Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 |

2e Em,k J = f, (8) m,k L k m,k -Em,k Из (2) можно оценить также ширину запрещенной -kBT где f = 1 + e Ч функция ФермиЦДирака, m,k щели нанотрубки в зависимости от ее радиуса и инkB Ч постоянная Больцмана, Ч химический подексов хиральности. Для этого необходимо вычислить тенциал, который для одного конца трубки нужно попроизводную от энергии электрона по магнитному кванложить равным нулю, а для другого конца Ч равтовому числу в точке зоны (m, k) и в приближении ным eV ; суммирование проводится по двум ветвям линейной интерполяции энергии электрона в окрестноспектра электронов (2) для всех m, k, лежащих внутри сти точки m оценить кратчайшее расстояние по энергии зоны разрешенных состояний, с учетом тех электронот этой точки до ближайшей линии (рис. 3, a) с целым ных состояний, скорости которых направлены в одной значением магнитного квантового числа m. В результате сторону (например, для потока, идущего от левого можно получить следующую оценочную формулу для конца трубки, нужно учитывать электроны, скорости ширины запрещенной щели:

которых направлены к ее правому концу); множитель два перед суммой учитывает спин электрона. ФормуHm,k = 2 |m - m| = 2 1 +( 1 + 2) ла (8) допускает простую физическую интерпретацию.

m Выберем произвольное сечение трубки и произвольное exp(-im 1 - ik z ) |m - m|. (7) квантовое состояние электрона. За единицу времени Физика твердого тела, 2004, том 46, вып. Кондактанс однослойной углеродной нанотрубки в однопараметрической модели сильной связи через выбранное сечение перейдет электрон заданного квантового состояния, который мог находиться в любом сечении трубки, отстоящем от выделенного на расстояние, численно равное скорости электрона, поэтому вероятность обнаружить электрон на данном расстоянии от выбранного сечения равна отношению скорости электрона к общей длине трубки. Функция ФермиЦДирака в (8) задает вероятность заполнения данного квантового состояния. В пределе L квантовое число k принимает непрерывные значения, поэтому суммирование по этому числу может быть заменено интегриРис. 4. Зависимость кондактанса углеродной нанотрубки рованием по k, пределы интегрирования при каждом (20,10) от напряжения при различных значениях магнитного фиксированном дискретном квантовом числе m могут потока через сечение трубки.

быть определены геометрически по положению линии разрешенных состояний на плоскости m, k относительно границ зоны (рис. 2, a). В результате формула (8) может различными значениями m, что в свою очередь сгущает быть преобразована следующим образом:

на вольт-амперной характеристике точки, в которых 2e Em,k 2 2e Em,k изменяется угол наклона. В пределе трубки большого J = f = f dk.

m,k m,k радиуса вольт-амперная характеристика нанотрубки имеh k L h k m,k m ет вид параболы.

Приведенные нами соображения относительно праВыражение (8) для потока электронов принимает вил суммирования в формуле (9) демонстрируются на наиболее простой вид при температуре трубки, равной рис. 3, a, где представлены энергетические изолинии во нулю (T = 0). В этом случае функция ФермиЦДирака фрагменте зоны неэквивалентных значений квантовых может быть представлена как ДступенчатаяУ функция чисел для углеродной нанотрубки (10,9). Энергетичеf = ( - Em,k), и формула для возникающего элекm,k ский шаг для изолиний выбран равным 0.1 eV; точке на трического тока, равного разности электронных потоков рисунке соответствует значение (m, k), при котором от левого и правого концов трубки, примет следующий энергия электрона равна нулю; две прямые линии опревид:

деляют разрешенные квантовые состояния бесконечно 2e длиннойнанотрубкис m = 6 и 7. Как следует из рис. 3, a, m m I = JL - JR = (eV - Emin) (eV - Emin), (9) h линия разрешенных значений с m = 6 касается изолинии m энергии со значением 0.42 eV, линия с m = 7 касаетm где Emin Ч минимум энергии положительной ветви ся изолинии энергии 0.78 eV. Это означает, что при спектра (2) для данного значения магнитного кван- температуре, равной нулю, трубка начинает проводить тового числа m; суммирование в (9) распространяет- электрический ток только при напряжении V 0.42 V;

ся на состояния с различными значениями магнитных при этих условиях открывается первый канал с m = 6, квантовых чисел положительной ветви спектра (2), для при напряжении V = 0.78 V открывается второй канал которых Em,k eV. Для проводящей трубки одно из с m = 7. Соответственно на вольт-амперной характеm значений Emin при m = m равно нулю, соответственно ристике нанотрубки (10,9) при температуре T = 0 буm для диэлектрической трубки Emin /2. Это означает, дут наблюдаться изломы при напряжениях V = 0.что в проводящей трубке ток возникает при любом и 0.78 V. На рис. 3, b приведена численно рассчитанная малом напряжении на концах трубки, а в диэлектри- по формуле (9) вольт-амперная характеристика углеродческой трубке он возникает только при напряжении, ной нанотрубки (10,9), на которой видны изломы при удовлетворяющем неравенству eV /2. Согласно (9), напряжениях V = 0.42 и 0.78 V.

