Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | 3 | 4 |

kk kk является NN = NN t=0 exp -i(N - N ) t. При слабом Необходимо отметить, что при выводе квантово-kk рассеянии, eff, особенности NN сосредоточены го кинетического уравнения (40) предполагалось, что вблизи полюса s = -i (N - N ). Соответственно справа в нулевой момент времени образована когерентная существенны только слагаемые с элементами МП вида смесь штарковских состояний, и, следовательно, вви-kk N+n,N +n. Если к тому же eff меньше актуальных ду условия (34), амплитуда тока блоховских осцилляфононных частот, то в правой части (38) можно перейти ций существенно больше постоянного тока. Последний к пределу s + i (N - N ) 0:

возможен лишь в меру рассеяния и не учитывается в полученном уравнении. Однако по мере затухания 1 БО величина постоянного тока становится сравнимой i( ) +P. (39) is - (N - N ) + с амплитудой тока БО. На больших временах, когда когерентность между штарковскими состояниями уже Вкладом возникающих здесь интегралов в смысле главполностью разрушена, в правой части уравнений (38) ного значения, соответствующих сдвигу частоты осцилглавными становятся диагональные элементы матрицы ляций, мы будем пренебрегать, поскольку подразумеваплотности, а недиагональные отличны от нуля лишь ем рассеяние на имеющих широкий спектр акустических в меру рассеяния. Соответственно использованная наколебаниях решетки. Уравнение приобретает вид ми процедура непригодна для вычисления постоянного тока. Процедура получения уравнений для матрицы kk kk - s + i (N - N ) NN + NN t=плотности на больших временах и вычисления постоянного тока в СРКЯ с учетом разогрева электронов 01 = |VNk,N+nk |2 + |VN k,N +nk |электрическим полем подробно изложена в [19]. Эта процедура с тем же успехом может использоваться и для (q + 1)[(k ) - (k) +n + q] вычисления статической вольт-амперной характеристи ки СРКТ.

kk + q[(k ) - (k) +n - q] NN Уравнения (40) при произвольных начальных услови ях все еще достаточно сложны для анализа, поэтому 01 - VNk,N+nk VN +nk,N k q[(k ) - (k) +n + q] 2 в оставшейся части работы мы ограничимся рассмотрением пространственно однородного начального состоя k k +(q + 1)[(k ) - (k) +n - q] N+n,N +n. (40) ния системы.

Физика и техника полупроводников, 2002, том 36, вып. Затухание блоховских осцилляций в сверхрешетках из квантовых точек. Общий формализм 4.1. Пространственно однородный случай q Wkink = cos(q a )|Vn |, l,n,q В случае пространственно однородного начального распределения kk kk (q + 1)[(k ) - (k) +n - q] N+n,N +n = NN (41) уравнения (40) сильно упрощаются Ч система уравне+ q[(k ) - (k) +n + q] ний, связывающих элементы матрицы плотности вида kk N+n,N +n с различными n, переходит в систему незави 2l k - k - q +, (45) симых замкнутных уравнений.

a Более того, в случае, когда электрическое поле направлено вдоль одного из базисных направлений пря- где суммирование по l обеспечивает учет процессов моугольной 2D СРКТ (или тетрагональной 3D СРКТ), переброса в поперечных минизонах, q изменяется в преприменимо приближение ближайших соседей, и для делах зоны Бриллюэна материала СРКТ, а волновой описания затухания блоховских осцилляций достаточно вектор поперечного движения электрона k Ч в пределах решить только одно из этих уравнений. Действительпервой зоны Бриллюэна поперечной цепочки квантовых но, выразив плотность тока в узельном представлении точек в 2D СРКТ (или поперечной плоскости квантовых Ванье (20) через матрицу плотности в штарковском точек в 3D СРКТ).

