Книги, научные публикации
Pages: | 1 | ... | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | ... | 20 | УПРАВЛЕНИЕ ИНВЕСТИЦИЯМИ INVESTMENT MANAGEMENT Frank J. Fabozzi, CFA Editor Journal of Portfolio Management with ...
-- [ Страница 17 ] --ГЛАВА ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИЯМИ ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ После прочтения этой главы вы сможете:
Х объяснить, в чем заключается роль эталонных показателей;
Х описать различные типы этих показателей: индексы рынка, индексы инн вестиционного стиля, показатели Шарпа и нормальные портфели;
Х обсудить проблемы, связанные с индексами инвестиционного стиля;
Х объяснить, как устанавливаются эталонные показатели Шарпа;
Х рассказать, как образуют нормальные портфели и какие трудности возн никают при этом;
Х описать однофакторные меры оценки эффективности инвестирования (индекс Трейнора, индекс Шарпа и индекс Дженсена), а также огранин чения, связанные с их использованием;
Х объяснить, что представляет собой модель факторного анализа эффекн тивности управления инвестициями и почему она полезна при оценке работы инвестиционного менеджера;
Х рассказать, как показатели Шарпа используются при оценке эффективн ности управления инвестициями.
Инвестиционные (портфельные) менеджеры могут следовать большому числу активных инвестиционных стратегий. В предыдущей главе мы уделили основное внимание тому, каким образом можно измерить результаты инвестирования, а также рассмотрели установленные Ассоциацией инвестиционного менеджмента и исслен дований (AIMR) стандарты представления этих результатов. Однако только измерен ние результата не дает ответа на следующие два вопроса: 1) с учетом риска, свян занного с применяемой активной стратегией, какова эффективность работы менедн жера? 2) каким образом менеджеру удалось достичь указанного в отчете уровня доходности?
Ответы на эти два вопроса играют решающую роль при определении того, насколько хорошо или плохо действовал менеджер по сравнению с заданными ЧАСТЬ VI эталонными показателями. Для ответа на первый вопрос мы должны будем обран титься к различным мерам риска, описанным в гл. 4, 5 и 6. Пользуясь этими меран ми, мы будем в состоянии оценить, соответствует ли достигнутая менеджером дон ходность существовавшему риску.
Ответ на второй вопрос покажет, действительно ли менеджер получил повышенн ную доходность в соответствии с заранее предусмотренной стратегией. В то время как клиент ожидает, что любое превышение над среднесрочным уровнем доходности явн ляется закономерным результатом принятой стратегии действий, в реальности это не всегда так. Пусть, например, менеджер добился права на управление средствами клин ента, утверждая, что может обеспечить повышенную доходность с помощью отбора недооцененных акций. Предположим, что этому менеджеру действительно удалось получить повышенную по сравнению с индексом S&P 500 доходность. Но клиент не должен удовлетворяться лишь сообщением о достижении такого результата. Необходин мо, чтобы был проведен факторный анализ этого результата. Так, клиент может обнан ружить, что повышенная доходность явилась следствием совсем другой стратегии, например отслеживания рынка (пересмотра беты портфеля при прогнозируемых изменениях на рынке), а не за счет отбора недооцененных акций. В таком случае мен неджер, возможно, превзошел S&P 500 (даже после учета риска), но сделал это с помощью не той стратегии, применение которой было обещано клиенту.
В этой главе мы рассмотрим методы учета риска при оценке реализованной дон ходности для того, чтобы: 1) определить, была ли действительно получена повын шенная (с учетом риска) доходность;
2) провести анализ фактической доходности портфеля с тем, чтобы выявить источники и причины ее получения. Этот анализ мы будем называть оценкой эффективности инвестирования. Главу мы начнем с обсуждения различных эталонных показателей (мер), которые могут быть испольн зованы при оценке работы менеджера.
ЭТАЛОННЫЕ ПОРТФЕЛИ Для того чтобы оценить деятельность инвестиционного менеджера, клиенту нен обходимо выбрать некоторый эталонный показатель, относительно которого будет проводиться сравнение. Как будет видно из следующего примера, на самом деле важно использовать подходящий эталонный портфель, а не обобщенный (сводный) индекс, как, например, S&P 500.
На рис. 30-1 приведена накопленная избыточная доходность за период с янн варя 1994 по июнь 1988 г. Приведенные данные были получены по результатам ран боты одного из внешних управляющих, сотрудничающих с пенсионным фондом компании Bell Atlantic. Этот управляющий относится к категории менеджеров рон ста {growth manager)*. Как можно видеть, результаты данного менеджера оказались лучше, чем те, которые были получены в соответствии с выбранным спонсором пенсионной схемы эталонным портфелем. Следовательно, менеджер добился отн носительного увеличения стоимости активов фонда. Однако доходность эталонного портфеля оказалась существенно ниже доходности индекса S&P 500. Решение о выборе менеджера принималось спонсором схемы и, возможно, оно не было опн тимальным.
Напомним, что, согласно принятой в книге терминологии, менеджер роста придерживается инвестиционного стиля, ориентированного на получение максимального роста стоимости портн феля, а не текущего дохода, например. (Прим. науч. ред.) ГЛАВА 30 ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИЯМИ X О :х о о.
с 1/84 1/86 1/ Доходность Доходность эталонного менеджера в сравнении портфеля в сравнении с с эталонным портфелем доходностью S&P Рис. 30- Накопленная избыточная доходность, полученная управляющим пенсионным фондом компании Bell Atlantic Источник: Edward P. Rennie and Thomas J. Cowhey, The Successful Use of Benchmark Portfolios, in Darwin M. Bayston and H. Russell Fogler (eds.), Improving Portfolio Performance with Quantitative Models (Charlottesville, VA: Institute of Chartered Financial Analysts, 1989), p. 34.
На практике используют четыре типа эталонных показателей: 1) рыночные индексы;
2) индексы инвестиционного стиля;
3) показатели Шарпа;
4) нормальн ные портфели. Рыночные индексы обсуждались нами в гл. 2. Здесь мы рассмотрим другие типы эталонных мер.
Индексы инвестиционного стиля Эти индексы разрабатываются консалтинговыми фирмами и служат мерами эффективности различных инвестиционных стилей, описанных в гл. 15. Так, разран ботанные в компании Frank Russet индексы (Russel Style Indexes) включают стиль роста, рыночный стиль и лориентированный на стоимость, или лоценочный, стиль (value styles).
Связанная с этими индексами проблема заключается в том, что зачастую трудно отнести стиль работы менеджера к одному определенному классу. Чтобы проиллюн стрировать эту проблему, предположим, что на одинаковые суммы инвестицион ЧАСТЬ VI ный менеджер покупает 80 акций, причем 40 из них имеют наивысшие дивидендн ные доходности (по индексу Russell 1000), а другие 40 Ч наименьшие отношения цены к прибыли (Р/-коэффициент) (по индексу Russell 2000)1.
Индекс Russell 1000 включает акции с наибольшей капитализацией. Значит, можно сказать, что при осуществлении инвестиций этот менеджер придерживаетн ся стиля высокой капитализации. Однако включенные в данный индекс акции обн ладают большой дивидендной доходностью, а эта характеристика присуща акцин ям, выбираемым ориентирующимся на стоимость менеджером. Поэтому можно сказать, что инвестиционный стиль данного менеджера относится также и к этой категории стилей. Наконец, половина портфеля образована акциями, включеннын ми в индекс Russell 2000, а в него входят акции с наименьшей капитализацией, следовательно, можно считать, что менеджер следует и этому инвестиционному стилю.
Эталонные показатели Шарпа Так как реальный стиль инвестиционного менеджера трудно отнести только к одной из категорий характерных инвестиционных стилей, то Уильям Шарп предн ложил использовать для построения эталонных показателей множественный регресн сионный анализ, основанный на различных специализированных рыночных индекн сах2. Аргументом в пользу такого подхода служит тот факт, что потенциальные клин енты могут приобретать комбинацию смещенных (tilted) индексированных фондов, с помощью которых можно воспроизвести заданный инвестиционный стиль. Исн пользуя статистические методы, можно сконструировать эталон, учитывающий осон бенности инвестиционного стиля менеджера. Такой эталон называется показателем (или индексом) Шарпа (Sharpe benchmark).
Для учета различных схем диверсификации активов Шарп предложил испольн зовать 10 следующих индексов: 1) Russell Price-Driven Stock Index (индекс для акн ций с большой стоимостью);
2) Russell Earnings-Growth Stock Index (индекс для акций с высокими темпами роста);
3) Russell 2000 Small Stock Index (индекс для акций малых компаний);
4) Salomon Brothers 90-Day Bill Index (индекс для 90-дневных векн селей);
5) Lehman Intermediate Government Bond Index (индекс для среднесрочных государственных облигаций);
6) Lehman Long-Term Government Bond Index (индекс для долгосрочных государственных облигаций);
7) Lehman Corporate Bond Index (индекс для корпоративных облигаций);
8) Lehman Mortgage-Backed Securities Index (индекс для ипотечных облигаций);
9) Salomon Brothers Non-U.S. Government Bond Index (индекс для иностранных государственных облигаций);
10) Financial Times Actuaries Euro-Pacific Index (глобальный индекс Файненшл Тайме и Института актуариев).
Несколько позже мы рассмотрим, каким образом используют показатель Шарпа для оценки эффективности управления инвестициями.
Этот пример взят из работы Н. Russell Fogler, Normal Style Indexes Ч An Alternative to Manager Universes?, in Performance Measurement: Setting the Standards, Interpreting the Numbers (Charlottesville, VA: Association of Management and Investment Research, 1991), p. 97.
William E. Sharpe, Determining a Fund's Effective Asset Mix, Investment Management Review (September/October 1988), pp. 16Ч29.
ГЛАВА 30 ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИЯМИ Нормальные портфели Нормальный портфель {normal portfolio) представляет собой специальный этан лонный портфель, состоящий из ценных бумаг, с которыми обычно работает мен неджер, и с типичными для этого менеджера весами4. Следовательно, нормальный портфель представляет собой специализированный индекс, соответствующий инн дивидуальному инвестиционному стилю менеджера. Считается, что нормальные портфели являются более приемлемыми в качестве эталонных показателей, чем рыночные индексы, так как они более точно характеризуют заданный стиль инвен стиционного менеджмента. В сущности, этот подход можно рассматривать как вын зов менеджеру, состоящий в требовании превзойти свои собственные средние результаты.
Построение нормального портфеля для конкретного инвестиционного менедн жера представляет собой непростую задачу5. Типичный метод состоит в анализе прошлой инвестиционной деятельности менеджера и в том, чтобы на основе изун чения структуры управляемых им в прошлом портфелей выявить предпочтения менеджера, как в выборе классов активов, так и тех пропорций, в которых они включались в портфели. Для построения нормального портфеля необходимо:
1) определить акции, которые должны войти в этот портфель;
2) установить веса, которые будут присвоены этим акциям (т. е. будут ли акции равновзвешенными или взвешенными с учетом капитализации).
Определение набора активов для включения в нормальный портфель начинан ется с беседы клиента и менеджера, в ходе которой определяется инвестиционный стиль последнего. На основе этих обсуждений из совокупности всех обращающихся акций выделяется набор, кажущийся менеджеру предпочтительным с точки зрен ния его инвестиционного стиля. Например, если инвестиционный стиль менеджера подразумевает вложение средств исключительно в те акции, которые обладают более низким отношением цены к прибыли на акцию, чем в среднем для всех обращаюн щихся акций, то в нормальный портфель войдут все акции, удовлетворяющие этон му условию.
Следующим после выбора набора акций будет вопрос о весах, с которыми они войдут в нормальный портфель. Типичным является выбор между присвоением всем акциям одинаковых весов и взвешиванием с учетом капитализации. Для того чтобы наглядно продемонстрировать важность процедуры взвешивания, на рис. 30-2 прин водится сравнение доходностей портфелей из равновзвешенных акций S&P 500 и портфеля тех же акций, но взвешенных с учетом капитализации за пятилетний период с 1984 по 1988 г.
Для определения весов можно воспользоваться различными методиками. Обычн но эти методики включают проведение статистического анализа прошлых портфен лей инвестиционного менеджера, а также связанного с ними риска. Например, при определении весов компания Bell Atlantic ориентируется на оценки состояния порн тфелей менеджеров на конец каждого месяца в течение последних пяти лет. На осн нове их анализа для конструируемого нормального портфеля определяется средняя Термин нормальный портфель впервые употребил Бэр Розенберг (Barr Rosenberg) Ч основан тель BARRA.
Jon Cristopherson, Normal Portfolios and Their Construction in Frank J. Fabozzi (ed.), Portfolio and Investment Management (Chicago: Probus Publishing, 1989), p. 382.
См. статью Mark Kritzman, How to Build a Normal Portfolio in Three Easy Steps, Journal of Portfolio Management (Spring 1987), pp. 21Ч23.
ЧАСТЬ VI * to л о о X х о Et 1984 1985 1986 1987 Г ] Равномерное | ^ | Взвешивание с учетом взвешивание капитализации Рис. 30- Сравнение доходностей портфелей акций из индекса S&P 500 с равномерным взвешиванием и взвешиванием с учетом капитализации (данные с 1984 по 1988 г.) Источник: Edward P. Rennie and Thomas J. Cowhey, The Successful Use of Benchmark Portfolios, in Darwin M. Bayston and H. Russell Fogler (eds.), Improving Portfolio Performance with Quantitative Models (Charlottesville, VA: Institute of Chartered Financial Analysts, 1989), p. 34.
чувствительность по каждому из факторов модели BARRA6. Полученные оценки чувн ствительности используются как нормальные коэффициенты для выбора весов нормального портфеля.
На рис. 30-3 приводится средняя подверженность риску (определяемая станн дартным отклонением), рассчитанная для реального портфеля, которым управлял инвестиционный менеджер компании Bell Atlantic. Данные приводятся за период с декабря 1984 по ноябрь 1988 г.* На рисунке эта подверженность риску приводится в сравнении с соответствун ющими величинами для эталонного портфеля: I) построенного по описанной выше методике получения весовых коэффициентов;
2) веса в котором получены с учен том капитализации;
3) для которого использовались равные веса. Обратите внима Edward P. Rennie and Thomas J. Cowhey, The Successful Use of Benchmark Portfolios, in Darwin M. Bayston and H. Russell Fogler (eds.), Improving Portfolio Performance with Quantitative Models (Charlottesville, VA: Institute of Chartered Financial Analysts, 1989), p. 34.
" Имеется в виду подверженность риску (или чувствительность) относительно факторов модели BARRA. Подверженность риску (чувствительность) измеряется коэффициентом регрессии, оцен нивающим вклад данного фактора в общую величину риска, измеряемого стандартным отклон нением доходности портфеля. (Прим. науч. ред.) ГЛАВА 30 ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИЯМИ Объем Рост Прибыль/Цена Балансовая стоимость/Цена Дисперсия дохода Финансовый рычаг h Зарубежные продажи Интенсивность труда Доходность Ч -1,0 -0,6 -0,2 0,2 0,6 1, Риск (стандартное отклонение) ЕЮ Реальный портфель Х Взвешенный по капитализации портфель ПЗ Равновзвешенный H I Эталонный портфель портфель Рис. 30- Сравнение результатов факторного анализа рисков для различных классов эталонных портфелей (данные с 1984 по 1988 г.) Источник: Edward P. Rennie and Thomas J. Cowhey, The Successful Use of Benchmark Portfolios, in Darwin M. Bayston and H. Russell Fogler (eds.), Improving Portfolio Performance with Quantitative Models (Charlottesville, VA: Institute of Chartered Financial Analysts, 1989), p. 36.
ние на то, что использование различных методов установления весовых коэффицин ентов для образующих портфель активов влияет на подверженность риску эталонн ного портфеля.
Спонсоры пенсионной схемы работают вместе с пенсионными консультантан ми над конструированием нормального портфеля для менеджера. Используя пакен ты программ статистического анализа и оптимизации, консультанты создают порн тфель, максимально точно воспроизводящий стиль менеджера (Пример 30)7. Спонн сору пенсионного плана необходимо иметь в виду, что с разработкой и обновленин ем нормального портфеля будут связаны определенные издержки.
Процесс создания нормальных портфелей с помощью системы BARRA описан в следующих двух публикациях этой фирмы: The Normalbook (September 1988);
Arjun Divecha and Richard Grinold, Normal Portfolios: Issues for Sponsors, Managers and Consultants (February, 1989).
ЧАСТЬ VI Пример ВЫБОР ПОДХОДЯЩЕГО ЭТАЛОННОГО ПОКАЗАТЕЛЯ Ниже приводится отрывок так как недобросовестное пон решение чревато опасностью из статьи Джона Кристофер- строение нормальных портфен того, что менеджер построит сона (Jon Cnstopherson) из лей может привести к тому, для себя легко превосходин компании Frank Russell Seн что спонсор будет неоправн мый эталонный портфель lecting an Appropriate Benchн данно строг с менеджером, (лslow rabbit).
mark: который получил плохие рен Обычно для построения Результаты данной статьи зультаты по сравнению с пон нормальных портфелей спонн довольно проблематичны, так строенным для него нормальн соры пользуются услугами как многие спонсоры пенсин ным портфелем. Однако если одного специалиста. При онных схем не только не прин строится нормальный портн этом они полагаются на его надлежат к числу опытных фель типа л5/otv rabbit, то это профессиональные навыки в пользователей нормальных дает менеджеру слишком мнон выполнении задания. К сожан портфелей, но и не располан го возможностей для неэфн лению, спонсоры пенсионных гают набором таких портфен фективной работы.
