимает форму l = 0, 1, 2 при m Yp=0,l = - f, (13) l Y1,0 = -, (19) 2(1 + q) где = /(4M ) =eg0 Ч удельная электропроводm ность образца при однородном освещении.

Y1,1 =, (20) 4i(1 + q) 1 + d + i Компоненты Фурье интенсивности засветки hp,l заданы соотношением m Y1,2 =. (21) 16(1 + q) m 1 + 2d + 2i hp,l = p,0l,0 + Jl( )[p,lil + p,-1i-l]. (14) Выражение (20) описывает амплитуду поля движущейся решетки, у которой волновой вектор равен Kg, а чаРешение системы нелинейных уравнений (12) будем стота вынуждающей силы = M. При выполнении искать в приближении слабого контраста m 1.

условия d = 1 возникает резонанс, который означает, Заметим, что hp,l m|p|. Нетрудно убедиться в том, что что выполнены условия возбуждения собственной моды тогда и Yp,l m|p| при m 1.

колебаний, т. е. ВПЗ.

Тогда в низшем приближении по m уравнение (12) При d 1 частота резонанса (или фундаментальная с учетом условия (13) радикально упрощается и при частота) равна p 1 принимает вид f 1 1 + q f = = =. (22) f (1 + pld + il)Yp,l 2Md 2M E0Kg Выражение (22) в рассматриваемом приближении и есть = -hp,l + f (hp,l + pl dYp,l ) l-l дисперсионное соотношение для ВПЗ. В резонансе поле l =ВПЗ равно p 1 d - Yp-p,l-l (hp,l + p l dYp,l ). (15) Esc(x, t) = E0m cos( t - Kyx).

p =1 l =- 4 (1 + q)В выражении (21) также имеется резонанс, но на чаЗначения Yp,l при p -1 можно восстановить из соотстоте, вдвое меньшей. Этот резонанс связан с выбранной ношений методикой возбуждения ВПЗ. Дело в том, что при фа Y-p,-l = Yp,l, Yp,-l() =Yp,l(-). (16) зовой модуляции одного из лучей возникают колебания интерференционной картины не только на частоте, но Уравнение (11) представляет собой рекуррентное со- также и на более высоких гармониках. Амплитуда этих отношение для компонент Фурье безразмерного индуци- колебаний пропорциональна в соответствующей стерованного поля Yp,l. Несколько особняком стоит случай пени (при 1). Возникающие колебания на второй Физика твердого тела, 2002, том 44, вып. 1788 В.В. Брыксин, М.П. Петров m2 2 1 + i гармонике имеют амплитуду, пропорциональную, что Y2,2 = и описывается формулой (21). Таким образом, соотноше- 16(1 + q) 1 + 4d + 2i ние (21) описывает возбуждение тех же волн, которые 1 обсуждались выше, но с помощью второй гармоники +. (26) 1 + 2d + 2i (1 + d + i)частоты возбуждения.

Теперь рассмотрим эффекты второго порядка по m.

Затем, что выражения для компонент Фурье Y1,0, Фактически это означает, что в уравнении для плотности Y2,0 (19), (23) согласуются с точым результатом, полутока (6) удерживаются члены, пропорциональные m2.

ченным в [4] для Yp,0, Поскольку n(x, t) и E(x, t) содержит слагаемые с коэф |p| фициентами типа m exp(iKgx) и m exp[i(Kgx - t)], 1 - m2 - 1 m |p| произведение n(x, t) E(x, t) будет содержать члены тиYp,0 = = -, m па m2 exp(i2Kgx), m2 exp[i(2Kgx - t)], m2 exp(i t), m2 exp[i(2Kgx - 2 t)] и m exp[i(Kgx - t)]m а варажения для первых компонент Фурье по време exp[-i(Kgx - t)] = m2. Выражение m2 exp(i2Kgx) ни Y1,1, Y2,1 согласуются с соответствующим результаозначает появление второй пространственной гармоники том в [4].

статической решетки. Вклад типа m2 exp[i(2Kgx - t)] Выражение (26) описывает амплитуду движущейся соответствует появлению бегущей решетки с удвоенным решетки, у которой волновой вектор равен 2Kg, а чаволновым вектором (пространственное удвоение), слагастота колебаний равна удвоенной частоте возбуждения.

емое m2 exp(i t) означает возникновение однородного Заметим, что для ВПЗ с волновым вектором 2Kg собв пространстве, но осциллирующего во времени поля ственная частота колебаний должна быть /2 = f /2.

f (пространственное выпрямление). Последние два из пеИз структуры соотношения (26) видно, что имеются речисленных эффектов были изучены ранее в [3Ц5,7,8].

три резонанса (при = 1/d, = 1/2d и = 1/4d).

Компонента, пропорциональная m2 exp [i(2Kgx Природа этих резонансов заключается в следующем.

-2 t)], описывает генерацию второй гармоники Резонанс при = 1/4d вызван взаимодействием двух бегущей волны, а появление последнего слагаемого вынужденных колебаний с волновыми векторами Kg m2 означает возможность возникновения однородного и безразмерными частотами, равными = 1/d (амплипостоянного тока за счет взаимодействия волн, т. е. полтуда каждой из этих волн пропорциональна m ). Внелиного (пространственного и временного) выпрямления.

нейном режиме эти колебания (волны) порождают ноДля того чтобы изучить процесс генерации второй вую волну с удвоенным вектором и удвоенной частотой, гармоники бегущей волны, исследуем теперь вторые т. е. с волновым вектором 2Kg и частотой f /4 = f /2, f пространственные гармоники поля Y2,l с точностью до что как раз и удовлетворяет дисперсионному соотноm2. Из (11) с учетом (13) и (17) и того, что h2,l = 0, шению. Иными словами, в этом случае возбуждается имеем собственная мода колебаний за счет генерации второй гармоники вынужденных колебаний. Амплитуда соб(1 + 2ld + il)Y2,l = - Y1,l-l (h1,l + l dY1,l ).

ственной моды при этом пропорциональна m2.

Pages:     | 1 | 2 | 3 |    Книги по разным темам