представлении Это основное уравнение теории, которое будет исene a пользоваться во второй части работы (см. [20]) при j = расчете скорости затухания БО в СРКТ различной размерности. Полученное уравнение удобно использовать kk в случае сильного электрического поля, когда электрон Im N, k|n, n n +1, n|N, k NN (42) локализован на небольшом количестве КТ в направлеN,k,N,k,n нии поля: Lloc = /eF a. В слабом электрическом и используя ортогональность штарковских состояний, поле, при большой длине локализации, Lloc a, уравполучим, что при условии (41) плотность тока в приблинение (45) становится неудобным из-за необходимости жении ближайших соседей выражается через единственkk суммирования по большому числу переходов n. Между ный элемент матрицы плотности N,N+1, описывающий тем суммирование по n можно провести аналитически, когерентные переходы между соседними штарковскими используя представление -функции через интеграл от состояниями:

мнимой экспоненты и выражение (26) для матричных ene akk j = dkIm N,N+1. (43) элементов взаимодействия. При этом естественным образом (см. [19]) получается уравнение, описывающее заОднородность (41) реализуется, в частности, при тухание осцилляций в хаустоновском представлении (7):

мгновенном включении электрического поля. Для невыt рожденного электронного газа это дает - gk(t) = dK dK dt kk t N,N+1 t=0 = dK0 exp(iK 0a )F(K0)(K - k) W (Kt, Kt)gk(t) - cos (K - K )a W (K, K)gk (t), = cos(K 0a ) f (k), I1( /T ) cos(K 0a ) =, (44) W (K, K ) =(q + 1)w+(K, K ) +qw-(K, K ), I0( /T ) t где I0, I1 Ч модифицированные функции Бесселя;

2 i F(K0), f (k) Ч больцмановские функции распределения w(Kt, Kt) = |Aq|2Q2(q) exp dt1 E(K - eFt1) по полной энергии в минизоне СРКТ (3) и энергии l,q поперечного движения соответственно.

kk Положим теперь N,N+1(t) exp(-i t) cos(k0a ) - E(K - eFt1) q (K - K - ql), gk(t). Тогда (40) с учетом соотношений (26), (41) дает для медленно меняющейся амплитуды gk(t) следующее замкнутое уравнение:

K = K, k, Kt = K + eFt, - gk(t) = dk Wkout gk(t) - Wkin,kgk (t), 2,k t ql = q + l1 a + l2 a. (46) a2 a q Wkout = |Vn |2 (q + 1)[(k ) - (k) +n + q],k Здесь K Ч полный волновой вектор электрона в миниl,n,q зоне СРКТ, E(K) =( /2) cos(K a ) +( /2) cos(ka) описывает спектр минизоны СРКТ (3), iAqQ(q) Чмат2l + q[(k ) - (k) +n - q] k - k - q +, ричный элемент электрон-фононного взаимодействия a 4 Физика и техника полупроводников, 2002, том 36, вып. 1458 И.А. Дмитриев, Р.А. Сурис на блоховских волновых функциях минизоны (см. (4), Переход к пределу F 0 в (46) возможен только -(26)). Величины W (K, K ) в (46) есть обычные вероят- при условии eff /. При этом соблюдается ности перехода между состояниями Kt и Kt в хаустов- условие слабого рассеяния осцилляций, используемое ском представлении (7) (см. [19]), при этом временная при выводе уравнений, и в то же время электрон экспонента строго учитывает влияние электрического слабо локализован электрическим полем, что позволяет поля на электрон-фононные столкновения. пренебречь влиянием поля на электрон-фононные столкновения.

Если в (46) формально перейти к пределу F 0, то временная экспонента дает -функцию по энергии и мы получим 5. Заключение - gk(t) = dK dK В работе из общего уравнения для матрицы плотности t выведено квантовое кинетическое уравнение (40), описывающее затухание БО. Теория применима при любом Wcl(K, K )gk(t) - cos (K - K )a Wcl(K, K)gk (t), способе возбуждения БО в изолированной минизоне СРКТ любой симметрии, находящейся в электрическом Wcl(K, K ) =(q + 1)w+(K, K ) +qw-(K, K ), cl cl поле произвольной величины и ориентации.