схем зачастую не могут быть лей, с помощью которых они полностью уверены в том, что могли бы оценивать эффекн покупаемые ими нормальные Вопросы к Примеру тивность работы своих менедн портфели построены правильн 1. Что представляет собой норн жеров. Спонсоры могли бы ным образом. Для проверки мальный портфель?
потребовать, чтобы менеджен этого не существует никаких 2. Что обозначает термин slow ры сами занялись процессом служб, которые помогли бы в rabbit и какие связанные с построения нормальных порн проведении независимой ним опасности упоминаются в тфелей, тем самым освободив оценки. И для спонсоров, и приведенном выше отрывке?
спонсоров от груза этой прон для менеджеров эту проблему блемы. К сожалению, такое нельзя назвать тривиальной, Существует мнение, что за разработку нормальных портфелей должен отвечать инвестиционный менеджер. Однако многие клиенты с неохотой идут на то, чтобы позволить им контролировать построение нормальных портфелей, так как они пон лагают, что менеджеры будут составлять несерьезные эталонные портфели, кон торые будет легко превзойти (их называют медленными кроликами Ч slow rabbit).
В работе Бэйли и Тернея утверждается, что при разумных условиях менеджер не получит долгосрочной выгоды от ориентации на такой эталонный портфель, и объясн няется, в чем заключаются недостатки такой стратегии для менеджера8. Вдобавок они рекомендуют клиентам разрешать своим инвестиционным менеджерам контн ролировать составление эталонных портфелей. Одновременно клиентам рекомендун ется сконцентрировать свои усилия на оценке качества выбранных эталонных пон казателей и эффективности стратегий активного управления, которыми пользуется их менеджер.
С теоретической точки зрения нормальные портфели представляют собой лиден альные эталонные показатели, однако на практике они заслужили критические отзывы, обусловленные проблемами и издержками, возникающими при их постн роении. Исследование, которое провел Джон Кристоферсон из компании Frank Jeffrey V. Bailey and David E. Tierney, Gaming Manager Benchmarks, Journal of Portfolio Management (Summer 1993), pp. 37Ч41.
ГЛАВА ЗС ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИЯМИ Russell для малой выборки менеджеров, показало, что нормальные портфели могут отражать инвестиционный стиль менеджера не вполне адекватно9. Более того, было обнаружено, что для интерпретации результатов инвестирования нормальные порн тфели не лучше и не хуже, чем используемые для этой же цели индексы инвестин ционных стилей.
ОДНОФАКТОРНЫЕ МЕРЫ ОЦЕНКИ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИНВЕСТИЦИЙ В 60-е годы для оценки относительных результатов инвестиционных менеджен ров применяли ряд однофакторных мер. Эти меры не давали никакой информации насчет того, каким образом и по какой причине инвестиционному менеджеру удан лось превзойти эталон или лотстать от него. Наиболее распространенными были три показателя, или индекса: индекс Трейнора10, индекс Шарпа" и индекс Джен сена12. Все они строятся при предположении, что между доходностями портфеля и обобщенного рыночного индекса существует линейная зависимость.
В ранних исследованиях эффективности работы инвестиционных менеджеров эти меры использовались для оценки инвестиционных результатов управляющих взаимных фондов. Однако в наши дни при оценке работы менеджеров эти индексы находят весьма ограниченное применение, так как большое развитие получили модели факторного анализа эффективности инвестиционного управления, которые будут рассмотрены несколько позже.
Индекс Трейнора Индекс Трейнора (Treynor Index) представляет меру полученной избыточной доходности в расчете на единицу риска. Избыточный доход при этом определяется как разность между доходностью портфеля и безрисковой ставкой доходности за рассматриваемый период оценки. Мерой риска в индексе Трейнора является отнон сительный систематический риск, определяемый бетой портфеля, оценка котон рого может быть получена на основе характеристической линии портфеля (см. гл. 4).
Аргументом в пользу данной меры риска служит тот факт, что для хорошо диверн сифицированного портфеля несистематический риск близок к нулю. Математичесн ки индекс Трейнора записывается в виде отношения:
Доходность портфеля Ч Безрисковая ставка Бета портфеля Индекс Шарпа Индекс Шарпа (Sharpe Index), как и индекс Трейнора, является мерой соотн ношения доходность/риск. В числителе этого индекса находятся те же величины, что и в индексе Трейнора. В качестве меры риска используется стандартное отклон нение портфеля. Индекс Шарпа, таким образом, есть отношение вида:
Jon Cristopherson, Selecting an Appropriate Benchmark, unpublished manuscript, Frank Russell Company, 1993.
Jack Treynor, How to Rate Management of Investment Funds, Harvard Business Review (January February 1965), pp. 63-75.
William E. Sharpe, Mutual Fund Performance, Journal of Business (January 1966), pp. 119Ч138.
Michael C. Jensen, The Performance of Mutual Funds in the Period 1945Ч1964, Journal of Finance (May 1968), pp. 389-416.
ЧАСТЬ VI Доходность портфеля - Безрисковая ставка Стандартное отклонение портфеля Итак, индекс Шарпа представляет собой меру избыточной доходности по отн ношению к общей изменчивости портфеля13. Индексы Шарпа и Трейнора привон дят к получению примерно одинаковых рейтингов, если оцениваемые портфели хорошо диверсифицированы. Если их диверсификация невысока, то при оценке по этим индексам могут быть получены существенно отличающиеся друг от друга результаты.
Индекс Дженсена При построении индекса Дженсена {Jensen Index) используется модель опрен деления цен фиксированных активов {САРМ), которая была описана в гл. 5. С ее помощью определяется, получил ли инвестиционный менеджер более высокие по сравнению с выбранным рыночным индексом результаты. Эмпирическим аналон гом САРМ служит уравнение:
E{Rp)-RF = Vp[E{RM)-RF] + e, где E(R) Ч ожидаемая доходность портфеля;
RF Ч безрисковая ставка;
(3^ Ч бета портфеля;
E{RM) Ч ожидаемая среднерыночная доходность;
е Ч случайная ошибка модели.
Словами это можно выразить так:
Избыточная доходность = Бета х Избыточная доходность относительно индекса рынка + Случайная ошибка.
Если полученная менеджером избыточная доходность не превосходит ту, кон торая получается по данной формуле, то это значит, что добавленной стоимости получено не было. В конце концов, листорическая бета портфеля отражает ожидан емое значение доходности вне зависимости от наличия какой-либо информации, и случайный (лсреднестатистический) портфель должен достигать этого результан та. Далее, чтобы описать степень отклонения полученного результата от эталоннон го, описываемого бетой, Дженсен ввел в уравнение дополнительный фактор.
Коэффициент лальфа {alpha) служит мерой эффективности управления портфелем данным менеджером.
Используя заданные в форме временных рядов данные по доходностям портн феля и рыночного индекса, мы можем получить систему уравнений регрессии:
Так как стандартное отклонение зависит от числа наблюдений, то при их малом числе наблюн дается его смещение. Роберт Корки (Robert Korkie) в работе External vs. Internal Performance Evaluation (Journal of Portfolio Management (Spring 1983), pp. 36Ч42), предлагает следующую пон правку для коррекции вносимого в индекс Шарпа смещения:
Доходность по портфелю Ч Безрисковая ставка Число наблюдений х Х Стандартное отклонение портфеля Число наблюдений + 0, ГЛАВА 30 ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИЯМИ Rpt ~ RFt =<*р + Pp[RMt ~ Rfi] + ер,.
В этом уравнении свободный член лальфа (ар) выражает часть доходности, которая была получена исключительно за счет действий инвестиционного менедн жера. То есть:
Избыточная доходность = Доходность от действий менеджера + + Бета х Избыточная доходность относительно индекса рынка + + Случайная ошибка.
В качестве индекса Дженсена используется коэффициент лальфа (или часть доходности, полученная исключительно за счет действий менеджера), оценка кон торого получается из приведенной выше системы уравнений регрессии. Если со статистической точки зрения лальфа не отличается от нуля (иными словами, отн клонение лальфа, точнее ее оценки, от нуля статистически незначимо при заданн ном уровне значимости. Ч Прим. науч. ред.), то в этом случае действия менеджера не привели к получению повышенной доходности. Если получено (статистически значимое) ненулевое значение коэффициента лальфа, то его положительная вен личина укажет на то, что инвестиционный менеджер получил более высокие по сравнению с рынком в среднем результаты. Отрицательная величина лальфа озн начает, что результаты менеджера оказались хуже среднерыночных.
Как и индекс Трейнора, индекс Дженсена строится при предположении о полной диверсификации портфеля, при которой с портфелем связан только систен матический риск.
Статистическая оценка коэффициента лальфа весьма чувствительна к измен нению величины бета портфеля. Чтобы избавиться от этой зависимости, коэфн фициент лальфа можно разделить на ожидаемую доходность портфеля, что позвон лит отразить систематический риск.
ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИЯМИ Добавленная стоимость портфеля обыкновенных акций возникает в результан те использования менеджером одной или нескольких активных стратегий, обсужн давшихся в гл. 15. Напомним, что обсуждение этих стратегий велось в терминах стин лей инвестирования. По стилю инвестирования активных менеджеров можно разн делить на такие группы, как лоценочные менеджеры, или часовые стоимости (т.е.
ориентирующиеся на стоимость акций), менеджеры роста, менеджеры групповой ротации, техники, или менеджеры, использующие технический анализ, часон вые, или следящие за движением рынка менеджеры, а также хеджеры. Напомним, что, как было объяснено ранее, доходность портфеля зависит от факторов, котон рые, как ожидается, систематическим образом влияют на доходность по операцин ям с ценными бумагами.
С общей точки зрения, эффективность управления портфелем обыкновенных акций достигается путем использования менеджером трех подходов. Первый подход состоит в том, что он должен активно управлять портфелем, опираясь на те фактон ры, для которых ожидаемая доходность больше, чем для других. Если, например, менеджер считает, что акции с низким отношением цена/прибыль будут вести себя лучше, чем акции с высоким показателем, то он может сместить центр тяжести портфеля в сторону акций первого типа. Второй подход заключается в таком актив ЧАСТЬ VI ном управлении портфелем, при котором используются преимущества ожидаемых движений рынка. Так, менеджер может увеличить бету портфеля при ожидаемом подъеме рынка и уменьшить ее значение, если ожидается падение рынка. Третий подход заключается в том, чтобы покупать те акции, которые менеджер считает оцененными слишком низко, и осуществлять продажу (или сокращать количество) тех, стоимость которых считается завышенной. Для выделения неверно оцененных акций могут быть использованы методы оценки, описанные в гл. 15.
Согласно трем описанным активным стратегиям инвестиционного менеджменн та, источники возникновения повышенной доходности по портфелю обыкновенн ных акций могут быть также разделены на три категории. В качестве этих источнин ков выступают: отслеживание краткосрочных факторных трендов, отслеживание син туации на рынке и анализ ценных бумаг. Таким образом, чтобы понять, как была получена избыточная доходность по рассматриваемому портфелю, надо найти отн вет на следующие четыре вопроса:
1. Какими были основные источники появления избыточной доходности?
2. Было ли статистически значимым отслеживание краткосрочных факторов?
3. Было ли статистически значимым отслеживание рынка?
4. Был ли статистически значимым отбор ценных бумаг?
Заметим, что для ответа на последние три вопроса мы должны определить, является ли результат статистически значимым или он возник по чистой случайнон сти. По этой причине здесь необходимо применение статистического анализа.
Методика, позволяющая получить ответ на эти вопросы, носит название факн торный анализ эффективности управления инвестициями (performance attribution analysis).
С помощью рассмотренных выше однофакторных индексов такой ответ получить нельзя. Однако для портфелей акций при решении этой проблемы можно воспольн зоваться многофакторными моделями (мы описывали их в гл. 6).
Наиболее популярной моделью, используемой спонсорами и консультантами больших пенсионных схем при оценке эффективности работы инвестиционных менеджеров, управляющих портфелями акций, является предложенная фирмой BARRA факторная модель анализа эффективности инвестиций (BARRA 's performance analysis (PREFAN) factor model). BARRA Ч это консалтинговая фирма, находящаяся в Беркли, шт. Калифорния. Факторы, используемые в этой модели, были описаны в приложении гл. 15. Однако обсуждение методов статистического анализа, с помон щью которых была построена эта факторная модель, находится за пределами данн ной главы. Мы остановимся на том, каким образом спонсор пенсионной схемы может использовать модель PREFAN для анализа инвестиционных результатов, полученн ных управляющими активами схемы.
В работе Рэнье и Коухея приводятся данные по показателям результативности трех инвестиционных менеджеров, приглашенных компанией Bell Atlantic*4. В табл. 30- приводятся результаты, полученные этими менеджерами с того момента, как они приступили к управлению активами Bell Atlantic. В скобках приводятся статистические величины, измеряющие вероятность того, что оцениваемая величина не равна нулю со статистической точки зрения. Эти величины носят название доверительных уровн ней (confidence level). Чем выше доверительный уровень, тем более вероятно, что оцен ниваемая величина отлична от нуля, и, следовательно, тем в большей степени полун чение соответствующего результата может быть объяснено инвестиционной технин кой менеджера, а не случайностью.
Rennie and Cowhey, цит. выше, pp. 37Ч38.
ГЛАВА 30 ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИЯМИ Таблица 30- ИТОГИ ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА ЭФФЕКТИВНОСТИ ИНВЕСТИЦИОННОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ТРЕХ ФИНАНСОВЫХ МЕНЕДЖЕРОВ КОМПАНИИ BELL ATLANTIC Менеджер А Менеджер В Менеджер С 19,1% 17,0% 12,6% Фактическая доходность 14.9 15.2 12. Доходность эталонного портфеля Доходность от активного управления 4,2% (99) 1,8% (53) 0,0% (3) Составляющие доходности -0,2% (40) -0,6% (64) Отслеживание рынка -0,5% (73) 0,2 (20) -2,0 (89) 0,3 (34) Отраслевой риск 2,2(99) 3,9(99) 0,3(51) Секторный сдвиг 1,9(84) Отбор ценных бумаг 0,6 (43) 0,1(7) Необъясненная доходность" -0, 0,1 -0, В скобках приводится доверительный уровень.
Равна разности между фактической доходностью, полученной менеджером, и суммой компонентов.
Источник: Edward P. Rennie and Thomas J. Cowhey, The Successful Use of Benchmark Portfolios, in Darwin M. Bayston and H. Russell Fogler (eds.), Improving Portfolio Performance with Quantitative Models (Charlottesville, VA: Institute of Chartered Financial Analysts, 1989), p. 37.
Результирующий вклад от активного управления находится как разность межн ду фактической доходностью портфеля и эталонной доходностью. Вклад активного управления для менеджера А составил 420 базисных пунктов, т.е. менеджер превзон шел эталонный показатель. Но по какой причине так произошло Ч случайно или из-за его умения управлять инвестициями? Доверительный уровень в 99% указыван ет на то, что доходность была получена благодаря способностям менеджера. В нижн ней части таблицы показано, каким образом была достигнута такая величина дон ходности. Из четырех факторных составляющих доходности две являются статистин чески значимыми, а именно секторный сдвиг, т.е. выбор преимущественного секн тора для инвестирования (sector emphasis), и отбор ценных бумаг. Два компонента (отслеживание рынка и отраслевой риск) не являются статистически значимыми.
Это означает, что либо в данных двух областях навыки менеджера А не оказали значительного влияния на доходность портфеля, либо он сам не воспользовался в полной мере этими навыками. И действительно, по поводу своего стиля инвестин рования этот менеджер заявил, что он стремился получить избыточную доходность за счет выделения сектора инвестирования, соответствующего выбора ценных бун маг, нейтрализации влияния рынка и отраслевого риска. Результаты проведенного факторного анализа достигнутых инвестиционных результатов подтверждают данн ный инвестиционной стиль.
ЧАСТЬ VI Анализ полученных менеджером В результатов показал, что он сумел прен высить эталонный показатель на 180 пунктов, но соответствующий доверительн ный уровень составил всего 53%. Для большинства статистических критериев такое значение доверительного уровня являлось бы свидетельством того, что превын шение в 180 базисных пунктов не является статистически значимым. То есть получение такой доходности при активном управлении можно скорее объяснить случайностью, чем способностью менеджера. Однако авторы работы утверждан ют, что для компании Bell Atlantic данный доверительный уровень является прин емлемым. Тем не менее его можно рассматривать как призыв к руководству комн пании более тщательно следить за результатами работы этого менеджера с цен лью выяснения того, улучшается ли она или нет. Инвестиционный стиль, сфорн мированный самим менеджером, заключался в выявлении ценных бумаг с занин женной стоимостью. Полученный от отбора ценных бумаг доход в размере 60 бан зисных пунктов с доверительным уровнем всего 43% указывает на то, что полун чения добавочной стоимости от использования этой стратегии не произошло. Этот факт может служить еще одним тревожным сигналом для компании и побуждать руководство к тому, чтобы деятельность данного менеджера отслеживалась бон лее тщательно.
Работу менеджера С также необходимо подвергнуть тщательной проверке, так как он не только не смог превысить эталонный показатель, но и ни одна из факторных составляющих полученной им доходности не является статистин чески значимой. Контракт с этим менеджером будет скорее всего разорван. Каков же минимальный уровень вклада в полученную от активного управления дон ходность, который компания Bell Atlantic ожидает получить от своих инвестин ционных менеджеров? Согласно сведениям из работы Рэнье и Коухея, он ран вен 1% в год при инвестиционном горизонте 2,5 года, причем доверительный уровень должен составлять не менее 70%. Кроме того, результаты факторного анализа составляющих доходности, полученной менеджером, должны согласон вываться с тем инвестиционным стилем, который был указан им в качестве используемого.
