Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | Физика твердого тела, 2002, том 44, вып. 9 Дискретная и континуальная модели для расчета фононных спектров углеродных нанотрубок й С.С. Савинский, В.А. Петровский Удмуртский государственный университет, 426034 Ижевск, Россия (Поступила в Редакцию 12 июля 2001 г.

В окончательной редакции 19 ноября 2001 г.) Изучается колебательный спектр идеальных углеродных нанотрубок с использованием двухпараметрического потенциала, который включает в себя парные и тройные межатомные взаимодействия. Этот потенциал, предложенный в работе Китинга, позволяет для ковалентных систем учесть упругость парных межатомных связей, а также упругость, обусловленную изменением угла между направленными межатомными связями.

Путем согласования колебательного спектра одиночной графитной плоскости, получаемого из потенциала Китинга, с колебательным спектром кристалла графита вычислены значения параметров потенциала, затем с найденными параметрами проведен расчет фононных спектров идеальных однослойных углеродных нанотрубок. Также обсуждается континуальная модель однослойной нанотрубки, в которой трубка представлена как упругая цилиндрическая оболочка конечной толщины. Континуальная модель позволяет численно рассчитать колебательный спектр нанотрубки в длинноволновом пределе в зависимости от ее радиуса и толщины.

Работа частично финансировалась грантом INTAS N 97 30810.

Экспериментально открытые Иджимой [1] углеродные хиральности; в дальнешем будем придерживаться обонанотрубки привлекают внимание благодаря уникаль- значений, указанных на рис. 1.

ным свойствам: высокой прочности; проводимости, заПоясним, каким образом для идеальной однослойной висящей от индексов хиральности трубки; возможности нанотрубки с заданными индексами хиральности могут использования нанотрубок и их соединений в наноэлекбыть вычислены параметры операторов винтовых повотронике. К сожалению, в настоящее время не существует ротов, показанных на рис. 1. Для этого мысленно разретехнологий, с помощью которых можно было бы осужем нанотрубку вдоль образующей и развернем трубку ществить синтез нанотрубок заданной хиральности, как в полосу, которая может рассматриваться как полоса на правило, нанотрубки, получаемые как продукт термибесконечном графитовом монослое, плотноупакованном ческого разложения графита, имеют неконтролируемые правильными углеродными гекcагонами со стороной d0.

размеры и хиральность.

Операторам винтовых поворотов трубки S1 и S2 на Покрытие идеальной углеродной нанотрубки геометплоскости будут соответствовать векторы элементарных рически можно представить как результат действия опетрансляций T1 и T2, а индексы хиральности i1, iраторов винтового поворота на элементарный фрагмент определят вектор C = i1T1 + i2T2, перпендикулярный трубки: два атома углерода, расположенных на цилиндвум сторонам полосы и по длине равный ширине дрической поверхности. Обозначим оператор винтового полосы. В результате параметры 1, 2 легко связать поворота на поверхности цилиндра через S( z, ), с проекциями векторов T1 и T2 на вектор C, а z, z результатом его действия на точку с координатами 1 z, является преобразование цилиндрических коорди- равны величинам проекций T1 и T2 на направление нат точки по правилу z, z + z, +.

На трубке можно ввести два линейно независимых оператора винтового поворота, S1( z, 1) и S2( z, 2), выбор которых не является однозначным.

В силу коммутативности винтовых поворотов оператор SnSm, где n, m Ч любые целые числа, преоб1 разует координаты произвольной точки по правилу (z, ) (z + n z + m z, + n 1 + m 2). При неко1 торых значениях n, m рассматриваемый оператор может быть кратен единичному, соответственно минимальные кратные значения n и m, называемые индексами нанотрубки, в дальнешем будут обозначаться через (i1, i2).

Вследствие неоднозначности выбора операторов S1 и Sв литературе существует несколько способов задания Рис. 1. Схематическое изображение атомной структуры углеиндексов (i1, i2), которые называются также индексами родной нанотрубки.

