Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | 3 |

Описанные модель и алгоритм ее исследования На первом шаге работы программы необходимо выимеют преимущество перед предыдущими моделяg числить изменение энергии W1 в результате зарожми [26,28,30,31], поскольку позволяют проследить весь дения первой ППЧД. При этом состояние системы процесс генерации и расширения двух ППЧД с момента сразу после образования ППЧД, когда образовавшиеся зарождения первой из них. По существу, этот подход в результате расщепления дислокации располагаются дает описание эмиссии петли расщепленной полной дисочень близко друг к другу, не может быть описано в локации со всеми деталями ее расширения. Предложенрамках линейной теории упругости. Поэтому в работе ный алгоритм легко реализуется в виде компьютерной сделано допущение, что сразу после своего зарождепрограммы. В настоящей работе расчеты выполнялись в ния скользящий сегмент ab оказывается на расстоянии среде Mathematica 4.

p1 = p0 = 1 nm от неподвижного сегмента AB. С одной стороны, это расстояние достаточно велико, чтобы можно было пользоваться формулами линейной теории 2. Энергетика зарождения упругости. С другой стороны, в данном случае речь идет и расширения полупетель не просто о расщеплении, а об испускании дислокации частичных дислокаций из границы, которая сама имеет конечную толщину порядка 1 nm в НКМ [9Ц12]. Естественно полагать, что Рассмотрим подробно процесс зарождения и расшиисходная позиция образовавшейся частичной дислокарения ППЧД и рассчитаем изменения энергии системы g g ции находится за пределами границы зерна, так что m m W1, W1 (p1, ), W2 (p1), W2 (p1, 1, p2, 2).

сделанное допущение имеет ясный физический смысл.

В исходном состоянии (рис. 1, a) имеется квадратная g С учетом этого разность энергий W1 записывается с скользящая дислокационная петля размером d (d Ч помощью формул (1) и (2) в виде также размер зерна) с вектором Бюргерса b (b-петля).

Энергия W0 такой системы состоит из собственной g W1 = W1(p0) - W0 - A1(p0) упругой энергии петли Ws и энергии ядер составляющих ее дислокационных отрезков Wc = Ws1(p0) +Wint1(p0) +(Wc - Wc) +Wc 1(p0) W0 = Ws + Wc. (1) + Wc2 + Wf 1(p0) - A1(p0), (3) Генерация первой ППЧД осуществялется путем рас- где A1(x) Ч работа внешнего сдвигового напряжения щепления одного из отрезков b-петли с образовани- по смещению скользящего отрезка ab на расстояние x.

Физика твердого тела, 2006, том 48, вып. 1414 С.В. Бобылев, М.Ю. Гуткин, И.А. Овидько m m W2 (p1, 1, p2, 2) =W2(p1 + 1, p2 + 2) В свою очередь изменение энергии W1 (p1, ), связанное с перемещением отрезка ab на расстояние, - W2(p1, p2) - A1(1) - A2(2) =Ws1(p1 + 1) можно записать, используя формулу (2), как - Ws1(p1) +Ws2(p2 + 2) - Ws2(p2) +Wint1(p1 + 1) m W1 (p1, ) =W1(p1 + ) - W1(p1) - A1() - Wint1(p1) +Wint2(p2 + 2) - Wint2(p2) = Ws1(p1 + ) - Ws1(p1) +Wint1(p1 + ) + Wint3(p1 + 1, p2 + 2) - Wint3(p1, p2) - Wint1(p1) +Wc 1(p1 + ) - Wc 1(p1) + Wc 1(p1 + 1, p2 + 2) - Wc 1(p1, p2) +Wc3(p2+2) + Wf 1(p1 + ) - Wf 1(p1) - A1(). (4) - Wc3(p2) +Wf 2(p1 + 1, p2 + 2) - Wf 2(p1, p2). (7) Аналогично генерация второй ППЧД осуществляется Здесь A2(x) Ч работа внешнего сдвигового напряжев результате расщепления неподвижного отрезка AB, ния по смещению отрезка a b на расстояние x.