Прежде чем закончить обсуждение данного примера, рассмотрим необъяс ненную доходность, значения которой приводятся в последней строке табл. 30-1.
Она равна разности между всей полученной при активном управлении доходнон стью и четырьмя ее составляющими. Большие значения этого параметра могут говорить о том, что используемая модель не обладает устойчивостью и полнон той, достаточной для того, чтобы охватить все факторы, оказывающие влияние на эффективность управления портфелем. Например, как было отмечено в рабон те Рэнье и Коухея, приведенные в табл. 30-1 итоги факторного анализа эффекн тивности управления инвестициями получены на основе данных о состоянии портфелей на конец месяца, а значит, в них не отражено влияние операций, осун ществлявшихся в течение данного месяца, и связанных с ними операционных издержек. Однако в портфеле могут присутствовать долговые инструменты, тан кие, как высокодоходные облигации или гибридные ценные бумаги, например конвертируемые облигации, чьи доходности подвержены влиянию других факн торов, основными из которых являются уровень процентных ставок и спреды дон ходности для различных секторов рынка облигаций (в зависимости от срока пон гашения, рейтинга и т.п.).
ГЛАВА 30 ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИЯМИ МОДЕЛИ ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА ЭФФЕКТИВНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИЯМИ ДЛЯ ПОРТФЕЛЕЙ АКТИВОВ С ФИКСИРОВАННОЙ ДОХОДНОСТЬЮ Цель моделей факторного анализа для портфелей активов с фиксированной доходностью, как и в случае моделей для портфелей акций, заключается в выделен нии тех решений активного управления, благодаря которым был получен положин тельный вклад в доходность портфеля, а также в том, чтобы дать количественную оценку влияния этих решений. В гл. 24 мы обсуждали четыре стратегии активного управления портфелем активов с фиксированной доходностью, а именно: стратен гии ожидаемых процентных ставок, стратегии ожидаемой формы кривой доходнон сти, стратегии спреда доходностей и стратегии выбора отдельных ценных бумаг.
Показатель эффективности управления портфелем может быть выражен в терминах четырех перечисленных стратегий.
В этом параграфе описывается методика факторного анализа эффективности управления инвестициями, применяемая фирмой Gifford Fong Associates (шт. Калин форния). Данная система, осуществляющая мониторинг и оценку показателей эфн фективности управления портфелем активов с фиксированной доходностью, а также содержащихся в нем отдельных ценных бумаг, носит название BONDPAR. Эта сисн тема разделяет полученную доходность на находящиеся вне контроля менеджера элементы (такие, как общий уровень процентных ставок и налагаемые клиентом ограничения на дюрацию {duration policy constraints)) и элементы, поддающиеся контролю в процессе управления портфелем (такие, как управление процентным риском, распределение сектор/качество ценных бумаг, выбор отдельных облигаций).
Система BONDPAR позволяет ответить на следующие шесть вопросов: 1) как соотносится каждый из элементов полученной менеджером доходности с соответн ствующими элементами эталонного показателя? 2) каковы издержки, связанные с работой на рынке облигаций? 3) какое влияние оказывает политика действий клин ента на доходность портфеля? 4) сумел ли менеджер правильно предвидеть измен нения процентных ставок? 5) правильно ли менеджер выбрал сектор экономики, к которому относятся входящие в портфель ценные бумаги, а также количество этих бумаг (там, где это влияет на эффективность управления инвестициями портфеля)?
6) явилось ли увеличение полученной менеджером доходности следствием выбора отдельных облигаций на основе общего финансового положения компании?
Обсуждение технологии разложения доходности портфеля, на основе которой находятся решения перечисленных выше вопросов, выходит за рамки этой главы16.
Вместо этого мы проиллюстрируем результат работы системы BONDPAR для гипон тетического портфеля за период с 28 февраля 1990 г. по 31 марта 1990 г., указав при этом ответы на шесть перечисленных выше вопросов. В табл. 30-2 приводится струкн тура портфеля и связанный с ним денежный поток за рассматриваемый период. Для каждой ценной бумаги приводится стоимость в долях номинала на начало и конец периода, доход от продаж, накопленная стоимость, выплаченные за период оценн ки проценты, а также прирост (или убыток) стоимости портфеля.
Этот раздел представляет собой адаптированный вариант гл. 12 работы: Frank J. Fabozzi and H.
Gifford Fong, Advanced Fixed Income Portfolio Management (Chicago: Probus Publishing, 1994).
Объяснение этой технологии можно найти в работе: Frank J. Fabozzi and H. Gifford Fong, цит.
выше.
ЧАСТЬ VI Таблица 30- ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ ПОРТФЕЛЕМ ОБЛИГАЦИЙ: ПЕРЕЧЕНЬ ЦЕННЫХ БУМАГ И ОПЕРАЦИЙ Перечень ценных бумаг Нач./кон. Нач. /кон. Нач./кон. Прирост/ Нач./кон. Выплан дата номинал процентн накопленн ченный убыток (в долл.) ный ная стоимости ДОХОД стоимость (в долл.) портфеля ДОХОД (в %) (в долл.) (в долл.) Код и описание облигации 041ОЗЗВМ ARKANSAS POWER & LIGHT СО 1 14,125% 11/1/14 Е4 28.02.90 24500,000 98,689 1124, 31.03.90 20000,000 98,765 0,00 17, 1177, 161610BA CHASE MANHATTAN CORP 2 9,750% 9/15/99 F3 28.02.90 25000,000 99,969 1103, 31.03.90 30000,000 100,080 130,00 1462,50 69, 172921CT CITICORP MORTGAGE SECS INC 3 9,500% 1/1/19 PS 28.02.90 76151,720 86,250 542, 31.03.90 76151,720 602, 85,031 603,87 -928, 3024519X FHA INSURED PROJECT MORTGAGE 84, 4 7,400% 2/1/21 PS 28.02.90 73071,970 405, 31.03.90 73071,970 83,875 -411, 450,61 450, 313400KK FEDERAL HOME LOAN MTG CORP 106, 5 12,250% 3/15/95 AG 28.02.90 30600,000 1718, 31.03.90 30600,000 105,813 1874,25 -133, 162, 4581829H INTER-AMERICAN DEVELOPMENT 6 11,000% 12/11/92X1 28.02.90 5600,000 103,313 131, 31.03.90 5600,000 102,813 188,22 0,00 -28, 674599AW OCCIDENTAL PETROLEUM CORP 102, 7 11,750% 3/15/11 04 28.02.90 34000,000 1808, 31.03.90 34000,000 102,500 177,56 1997,50 -127, 912827TQ UNITED STATES TREASURY NOTES 8 7,375% 5/15/96 TR 28.02.90 93500,000 94,156 2000, 93,594 -525, 31.03.90 93500,000 2590,62 0, 912827WN UNITED STATES TREASURY NOTES 9 9,250% 8/15/98 TR 13.03.90 92000,000 102,513 658, 31.03.90 92000,000 102,969 0,00 402, 1034, 912827XM UNITED STATES TREASURY NOTES 101,031 2242, 10 9,000% 5/15/92 TR 28.02.90 85900, 10.03.90 0,000 100,750 0,00 -241, 2498, Листинг ценных бумаг выводится согласно запросу, в нем приводится состав портфеля на начало и конец периода оценки, а также цена и накопленный процент для всех ценных бумаг, находящихся в портфеле в течение этого периода.
ГЛАВА 30 ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИЯМИ Таблица 30- ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ ПОРТФЕЛЕМ ОБЛИГАЦИИ: ПЕРЕЧЕНЬ ЦЕННЫХ БУМАГ И ОПЕРАЦИИ (Продолжение) Отчет о сделках Тип Дата Расчетная Номинал Накопн Издержки/ Прон ленная Код и описание опера- сделки дата (в долл.) цент доход стоимость (в долл.) облигации Ций (в дол;
,.) 041033ВМ ARKANSAS POWER & LIGHT CO 4675, 1 14,125% 11/1/14 Е4 Продажа 05.03.90 12.03.90 4500,000 231,30 98, 161610ВА CHASE MANHATTAN CORP 241,04 99,254 5203, 2 9,750% 9/15/99 F3 Покупка 06.06.90 13.03.90 5000, 912827XM UNITED STATES TREASURY NOTES 10 9,000% 5/15/92 TR Временная 89042, продажа 10.03.90 12.03.90 85900,000 2498,69 100, 912827WN UNITED STATES TREASURY NOTES 94986, 9 9,250% 8/15/98 TR Покупка 13.03.90 15.03.90 92000,000 658,23 102, Отчет по операциям используют для того, чтобы оценить общие издержки и доходности от всех операций по покупке и продаже, произошедших в течение периода оценки В этом отчете указан тип операции, дата ее совершения и расчетная дата, номинал, стоимость операции и накопленный процент, рассчитанный в системе BONDPAR В табл. 30-3 приведены итоги факторного анализа компонентов реализованной доходности для представленного в табл. 30-2 портфеля. Обратим внимание на перн вые три столбца таблицы. В столбце, озаглавленном Доходность за период оценн ки, приводится полученное за период оценки значение доходности портфеля и ее составляющих. Столбец Годовая эквивалентная доходность содержит приведенн ные к годовому промежутку значения доходности портфеля и ее компонентов*.
В столбце Индекс Salomon B.I.G. приводится доход за период оценки для индекса рынка (эталонного показателя).
Разложение полученной за период оценки доходности на составляющие прин ведено в разделах I, И, III и Г/. В разделе I (Влияние процентных ставок) приводитн ся доходность за период оценки для сводного индекса казначейских ценных бумаг.
Численные значения в этом разделе интерпретируются следующим образом. Итоговая по разделу величина составила 0,09. Это означает, что фактическая месячная дон ходность по казначейским облигациям составила 9 базисных пунктов. Величина 0, указывает на то, что ожидаемая доходность при инвестировании в казначейские Более точно, имеется в виду номинальная годовая ставка с двухкратным начислением (т.е раз в полгода), эквивалентная доходности за период. Выбор двухкратного начисления по этой номин нальной ставке связан с тем, что облигации США имеют, как правило, полугодовой купонный период, т.е проценты (купоны) по ним выплачиваются дважды в год. Именно это и подразумен вается в названии показателя годовая эквивалентная доходность (bond equivalent annualized return).
ЧАСТЬ VI Таблица 30- ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ ПОРТФЕЛЕМ АКТИВОВ С ФИКСИРОВАННОЙ ДОХОДНОСТЬЮ (ВЫПОЛНЕН В СИСТЕМЕ BONDPAR) Доходность Годовая Индекс за п е р и о д эквиван Salomon оценки лентная B.I.G.
(в %) доходность (доходность за п е р и о д (в %) о ц е н к и ) (в %) 1. Влияние процентных ставок (индекс SAL Treasury) 7,93 0, 1. Ожидаемое значение 0, -6, 2. Непредвиденное значение -0, -0, 0, Итого 0,09 1, II. Влияние инвестиционной политики 3. Требования к дюрации портфеля 0, 0,01 0, (4,6 года) III. Эффект управления процентной ставкой 4. Дюрация 0,69 0, 0, -0,84 -0, 5. Выпуклость -0, 6. Изменение формы кривой доходности 0. -1, -0, Итого (с поправкой к безрисковой 0, доходности) -0,16 -1, IV. Другие эффекты управления 7. Сектор экономики/качество 0, ценных бумаг 0,18 2, 8. Эффект отбора облигаций 0,32 3,79 0, 9. Операционные издержки -0,38 0. -0, 0, 0,47 5, Итого 0, V. Полная доходность 0,41 4, VI. Источники доходности 1. Прирост капитала -0,44 -5, 2. Процентный доход 9. 0. Итого доходность 0,41 4, ГЛАВА 30 ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИЯМИ облигации за этот период была равна 66 базисным пунктам. Откуда возникла эта величина? Напомним, что в гл. 22 мы продемонстрировали, как на основе кривой доходности для казначейских обязательств могут быль рассчитаны форвардные ставки.
Они определяются рыночными ожиданиями будущих процентных ставок. В строн ке Ожидаемое значение в качестве ожидаемой доходности приводится значение форвардной ставки. Непредвиденное значение, равное Ч57 базисным пунктам, представляет собой разность между фактической доходностью в 9 базисных пункн тов и ожидаемой доходностью в 66 базисных пунктов.
Данные, приведенные в разделе Влияние процентных ставок, могут быть интерпретированы как стоимость работы на рынке облигаций. Действительно, если бы любой инвестор пожелал вложить средства в свободные по определению от риска облигации (т.е. в казначейские обязательства) и просто купил бы пакет таких облин гаций, то полученная доходность составила 9 базисных пунктов. Следовательно, эта составляющая доходности находится вне контроля инвестиционного менеджера, так как данная доходность была бы получена любым инвестором, который решил влон жить средства на рынке облигаций.
В разделе II представлено влияние инвестиционной политики. В этом разделе сон держится информация, необходимая для того, чтобы проанализировать устанавлин ваемое клиентом ограничение на дюрацию портфеля. Система BONDPAR находит долю полной доходности, возникновение которой обусловлено этим ограниченин ем, и отделяет ее от той части доходности, которая связана с эффектом управления процентной ставкой. Величины, обусловленные влиянием этого параметра, привон дятся в разделе III. Данная часть доходности представляет собой поправку к безн рисковой доходности портфеля. Эта составляющая доходности показывает, сумел ли менеджер правильно предугадать изменения процентной ставки. Эффект управн ления процентной ставкой делится далее на три составляющие: 1) влияние дюрации на доходность, которое зависит от величины (параллельного) сдвига кривой дон ходности17;
2) эффект выпуклости {convexity), который представляет составляющую доходности, обеспеченную управлением выпуклостью портфеля;
3) эффект измен нения формы кривой доходности, который представлен частью доходности, появлян ющейся при изменении формы данной кривой (т.е. остаточный компонент доходн ности, который не связан с дюрацией и выпуклостью).
Другие эффекты управления приведены в разделе IV. Они делятся на три типа.
Эффект сектор/качество ценных бумаг представляет собой компонент доходносн ти, который указывает, насколько успешно менеджер определил тот сектор экон номики и рейтинговую группу тех ценных бумаг, для которых доходность за период оценки оказалась наибольшей. Эффект отбора облигаций отражает составляющую доходности, которая возникает из-за отбора отдельных облигаций для портфеля. Опен рационные издержки описывают гипотетическое влияние операционных издержек на доходность портфеля.
В двух последних разделах (V и VI) приводятся итоговые данные. В разделе Полная доходность приводится взвешенная по времени полная доходность за период оценки. Она вычисляется как сумма значений из предыдущих разделов Ч Влияние процентных ставок, Эффект инвестиционной политики, Эффект управления процентной ставкой и Другие эффекты управления. В разделе Ис Согласно общей схеме использования индекса казначейских обязательств для измерения нен управляемого эффекта процентных ставок, эта составляющая оценивается относительно дюран ции индекса казначейских обязательств.
ЧАСТЬ VI точники доходности полученная доходность разделяется на прирост капитала (изн менение цены) и процентный доход.
В табл. 30-3 приводится разложение доходности для всего портфеля в целом.
Подобным образом может быть разложена доходность по каждой из ценных бумаг.
Это показывается в табл. 30-4.
ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИЯМИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЭТАЛОННЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ШАРПА Как уже объяснялось ранее, показатели Шарпа строятся на основе регрессин онного анализа доходностей в подпериодах (например, по ежемесячным данным) относительно различных индексов рынка. Например, показатель Шарпа использон вался в оценке качества управления реальным портфелем обыкновенных акций. Этот портфель находился в управлении компании Aronson & Fogler, расположенной в Филадельфии и занимающейся инвестиционным менеджментом. Оценка проводин лась за период с января 1981 г. по июль 1988 г. После введения поправок результин рующее значение показателя Шарпа, полученное на основе ежемесячных наблюн дений, составило18:
Показатель Шарпа = 0,43 х (Ценовой индекс FRQ + 0,13 х х (Индекс роста FRQ + 0,44 х (Индекс FRC 2000), где FRC Ч индекс, построенный компанией Frank Russell.
Заметим, что сумма трех весовых коэффициентов выражения равна 1. Коэфн фициент детерминации для этой регрессионной модели составил 97,6%. Свободный член равен 0,365%, он представляет собой среднемесячную избыточную доходность и со статистической точки зрения эквивалентен введенному ранее коэффициенту лальфа Дженсена.
Вычитая месячную доходность, полученную для соответствующего эталоннон го показателя инвестиционного стиля, по месячной доходности, полученной мен неджером портфеля, мы можем оценить эффективность управления. Эта разность, которую мы назовем остаточной добавочной доходностью, является величиной, характеризующей полученное менеджером превышение над доходностью трех линн дексных фондов, взятых в соответствующей пропорции. Пусть, например, в некон тором месяце менеджер получил доходность в размере 1,75%. В том же месяце дон ходность трех индексов составила: 0,7% Ч по ценовому индексу FRC, 1,4% Ч по индексу роста FRC и 2,2% Ч по индексу FRC 2000. Значение остаточной добавочн ной доходности для этого месяца находится следующим образом. Сначала рассчин тывается значение эталонного показателя Шарпа:
Показатель Шарпа = 0,43 х (0,7%) + 0,13 х (1,4%) + + 0,44 х (2,2%) = 1,45%.