1722 С.С. Савинский, В.А. Петровский вдоль образующей разложим функцию W в ряд Тейлора, ограничиваясь слагаемыми второго порядка малости. В результате (T1 C) (T2 C) сила, действующая на выделенный атом (, s), будет 1 = 2, 2 = 2, C2 Cлинейной функцией по смещениям атомов, и классические уравнения движения атомов в этом приближении z =(T1 ez ), z =(T2 ez ), 1 примут вид где ez Ч единичный вектор, направленный вдоль обра- s, s s s, s зующей полосы. Таким образом, задавшись значением d0 Ms = 4 (Us -U ) s, s и пользуясь приведенными выше формулами, можно s вычислить параметры винтовых поворотов идеальной (U s -Us )+ (U s -Us ) ( + ) однослойной нанотрубки с помощью векторов элеменs, s s, s s, s s, s + s, s s, s тарных трансляций T1, T2 и вектора C.

s, s Через введенные нами операторы S1, S2 однозначно определяются координаты атомов углеродной нанотруб (U s -U s )+ (Us -U s ) s,s s, s s, s +, ки, находящихся на поверхности цилиндра, с помощью s,s s, s s, s трех чисел (n, m, s), где n, m Ч любые целые числа, (2) исключая кратные делители индексов трубки i1, i2;

где M Ч масса углеродного атома.

s принимает два значения s = 0, 1 и нумерует атомы На рис. 1 схематически показаны два атома Днулевой в Дэлементарной ячейкеУ структуры. Цилиндрические ячейкиУ углеродной нанотрубки и атомы, взаимодействукоординаты атома с номером (n, m, s) определяются ющие с Днулевой ячейкойУ, ответственные за слагаемые как результат действия оператора SnSm на s-й атом 1 правой части формулы (2) в уравнениях движения Днулевой ячейкиУ структуры. В дальнейшем для удобатомов с = 0, s = 0, 1. Атомы нулевой ячейки на ства обозначений пару чисел (n, m) будем обозначать рис. 1 показаны штриховыми линиями, атомы соседних одним индексом и определять положение атома на ячеек, взаимодействующие с нулевой, показаны черным трубке с помощью пары чисел (, s). Заметим также, цветом.

что углеродную нанотрубку можно представить как влоЗаметим, что для планарной углеродной структуры Ч женные друг в друга трубки с одним углеродным атомом графитового монослоя Ч все векторы в формуле s, s в соответствующей Дэлементарной ячейкеУ каждой из (1) лежат в одной плоскости, поэтому возвращающая двух трубок.

сила, действующая на атомы монослоя, согласно уравнениям движения (2), не имеет составляющей в направле1. Дискретная модель нии, перпендикулярном этой плоскости. Для углеродной трубки векторы не лежат в одной плоскости, и s, s Для численного расчета колебательного спектра на- возвращающая сила, действующая на выбранный атом, нотрубки использован двухпараметрический потенциал согласно уравнениям (2), может иметь неравную нулю межатомного взаимодействия Китинга [2], с помощью радиальную составляющую на поверхности трубки.

которого можно определить относительную энергию Будем искать решение системы уравнений (2) в виде взаимодействия атомов нанотрубки Us = RnRmAs exp(iqz + il - it). (3) 1 (r2s, s - ) s, s W = Напомним, что Ч совокупный индекс (n, m); R1, R2 Ч s, s s, s матрицы поворота, соответствующие операторам винтовых поворотов S1, S2; A0, A1 Ч векторы смещений (rs, s rs, s - )s, s s, s атомов Днулевой ячейкиУ; q Ч импульс фонона, l Ч +, (1) s, s s, s момент импульса фонона; Ч частота; через z, s, s, s обозначены цилиндрические координаты ячейки с номегде, Ч константы жесткости продольной C-C и ром на поверхности трубки. Подстановка (3) в формуизгибной C-C-C связей углеродных атомов; Ч лу (2) сводит бесконечную систему дифференциальных s, s равновесный вектор, соединяющий ближайшие атомы уравнений, описывающую движение атомов углеродной (, s) и (, s ); rs, s Ч текущий радиус-вектор, со- нанотрубки, к задаче о собственных векторах и значениединяющий ближайшие атомы. В первом слагаемом ях динамической матрицы размером 6 6. Решение поформулы (1) суммирование ведется по различным парам следней задачи позволяет численно рассчитать дисперближайших атомов, во втором Ч по различным тройкам сионные кривые и поляризацию фононов в нанотрубках.