возникшего после испускания первой ППЧД. Здесь, Рассмотрим слагаемые в правых частях выражеоднако, из-за предположения b = b1 + b2 реализуется ний (3), (4), (6) и (7). Собственная упругая энергия частный случай, когда изначально неподвижный отрезок прямоугольной скользящей дислокационной петли была AB сам начинает перемещаться под действием внешнего напряжения, превращаясь в новый отрезок a b найдена в работе [34], согласно которой слагаемые Wsi(pi) (i = 1, 2) могут быть записаны в виде (рис. 1, c). При этом формируются перпендикулярные дислокационные отрезки Aa и Bb с вектором Бюргерса b, соединяющие новый отрезок a b с тройными Wsi(pi) =Db2 (2 - )(hi - pi - d) i стыками A и B. Новую дефектную структуру можно представить в виде трех дислокационных петель: ис2pid +(1 - sin2 i)d ln ходной b-петли и двух петель частичных дислокаций rci (hi + d) AabB и Aa b B соответственно с векторами Бюргерса b1 и b2 (b1- и b2-петель). Полную энергию W2 такой 2pid +(1 - cos2 i )pi ln, (8) системы с координатами скользящих отрезков ab и a b rci (hi + pi) соответственно p1 и p2 (рис. 1, c) можно представить в виде где D = G/[2(1 - )], G Ч модуль сдвига, Ч коэффициент Пуассона, h2 = p2 + d2, i Ч угол между i i W2(p1, p2) =Ws + Ws1(p1) +Ws2(p2) вектором Бюргерса bi и осью x, rci Ч радиус ядра частичной дислокации. Энергия взаимодействия меж+ Wint1(p1) +Wint2(p2) +Wint3(p1, p2) ду дислокационными петлями может быть рассчитана обычным способом, как работа по зарождению одной + Wc + Wc 1(p1, p2) +Wcпетли в поле напряжений другой [35]. Так, энергии взаимодействия Wint1(p1) и Wint2(p2) находятся по формуле + Wc3(p2) +Wf 2(p1, p2), (5) pi d/где Ws2(p2) Ч собственная упругая энергия b2-петли;

b Wint2(p2) Ч энергия упругого взаимодействия b- и Winti(pi) =-bi dx dz cos ixy(x, y = 0, z ) b2-петель; Wint3(p1, p2) Ч энергия упругого взаимодейrc -d/ствия b1- и b2-петель; Wc 1(p1, p2) Ч энергия ядер b дислокационных отрезков a a, ab и bb ; Wc3(p2) Ч + sin iyz (x, y = 0, z ), i = 1, 2. (9) энергия ядер отрезков Aa и Bb ; Wf 2(p1, p2) Чэнергия дефекта упаковки в области abb a.

b b Здесь rc Ч радиус ядра b-петли, а xy и yz Ч Используя выражение (5), запишем введенные в компоненты ее поля напряжений, которые определяются g предыдущем разделе изменения энергии W2 (p1), выражениями [36] m W2 (p1, 1, p2, 2) Db uv cos y2 2yg b W2 (p1) =W2(p1, p0) - W1(p1) - A2(p0) xy = -1 + + 2 2 + y2 2 v2 + y= Ws2(p0) +Wint2(p0) +Wint3(p1, p0) x =v2 + y2 y2 z =d/- (1 - ) + sin -, + Wc 1(p1, p0) - Wc 1(p1) +Wc3(p0) u2 + y2 2 z =-d/x =-d (10) + Wf 2(p1, p0) - Wf 1(p1) - A2(p0), (6) Физика твердого тела, 2006, том 48, вып. Генерация скользящих полупетель расщепленных дислокаций границами зерен... d Db y2 uv sin yb Wc 1(p1) =Db2 (1 - sin2 1) +(p1 - b1) yz = cos - + -1 + 2 2 u2 + y2 x =2y2 u2 + y2 z =d/2 (1 - cos2 1), (15) + - (1 - ), (11) u2 + y2 v2 + y2 z =-d/x =-d d Wc 1(p1, p2) =Db2 (1 - sin2 1) где Ч угол между вектором b и осью x, v = x - x, u = z - z, 2 = 2 + u2 + y2 и использована схема за+(p1 - p2 - b1)(1 - cos2 1), (16) писи f (t)|t=b = f (b) - f (a). Подстановка (10) и (11) в t=a формулу (9) после интегрирования дает d Wc2 = Db2 (1 - sin2 2), (17) Winti(pi) =-Dbbi (2 - ) cos( - i) ( 2 - 1)d Wc3(p2) =Db2(p2 - b2)(1 - cos2 2). (18) Энергии дефектов упаковки Wf 1(p1) и Wf 2(p1, p2) в + hi - Ri + d( cos( - i) - sin sin i) системах на рис. 1, b и c соответственно равны 2dpi(d + Ri) ln + ( cos( - i) Wf 1(p1) =(d - 2b1)(p1 - rc1 - rc2), (19) ( 2 + 1)rc(d + pi)(d + hi) Wf 2(p1, p2) =(d - 2b1)(p1 - p2 - rc1 - rc2), (20) (d + pi + Ri) - cos cos i) d ln ( 2 + 1)(d + pi) где Ч удельная энергия дефекта упаковки. Работа внешнего напряжения по перемещению скользящих pi(d + pi + Ri) отрезков ab и a b (рис. 1, c) рассчитывается как + pi ln, (12) (pi + hi)(d + pi) Ai(pi) = bi pid sin(i + ). (21) где R2 = d2 +(d + pi)2.