Тогда остаточная добавочная доходность равна:
Остаточная добавочная доходность = = Фактическая доходность Ч Показатель Шарпа.
См. Fogler, цит. выше, р. 102.
Таблица 30- ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ ДОХОДНОСТИ В СИСТЕМЕ BONDPAR ДЛЯ КАЖДОЙ ЦЕННОЙ БУМАГИ ПОРТФЕЛЯ Источники Влияние процентных Эффект управления морге] елем ДОХОДИ ости с т а ок Процентн Прирост Опера Рыночное Полная Изменен Начальн Сек Эфн Первоначальный капитал (в дзлл.) Начальник Конечная + + фект -г ЦИОННЫС ный (.жидае- ния * " ная + тор 1 доходн Ч капитала Код и описание облигации даы гч.иа мое гтаека качен издержн ность доход отбора (в %) ство ки значение 1 041033ВМ 0, 24500,0 ARKANSAS POWER & LIGHT CO -0,57 0,37 0,69 -0,07 0, 28.02.90 31.03.90 0,25 1,33 1, 14,125% 11/1/14 Е 2 161610ВА 0,66 -0,57 -0,19 0,01 1,12 -0,04 0, 25000,0 CHASE MANHATTAN CORP 28.02.90 31.03.90 0,11 0, 9,750% 9/15/99 F 3 172921CT 0, 76151,7 CITICORP MORTGAGE SECS INC -0,57 -0,04 0,25 -0,70 00,00 -1, 28.02.90 31.03.90 -0/40 0, 9,500% 1/1/19 PS 4 3024519X 0,66 -0, 73072,0 FHA INSURED PROJECT MORTGAGE -0,55 0,70 -0,10 00,00 0,14 -0, 28.02.90 31.03.90 0, 7,400% 2/1/21 PS 5 313400KK 30600,0 FEDERAL HOME LOAN MTG CORP 0,66 -0,57 -0,08 0,06 0, 28.02.90 31.03.90 0,50 00,00 -0,39 0, 12,250% 3/15/95 AG 6 4581829H 0, 5600,0 INTER-AMERICAN DEVELOPMENT -0,57 0,05 -0,03 0,37 00,00 -0, 28.02.90 31.03.90 0,48 0, 11,000% 12/11/92X 7 674599AW 0,66 -0,57 0, 34000,0 OCCIDENTAL PETROLEUM CORP 28.02.90 31.03.90 -0,31 0,84 00,00 0,68 -0,35 1, 11,750% 3/15/11 8 912827TQ 0,66 -0, 93500,0 UNITED STATES TREASURY NOTES 28.02.90 31.03.90 -0,19 0,00 0,17 00,00 0,07 -0,58 0, 7,375% 5/15/96 TR 9 912827WN 0,39 -0,33 -0,15 0,00 -0,06 0, 92000,0 UNITED STATES TREASURY NOTES 31.03.90 31.03.90 0,99 0,82 0, 9,250% 8/15/98 TR 10 912827XM 0,21 -0,18 0,13 00,00 -0,08 -0,06 -0, 85900,0 UNITED STATES TREASURY NOTES 28.02.90 31.03.90 0,02 0, 9,000% 5/15/92 TR В отчете о реализованной доходности по отдельным ценным бумагам приводятся компоненты доходности по всем ценным бумагам, находившимся в портфеле в течение периода оценки Начальная номинальная стон имость Ч позиция по облигации на начало периода (в долл ) Х Описание облигации Ч номер облигации в портфеле ценных бумаг, код облигации, купон дата погашения и показатель сектор/качестве.
Х Начальная и конечная даты Ч границы периода оценки для рассматриваемой ценной бум ги Х В остальных столбцах для каждой ценной бумаги приводится разложение полученной за период оценки доходности на компоненты ЧАСТЬ VI Так как фактическая доходность за этот месяц составила 1,75%, то:
Остаточная добавочная доходность = 1,75% Ч 1,45% = 0,3%.
Заметим, что если бы результаты этого менеджера сравнивались с индексом только одного инвестиционного стиля (например, только с индексом роста FRQ, то маржа между реализованной менеджером и эталонной доходностью оказалась бы больше (1,05%). Однако если бы в качестве показателя сравнения использовался индекс FRC 2000, то результаты менеджера оказались бы ниже на 0,45%.
На рис. 30-4 приводится график ежемесячных значений остаточных добавочн ных доходностей. С помощью такого подхода можно наглядно представить риск того, что показатели менеджера опустятся ниже средних. Стандартное отклонение состан вило 0,797%, поэтому только в 15% месяцев можно ожидать падения уровня месячн ной доходности до 80 базисных пунктов ниже средней избыточной доходности (т.е. 0,365%).
в в *** в# * ~ *> ** Л * л* * 1 в л. * * о *> * * в ** _ *л. * * в ***** * */ Д* * I* ***##* * * в I о * I* г Г - * л # * л в л * (D * * * - # (2) 1 9 8 1 - 1 9 8 8 гг.
Рис. 30- Ежемесячные значения остаточной добавочной доходности по сравнению с эталонным показателем РЕЗЮМЕ Роль оценки эффективности инвестиционного управления заключается в том, чтобы определить, смог ли инвестиционный менеджер добиться получения повын шенной доходности по сравнению с доходностью пассивной стратегии, основанн ной на использовании эталонного портфеля. На практике применяется четыре типа эталонных мер эффективности: 1) фондовые (рыночные) индексы;
2) индексы инвестиционного стиля;
3) показатели Шарпа;
4) нормальные портфели.
Индексы инвестиционного стиля были разработаны рядом консалтинговых фирм для оценки соответствия стратегии управления конкретному инвестиционн ному стилю. Из-за того что деятельность инвестиционного менеджера с трудом может быть классифицирована как соответствующая какому-либо инвестиционному стин лю, полезной альтернативой могут стать показатели Шарпа, так как они строятся с помощью множественной регрессии на основе различных специализированных индексов рынка. Нормальным портфелем называется эталонный портфель, вклюн чающий набор ценных бумаг, свободно обращающихся на рынке, в рамках кото ГЛАВА 30 ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИЯМИ рого обычно работает менеджер. В нормальный портфель эти ценные бумаги входят с теми же весовыми коэффициентами, что и в типичный для данного менеджера портфель. Сторонники данного метода утверждают, что нормальные портфели бон лее удобны в качестве эталонных показателей, чем фондовые индексы, так как в них учитывается индивидуальный стиль инвестирования, тем самым они представн ляют собой пассивные портфели, по сравнению с которыми удобно оценивать ден ятельность инвестиционного менеджера. Процесс построения нормальных портфен лей нельзя назвать легким, кроме того, он требует определенных издержек.
В 60-е годы для оценки относительной эффективности управления инвестицин онных менеджеров были разработаны три однофакторные меры: индекс Трейнора, индекс Шарпа и индекс Дженсена. Все эти индексы не дают возможность понять, каким образом и почему менеджер смог (или не смог) превзойти эталонный урон вень.
В отличие от однофакторных мер в более общих многофакторных моделях анан лиза эффективности управления инвестициями определяются конкретные источн ники получения повышенной доходности. Для портфелей строятся многофакторн ные модели, основанные на многомерном регрессионном анализе. Они могут быть использованы для того, чтобы определить один из трех источников получения изн быточной доходности при активном управлении портфелем: отслеживание краткон срочных факторных трендов, отслеживание ситуации на рынке и анализ ценных бумаг.
В области инструментов с фиксированной доходностью источники повышенной доходности разбиваются на два типа: не зависящие от менеджера элементы (такие, как общий уровень процентных ставок и налагаемые клиентом ограничения, нан пример на дюрацию портфеля) и элементы, поддающиеся контролю в процессе упн равления портфелем (управление процентными рисками, распределение вида секн тор/качество ценных бумаг и выбор отдельных облигаций).
Эталонные показатели Шарпа (смешанные индексы) также используются при оценке эффективности инвестирования. В этом случае эффективность управления портфелем оценивается по значению остаточной добавочной доходности.
КЛЮЧЕВЫЕ ТЕРМИНЫ показатель (или индекс) Шарпа нормальный портфель индекс Трейнора индекс Шарпа индекс Дженсена коэффициент лальфа факторный анализ эффективности управления инвестициями факторная модель анализа эффективности BARRA (PERFAN) система BONDPAR ВОПРОСЫ 1. Далее приводится выдержка из статьи Н. Russell Fogler, Normal Style Indeн xes Ч An Alternative to Manager Universes?, опубликованной в издании Performance Measurement. Setting the Standards, Interpreting the Numbers (Charlottesville, VA: Association of Management and Investment Research, 1991):
ЧАСТЬ VI Приемлемая система измерения эффективности управления инвестициями должна обладать по меньшей мере тремя характеристиками: 1) быть понятной и простой в применении;
2) учитывать усредненное влияние факторов;
3) давать возможность точного разделения влияния отслеживания состояния рынка и влиян ния, связанного с выбором ценных бумаг или их классов. Множество используемых стилей инвестирования удовлетворяют первому критерию и частично второму;
норн мальные портфели согласуются со вторым критерием, но оказываются слабой системой с точки зрения первого и третьего критериев. Альтернативный метод Ч использование эталонных показателей Шарпа Ч удовлетворяет и первому, и втон рому критерию, но совершенно игнорирует третий (с. 97).
Объясните, почему для индексов инвестиционных стилей (в цитате они названы множеством стилей инвестирования), показателей Шарпа и нормальных портфен лей справедливы приведенные выше утверждения.
2. Какие трудности встречаются при использовании в качестве эталонных пон казателей индексов инвестиционного стиля?
3. Какие сложности связаны с построением нормального портфеля?
4. Согласны вы или нет со следующим утверждением: Во всех трех однофак торных мерах (индексе Трейнора, индексе Шарпа и индексе Дженсена) предполан гается, что рассматриваемый портфель образован хорошо диверсифицированной группой акций?
5. Н. Russell Fogler в статье Common Stock Management in the 1990s {Journal of Portfolio Management (Winter 1990)) выдвинул следующее утверждение: Как тольн ко мы по достоинству оценим простоту и мощность многофакторных моделей, ран бота с помощью простых индексов займет свое место в архивах истории измерения эффективности инвестирования, где ей и место (с. 34). Примерами однофакторных мер являются индекс Трейнора, индекс Шарпа и индекс Дженсена. Согласны ли вы с приведенным выше утверждением?
6. В издании AIMR Performance Presentation Standards (1993) содержится следуюн щее утверждение: При представлении результатов используется факторный анан лиз компонентов полученной доходности. Поскольку применение различных метон дик проведения этого анализа может привести к несовпадающим результатам, анан лиз должен сопровождаться четким описанием используемой методики (с. 47). Сон гласны вы или нет с этим утверждением? Объясните почему.
7. Корпорация Izzobaf наняла трех внешних инвестиционных менеджеров, зан нимающихся активным управлением пакетами акций, и доверила им управление 300 млн долл. активов ее пенсионного фонда. Итоги факторного анализа эффективн ности управления за последние четыре года приведены в следующей таблице:
Менеджер X Менеджер У Менеджер Z Фактическая доходность 15,2% 17,3% 21,4% Доходность по эталонному портфелю 12.0 15.2 22. Вклад в доходность за счет активного управления 3,2% (90) 2, 1 % (95) - 1, 5 % (83) Компоненты доходности Отслеживание рынка 5,2% (99) - 0, 4 % (24) -3,5% (88) Отраслевой риск -0.3(10) 0,2(39) 0.5(24) Секторный сдвиг 0,2(20) 0,6(89) -0,3(41) Отбор ценных бумаг -2,0(97) 1,5(93) -0,2(10) В скобках приводится доверительный уровень.
ГЛАВА 30 ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИЯМИ а. Почему неправильно говорить, что по показателям фактической доходнон сти за четырехлетний период менеджер Zпoлyчил лучшие результаты, чем два других менеджера?
б. Какой из менеджеров достиг наилучших результатов в плане получения повышенной стоимости?
в. Менеджер А1 назвал своим инвестиционным стилем выбор недооцененных ценных бумаг и нейтрализацию риска рынка. Согласуется ли эффективн ность инвестиционных результатов этого менеджера с указанным им инн вестиционным стилем?
г. Анализ составляющих доходности показал, что менеджер Y действовал в соответствии с заявленным инвестиционным стилем. Какой это стиль?
д. Менеджер Z заявил, что его инвестиционным стилем является отслежин вание рынка и нейтрализация отбора отдельных ценных бумаг путем дин версификации портфеля с помощью акций и конвертируемых облигаций.
Согласуется ли эффективность управления инвестициями данного менедн жера с этим инвестиционным стилем?
е. Рассчитайте значение необъясненной доходности, полученной каждым из трех менеджеров.
ж. С кем из инвестиционных менеджеров корпорации Izzobaj'следует расторн гнуть контракт?
з. Пусть менеджер Z предлагает корпорации hzobaf воспользоваться его усн лугами только для отслеживания рынка. Должна ли компания принять такое предложение?
8. Ниже приводится утверждение, принадлежащее Джону Уотсу (John Watts), председателю Fisher Francis Trees & Watts, опубликованное в издании Performance Reporting for Investment Managers: Applying the AIMR Performance Presentation Standards (Charlottesville, VA: AIMR, 1991):
Как для сравнения результатов, так и для оценки в анализе обычно испольн зуются данные, полученные за произвольно выбранное число лет. Наиболее часто мы сталкиваемся с периодом в пять лет. Произвольный выбор периода оценки (осон бенно в случае портфелей активов с фиксированной доходностью) может привесн ти к неожиданным, если не противоречивым выводам. Например, если получается так, что рассматриваемые пять лет попадают в тот период, когда на рынке действун ют в основном "быки", то более сильным будет выглядеть тот менеджер, который обладает склонностью к приобретению долгосрочных долговых обязательств, и наоборот (с. 57).
а. Почему это утверждение выполняется для портфелей активов с фиксирон ванной доходностью, если сравнение производится на основе фактичесн ки достигнутой доходности?
б. Каким образом факторный анализ доходности, полученной в результате управления портфелем, снижает риск неверной оценки эффективности управления портфелем активов с фиксированной доходностью?
9. Следующий отрывок, в котором идет речь о политике компании Bell Atlantic, взят из статьи Edward P. Rennie, Thomas J. Cowhey, The Successful Use of Benchmark Portfolios, опубликованной в издании Darwin M. Bayston and H. Russell Fogler (eds.) Improving Portfolio Performance with Quantitative Models (Charlottesville, VA: Institute of Chartered Financial Analysts, 1989):
ЧАСТЬ VI Обычно мы исключаем из анализа показатели эффективности, достигнутые новым инвестиционным менеджером за первый месяц работы из-за значительного влияния операционных издержек и начальной несбалансированности оцениваемон го портфеля. Следовательно, при нашем подходе начальные издержки не ставятся в вину инвестиционному менеджеру. Если же включать в анализ результаты, полученн ные за первый месяц деятельности, то в эталонном показателе должны быть учтен ны операционные издержки (с. 39).
Объясните логику подхода, описываемого в последнем предложении привен денной выше цитаты.
10. Предположим, что спонсор пенсионной схемы рассчитал значение эталонн ного показателя Шарпа на основании ежемесячных доходностей, полученных одн ним из его инвестиционных менеджеров:
Показатель Шарпа = 0,785 х (Ценовой индекс FRQ + + 0,055 (Индекс роста FRQ + 0,160 (Индекс FRC 2000).
Пусть в одном из месяцев данный менеджер получил доходность в размере 0,8%.
В том же месяце доходность по данным трем индексам составила: 0,5% Ч по ценон вому индексу FRC, 2,0% Ч по индексу роста FRC и 3% Ч по индексу FRC 2000.
а. Чему равна остаточная добавленная доходность в этом месяце?
б. Сумел ли менеджер превзойти эталонный показатель?
в. Предположим, что вместо показателя Шарпа для классификации полученн ных менеджером результатов использовался одиночный индекс инвестин ционного стиля. Каким должен быть этот индекс?
г. Пусть оценка результатов менеджера производилась в соответствии с инн дексом инвестиционного стиля, выбранного вами в качестве ответа на предыдущий вопрос. Превзошел ли менеджер этот показатель или отстал от него?
д. Меняются ли ваши выводы об эффективности работы менеджера в завин симости от того, используется ли в качестве эталонного показатель Шарн па или индекс инвестиционного стиля?
ПРИЛОЖЕНИЕ А СТАТИСТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ После прочтения этого Приложения вы сможете:
Х объяснить, что понимается под случайной величиной;
Х описать, что понимается под распределением вероятностей и кумун лятивным распределением вероятностей;
Х описать основные свойства нормального распределения;
Х вычислить дисперсию и стандартное отклонение;
Х вычислить параметры простой линейной регрессии;
Х рассчитать и объяснить смысл коэффициента детерминации;
Х вычислить корреляцию и ковариацию между двумя случайными величинами.