ближайших атомов. В равновесном положении атомов Для расчетов фононных спектров углеродных наноуглерода, геометрически определяемом через векторы трубок необходимо задать численные значения упругих, энергия (1) обращается в нуль. констант, и равновесное положение атомов углерода s, s Считая смещение Us атома от положения равнове- в идеальной однослойной трубке, т. е. определить вексия малым по сравнению с межатомным расстоянием, тoры в декартовой системе координат. Авторы s, s Физика твердого тела, 2002, том 44, вып. Дискретная и континуальная модели для расчета фононных спектров углеродных нанотрубок полагали, что ось 0X декартовой системы координат проходит через нулевую ячейку, атом с индексом s = лежит на оси 0X, 0Z является осью нанотрубки. Путем действия операторов винтовых поворотов S1 и S2 на координаты двух атомов нулевой ячейки можно определить декартовые координаты атомов нанотрубки и затем найти компоненты равновесных векторов.

s, s Наиболее просто подобрать значения и можно, решая задачу о колебаниях атомов (2) углеродного монослоя, представляющего собой одиночную графитовую плоскость, для которой матрицы поворотов в формуле (3) являются единичными матрицами, в результате в плоскости монослоя формула для смещений атомов имеет вид Рис. 2. Фононный спектр одиночного графитового слоя.

Us = As exp(iqz z + iqx x - it), (4) где qx, qz Ч проекции волнового вектора двумерного фонона на оси системы координат 0X и0Z, совпадающей фононов в углеродном монослое, равные V1 = 15.0km/s, с плоскостью монослоя. Подстановкой решения (4) V2 = 21.1 km/s. Заметим, что первые расчеты колебав уравнение (2) бесконечная система дифференциальных тельного спектра графитового монослоя, с использовауравнений сводится к задаче на собственные векторы и нием потенциала Китинга были проведены в работе [5], значения динамической матрицы размером 4 4, решая результаты которой плохо согласуются с данными [3,4], которую можно определить дисперсионные кривые и по- что связано с плохим выбором параметров, в [5].

яризацию двумерных фононов в графитовом монослое. Для расчета фононных спектров углеродных трубок Заметим, что размерность динамической матрицы для сдeлaно предположение, что значения параметров и углеродного монослоя связана со свойством потенциала в потенциале Китинга трубки можно взять такими же, Китинга, для которого в линейном приближении возвра- как и для углеродного монослоя.