i Таким образом, найдены все слагаемые в правых Энергия взаимодействия Wint3(p1, p2) рассчитывается g частях выражений (3), (4), (6) и (7) для величин W1, аналогично, g m m W1 (p1, ), W2 (p1), W2 (p1, 1, p2, 2). Следует отметить один важный момент, касающийся расчета величин p2 d/g g W1 и W2 (p1), т. е. изменений энергии, связанных с bWint3(p1, p2) =-b2 dx dz cos ixy (x, y = 0, z ) зарождением ППЧД. При зарождении новой дислокаrc1 -d/ции система преодолевает энергетический барьер, чему способствуют термофлуктуации. Для их учета энергеb+ sin iyz (x, y = 0, z ) = Db1b2 (2 - )cos(1 - 2) тический барьер понижался на величину nkBT, равную тепловой энергии атомов кристаллической решетки.

(h1 + h2 - S - d - 2p2) +d( cos(1 - 2) Здесь n Ч число атомов на фронте зарождающейся петли (n d/a, a Ч межатомное расстояние), kB Ч 2dp1p2(d + S) постоянная Больцмана, T Ч абсолютная температура.

- sin 1 sin 2) ln rc1(p1 - p2)(d + h1)(d + h2) Для определенности считалось, что T = 300 K.

+ ( cos(1 - 2) - cos 1 cos 2) 3. Результаты расчетов p1(p1 - p2 + S) и их обсуждение p1 ln + p(p1 - p2)(p1 + h1) Расчеты по изложенному в разделе 1 алгоритму 4d(p1 - p2)p ln, (13) выполнялись для нанокристаллического Al. Использоваr21(p1 - p2 + S)(p2 + h2) c лись следующие типичные значения параметров материала [30]: постоянная решетки a = 0.404 nm, упругие моb1 bгде S2 = d2 +(p1 - p2)2, а xy и yz Ч компоненты дули G = 26.5GPa, = 0.345, удельная энергия дефекта тензора напряжений b1-петли, которые задаются выраупаковки = 122 mJ/m2. Также полагалось, что rc = b, жениями (10) и (11) с заменой b на b1 и |x =0 на |x =p1. rci = bi (i = 1, 2), = 0.01 nm. В процессе расчета для x =-d x =каждой системы скольжения при заданных размере зерЭнергии ядер определяются стандартными приблина d, уровне внешнего напряжения и его ориентации женными формулами [37] определялась равновесная конфигурация системы, т. е.

равновесные координаты p1 и p2 (рис. 1). Вычисления d Wc - Wc = -Db2 (1 - sin2 ), (14) проводились в диапазоне изменения d от 2 до 30 nm Физика твердого тела, 2006, том 48, вып. 1416 С.В. Бобылев, М.Ю. Гуткин, И.А. Овидько с шагом 1 nm и от 0 до 2 GPa с шагом 0.01 GPa для трех вариантов ориентации : = 45, 90 и 135.

Во всех рассматриваемых системах скольжения векторы Бюргерса дислокаций имели одинаковую величину b = a/ 2, b1 = b2 = a/ 6, но разное направление [30]:

в системе 60ЦI Ч = 30, 1 = 0, 2 = 60, в системе 60ЦII Ч = 30, 1 = 60, 2 = 0, в винтовой системе Ч = 90, 1 = 60, 2 = 120.

В результате расчетов была получена таблица равновесных координат p1 и p2 дислокационных отрезков ab и a b для заданного набора параметров задачи.

Практический интерес представляют критические уровни напряжения, при превышении которых система совершает переход в новое состояние. Рассматривалось два критических напряжения: c1 Ч напряжение, при котором испускается первая ППЧД, и c2 Чнапряжение, при котором испускается вторая ППЧД.