В большинстве случаев при управлении инвестициями результат принятого решения может зависеть от величин, которые неизвестны с полной определенносн тью в момент принятия решения. Поэтому данные решения принимаются на оснон ве теории вероятностей и математической статистики. При этом важно уметь оцен нивать связь между случайными величинами. Такая связь может быть оценена с пон мощью регрессионного и корреляционного анализов. В этом Приложении излаган ются основные понятия теории вероятностей, математической статистики, регресн сионного и корреляционного анализов.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Вероятность измеряет степень уверенности принимающего решение в правдон подобности планируемого результата. Принимающий решение может определить вероятность, основываясь и на эмпирических данных. Например, если инвестицин онный менеджер хочет оценить вероятность того, что доходность индекса S&P возрастет более чем на 5% в данном месяце, он может посмотреть статистику дон ходности S&P 500 и определить искомую вероятность как долю времени (в процен ПРИЛОЖЕНИЯ тах), когда доходность оказывалась больше 5%. Однако иногда эмпирические данн ные могут быть недоступны. В этом случае менеджер определяет вероятность, исхон дя из доступной ему информации и своего опыта.
Случайная величина и распределение вероятностей Случайная величина (random variable) Ч это величина, для которой вероятность может быть приписана каждому из возможных ее значений. Распределение вероятн ностей (probability distribution), или плотность распределения (probability function), Ч это функция, которая описывает все значения, принимаемые случайной величин ной, и вероятности, связанные с каждым из этих значений. Кумулятивное распрен деление вероятностей (cumulative probability distribution) Ч это функция, которая каждому числу Ч значению ее аргумента, ставит в соответствие вероятность того, что возможные значения случайной величины будут меньше этого числа или равн ны ему*.
Примем в дальнейшем следующие обозначения. Если через X мы будем обон значать случайную величину, то эта же строчная буква с подстрочным индексом будет обозначать конкретное значение этой случайной величины или, другими слон вами, ее реализацию. Например, х, Ч это /-тое значение для случайной величины X.
Вероятность того, что случайная величина Xпримет конкретное значение х, обычн но записывается в явном виде как Р(Х) = х( или же для нее используется обозначен ние Р(х).
Для иллюстрации введенных выше понятий предположим, что распределение вероятностей для доходности обыкновенных акций корпорации Hall на следующий год определяется в табл. А-1, где указаны девять возможных значений ставки. Замен тим, что сумма всех вероятностей равна 1.
Седьмая позиция в табл. А-1 соответствует доходности, равной 14,2%. Верон ятность, приписанная этому значению, равна 0,1. Таким образом, Р(Х) = 14,2% или Р(х7) = 0,1. Вероятность того, что суммарная годовая доходность будет меньн ше 14,2%, Ч это кумулятивная вероятность для первых шести значений доходности, и она указана в четвертой колонке табл. А-1. Эта вероятность равна 0,77, или 77%.
Числовые характеристики распределения вероятностей Для того чтобы получить общее представление о распределении вероятностей, используются различные числовые характеристики. Из этих характеристик чаще всего применяют две: среднее значение и дисперсию (или стандартное отклонение).
Среднее значение. Среднее значение (expected value) распределения верон ятностей есть взвешенное среднее распределения. При этом в качестве весов прин нимаются вероятности соответствующих значений случайной величины X. Среднее значение случайной величины" обозначается через Е(Х) и вычисляется по следун ющей формуле:
В литературе по теории вероятностей кумулятивное распределение вероятностей обычно назын вают функцией распределения вероятностей, при этом в отечественной литературе функция расн пределения при заданном значении ее числового аргумента определяет вероятность того, что возможные значения случайной величины будут строго меньше этого числа. (Прим. науч. ред.) В теории вероятностей среднее значение случайной величины чаще называют ее математичесн ким ожиданием. (Прим. науч. ред.) ПРИЛОЖЕНИЕ А СТАТИСТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ Таблица А- РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛЯ ГОДОВОЙ ДОХОДНОСТИ КОРПОРАЦИИ HALL / Годовая доходность (в %) Вероятность Кумулятивная вероятность 0,05 0, 1 -10, 0,08 0, 2 -6, 0,10 0, -3, 0,16 0, 4 0, 0,22 0, 5, 0, 9,44 0, 0, 0, 7 14, 0,08 0, 19, 0,05 1, 24, Е(Х) = pft + р2х2 +... + /усД, где р, Ч вероятность, приписанная значению хг Например, среднее значение годовой доходности для корпорации Hall, расн пределение вероятностей для которой приводится в табл. А-1, находится следуюн щим образом:
Е(Х) = 0,05(Ч10,15) + 0,08(-6,65) + 0,Ю(-3,02) + 0,16(0,85) + + 0,22(5,00) + 0,16(9,44) + 0,10(14,42) + 0,08(19,31) + 0,05(24,79) = 5,61%.
Таким образом, среднее значение годовой доходности равно 5,61%.
Вариация и стандартное отклонение. Менеджера портфеля интересует не только среднее значение распределения вероятностей, но также и рассеяние слун чайной величины около ее среднего значения. Мерой рассеяния распределения вен роятностей является вариация (variance), или дисперсия, распределения. Вариация случайной величины X, обозначаемая через var(X), вычисляется по следующей форн муле:
var(X) = [X, - E(X)fpl+[X2 - Е(Х)?р2 +... + [ХД - Е(Х)]2рД.
Заметим, что вариация Ч это просто взвешенное среднее квадратов отклонен ний возможных значений случайной величины от ее среднего значения, где в качен стве весов приняты вероятности соответствующих значений. Чем больше вариация, тем больше разброс возможных значений случайной величины. Причина, по котон рой отклонения от среднего значения берутся в квадрате, связана с тем, что это устраняет возможность взаимного погашения значений отклонения ниже и выше среднего (при сложении отрицательных и положительных значений отклонения).
Трудность, возникающая при использовании вариации в качестве меры расн сеяния, заключается в том, что вариация выражается в терминах квадратов единиц, ПРИЛОЖЕНИЯ в которых измеряется сама случайная величина. В соответствии с этим квадратный корень из вариации, называемый стандартным отклонением {standard deviation), является более подходящей мерой степени рассеяния. Математически это выражан ется следующим образом:
std(X) = Jvar(X), где символом std{X) обозначено стандартное отклонение случайной величины X.
Вариация для годовой доходности корпорации Hall, распределение вероятнон стей которой дано в табл. А-1, вычисляется следующим образом:
var(X) = (-10,15 - 5,61)20,05 + (-6,65 - 5,61)20,08 + (-3,02 - 5,61)2 х х 0,10 + (0,85 - 5,61)2 0,16 + (5,00 - 5,61)2 0,22 + (9,44 - 5,61)2 0,16 + + (14,42 - 5,61)2 0,10 + (19,31 - 5,61)2 0;
08 + (24,79 - 5,61)2 0,05 = = 78,73%.
Стандартное отклонение, определяемое как квадратный корень из вариации, составляющей 78,73%, равно 8,87%.
Нормальное распределение вероятностей Во многих приложениях, подразумевающих использование вероятностных расн пределений, предполагается, что лежащее в основе распределение вероятностей является нормальным распределением (normal distribution). Пример нормального расн пределения приводится на рис. А-Г.
Площадь, заключенная под кривой плотности нормального распределения межн ду двумя точками на горизонтальной оси, есть вероятность того, что значения слун чайной величины будут находиться между этими двумя точками. Например, верон ятность того, что значение случайной величины Сбудет находиться между х, и х2, на рис. А-1 равно площади затемненной области. Математически вероятность попан дания значения X в этот промежуток записывается следующим образом:
/>(*, < X < х2).
Вся площадь под кривой плотности нормального распределения равна 1.
E *1 *2 W Р[х, < X < х2] Ч затемненная область Рис. А- Пример нормального распределения (или нормальная кривая) Функцию, график которой изображен на рис. А-1, в теории вероятностей обычно называют плотностью нормального распределения. (Прим. науч. ред.) ПРИЛОЖЕНИЕ А СТАТИСТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ Свойства нормального распределения. Нормальное распределение облан дает следующими свойствами:
1. Точка на горизонтальной оси, где плотность нормального распределения достигает максимума, является средним значением распределения.
2. График плотности нормального распределения симметричен относительно среднего значения. Это означает, что половина графика располагается слева от средн него значения, а другая половина Ч справа. Таким образом, вероятность получить значение случайной величины меньше среднего значения равна 0,5. Вероятность получить значение больше среднего значения также равна 0,5. Математически это выражается следующим образом:
Р[Х< Е(Х)\ = 0,5 и Р[Х> Е(Х)) = 0,5.
3. Вероятность того, что значение случайной величины отклонится от среднен го значения как в большую, так и в меньшую стороны не больше чем на величину стандартного отклонения, равна 0,6826, или с округлением Ч 0,683.
4. Вероятность того, что значение случайной величины отклонится от среднен го значения как в большую, так и в меньшую стороны не больше чем на два станн дартных отклонения, равна 0,9546, или с округлением Ч 0,955.
5. Вероятность того, что значение случайной величины отклонится от среднен го значения как в большую, так и в меньшую стороны не больше чем на три станн дартных отклонения, равна 0,9974, или с округлением Ч 0,997.
Предположим, что годовая доходность для портфеля имеет среднее значение 7% и стандартное отклонение 4%, и что распределение вероятностей является норн мальным. Тогда вероятность того, что годовая доходность будет находиться между 3% (среднее значение 7% минус одно стандартное отклонение 4%) и 11% (среднее значение 7% плюс одно стандартное отклонение 4%), равна 0,683. Вероятность того, что годовая доходность будет между Ч 1 % (среднее значение минус два стандартных отклонения) и 15% (среднее значение плюс два стандартных отклонения), равна 0,955.
Предположим, что стандартное отклонение для годовой доходности в предын дущем примере равно 2% вместо 4%. Тогда вероятность того, что годовая доходность будет находиться между 5 и 9%, равна 0,683, а вероятность того, что годовая доходн ность будет находиться между 3 и 11%, равна 0,955. Отсюда видно, что если фиксин рована вероятность, с которой значения случайной величины могут отклоняться от ее среднего значения, то чем меньше стандартное отклонение, тем меньше разн брос возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения.
Использование таблиц нормального распределения. Существуют таблин цы, с помощью которых для нормального распределения можно получить вероятн ность того, что возможные значения случайной величины будут находиться между некоторыми двумя определенными значениями. Все, что требуется знать для опрен деления этой вероятности, Ч среднее значение и стандартное отклонение. Однако таблицы нормального распределения построены для так называемого стандартного нормального распределения, среднее значение которого равно 0, а стандартное отклонение Ч 1. Следовательно, для того чтобы использовать таблицы, нужно трансн формировать рассматриваемое нормальное распределение в распределение, имеюн щее среднее значение 0 и стандартное отклонение 1. Это делается путем стандартин зации значений рассматриваемого распределения.
ПРИЛОЖЕНИЯ Процедура заключается в следующем. Предположим, что нормальное распрен деление для некоторой случайной величины X имеет среднее значение Е(Х) и станн дартное отклонение, обозначаемое через std(X). Для стандартизации некоторого конкретного значения, скажем xv производятся следующие вычисления:
х, - Е(Х) = Zi std(X) ' где zt Ч стандартизованное значение (standartized value), или нормальное отклонение {normal deviate) для xf Таблица А-2 представляет собой сокращенную таблицу со значениями площан ди под кривой плотности нормального распределения, которая, как было сказано выше, является вероятностью. Эта таблица позволяет для стандартизованной слун чайной величины определить вероятность того, что ее возможные значения будут больше некоторого числа, определяемого точкой на горизонтальной оси в правой стороне графика плотности распределения. На графике, приведенном в табл. А-2, эти значения находятся в затемненной области под кривой плотности нормального распределения. Например, из таблицы видно, что вероятность получить значение больше одного стандартного отклонения равна 0,1587.
Логнормальное распределение Доходность краткосрочных ценных бумаг за короткий период, например один день, один месяц или один квартал, можно хорошо аппроксимировать нормальным распределением. Для доходностей, определяемых для более длительных периодов, статистическими расчетами было показано, что такие доходности хорошо описын ваются логнормальным распределением (lognormal distribution). Говорят, что распрен деление является логнормальным, если логарифм соответствующей случайной велин чины имеет нормальное распределение.
Вычисление вариации и стандартного отклонения для статистических данных В некоторых темах этой книги мы останавливались на той роли, которую игн рает понятие изменчивости (volatility) цен. Например, в нашем обсуждении форн мирования портфеля, согласно теории Марковица в гл. 4, изменчивость доходнон сти акций была необходимым исходным понятием для построения модели. При обсуждении формирования цен опционов в гл. 18 мы показали, что изменчивость является также исходным понятием для построения модели опционного ценообн разования.
Как мы указывали в наших обсуждениях, касающихся изменчивости цен, ван риация (или стандартное отклонение) может служить показателем изменчивости, так как она является мерой отклонения случайной величины от ее среднего значен ния. Ниже мы покажем, как рассчитывается статистическая изменчивость.
Формула для вычисления вариации по статистическим данным. Ранее мы показали, как вычислять вариацию и стандартное отклонение случайной велин чины при заданном распределении вероятностей. Вариация случайной величины на основе статистических данных вычисляется по следующей формуле:
ПРИЛОЖЕНИЕ А СТАТИСТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ Таблица А- ТАБЛИЦЫ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ СТАНДАРТИЗОВАННОГО ЗНАЧЕНИЯ (ИЛИ НОРМАЛЬНОГО ОТКЛОНЕНИЯ) Z Вероятность 0,00 0,01 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0, 0,02 0, Z 0,0 0,5000 0,4960 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0, 0,4920 0,4880 0, 0,4404 0, 0,4602 0,4562 0,4325 0, 0,4522 0,4483 0,4443 0, 0, 0,2 0,4207 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0, 0,4168 0,4090 0, 0, 0, 0,3821 0,3632 0,3557 0, 0,3 0,3783 0,3707 0, 0,3745 0, 0,4 0,3446 0,3409 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0, 0,3372 0,3336 0, 0, 0,5 0,3085 0,3050 0,2912 0,2843 0, 0,3015 0,2946 0, 0, 0,2578 0,2546 0, 0,6 0,2743 0,2709 0,2483 0, 0,2676 0,2643 0, 0,7 0,2420 0,2389 0,2327 0,2266 0,2236 0,2206 0, 0,2358 0,2296 0, 0, 0,8 0,2110 0,2090 0,1949 0,1922 0, 0,2061 0,2033 0,2005 0, 0,9 0,1841 0,1814 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0, 0,1762 0, 0, 0, 0,1587 0,1562 0,1469 0,1423 0, 1,0 0,1515 0,1492 0, 0, 0,1357 0,1335 0,1251 0,1230 0,1210 0, 0,1314 0,1292 0,1271 0, 1, 0,1151 0,1131 0,1056 0,1038 0,1020 0, 1,2 0,1112 0,1093 0,1075 0, 0,0968 0,0951 0,0885 0,0869 0,0853 0, 1,3 0,0934 0,0918 0,0901 0, 0,0808 0,0793 0,0735 0,0721 0,0708 0, 1,4 0,0764 0,0749 0, 0, 0,0594 0,0582 0, 1,5 0,0668 0,0655 0,0606 0, 0,0643 0,0630 0, 0,0548 0,0537 0,0495 0,0485 0,0475 0, 1,6 0,0526 0,0516 0,0510 0, 0, 0,0446 0,0436 0,0427 0,0401 0,0392 0, 1,7 0,0418 0,0409 0, 0,0322 0,0314 0, 1,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0329 0,0301 0, 0, 0,0287 0,0281 0,0256 0,0250 0,0244 0, 0,0274 0,0268 0,0262 0, 1, 0, 2,0 0,0228 0,0222 0,0212 0,0207 0,0202 0,0192 0, 0,0217 0, 0,0179 0,0174 0,0158 0,0154 0,0150 0, 0,0170 0,0166 0, 2,1 0, 0, 2,2 0,0139 0,0136 0,0119 0,0116 0, 0,0132 0,0129 0,0125 0, 2,3 0,0107 0,0104 0,0094 0,0091 0,0089 0, 0,0102 0,0099 0,0096 0, 2,4 0,0082 0,0080 0,0071 0,0069 0,0068 0, 0,0078 0,0075 0,0073 0, 0,0054 0, 2,5 0,0062 0,0060 0,0051 0, 0,0059 0,0057 Х0,0055 0, 2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0, 0,0043 0, 0,0034 0, 2,7 0,0035 0,0030 0,0028 0, 0,0033 0,0032 0,0031 0, 0, 2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0022 0,0021 0, 0,0023 0,0023 0, 2,9 0,0019 0,0018 0,0016 0,0015 0,0015 0, 0,0018 0,0017 0,0016 0, 3,0 0,0013 0,0011 0,0011 0, 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0010 0, ПРИЛОЖЕНИЯ (х, - X) _t т_ (A-l) var = f2, ^~р х и тогда Std - -J var, где xt Ч значение переменной X в момент /;
X Ч выборочное среднее значение для переменной X,;
Т Ч число наблюдений в выборке*.
Можно показать, что формула (А-1) приводится к следующему виду:
i=! \^ J. (А-2) var = Т-\ Мы продемонстрируем, как можно использовать формулу (А-2) для расчета выборочной вариации для месячной доходности акций. В гл. 4 месячная доходность акций IBM для 60-месячного периода, начиная с января 1989 г. и заканчивая ден кабрем 1993 г., представлена в табл. 4-4. В табл. А-3 представлены данные, необходин мые для расчетов. В первой колонке указаны месяцы, во второй колонке Ч доходн ность акций IBM за этот месяц (х, в обозначениях, принятых в формуле (А-2)) и в последней колонке Ч квадрат месячной доходности (х} в обозначениях формулы (А-2)). В последней строке даются суммы второй и третьей колонок. Следовательно, из табл. А-3 находим, что:
60 *г2 = 3479,326.