щающая сила, действующая на атом, смещенный в пер- Оценочные расчеты проведены для трубки (20, 10), пендикулярном к плоскости направлении, обращается для которой в литературе известны данные о дисперв нуль, поэтому вектор смещения атомов в формуле (4) сионных кривых фононов. Так, авторы работы [3] исимеет нулевую составляющую на направление нормали пользовали для расчетов фононов трубки (20, 10) только к плоскости монослоя. Подбор параметров и для трансляционную симметрию, не выделяя у фононов графитового монослоя проводится из следующих пред- квантовых чисел: продольный импульс и момент импульположений: частота ДоптическихУ колебаний в точке са. Рассчитанные дисперсионные кривые для фононов зоны Бриллюэна графитового монослоя должна быть трубки с индексами хиральности (20, 10) приведены на равной 1582 cm-1 [3] и соответственно ход дисперси- рис. 3. Скорости длинноволновых акустических фононов онных кривых фононов для направлений симметрии с орбитальным квантовым числом l = 0 оказались M, K, MK должен быть близок к экспериментальным равными V1 = 14.1km/s, V2 = 20.7 km/s. Это фононы данным, взятым из книги [4] по фононным спектрам кри- ДпродольныеУ, в которых смещение атомов совпадасталла графита для фононов, распространяющихся вдоль ет с направлением оси трубки, и ДсдвиговыеУ, в кографитовых плоскостей и имеющих амплитуду смеще- торых смещение атомов направлено перпендикулярно ния атомов, направленную также вдоль плоскостей. Эти оси трубки. Кроме того, в трубке существует Ддышапредположения оправданы в силу относительной мало- щаяУ фононная мода с предельной частотой, равной сти взаимодействия в графите плоскостей между собой, b = 161.2cm-1, в которой смещения атомов направлев результате двумерные фононы определяются в основ- ны вдоль радиальной составляющей и обладают цилинном через упругие модули одиночных углеродныx мо- дрической симметрией. Анализ дисперсионных кривых нослоев. Численно подобранные нами параметры на рис. 3 показывает, что вблизи ДдышащейУ моды и имели следующие значения: = 105216.76 dyn/cm, существуют колебания трубки с предельной частотой = 84489.06 dyn/cm для равновесной стороны гексагона 228.7 cm-1, соответствующие относительным радиальмонослоя d0 = 1.418. Дисперсионные кривые двумер- ным колебаниям подрешеток трубки относительно друг ных фононов, рассчитанные для углеродного монослоя, друга. В области ДоптическихУ частот в длинноволноприведены на рис. 2. Из рис. 2 следует, что скорости вом пределе имеются моды с предельными частотами длинноволновых акустических фононов монослоя равны 1575 и 1583 cm-1, колебания в которых соответствуют V1 = 14.3km/s, V2 = 20.7 km/s; эти значения достаточно смещениям подрешеток трубки друг относительно друга близки к данным работы [3], в которой указываются по направлению вдоль оси трубки и относительному теоретические значения для скоростей длинноволновых повороту подрешеток.

Физика твердого тела, 2002, том 44, вып. 1724 С.С. Савинский, В.А. Петровский серединной поверхности, расположенной внутри оболочки; uz, u, ur Ч цилиндрические компоненты вектора E смещения; c =.

(1-2) Если в уравнения (5) подставить решения для компонент вектора смещений в виде uz = A exp(-t + il + iqz ), u = B exp(-t + il + iqz ), ur = C exp(-t + il + iqz ), (6) где A, B, C Ч постоянные, получим систему алгебраических уравнений относительно коэффициентов A, B, C, условие существования нетривиальных решений котоРис. 3. Фононные спектры углеродной нанотрубки (20, 10) в дискретной модели для l = 0, 1, 2. Радиус нанотрубки рой определяют дисперсионные соотношения для упруR = 6.785.

гих волн, распространяющихся в оболочке.

Заметим, что уравнения (5) допускают следующие простые частные решения для l = 0 в пределе Дупругой мембраныУ h = 0:

Для фононов с l = 0 дисперсионные кривые транс 1. uz = ur = 0, u = B exp(-it +iqz ). Дисперсионноe формируются (рис. 3).

уравнение в данном случае имеет вид Полученные численные данные для частот длинноволновых фононов в трубке (20, 10) сравнивались E q2 = (7) с данными работ [3,6], выполненных по другой мето2(1 + ) дике и с использованием многопараметрического потенциала. Обнаружилось достаточно близкое совпадение и решение соответствует Дволне крученияУ, распрострав длинноволновом пределе по частоте ДдышащейУ моды:

няющейся вдоль оболочки.

b = 170 cm-1 [6], b = 165 cm-1 [3] c полученным 2. u = 0, uz = A exp(it + iqz ), ur = C exp(it + iqz ).

Pages:     | 1 | 2 |    Книги по разным темам