2 Показано, что в СРКТ, изменяя величину электричеw(K, K ) = |Aq|2Q2(q) (K - (K ) q cl ского поля и его ориентацию относительно осей СРКТ, l,q можно полностью подавить однофононное рассеяние на оптических фононах (условия (24), (23)), которое явля (K - K - ql). (47) ется основной причиной быстрого затухания блоховских В уравнениях (46), (47) становится ясен физический осцилляций в слоистых сверхрешетках на основе полусмысл фазового множителя cos[(K -K )a ] =cos(q a ) проводниковых соединений AIIIBV или AIIBVI. Показано, в части, описывающей приход электронов. Действительчто управление спектром СРКТ электрическим полем но, фаза функции gk(t) не зависит от волнового вектора позволяет сильно подавить рассеяние на акустических поперечного движения, поскольку представляет диагофононах между различными состояниями штарковской kk нальный по k элемент матрицы плотности N,N+1 (44).

естницы (условие (33)). Тогда единственным оставЭлектрону в блоховском состоянии с волновым вектошимся каналом рассеяния носителей в идеальных 2D ром K соответствует и 3D СРКТ является рассеяние на акустических фононах внутри поперечных минизон штарковской лестницы.

kk N,N+1 = exp iK a [N -(N +1)] = exp(-iK a ), (48) Подробный анализ уравнений (45)Ц(47) для СРКТ различной размерности проведен в следующей работе автоа сам волновой вектор в присутствии поля изменяется, ров, опубликованной в этом же номере журнала [20], согласно (7), как Kt = K0 + eFt. После усреднения по сейчас же мы хотим обратить внимание на наиболее начальным волновым векторам мы видим, что функция существенное свойство этих уравнений, отличающее их -1 kk gk(t) =exp(i t) cos(K 0a ) N,N+1(t) в начальный моот обычного кинетического уравнения и показывающее мент времени действительна, т. е. ее фаза одинакова для специфику фазового рассеяния.

всех состояний поперечного спектра k.

Предположим, что масштаб неоднородности рассеиПри переходах электронов из состояний |N, k, вающего потенциала (в частности, для нашего случая |N + 1, k в любые другие состояния gk уменьшается это длина волны фононов) в направлении электричепросто за счет уменьшения числа электронов с поперечского поля существенно превышает период СРКТ. Тогда ным волновым вектором k, участвующих в когерентной продольный волновой вектор электрона практически смеси. Соответственно в члене, описывающем уход не изменяется при рассеянии и фазовый множитель электронов, (46), (47) фазовый множитель отсутствуcos (K - K )a = cos(q a ) в уравнениях (45)Ц(47) ет. Напротив, при переходе электронов в состояния близок к единице. Учитывая теперь, что ток осцилля|N, k, |N + 1, k важна фаза, которую они приобретают ций (43) пропорционален интегралу от функции gk по при взаимодействии с фононом. Приход электронов поперечным квазиимпульсам, и интегрируя обе части соответствует уменьшению или увеличению степени колюбого из уравнений (45)Ц(47) по k при условии q = 0, герентности между состояниями |N, k, |N +1, k в завиполучим, что интеграл от правых частей этих уравнений симости от величины продольного импульса (K - K ), обращается в тождественный ноль Ч ток БО в этих потерянного (приобретенного) при испускании (погло- условиях не затухает. В этом отражается специфика фащении) фонона. Учитывая (48) и то обстоятельство, зового рассеяния Ч потери когерентности между штарчто до взаимодействия фаза gk одинакова для всех k, ковскими состояниями не происходит, если возмущение получаем в члене, описывающем приход, фазовый мно- одинаково действует на оба состояния. В частности, житель exp(iq a ) (мнимая, антисимметричная часть затухания БО нет, если при рассеянии изменяется лишь экспоненты не дает вклада в интеграл по q и может волновой вектор электрона в поперечном к электрибыть отброшена). ческому полю направлении, а K - K = q = 0. Таким Физика и техника полупроводников, 2002, том 36, вып. Затухание блоховских осцилляций в сверхрешетках из квантовых точек. Общий формализм образом, скорость затухания БО по своему физическому [13] Дж. Каллуэй. Теория энергетической зонной структуры (Мир, 1969).