х, = -36,516;
Подставляя эти значения в формулу (А-2), получим:
3479,326 - i - ( - 3 6, 5 1 б) = 58-9а -Х г!
В этом случае стандартное отклонение = ^58,90 = 7,675%.
Годовая изменчивость. В моделях опционного ценообразования большинн ство участников рынка рассчитывают изменчивость или доходность, исходя из данн ных по дням. Рыночная практика имеет дело с различным числом дней, которые могли бы быть использованы для расчета дневного стандартного отклонения. Число дней находится в диапазоне от 10 до 100.
* В терминах математической статистики определенная согласно формуле (А-1) вариация по статистическим данным есть не что иное, как выборочная (несмещенная) вариация, и так мы ее будем называть в дальнейшем. (Прим. науч. ред.) ПРИЛОЖЕНИЕ А СТАТИСТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ Таблица А- ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ДАННЫЕ ДЛЯ РАСЧЕТА ДИСПЕРСИИ И СТАНДАРТНОГО ОТКЛОНЕНИЯ МЕСЯЧНОЙ ДОХОДНОСТИ АКЦИЙ IBM С ЯНВАРЯ 1989 ПО ДЕКАБРЬ 1993 г.
V Месяц t Месяц f *л X2 x t 7, Январь 89 1 51,5380 Август 91 32 -3,1260 9, Февраль 89 2 -6,1440 37,7487 Сентябрь 91 48, 33 6, -10,1850 Март 89 3 103,7342 Октябрь 91 -5,1870 26, 4 4,4670 19, Апрель 89 Ноябрь 91 35 -4,6210 21, -2,7760 7,7062 14, Май 89 5 Декабрь 91 36 -3, 2,0520 4,2107 37 1, Июнь 89 6 Январь 92 1, 2, Июль 89 7 7,8008 Февраль 92 38 -2,1280 4, Август 89 8 2,9000 8,4100 Март 92 39 -3,8850 15, -6, Сентябрь 89 9 45,2122 Апрель 92 40 8,6830 75, -8,2380 Октябрь 89 10 67,8646 Май 92 1,3330 1, 11 -1,4110 61, Ноябрь 89 1,9909 Июнь 92 42 7, 12 -3,5850 12,8522 -3,1930 10, Декабрь 89 Июль 92 4,7810 Август 92 44 -7,2980 53, Январь 90 13 22, 14 6, Февраль 90 42,9025 Сентябрь 92 45 -6,7820 45, Март 90 15 2,1660 4,6916 Октябрь 92 46 -17,1830 295, 16 2,7090 7,3387 Ноябрь 92 47 3,8650 14, Апрель 17 11,2020 Декабрь 92 685, Май 90 125,4848 48 -26, Июнь 90 18 -2,0830 4,3389 Январь 93 2,2330 4, -5,1060 26,0712 Февраль 93 6,6310 43, Июль 90 19 -7, Август 90 20 56,9572 Март 93 51 -6,4370 41, 21 4,4170 52 -4,4230 19, Сентябрь 90 19,5099 Апрель -0, Октябрь 90 22 0,8836 Май 93 53 9,5940 92, Ноябрь 90 23 8,9770 Июнь 93 54 -6,3980 40, 80, Декабрь 90 24 -0,5500 0,3025 -9,8730 97, Июль 93 Январь 91 25 12,1680 148,0602 Август 93 56 3,3710 11, Февраль 91 26 2,5330 6,4161 Сентябрь 93 57 -8,1970 67, 27 -11,5530 9,5240 90, Март 91 133,4718 Октябрь 93 -9,5500 311, Апрель 91 28 91,2025 Ноябрь 93 59 17, 29 4,2090 17,7157 23, Май 91 Декабрь 93 60 4, 30 -8,4810 71, Июнь 4,2470 -36,5160 3479, Июль 91 31 18,0370 Всего Так как участников рынка интересует годовая изменчивость, то дневное станн дартное отклонение может быть приведено к годовому или нормировано следуюн щим образом:
Годовое стандартное отклонение = = Дневное стандартное отклонение х УЧисло дней в году.
Рыночная практика имеет дело также и с различным числом дней, которые могли бы быть использованы для нормирования стандартного отклонения по ука ПРИЛОЖЕНИЯ занной выше формуле. Обычно для этого берется или 250 дней, или 260, или же дней. (Числа 250 или 260 связаны с количеством рабочих дней биржи в году.) Таким образом, при расчете годового стандартного отклонения менеджер порн тфеля определяет:
1. Число наблюдений за день, которые будут использованы.
2. Число дней в году, которые будут использованы для нормирования дневнон го стандартного отклонения.
Интерпретация годового стандартного отклонения. Что означает, наприн мер, годовое стандартное отклонение или годовая изменчивость доходности ценн ных бумаг в размере 15%? Это означает, что если ожидаемая доходность равна 7%, то стандартное отклонение годовой доходности равно 105 базисным пунктам (7* 15).
Предположение о том, что доходность приближенно имеет нормальное расн пределение, означает, что вероятность разброса годовой доходности от 7% не бон лее чем на одно стандартное отклонение в большую или меньшую сторону равна 0,683. Таким образом, с вероятностью 0,683 доходность ценных бумаг будет нахон диться в пределах от 5,95 до 8,05%. Аналогично из свойств нормального распределен ния мы знаем, что вероятность разброса годовой доходности ценных бумаг в гран ницах двух стандартных отклонений (между 4,9 и 9,10%) равна 0,955, и вероятность разброса в границах трех стандартных отклонений (3,85 и 10,15%) равна 0,997*.
Заметим, что чем больше изменчивость, тем больше разброс возможных знан чений доходности ценных бумаг. Например, если годовая изменчивость, или станн дартное отклонение, равна 20% вместо 15%, то это означает, что годовая изменчин вость равна 140 базисным пунктам. При предположении о нормальном распределен нии в этом случае имеем, что вероятность того, что доходность ценных бумаг будет находиться между 5,6 и 8,4% равна 0,683;
между 4,2 и 9,8% Ч 0,955 и между 2,8 и 11,2% - 0, 9 9 7.
РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ В ряде случаев в процессе управления инвестициями связь между двумя или более случайными величинами может быть оценена. Одним из статистических инструменн тов, используемых для оценки связи между случайными величинами, является регн рессионный анализ (regression analysis). Мы объясним сущность регрессионного анан лиза на примере.
Простая линейная регрессионная модель Предположим, что менеджер портфеля хочет оценить связь между месячной доходностью акций IBM я индекса S&P500. Это, в действительности, важная связь, составляющая сущность однофакторной модели рынка, уже обсуждалась в гл. 5.
Допустим, менеджер портфеля полагает, что связь месячных доходностей может быть выражена следующим образом:
Месячная доходность акций IBM = = а + р (Месячная доходность индекса S&P 500). (А-3) * В этом абзаце автор смешивает понятия стандартного отклонения и коэффициента вариации.
Указанные 15% есть значение коэффициента вариации, т.е. отношение стандартного отклонения к среднему значению. Тогда 105 базисных пунктов, или 1,05%, есть значение самого стандартного отклонения. (Прим. науч. ред.) ПРИЛОЖЕНИЕ А СТАТИСТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ Величины а и р называются параметрами модели. Целью регрессионного анан лиза является оценка этих параметров.
Относительно этой зависимости можно сделать несколько замечаний. Во-перн вых, в ней используются только две величины Ч доходность акций IBM и доходн ность S&P 500. В силу того, что имеется только две величины и зависимость между ними линейная, такая регрессионная модель называется простой линейной регресн сией {simple linear regression). Так как предполагается, что доходность акций IBM зависит от доходности индекса S&P 500, то доходность акций IBM называют зан висимой переменной. Доходность индекса S&P 500 называют объясняющей или независимой переменной, или фактором, и она используется для объяснения дон ходности акций IBM. Во-вторых, маловероятно, что оцениваемая с помощью формулы (А-3) связь будет описывать реальную зависимость между двумя доход ностями, потому что, как было указано в гл. 6, в дополнение к доходности индекн са S&P 500, на доходность акций IBM могут влиять и другие факторы. Следован тельно, зависимость может быть отражена более точно, если в формулу (А-3) добавить еще один член, учитывающий случайную ошибку. Таким образом, укан занная зависимость может быть выражена следующим образом:
Месячная доходность акций IBM = Ч а + р (Месячная доходность индекса S&P 500) + + Случайная ошибка. (А-4) В более простой форме это соотношение может быть представлено так:
Y=a + $X+e, где Y Ч месячная доходность акций IBM;
X Ч месячная доходность индекса S&P 500;
е Ч случайная ошибка.
Оценка параметров простой линейной регрессионной модели Для того чтобы оценить параметры простой линейной регрессионной модели, необходимо иметь статистическую информацию о месячной доходности IBM и месячной доходности индекса S&P 500. В третьем и четвертом столбцах табл. А- приводятся месячные доходности акций IBM и индекса S&P 500 соответственно, начиная с января 1989 г. и заканчивая декабрем 1993 г. Каждая пара значений для величин Хн У относится к одному наблюдению. Для оценки зависимости, отраженн ной формулой (А-4), будут использованы 60 наблюдений, представленных в табл. А-4. Эти 60 наблюдений отражены также на рис. А-2. В том случае, когда нан блюдения отражаются таким образом, полученная диаграмма называется диаграмн мой разброса или рассеивания (scatter diagram).
Один из возможных способов оценки зависимости между двумя доходностями состоит в проведении через совокупность наблюдений прямой линии, отражающей эту зависимость наилучшим образом. Выбор двух точек на этой прямой отразит оцениваемую зависимость. Очевидным недостатком такого подхода является то, что не существует каких-либо правил, указывающих, как нужно строить прямую, и, следовательно, разные люди могут получить различные оценки, основываясь на одних и тех же наблюдениях.
ПРИЛОЖЕНИЯ Таблица А- ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ДАННЫЕ ДЛЯ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ПРОСТОЙ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ: СВЯЗЬ МЕЖДУ МЕСЯЧНЫМИ ДОХОДНОСТЯМИ АКЦИЙ IBM И ИНДЕКСА S&P xt= Месячная доходность индекса S&P 500 у, = Месячная доходность акций IBM f Месяц X У, У, Ч< *.
Январь 89 1 51, 7,2100 7,1790 51,7606 51, Февраль 89 2 -2,5000 -6,1440 15,3600 6,2500 37, Март 89 3 -10,1850 -24,0366 5, 2,3600 103, Апрель 89 22, 5,1300 4,4670 26,3169 19, Май 89 5 -11, 4,0400 -2,7760 16,3216 7, Июнь 89 -0,5500 2,0520 -1,1286 0,3025 4, Июль 89 2,7930 25,0811 80, 8,9800 7, Август 89 8 5,5970 3, 1,9300 2,9000 8, Сентябрь 89 9 2,6224 0, -0,3900 -6,7240 45, Октябрь 89 10 19, -2,3600 -8,2380 5,5696 67, Ноябрь 89 -2,9208 4, 2,0700 -1,4110 1, Декабрь 89 12 -8,5682 5, 2,3900 -3,5850 12, Январь 90 13 -32,1283 45, -6,7200 4,7810 22, Февраль 90 14 6,5500 8,4495 1, 1,2900 42, 15 6, Март 90 2,6200 2,1660 5,6749 4, Апрель 90 16 6, -2,4800 2,7090 -6,7183 7, Май 90 11,2020 109, 9,7500 95,0625 125, Июнь 90 -0,6900 -2,0830 1,4373 0,4761 4, Июль 90 19 -5,1060 1,6339 0, -0,3200 26, Август 90 20 -7,5470 68,2249 81, -9,0400 56, Сентябрь 90 21 -4,9200 4,4170 -21,7316 24,2064 19, Октябрь 90 -0,9400 0,3478 0, -0,3700 0, Ноябрь 90 23 57, 6,4300 8,9770 41,3449 80, Декабрь 90 24 2,7500 -0,5500 -1,5125 7,5625 0, Январь 91 25 12,1680 53,0525 19, 4,3600 148, Февраль 91 26 7,1500 2,5330 18,1110 51,1225 6, Март 91 27 -27,9583 5, 2,4200 -11,5530 133, Апрель 91 28 0,2400 -9,5500 -2,2920 0,0576 91, Май 91 29 4,2090 18,1829 18, 4,3200 17, Июнь 91 30 -8,4810 38,8430 20, -4,5800 71, 19,7910 21, Июль 91 31 4,6600 4,2470 18, Август 91 32 -7, 2,3700 -3,1260 5,6169 9, Сентябрь 91 33 -11, -1,6700 6,9680 2,7889 48, Октябрь 91 -5,1870 -6,9506 1, 1,3400 26, Ноябрь 91 35 -4,6210 18,6226 16, -4,0300 21, Декабрь 91 36 11,4400 -3,7840 -43,2890 130,8736 14, Январь 92 37 1,1240 -2,0906 3, -1,8600 1, Февраль 92 38 -2, 1,3000 -2,1280 1,6900 4, Март 92 39 7,5758 3, -1,9500 -3,8850 15, Апрель 92 40 8,6830 25,5280 8, 2,9400 75, ПРИЛОЖЕНИЕ А СТАТИСТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ Таблица А- ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ДАННЫЕ ДЛЯ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ПРОСТОЙ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ: СВЯЗЬ МЕЖДУ МЕСЯЧНЫМИ ДОХОДНОСТЯМИ АКЦИЙ IBM И ИНДЕКСА S&P 500 (Продолжение) х,= Месячная доходность индекса S&P 500 у, = Месячная доходность акци й IBM = Месяц х, t У, Ч, У, *t 41 0,6532 0, Май 92 0,4900 1,3330 1, 42 -11,6980 2,2201 61, Июнь 92 -1,4900 7, -13,0594 16,7281 10, Июль 92 43 4,0900 -3, Август 92 -2,0500 -7,2980 14,9609 4,2025 53, Сентябрь 92 45 -6,7820 -8,0028 1,3924 45, 1, Октябрь 92 46 -6,0141 0,1225 295, 0,3500 -17, 47 13,1797 11,6281 14, Ноябрь 92 3,4100 3, Декабрь 92 48 1,2300 -26,1900 -32,213 71,5129 685, Январь 93 49 1,6301 0,5329 4, 0,7300 2, Февраль 93 50 6,6310 9,0182 1,8496 43, 1, Март 93 -13,8396 4,6225 41, 51 2,1500 -6, 52 10,703 75, Апрель 93 -4,4230 19, -2, Май 93 2,6800 9,5940 25,7119 7,1824 92, 54 -1,8554 0,0841 40, Июнь 93 0,2900 -6, Июль 93 55 -9,8730 3,9492 0,1600 97, -0, 12,7761 14, Август 93 56 3,7900 3,3710 11, Сентябрь 93 57 6,3117 0, -0,7700 -8,1970 67, Октябрь 93 58 19,7147 4,2849 90, 2,0700 9, Ноябрь 93 59 -16,7799 0,9025 311, -0,9500 17, Декабрь 93 5,8951 1,4641 23, 60 1,2100 4, -36,5160 401,8848 909,5345 3479, Всего 72, Х Л У о Х Х о h Х Х ХХ Х * ЧХ Х Х 5 Х ХХ хСО 1 I I о Х ХХ - 10 *5 10 Х ХХ *з Х -5.
7 Х Х ps Х Х "Х* -Г Х к Х о ш -is" 5 Х - -25 Х Месячная доходность индекса S&P - Рис. А- Диаграмма разброса наблюдений ежемесячной доходности акций IBM и индекса S&P ПРИЛОЖЕНИЯ Регрессионный метод устанавливает логический критерий для оценки зависин мости. Для пояснения смысла этого критерия запишем простую линейную регресн сию так, чтобы оцениваемая зависимость была представлена для каждого наблюден ния. В этом случае получим следующее уравнение1:
у, = а + Щ + еД где индекс / обозначает месяц /, к которому относится наблюдение.
Например, для четвертого наблюдения (/ = 4) это равенство примет вид:
4,467 = а + Р(5,13) + е4.
Для восемнадцатого наблюдения (? = 18) имеем:
-2,083 = а + Р(-0,60) + е18.
Значения е4 и ех% определяют наблюдаемую ошибку для соответствующих расн сматриваемых величин. Заметим, что значения ошибки для обоих наблюдений зан висят от значений, выбранных для а и р. Это позволяет указать критерий выбора двух параметров. Параметры следует выбирать таким образом, чтобы суммарная ошибка для всех наблюдений была как можно меньше.
Хотя это неплохой подход, тем не менее он заключает в себе одну проблему.
Некоторые наблюдаемые ошибки могут быть положительными, а другие Ч отрицан тельными. Следовательно, положительные и отрицательные наблюдаемые ошибки могут погашать друг друга. Для того чтобы обойти эту проблему, можно возвести каждую наблюдаемую ошибку в квадрат. Основываясь на этом критерии, нашей целью тогда будет минимизация суммы квадратов наблюдаемых ошибок. Именно этот критерий используется для оценки параметров в регрессионном анализе. В связи с этим регресн сионный анализ иногда называют методом наименьших квадратов (metod of least squares).
Формулы, которые могут быть использованы для оценки параметров на базе этого критерия, получают с помощью дифференциального исчисления. Их испольн зование будет проиллюстрировано ниже. Если условиться, что значок (л) над паран метром обозначает оценку параметра, а ГЧ это число всех наблюдений, тогда вын числение оценки для а и р на основе наблюдений производится по следующим форн мулам:
Т ]Т Т Р= 1*. -~ 2>, /=1 I \l=l J \т \ -т a = ^5>r-~(P)2>r (A-6) 1 /=1 I 1= В гл. 5 в однофакторной рыночной модели для рассматриваемых величин были приняты обон значения:
*, = гм, и у, = /ХД, где г обозначает доходность, а подстрочные индексы М и i обозначают S&P 500 и акцию /' сон ответственно.