Определение этих критических напряжений заслуживает отдельного комментария. Если строго следовать формулам, выведенным в предыдущем разделе, то изg менение энергии системы W1 при зарождении первой ППЧД отрицательно практически при любых значениях параметров задачи (исключение составляют случаи очень малых размеров зерен d < 5 nm и неблагоприятной ориентации, когда вынуждает отрезок ab двигаться обратно к границе, как, например, в винтовой системе (рис. 2, c) при = 135). Это означает, что исходный отрезок AB должен практически всегда расщепляться с образованием ППЧД. Такой результат полностью согласуется с результатами работы [33], в которой детально исследовано зарождение петель дислокаций различных типов на изначально существующих дислокационных петлях и показано, что зарождение петли частичной дислокации на петле полной осуществляется безбарьерным путем. Поэтому определение cкак напряжения, при котором становится выгодным расщепление исходной дислокации, дало бы c1 = Рис. 3. Зависимость критического напряжения c1, при препрактически при любых значениях параметров задачи.

вышении которого становится выгодным испускание первой Очевидно, что определенное таким образом критичеполупетли частичной дислокации, от размера зерна d для ское напряжение не имеет особого смысла. Поэтому различных дислокационных систем (1 Ч система 60-I, c1 определялось иначе. Расчеты показали, что после 2 Чсистема 60-II, 3 Ч винтовая система) и трех ориентарасщепления исходного отрезка AB при относительно ций внешнего напряжения: = 45 (a), 90 (b) и 135 (c). Для малых новый отрезок ab остается неподвижным, так случая c испускание первой частичной дислокации реализуется как его движению препятствует увеличение ширины (и только в системе 60-I.

энергии) дефекта упаковки. Отрезок ab остается тесно связанным с границей, на которой он зародился до того момента, пока не достигнет определенной величиУказанное относится и к процессу испускания втоны. В этих условиях нельзя говорить об ДиспусканииУ рой ППЧД. Из-за условия b = b1 + b2 эмиссия второй дислокации, поскольку она практически неотделима от границы. Таким образом, имеет смысл определить кри- ППЧД представляет собой уже не расщепление отрезка разностной дислокации AB, а его переход из границы в тическое напряжение c1 как напряжение, при котором тело зерна с превращением в отрезок a b. При этом отрезок ab начнет смещаться со своей исходной позиции p1 = p0 = 1 nm. На основе такого определения на рис. 3 его исходная позиция оказывается не в теле зерна, а построены зависимости c1(d) для всех рассматривае- непосредственно в границе (p2 = 0). Тогда второе критимых систем скольжения и трех ориентаций внешнего ческое напряжение c2 определяется анологично первонапряжения ( = 45, 90 и 135). му, как напряжение, при котором отрезок a b второй Физика твердого тела, 2006, том 48, вып. Генерация скользящих полупетель расщепленных дислокаций границами зерен... практике, так как критические напряжения для этой системы максимальны. Наиболее вероятно зарождение дислокаций, формирующих систему 60ЦI, поскольку в общем случае критические напряжения для этой системы (кривые 1) ниже остальных (исключение составляют ориентации, близкие к 45, когда вероятнее образование системы 60-II, кривые 2). Эти выводы полностью согласуются с результатами [30]. Также видно, что при ориентации = 135 в системе 60-II и винтовой системе эмиссия ППЧД вообще не осуществляется Ч внешнее напряжение в этих случаях препятствует их испусканию.

В настоящей работе исследовалась также зависимость равновесной ширины дефекта упаковки от размера зерна d и внешнего напряжения в нанокристаллическом Al. Для этого использовался последний шаг изложенного в разделе 1 алгоритма Ч обе ППЧД помещались в тело зерна, после чего системе позволялось релаксировать под действием. Равновесная ширина дефекта упаковки s0 тогда определяется как s0 = p1 - p2, где p1 и p2 Ч равновесные положения скользящих сегментов ab и a b (рис. 1, c). Она сравнивалась с известной равновесной шириной дефекта упаковки s = Gb2/[4(1 - )] между прямолинейными частичными дислокациями в бесконечной среде [37] (для Al имеем s = 0.7nm). На рис. 5 представлены зависимости отношения s0/s от размера зерна d для всех рассмотренных систем скольжения при разных уровнях внешнего напряжения, ориентированного под углом = 90.

Сразу обращает на себя внимание сильная зависимость результатов от геометрии системы скольжения.

Для системы скольжения 60-I (рис. 5, a) и винтовой системы (рис. 5, c) возможно формирование широких дефектов упаковки. Например, в винтовой системе при d > 20 nm и очень высоких напряжениях 1.7... 2 GPa дефект упаковки пересекает все зерРис. 4. Зависимость критического напряжения c2, при пре- но Ч этот момент определяется изломом кривой и ее вышении которого становится выгодным испускание второй выходом на линейный участок, где s0(d) =d (рис. 5, c).

Pages:     | 1 | 2 | 3 |    Книги по разным темам