число слагаемых в сумме зависит от приложенного к Из (9) легко получить формулу для кондактанса концам трубки напряжения: для проводящей трубки оно углеродной нанотрубки при температуре, равной нулю, больше или равно двум, для диэлектрической трубки m I 2e2 Emin больше либо равно нулю.

m G = = 1 - (eV - Emin), (10) В диэлектрической трубке число слагаемых в формуV h eV m ле (9) будет равно нулю до тех пор, пока не выполнится условие eV /2. Появление в сумме (9) новых слага- для которой выполняются те же правила суммирования, емых, связанное с изменением напряжения V на трубке, что и в (9). Для проводящей нанотрубки одно из значеm изменяет угол наклона вольт-амперной характеристики ний Emin при m = m равно нулю, поэтому в сумме (10) нанотрубки (рис. 3, b). при малом напряжении V будет только два слагаемых, Увеличение радиуса трубки приводит к уменьшению каждое из которых равно единице, в результате кондакm расстояния между минимальными энергиями Emin с танс проводящей трубки равен 4(e2/h) (рис. 4), на что Физика твердого тела, 2004, том 46, вып. 1338 С.С. Савинский, А.В. Белослудцев при =, при дальнейшем возрастании магнитного потока щель уменьшается до нуля при = 1.

При температуре, отличной от нуля, диэлектрические трубки начинают проводить электрический ток при выполнении условия kBT. На рис. 5 приведены результаты численного расчета кондактанса углеродной нанотрубки (210,10), являющейся диэлектрической с малой запрещенной щелью. Расчет проводился при малом напряжении для различных температур и магнитных полей. Кондактанс численно рассчитывался по формуРис. 5. Зависимость кондактанса углеродной нанотруб- ле (8) для электронных потоков, идущих от левого и ки (210,10) от температуры и величины магнитного потока правого концов трубки. Как следует из рис. 5, в области при напряжении, стремящемся к нулю.

температур 200 K имеется слабая зависимость кондактанса от магнитного поля, при этом кондактанс является растущей функцией температуры.

Все численные расчеты, представленные на рис. 3Ц5, указывалось в работе [2]. Соответственно для диэлектрипроводились для конечных трубок длиной L = 105.

ческой трубки при малых напряжениях число слагаемых Проведенные нами теоретические расчеты кондактанв формуле (10) равно нулю, поэтому кондактанс трубки са однослойных углеродных нанотрубок в зависимости равен нулю; для напряжений eV /2 трубка становитот температуры находятся в качественном согласии с ся проводящей и в сумме (10) появляются отличные от экспериментальными данными по измерению темперануля слагаемые.

турной зависимости сопротивления жгута из многослойВключение магнитного поля, параллельного оси угленых нанотрубок, приведенными в обзоре [3].

родной нанотрубки, оставляет формулу для спектра (2) неизменной, но в ней нужно заменить квантовое число m на m + /, где = R2B Ч магнитный поток, Список литературы c пронизывающий сечение нанотрубки, = Ч элеe [1] В.Я. Демиховский, Г.А. Вугалтер. Физика квантовых низментарный квант магнитного потока, c Ч скорость света коразмерных структур. Логос, М. (2000). 248 с.

в вакууме, B Ч магнитная индукция. Соответственно в [2] M.F. Lin, K.W.-K. Shung. Phys. Rev. B 51, 3, 7592 (1995).

магнитном поле сместится значение m на плоскости [3] А.В. Елецкий. УФН 167, 9, 945 (1997).

m, k, в которой энергия (2) обращается в нуль. Для [4] M.S. Dresselhaus, G. Dresselhaus, P.C. Eklund. Science of проводящей трубки это будет означать появление заFullerenes and Carbon Nanotubes. Academic Press, N. Y.

прещенной щели в энергетическом спектре. Величину (1996) появляющейся щели в нанотрубке можно оценить по [5] А.В. Елецкий. УФН 170, 2, 113 (2000); Р.Е. Смолли. УФН формуле (7), согласно которой ширина щели будет 168, 3, 323 (1998).

[6] P. Avouris. Acc. Chem. Res. 35, 1026 (2002).

пропорциональной значению магнитного поля.

[7] А.В. Котосонов, В.В. Атражев. Письма в ЖЭТФ 72, 2, На рис. 3, c показана зависимость кондактанса труб(2000).

ки (10,9) от напряжения при различных магнитных [8] А.А. Овчинников, В.В. Атражев. ФТТ 40, 10, 1950 (1998).

потоках, вычисленная по формуле (10). При нулевом [9] D.J. Klein, W.A. Seitz, T.G. Schmalz. J. Phys. Chem. 97, магнитном потоке трубка (10,9) является диэлектриком (1993).

с шириной запрещенной щели, равной 2 0.42 eV; при [10] Л.И. Магарил, Д.А. Романов, А.В. Чаплик. ЖЭТФ 113, 4, значении магнитного потока = щель смыкается и 1411 (1998).

трубка становится проводящей. При дальнейшем увеличении магнитного поля снова появляется щель, которая при = достигает экстремального значения. Даль нейшее увеличение магнитного поля приводит к сим метричному относительно магнитного потока = изменению ширины щели.

На рис. 4 приведены результаты численного расчета при нулевой температуре кондактанса проводящей углеродной нанотрубки (20,10) по формуле (10) в зависимости от напряжения при различных значениях магнитного потока через сечение трубки. Трубка (20,10) (рис. 4) при включении магнитного поля становится диэлектриком, ширина ее запрещенной щели растет с увеличением магнитного потока, принимая максимальное значение Физика твердого тела, 2004, том 46, вып. Pages:     | 1 | 2 |    Книги по разным темам