ПРИЛОЖЕНИЕ А СТАТИСТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ Хотя формулы кажутся сложными, применять их легко. Для реальных задач с большим числом наблюдений существуют программы регрессионного анализа, которые позволяют рассчитать значения параметров на основе этих формул. Больн шинство электронных таблиц (табличные процессоры типа Supercalc, Exel и др.) содержат программы простого линейного регрессионного анализа.
Приведенные выше формулы могут быть использованы для вычисления оцен нок параметров на основе 60 наблюдений, данных в табл. А-4. Результаты для сумм, необходимых для применения формул, представлены в виде табл. А-4, а окончательн ное суммирование дает:
401,8848- Ч (72,01)(-36,516) Р= 2Ч= = 0,5415..
909,5345 -4= (72,01) Подстановка этих данных в формулу (А-5) дает:
60 5 >, = 72,03;
X У, =-36,516;
60 X х,у, = 401,8848;
*? = 909,5345, а в формулу (А-6) дает:
а = JL (-36,516) - ^-(0,5415)(72,01) = -1,2585.
Тогда оценка зависимости между месячной доходностью акций IBM и индекн са S&P 500 может быть представлена в виде:
Г = - 1, 2 5 8 5 + 0,5415*.
Мера качества подгонки модели Менеджер портфеля, прежде чем использовать в той или иной инвестиционн ной стратегии информацию о связи соответствующих величин, полученную с пон мощью модели простой линейной регрессии, должен проверить адекватность этой модели. Такая проверка в некотором смысле может быть осуществлена на основе статистических критериев. Мерой качества подгонки модели при оценке указанной связи может служить коэффициент детерминации (coefficient of determination). Остан новимся на этом коэффициенте более подробно.
В материале, изложенном выше, мы пытались с помощью независимой перен менной А1 лобъяснить изменение зависимой переменной Y. Что же здесь имеется в виду? Речь идет о том, что с помощью переменной Сделалась попытка лобъяснить причину отклонения переменной У от ее среднего значения. Можно показать, что если бы лобъясняющая переменная X не использовалась в этих целях, то с помон щью метода наименьших квадратов мы бы получили оценку среднего значения случайной величины Y. Таким образом, Хъ принципе обладает определенной спон собностью лобъяснить отклонение У от ее среднего значения. Но мы уже знаем, ПРИЛОЖЕНИЯ что мерой отклонения случайной величины от ее среднего значения является варин ация.
В этом контексте и появляется коэффициент детерминации, имеющий следун ющий смысл: он определяет долю вариации зависимой переменной, лобъясняемой с помощью независимой переменной (или, как говорят иначе, лобъясняемой регн рессией)2. Таким образом:
Вариация Y, лобъясняемая X Коэффициент детерминации = (А-7) Вариация Y Коэффициент детерминации может принимать значения между 0 и 1. Если вся вариация лобъясняется переменной X, то коэффициент детерминации равен 1. Если же переменная X ничего не объясняет, то коэффициент детерминации равен 0.
Следовательно, чем ближе коэффициент детерминации к 1, тем теснее связь межн ду переменными (случайными величинами) X и Y.
Существует и другая интерпретация коэффициента детерминации, в которой он трактуется как мера близости наблюдаемых точек к линии рефессии. В этом смысле, чем ближе расположены эти точки к линии регрессии, тем ближе к 1 бун дет коэффициент детерминации. Напротив, чем больше разброс наблюдаемых тон чек от линии рефессии, тем ближе к 0 будет коэффициент детерминации.
Коэффициент детерминации в ряде случаев называют Л-квадрат и обознан чают через R2 *. Вычисление коэффициента детерминации производится следующим образом. Сначала вычисляется вариация Y.
Вариация Y = х? - 1 (t у,). (А-8) Далее вычисляется вариация Y, лобъясняемая X:
(т \т г Л Вариация Y, лобъясняемая Х= $ Х*,>>, ~~^И,Х^У> (А-9) Коэффициент детерминации теперь находится делением вариации Y, лобъясн няемой X, на вариацию Y.
На основе представленных в виде табл. А-4 данных, необходимых для расчен тов, получаем:
60 х, = 72,03;
]>>,= -36,516;
60 х,у, = 401,8848;
х? = 3479,326.
t=\ i=i В учебниках по математической статистике вместо терминов вариация У и вариация У, объясн няемая с помощью переменной X используются термины полная сумма квадратов и лобъясн няемая сумма квадратов.
" Можно сказать, что R2 является мерой качества подгонки модели, т.е. чем больше R2, тем лучн ше модель линейной регрессии аппроксимирует У. (Прим. науч. ред.) ПРИЛОЖЕНИЕ А СТАТИСТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ Подставляя эти результаты в формулу (А-7), получим:
3479,326 - ^-(-36,516) 2 = 3457,142362, а подстановка их в (А-8) дает:
(0,5415)[401,8848--1-(72,01)(-36,51б)] = 241, Следовательно:
^ 241, v Коэффициент детерминации =..,.,.~~,~ = 0,07.
34D/,14230Z Коэффициент детерминации, равный 0,07, означает, что приблизительно 7% вариации месячной доходности акций IBM лобъясняется месячной доходностью индекса S&P 500.
На основе статистических критериев можно определить, является ли коэффин циент детерминации статистически значимым. Кроме того, с помощью статистичесн ких критериев можно проверить статистическую значимость оценки параметра р. Сон ответствующий критерий устанавливает, является ли отличие оценки р" от нуля стан тистически значимым. Если между двумя переменными нет связи, то статистическая оценка для р не может быть отличной от нуля. Подробно ознакомиться с этими крин териями можно в учебниках по математической статистике.
Обобщение простой линейной регрессионной модели В ряде случаев зависимая переменная может быть лучше лобъяснена, если используется более чем одна независимая переменная. Тогда при оценке соответн ствующей связи говорят о множественной регрессии {multiple regression). Вычислен ния, необходимые для получения параметров множественной регрессии, уже трудн но осуществить вручную. К счастью, разработано большое число программ для мнон жественного регрессионного анализа, позволяющих рассчитать параметры модели множественной регрессии.
Интерпретация коэффициента детерминации для множественной регрессии аналогична интерпретации для простой линейной модели. В последнем случае этот коэффициент, как мы уже говорили, может быть истолкован как полная сумма квадн ратов отклонений, лобъясняемых независимой переменной X. При множественной регрессии коэффициент детерминации Ч это часть вариации Y, лобъясняемая всеми независимыми переменными. Добавление еще одной независимой переменной в регрессионную модель имеет смысл лишь тогда, когда эта переменная приведет к ощутимому увеличению вариации, лобъясняемой регрессией. Предположим, нан пример, что оценивается простая линейная регрессия и при этом вариация Уравна 1000, а вариация, лобъясняемая единственной независимой переменной X, равна 600. Допустим, что в регрессионную модель добавляется еще одна независимая пен ременная и ее включение приводит к возрастанию лобъясняемой вариации Yc до 750. Тогда коэффициент детерминации возрастет с 60 до 75% (750/1000). Введен ние этой новой независимой переменной имеет смысл, так как оно существенно увеличивает лобъясняемую вариацию К Однако если бы вариация Y, лобъясняе ПРИЛОЖЕНИЯ мая регрессией, возросла, например, с 600 до 610, то коэффициент детерминан ции возрос бы лишь с 60 до 61%. Следовательно, в этом случае введение новой независимой переменной мало что дало бы для лобъяснения зависимой переменн ной.
КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ Коэффициент корреляции также является мерой зависимости случайных вен личин. Однако когда рассчитывается коэффициент корреляции, то не делается никаких предварительных предположений. Другими словами, когда вычисляется коэффициент корреляции двух величин, не делается предположений о том, какая из них является зависимой, а какая Ч лобъясняющей. В регрессионном анализе, напротив, предполагается заранее, что одна из величин зависит от другой.
Вычисление корреляции Для вычисления корреляции двух случайных величин Хи /используется слен дующая формула*:
г тт Т ЪХ,У,-ЪХ,ЪУ, cor = Ч Л2 Ч ~Р л~ Л т (т (г т, (А-10) J Tlxf- X*, ) - \I=I ) ЪУ, ТЪУ) V (=i ^/=1 г=\ Для иллюстрации того, как используется формула (А-10), мы подсчитаем корн реляцию месячной доходности акций IBM (X) и Walgreen (Y) для 60-месячного периода с января 1989 г. по декабрь 1993 г. Соответствующие данные приведены в табл. А-5. В последней строке этой таблицы даются значения необходимых для расн чета сумм:
60 60 5 >, = -36,516;
5 >, = 123,288;
^х,у, = 627,3633;
t=\ f=l Г= 60, X xf = 3479,3256;
yf = 3402,0807.
Подставляя эти значения в формулу (А-10), получим:
60(627,3633) - (-36,516)(123,288) = 0,21.
cor = ^[60(3479,3256) - (-36,51 б)2][60(3402,0807) - (123,288) Формула (А-10) фактически определяет выборочную корреляцию, т.е. статистическую оценку корреляции. Однако ниже мы, следуя оригинальному тексту, будем также называть величину cor просто корреляцией. (Прим. науч. ред.) <:>2еаыоо> > -о S S 2 > S 9 ^ 1э I О О > S S <: > <: л я >2е^ЫОП Ss 2 ~* s:
в густ 1ай прель 1арт 'евраль нварь юнь юнь юнь 5 П > = Меся М^Ш(В1Ф07 ^ РАС ЕТКОР РЕЛ ь ь ь о сг сг o c r c o e j o - - o c r T 3 C j \ ~ о со о-СОК;
сгтзсгТЗСЗ\ со m о- со ",_ tr тэ оо0 0 со со к Чк 1 э < г СО со W г '?з о о -С со- о со0-со CD О" СО С, "?
О с о О 0 0 g оо о- со х иная доходное со оо со О ГО ЮМС0 -'Ш", СО 0 0 со О < m о го -* ^ WALGREEN со со со г о г о г о г о ю ю г о г о г о г о 4^00000000000000 ю о С 0 0 0 - л 1 С 0 С Л 4 ь С 0 Г О - * О со OCOOOv|CJ5Ul4kCO 00 0 5 СЛ * ь 0 0 ГО - 1 О СО 0 0 v l СП СЛ 4 ^ СО ГО - к v| о аз сг J 1 1 1 1 Ч^ Ч ^ 1 1 1 1 -к 1 0!
II I I I 1 -к 1 J^ s: x оо со j o -к со 4^ ел о 00 А ГО J O 0 1 4ь 0 0 j - * 0 0 0 5 ГО го N 4 О О) v l -vl СЛ -^ 4. со ^ го го о оо о 4*. го го S m о То V i "-* ел V i "ел 4 ГО V l CDVi о Vl 4ь "-* "-^ '^ СО 0 0 "-ь " - 1 "-vl О ) " - ' СО L Х..
го То сл сл i n "-ХХ "сл со со "4*. ел1^ S о 4.
00 0 0 о о ел ел оо оо - со го о со ел v J 0v | 0 0 4>> СО 0 vl X Sc о о о о г0о 4г о о о г о с оСс О го 4 J L o O O C O O O n O O v il tOvv- l i vf li о о * CencnucCoi v 03 Jv OS v со О со en о -^ ел - * 0 0 4 * О со го 0 0 - СЛ 4 ^ иСЛ0 4->Ч го ~ ^^ 5:
оэ m ОООО О m ооооооооооооо о о о о о оо о о о о о о оооооооо янв, о x Х< 1 1 1 1 Ч^ 1 1 1 1 -J. I I 1 1 1 1Ю 61 ЧI L o i - ' C o o v j j o ^ c n Чк го 1 0 _ F O v | - ' C O - 0 5 C n _ - ' C O о СО - * - i 4ь - * - 1 е л СО ;
v l О _ А 0 5 0 0 0 0 _-* СО -vl s -* J> s ч;
со о со "о со со То "со о СО со ~4 СО 0 5 Т о V l CD СО Т о СО "со Vi ^ _ L V l "-к Ъ С 4ь О со То сл "со оо О оосл "4^ "4^ со То ^. ~|| "О N ) C O I \ i C n v J O C O O Хvl со о - * o o v j c o o o - k - v i a > c n СЛ 4. оо -vi -к го со елел со со сл~л. о ел -L CO CD CO ел го 4^ v j m s D~ O A C D C O C n v l v I C O о ю 0 0 г о г о о с л с о с л с о о о о г о оо 0 0 О 0 5 0 0 CD CD 0 5 СО v l 0 0 ГО Хvl ю 05 ~ Z. r> 1есячн :ЯЧН о о о о о о о о о о о о о о о О О О О О Оо о о оо ооооо о оооооооо ЧL _Ь L ST ш ~ & СП S " ~-| -1 со со 4> = оо -к ел го ГО 4*. ГО -L О СО СЛ vl - i - ^ ГО ГО 4V _L -L > 1:
vJ - к СО 0 5 0 0 О О О СО О ) 0 5 4. v l СО И vl - ( Я O I _4> _-> _ ^ - 1 О ) СО со 0 0 4*. ел -vi _4ь го го го -ж -vi ел оо ~л| J "ы о сл То "со со со сл о ъ Vi То 4^ 4^ о со ел оо ел "со о 0 0 4 "со "ев (О со оо со со То 4^"оо То V i со V i V i "en 9 1s Vl v содность vJ 00 -ОЧ-ЧЛОЮО(Л Хvl 0 0 оо со со о ел сСО 0 5 -L -*Х о Чк О5 СЛ СО 4v СО ~ (ОЮМЯ-'СЛОСЛ го ь 0 0 * к 0 0 - ^ ГО 0 0 ГО 0 * > N O 4ьСЭОО0ОООО0СЛС0 L v| vJ Ш М - Ч Л О М С Н И Ю Ч оо0 4 * 4. 0 0 оо Ъэ "t го со 0 0 v l 0 0 СЛ О ГО СО 0 5 ГО О оо -vl ГО ГО v J UlMJi^vlCJOO 4>. ч е л о о - к ю е л с л е п с о г о СО о -L in 5 За _к _к Чк го vJ со й vl vl v l 4b.
4ь -J. о -* 4 * СЛ Ю CD 4. ГО ОЗ со со го со го -^ ел го оо "О ЧJ. ел o o > v j v j 4 ^ c o e j 5 - v i - L c o о v J оо -^ -к - 1 го ел- Х М О t > го со CO - ГО 4 CO СО - 1 СО О -' СТ5 0 0 v | с сг л:
Х о Чк.
со 0 0 O i5vv l j -a v5 lr -O' C O C b 0A0 O O O vOl e n СЛ Vi СО СО СО -vl ГО СЛ ГО СО CO M5 0 0 го Ю -L* * Х О0 - к - vl O vl ГО 0 4 О0 00 Х< ?, аО о 7 - С' Я* О С ^ С*О С О ЧО Ои О >С ^J.
ГС5 vJ о оз го си м ел 4 v l Чк 4. О 4 CO- I4J о v J СП с о о о е л - о е л о 5 - ' е л 4. со СО СО СЛ OS -vl СО го го s 4^CDCOCOOC754^4v Хvl Чк v | сл со ro en со -и CD 4 * со v j A o c n c o r o - ' r o A c o С35 со ОЭ О СО ГО О -ь м ^ -L > 0 5 ГО - *>Х с?