смыслу близка к скорости рассеяния продольного квази[14] R.A. Suris. In: Future Trends in Microelectronics. Reflections импульса электрона.

on the Road to Nanotechnology, ed. by S. Luryi, J. Xu and Такое представление, однако, может привести к недоA. Zaslavski [NATO ASI Series, Ser. E: Applied Sciences разумениям. В сильном электрическом поле движение (Kluwer Academic Publishers, DordrechtЦBostonЦLondon, вдоль электрического поля квантуется и понятие про1996) p. 197].

дольного квазиимпульса теряет физический смысл. Тем [15] W. Kohn, J.M. Luttinger. Phys. Rev., 108, 590 (1957).

не менее, казалось бы, из вышесказанного следует, что [16] Р.Ф. Казаринов, Р.А. Сурис. ФТП, 5, 797 (1971).

рассеяние внутри поперечных зон штарковской лест[17] Р.Ф. Казаринов, Р.А. Сурис. ФТП, 6, 148 (1972).

ницы в отсутствие переходов между ними не должно [18] Р.Ф. Казаринов, Р.А. Сурис. ФТП, 7, 488 (1973).

приводить к затуханию БО, поскольку это рассеяние [19] Р.А. Сурис, Б.С. Щамхалова. ФТП, 18, 1178 (1984).

поперечного движения носителей. Однако это не так.

[20] И.А. Дмитриев, Р.А. Сурис. ФТП, 36 (12), 1460 (2002).

При переходах внутри поперечных минизон продольРедактор Л.В. Шаронова ная компонента импульса фонона, который испускает или поглощает электрон, может быть любой, q = 0.

Damping of Bloch oscillations in quantum Закон сохранения продольной компоненты импульса для dot superlattices. General approach СРКТ в целом соблюдается по-прежнему, но импульс отдачи получает уже не локализованный электрическим I.A. Dmitriev, R.A. Suris полем электрон, а вся сверхрешетка в целом. Таким образом, при рассеянии внутри поперечных минизон Ioffe Phisicotechnical Institute, cos (K - K )a = cos(q a ) = 1, и такое рассеяние Russian Academy of Sciences, 194021 St. Petersburg, Russia приводит к затуханию БО. Более того, при соблюдении условий (24), (23) и (33) этот канал рассеяния в идеальной СРКТ становится главным и затухание БО полно-

Abstract

Quantum kinetic equation has been built within the стью обуславливается рассеянием на акустических фоно- framework of the density matrix formalism that describes damping нах внутри поперечных минизон штарковской лестницы.

of the Bloch oscillations in ideal quantum dot superlattices of Анализу возможностей уменьшения скорости затухания various dimensionality (1D, 2D, 3D QDSL). We show a possibility БО при переходах электронов внутри поперечных мини- of total suppression of the optic one-phonon scattering and that зон с участием акустических фононов в 2D и 3D СРКТ of substantial suppression of the acoustic phonon scattering by посвящена следующая работа авторов [20]. В ней также the effective controlling of QDSL spectrum by constant electric проведен общий анализ уравнений (45)-(47) для СРКТ field value and orientation. Conditions have been formulated различной размерности и проделаны численные расчеты when the only remaining channel of carrier scattering, leading скорости затухания БО.

to oscillation damping, is the acoustic phonon scattering within transverse minibands of the Stark ladder states.

Работа была поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (грант № 99-02-16796), Государственной программой поддержки ведущих научных школ (грант № 00-15-96812) и программой ДФизика твердотельных наноструктурУ.

Список литературы [1] F. Bloch. Z. Phys., 52, 555 (1928).

[2] J. Feldmann, K. Leo, J. Shah, D.A.B. Miller, J.E. Cunningham, T. Meier, G. von Plessen, A. Schulze, P. Thomas, S. SchmittRink. Phys. Rev. B, 46, 7252 (1992).

[3] K. Leo, P.H. Bolivar, F. Bruggeman, R. Schwedler, K. Kohler.

Sol. St. Commun., 84, 943 (1992).

[4] Л.В. Келдыш. ФТТ, 4, 2265 (1962).

Pages:     | 1 | 2 | 3 | 4 |    Книги по разным темам