4^ГОСПОО)4.ЮСО CD сл го - i 4. 0 ro en Igreet 13 г.
s:
1 Дк 1 1 1 Ч ь Ч* 1 1 I I I J со 1 -к | ел -^ > ГО СО -* СС ЛО СП 1 О ) - 1 М 4v 1 СЛ -^ А ГО 0 0 ю - к 1 0 5 1 1 Х~д l i 0 0 * к 0 0 4> Ю U А СП viA-vlocnrorooo л 3 - 4 v l 0 O C - - 4 > O ) C O 0 0 го ГО 0 0 О со СО vl А СС ОЛ _L со ?> - " О v l CO - 1 -J со ел со *.Ovlv|v|OM-> со v J ел v | 4C OО OС ) c М С 0 O M 1 O O Ы 0 0 оо _L nf I O О vi vi ел -к vi ^, ГО 0 0 О О v J ГО СО - к 0 0 0 0 со со ел JZ v| Ы v| 00 4 сл ел со со - ^ Ю-'ГОСО44к004 А 0 5 со о L 4. оо 4. 4 k C D r O C O - - ' C n C D r O f O о 0 5 ел 0 0 0 5 сл en 0 0 - * 0 0 СО СО со Хvl -" ел го О -vl сл- ' 4*. СО 0 0 О f СМ О (' - Л -- д г о с о О С о с о - ' > С П О ) чг О С Л Ю S 00 со Хvl сл - к ^ 0 0 0 5 - ' О О Г 0 4 . С Л С Л со со s< о> S сл ю ПРИЛОЖЕНИЯ Таблица А- РАСЧЕТ КОРРЕЛЯЦИИ МЕЖДУ МЕСЯЧНЫМИ ДОХОДНОСТЯМИ АКЦИЙ ЯНВАРЬ 1989 г. - ДЕКАБРЬ 1993 г. (Продолжение) WALGREEN И IBM:
х, = Месячная доходность акций IBM у,= Месячная доходность акций Walgreen х, Месяц t X12 У, У, 4t "Х -0, Май 92 41 -0, 1,3330 1,7769 0, Июнь 92 42 7,8510 1,8800 61,6382 3,5344 14, 5,9040 -18, Июль 92 43 -3,1930 10,1952 34, Август 92 44 -7,2980 7,3310 -53, 53,2608 53, -0, Сентябрь 92 -6,7820 0,1063 2, 45 45, 5, Октябрь 92 46 -17,1830 295,2555 27,3424 -89, 10, Ноябрь 92 47 3,8650 14,9382 38, 100, -1, Декабрь 92 -26,1900 1,2837 29, 48 685, -8, Январь 93 49 2,2330 -19, 4,9863 73, -1, Февраль 93 50 6,6310 43,9702 -12, 3, 3, Март 93 -6,4370 41,4350 12,4327 -22, Апрель 93 -4,4230 -5,8820 26, 52 19,5629 34, 12, Май 93 53 9,5940 92,0448 166,2810 123, Июнь 93 54 -5,5560 40,9344 35, -6,3980 30, -6, Июль 93 55 -9,8730 97,4761 46,3897 67, 3, Август 93 56 3,3710 11,3636 13,8458 12, -3, Сентябрь 93 57 -8,1970 67,1908 31, 14, Октябрь 93 13, 58 9,5240 90,7066 188,0189 130, Ноябрь 93 59 17,6630 -3,7180 311,9816 -65, 13, 0, Декабрь 93 60 4,8720 23,7364 0,0942 1, Всего 123,2880 3402,0807 627, -36,5160 3479, Соотношение коэффициента корреляции и коэффициента детерминации Оказывается, что коэффициент детерминации {coefficient of determination) равен квадрату коэффициента корреляции. Таким образом, квадратный корень из коэфн фициента корреляции есть коэффициент детерминации. Так как коэффициент ден терминации заключается между 0 и 1, то коэффициент корреляции будет находиться между Ч1 и 1. Знак коэффициента корреляции совпадает со знаком тангенса угла наклона В линии регрессии. Например, ранее мы подсчитали, что коэффициент детерминации между месячной доходностью акций IBM и индекса S&P 500 равен 0,07. Тогда коэффициент корреляции будет равен 0,26.
Ковариация Ковариация определяет меру совместного рассеяния двух случайных величин.
Ковариация связана с коэффициентом корреляции следующим образом:
Ковариация = 5^(^)^(У)(Коэффициент корреляции). (А-11) ПРИЛОЖЕНИЕ А СТАТИСТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ Ковариация доходностей акций IBM (X) и Walgreen (Y) для 60-месячного пен риода, с января 1989 г. по декабрь 1993 г., находится следующим образом. Ранее мы подсчитали стандартное отклонение доходности акций IBM и нашли, что оно равн но 7,675. Стандартное отклонение доходности акций Walgreen равно 7,305. Коэффин циент корреляции доходностей акций IBM(X) и Walgreen (Y) равен 0,21. Следован тельно, по формуле (А-11) получаем:
Ковариация* = 7,675(7,305)(0,21) = 11,77.
РЕЗЮМЕ Случайная величина Ч это величина, которая может принимать в будущем более чем одно возможное значение, а распределение вероятностей задает вероятности реализации этих значений. Частным случаем вероятностного распределения являн ется нормальное распределение.
Для распределения вероятностей могут быть вычислены среднее значение и стандартное отклонение (вариация). Среднее значение Ч это взвешенное среднее значение распределения. Стандартное отклонение является мерой рассеяния возможн ных значений случайной величины около ее среднего значения.
Регрессионный анализ используется для оценки связи между переменными. При простой линейной регрессии рассматриваются одна независимая переменная и одна зависимая. При множественной регрессии рассматриваются несколько независимых переменных. Метод наименьших квадратов используется для оценки параметров зависимости, определяющей прямую наилучшего приближения наблюдений на дин аграмме разброса.
Коэффициент детерминации является мерой качества подгонки модели при оценке линейной связи. Коэффициент детерминации Ч это отношение лобъясненн ной суммы квадратов к полной сумме квадратов, он изменяется от 0 до 1. Чем больше коэффициент детерминации, тем ближе связь к линейной. Коэффициент детерн минации связан с коэффициентом корреляции.
Коэффициент корреляции и ковариация служат мерой зависимости двух слун чайных величин. Коэффициент корреляции принимает значения между Ч и 1, он равен корню квадратному из коэффициента детерминации.
КЛЮЧЕВЫЕ ТЕРМИНЫ случайная величина распределение вероятностей, или плотность распределения кумулятивное распределение вероятностей среднее значение вариация, или дисперсия стандартное отклонение нормальное распределение стандартизованное значение, или нормальное отклонение логнормальное распределение регрессионный анализ * Здесь, как и в случае с коэффициентом корреляции, под ковариацией на самом деле пониман ется выборочная ковариация. (Прим. науч. ред.) ПРИЛОЖЕНИЯ простая линейная регрессия множественная регрессия коэффициент детерминации ВОПРОСЫ 1. а. Что такое случайная величина?
б. Что такое распределение вероятностей и кумулятивное распределение вен роятностей?
2. а. Дополните следующую таблицу, которая содержит информацию о распрен делении вероятностей для годовой доходности акций корпорации Rice:
Результат Вероятность К у м у л я т и в н а я вероятность Доходность 1 -12,35% 0,05 0, 2 0,10 ?
-7, 3 -4,15 0,15 ?
4 0,20 ?
-0, 5 1,90 0,18 ?
0,12 ?
6 5, 7 9,20 0,08 ?
? ?
8 13, 9 24,79 0,05 1, б. Вычислите среднее значение годовой доходности.
в. Вычислите вариацию и стандартное отклонение годовой доходности.
3. Предположим, что среднее значение годовой доходности равно 5%, станн дартное отклонение Ч 2,5%, а ее распределение вероятностей может быть охаракн теризовано как нормальное распределение.
а. Какова вероятность того, что годовая доходность будет находиться между 2,5 и 7,5%?
б. Какова вероятность того, что годовая доходность будет находиться между 0 и 10%?
в. Какова вероятность того, что годовая доходность будет отрицательной?
г. Какова вероятность того, что годовая доходность будет больше 15%?
4. Предположим, что стандартное отклонение годовой доходности из предын дущего вопроса равно 10% вместо 2,5%.
а. Какова вероятность того, что годовая доходность будет меньше 0?
б. Какова вероятность того, что годовая доходность будет больше 15%?
5. Вычислите вариацию и стандартное отклонение месячной доходности для акций Quaker Oats, Sprint, индекса S&P 500 и составного индекса Нью-Йоркской фондовой биржи (New York Stock Exchange Composite Index (NYSE)) по статистичесн кому ряду, охватывающему период с мая 1989 г. по апрель 1994 г., приведенному ниже:
Quaker Oats Sprint NYSE S&P Май 3,30% 5,33% 20,00% 3,51% Июнь -4,69 0,10 -0, 5, ПРИЛОЖЕНИЕ А СТАТИСТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ NYSE Quaker Oats Sprint S&P 8,84 8, 10,04 12, Июль 1,55 1, 9, -8, Август -0, 0, -1, 0, Сентябрь -2,52 -2, -6, -1, Октябрь 7,41 1,65 1, -2, Ноябрь 2,97 1, -4, -4, Декабрь и -6,88 -6, -13, -13, Январь 0, 0, 11, -7, Февраль 2, 10,27 3, Март 2, -2, -2, -4, 4, Апрель 19,87 9,20 8, Май 3, -0, -0, -13, -4, Июнь -0,52 -0, -38, -1, Июль -9, -9, -10,34 4, Август -4,19 -5, 6,84 5, Сентябрь -0,67 -1, -6, Октябрь 5, 5, -9,90 5, 3, Ноябрь 2, 3, 3, 9, Декабрь i 3, 4, -3,07 5, Январь 6, -0,51 6, 9, Февраль 2, -1,02 2, Март 5, 0,03 0, 6, -0, Апрель 3, 3, 13, 0, Май -4, -3, 2, Июнь 7, 4, 4, 5,44 -6, Июль 1,96 2, -4, -1, Август -1,12 -1, -2, -1, Сентябрь 1, -8,37 1, 7, Октябрь -4,39 -4, 0, 8, Ноябрь 10, 11, 10,34 3, Декабрь о -1, -1, 1, Январь -12, 0,96 0, -2,87 -11, Февраль -2, -1, -12,14 7, Март 2, 2, 6, Апрель -7, 0,10 0, -3, 10, Май -1, -4,35 -0, 1, Июнь 3,94 3, 6, 3, Июль -2, 0,54 -2, 2, Август 1,68 0, 5,62 5, Сентябрь 0,21 0, 5, 7, Октябрь 3,03 2, 2, Ноябрь 5, -2,37 1, -7,77 1, Декабрь о о 0, 5,39 0, -1, Январь 1,05 0, 4, 7, Февраль 2,55 2, 9, Март -2, -2,54 -2, 1, -2, Апрель 2, 13,24 2, 6, Май 0, 0, 3,36 7, Июнь ПРИЛОЖЕНИЯ Quaker Oats Sprint S&P 500 NYSE Июль -0, -14,85 2,49 -0, Август 1,74 3,47 3,44 3, Сентябрь -0, 2,90 -0,68 -0, Октябрь 5,97 -2,04 1,94 1, Ноябрь 3,17 -1, -8,33 -1, Декабрь -2,35 6,11 1, 1, Январь -7,04 4,32 3, 3, Февраль 2, -3,79 -3,00 -2, Март -0,54 -6,76 -3,90 -4, 1, Апрель 2,79 7,30 1, 6. По статистическому ряду из предыдущего вопроса вычислите коэффициент корреляции и ковариацию доходностей акций Quaker Oats и Sprint.
7 а. Для статистической доходности Sprint из вопроса 5 оцените параметры слен дующего уравнения регрессии:
Доходность акций Sprint = о + р (Доходность индекса S&P 500) + с + Случайная ошибка.
б. Вычислите коэффициент детерминации для этой модели и поясните его смысл.
в. Чему равен коэффициент корреляции месячных доходностей акций Sprint и индекса S&P 50O!
8. а. По статистическим данным о доходности акций Sprint из вопроса 5 оценин те параметры следующей регрессии:
Доходность акций Sprint = о + р (Доходность NYSE) + с + Случайная ошибка.
б. Вычислите коэффициент детерминации модели и поясните его смысл.
в. Сравните значения параметра р и коэффициента детерминации, найденн ные в пунктах 8(a) и 8(6), с аналогичными величинами, найденными в пунктах 7(a) и 7(6).
9. Предположим, что стандартное отклонение дневного изменения доходносн ти для казначейских ценных бумаг равно 0,9%.
а. Как определить годовое стандартное отклонение?
б. Каким образом два инвестора могут получить различные годовые станн дартные отклонения, даже если они получили одно и то же дневное станн дартное отклонение?
10. Менеджеру портфеля облигаций требуется оценить связь доходностей нон вых среднесрочных промышленных облигаций класса А с доходностью 10-летних казначейских облигаций. Предположим, менеджер портфеля считает, что связь казн начейских и промышленных облигаций может быть выражена следующим соотнон шением:
Доходность промышленных облигаций = а + р (Доходность казначейских облигаций) + Случайная ошибка.
ПРИЛОЖЕНИЕ А СТАТИСТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ Таким образом, Y=a + $X+e, где Y Ч доходность новых среднесрочных промышленных облигаций;
X Ч доходность 10-летних казначейских облигаций;
е Ч случайная ошибка.
У менеджера портфеля имеются следующие данные по 45 месяцам:
Доходность облигаций Дата Казначейства t промышленные 30.11.88 1 9,057 9, 30.12.88 2 9,140 10, 31.01.89 3 8,983 9, 28.02.89 4 9,298 10, 31.03.89 9, 5 10, 28.04.89 9, 6 9, 31.05.89 7 8,598 9, 30.06.89 8 8,079 9, 31.07.89 7, 9 8, 31.08.89 10 8,256 9, 29.09.89 11 8,298 9, 31.10.89 12 7,913 9, 30.11.89 13 7,833 8, 29.12.89 14 7,924 9, 31.01.90 15 8,418 9, 28.02.90 16 8,518 9, 30.03.90 17 8,636 9, 30.04.90 18 9,028 10, 31.05.90 19 8,599 9, 29.06.90 20 8,414 9, 31.07.90 21 8,341 9, 31.08.90 8, 22 9, 28.09.90 23 8,800 10, 31.10.90 24 8,620 9, 30.11.90 25 8,252 9, 31.12.90 8, 26 9, 31.01.91 27 8,011 9, 28.02.91 28 8,036 9, 28.03.91 29 8,059 9, 30.04.91 30 8,013 8, 31.05.91 31 8,059 8, 28.06.91 32 8,227 9, 31.07.91 33 8,147 9, 30.08.91 34 7,814 8, 30.09.91 35 7,448 8, 31.10.91 36 7,462 8, 29.11.91 37 7,378 8, 31.12.91 38 6,700 7, ПРИЛОЖЕНИЯ 31.01.92 39 7,281 8, 28.02.92 7, 40 8, 31.03.92 41 7,530 8, 30.04.92 42 7,583 8, 29.05.92 43 7,325 8, 30.06.92 44 7,123 7, 31.07.92 45 6,709 7, а. С помощью регрессионного анализа оцените параметры указанной выше зависимости.
б. Какова мера качества подгонки оцененной зависимости?
11. Объясните, почему вы согласны или нет со следующим утверждением:
Коэффициент корреляции определяет степень зависимости одной случайной вен личины от другой.
12. Менеджер портфеля, оценив с помощью модели простой линейной регресн сии связь между доходностью некоторых акций и доходностью индекса S&P 500, определил, что коэффициент детерминации равен 0,45. Менеджер полагает, что введение еще одной независимой переменной может сделать статистическую связь более заметной. Предположим, что после введения дополнительной независимой переменной коэффициент детерминации возрос до 0,46.
а. Объясните, что называется множественной линейной регрессией.
б. Объясните, считаете ли вы, что введение еще одной независимой перен менной в регрессионную модель существенно поможет менеджеру понять, что же влияет на доходность акций.
ПРИЛОЖЕНИЕ Б ОБЗОР БАЛАНСА И ОТЧЕТА О ПРИБЫЛЯХ И УБЫТКАХ* ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ После прочтения этого Приложения вы сможете:
Х описать источники финансовой информации, используемой при анализе деятельности компании;
Х объяснить, что такое заключение аудиторов и в чем состоят конфликты, возникающие при работе независимых аудиторов;
Х описать, что понимается под общепринятыми стандартами бухгалн терского учета;
Х объяснить, каким образом может быть использовано послание к акционерам;
Х перечислить принципы, лежащие в основе составления отчета о прибылях и убытках;
Х описать ключевые составляющие отчета о прибылях и убытках, а также его основные элементы, требующие внимания аналитика;
Х объяснить, каким образом выбранный корпорацией метод оценки товарно-материальных запасов влияет на величину отчетной прибыли;
Х описать ключевые статьи баланса, а также его основные элементы, требующие внимания аналитика;
Х объяснить, каким образом допущения, принятые при подготовке финансовой отчетности, и выбор того или иного метода ее составления затрудняют проведение сравнения результатов деятельности различных компаний.
В гл. 12 мы коснулись роли аналитика в прогнозировании доходов компании.
Основным источником информации для анализа как доходов компании, так и ее экономического благосостояния являются различные финансовые отчеты, которые Это Приложение было написано в соавторстве с профессором John С. Ritchie, Jr., Temple University. Часть материала была взята из различных изданий Thornton L. O'Glove Quality of Earnings Reports. Разрешение на использование данного материала было получено у Thornton L. O'Glove.
ПРИЛОЖЕНИЯ компания обязана опубликовывать. В этом и двух последующих Приложениях мы сон средоточим свое внимание на соображениях, которые используются в анализе финансовой отчетности компании.
В данном Приложении мы рассмотрим два наиболее существенных документа годовой финансовой отчетности, а именно отчет о прибылях и убытках и баланс.
Приложение В будет посвящено анализу прибыли, а Приложение Г Ч анализу зан долженностей и движения денежных средств. При подготовке этого материала предн полагалось, что читатель изучил курс бухгалтерского учета. В большинстве универн ситетов этот курс обычно предшествует курсу финансового анализа. Предметом нашего обсуждения в этих Приложениях будет не составление финансовой отчетн ности (нигде в тексте не употребляются термины дебет и кредит), а те важные моменты, которые возникают при ее анализе.
ИСТОЧНИКИ ИНФОРМАЦИИ, ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ДЛЯ АНАЛИЗА КОМПАНИИ Существует ряд документов, которыми инвесторы могут воспользоваться при проведении анализа деятельности компании. Во-первых, это документы, подготавн ливаемые самой компанией. Их можно разделить на две группы: 1) документы, составляемые компанией для Комиссии по ценным бумагам и биржам (SEQ, 2) документы, подготавливаемые компанией и распространяемые среди ее акцион неров. Содержание этих документов приводится в табл. Б-1. В первую группу (докун менты, предоставляемые в Комиссию по ценным бумагам и биржам) входят форн мы 10-А'(годовой отчет), 8-Q (квартальный отчет), повестка дня годового собран ния акционеров и перечень вопросов, выдвинутых на голосование (proxy statement).
Pages: | 1 | ... | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | ... | 20 | Книги, научные публикации