Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | Физика твердого тела, 2001, том 43, вып. 7 Косвенное взаимодействие мессбауэровских ядер й А.Р. Кессель, В.А. Попов Казанский физико-технический институт им. Е.К. Завойского Российской академии наук, 420029 Казань, Россия E-mail: vladimir@dionis.kfti.knc.ru (Поступила в Редакцию 4 декабря 2000 г.) Получено выражение для оператора косвенного взаимодействия ядер через электромагнитное поле. Для описания свойств мессбауэровских центров был использован формализм псевдоспинов, обычно применяемый в теории оптических двухуровневых систем. Косвенное взаимодействие псевдоспинов выведено методом, заимствованным из теории сверхпроводимости. Оказалось, что потенциалы этого взаимодействия содержат слагаемые, убывающие как r-3, r-2, r-1. Оценки показывают, что двухчастичное взаимодействие может вносить заметный вклад в ширину резонансной линии, например, в кристаллах, ячейки которого содержат ядра тулия.

В теории эффекта Мессбауэра обычно не принимают 1. Общая схема вывода оператора во внимание взаимодействие ядер друг с другом, попарного взаимодействия скольку считается, что оно сводится только к магнитному диполь-дипольному взаимодействию [1], которое В общем виде структуру гамильтониана двух взаимозначительно меньше связи ядра с электронной оболочкой действующих подсистем можно представить в форме атома. Связанные с этим взаимодействием коллективные эффекты слабо проявляются еще и потому, что потенциH = Hs + Hf + Vaf, (1) ал его убывает как r-3.

Между тем из квантовой оптики, например, известгде Hs Ч есть гамильтониан динамической подсистено [2,3], что косвенные взаимодействия локализованмы, состоящей из невзаимодействующих частиц, Hf Ч ных частиц через поля-переносчики могут содержать гамильтониан поля-переносчика взаимодействия, Vsf Ч слагаемые, убывающие медленнее с расстоянием (как оператор взаимодействия между частицами двух подсиr-2, r-1) и поэтому оказывающие более сильное влияние стем.

на физические свойства.

Метод расчета косвенных взаимодействий [7] состоит В мессбауэровской спектроскопии, благодаря более из двух этапов и строится на предположении, что для высоким, чем в оптике, резонансным частотам и отноматричных элементов операторов выполняется неравенсительной узости (высокой добротности) резонансных ство линий, можно ожидать более значительного вклада от косвенного взаимодействия. В связи с этим в настоящей |Vsf | |Hs| + |Hf |.

работе предпринимается расчет косвенного взаимодействия мессбауэровских ядер через электромагнитное поПервый этап Ч это переход к новому представлению с ле вакуума.

помощью унитарного преобразования U = exp{-L}, где Вопрос о том, какие степени свободы оказываL Ч антиэрмитов оператор, удовлетворяющий условию ются здесь связаны косвенным взаимодействием не является тривиальным. Он решается введением псевVsf +[Hs + Hf, L] =0. (2) доспина S = 1/2, который всегда можно сопоставить любым двум уровням энергии, хорошо отделенным от других состояний. Подобный форма- В результате этого в новом представлении гамильтониан лизм широко используется в оптике и имеет усто- H приобретает форму явшуюся аббревиатуру ДУС Ч двухуровневая система [4,5].

H H = Hs + Hf + [Vsf, L] +O Vsf, (3) Для вывода оператора косвенного взаимодействия используется метод, который хорошо зарекомендовал себя в теории сверхпроводимости со времени вывода Фре- т. е. теряет линейные по Vsf слагаемые, так как предполагается, что генератор унитарного преобразования лихом [6,7] оператора взаимодействия электронов для L |Vsf |/(|Hs| + |Hf |). Решением операторного уравтеории БКШ.

Косвенное взаимодействие мессбауэровских ядер нения (2) будет имеет стандартную форму Hf = k aЖ ak +, (7) k 1 k L = lim dt etVsf (t), i - где aЖ и ak Ч операторы рождения и уничтожения k фотона с волновым вектором k, частотой k и поляризацией.

Vsf (t) = exp{i(Hs + Hf )t/ }Vsf Гамильтониан взаимодействия ядер и электромагнит exp{-i(Hs + Hf )t/ }. (4) ного поля имеет вид Vint = - jjA(Rj), (8) Второй этап заключается в усреднении выражения (3) c j для H по состояниям поля-переносчика взаимодействия, так что член второго порядка где jj Чток j-го нуклона, а потенциал электромагнитного поля представлен в виде разложения по операторам рождения и уничтожения фотонов W = [Vsf, L] (5) 1/2 c A(Rj)= akeeikRj + aЖ e e-ikRj, (9) k теории возмущений в разложении (3) перестает зависеть Vk k от переменных электромагнитного поля, но сохраняет где e1 Ч векторы правой и левой круговой поляризазависимость от псевдоспиновых операторов различных ции, Rj = rj+xj и rj, xj являются соответственно радиусчастиц и вследствие этого приобретает смысл оператора векторами ядра в лабораторной системе координат и их косвенного взаимодействия. Забегая вперед, можно нуклона в системе координат ядра, а V Ч объем, в отметить, что в целом ряде случаев, в том числе и в котором квантуется электромагнитное поле. Суммирорассматриваемом здесь, это усреднение проводить не вание, вообще говоря, должно вестись по всем нуклонам приходится, так как члены второго порядка в разложеядра. Однако поскольку в первом приближении можно нии (3) операторов поля не содержат.

считать, что свойства ядра определяются последним неспаренным нуклоном, можно считать, что индекс j пробегает по ядрам.

2. Переход к эффективному Осуществим переход от гамильтониана (8) к эффекдвухуровневому гамильтониану тивному двухуровневому гамильтониану. Для этого необходимо найти матричные элементы гамильтониана (8) Как правило, мессбауэровские переходы осуществляна векторах состояния |Igmg и |Ieme. Матричные элеются между состояниями ядра с различными значениями менты для операторов, относящихся к ядрам и электроспинов. При этом каждое из этих состояний обычно магнитному полю вычисляются отдельно. Процедура пебывает вырождено по величине проекции спина. Взаирехода к псевдоспинам становится более наглядной, если модействие с внутренними локальными электрическими использовать приближение вращающейся волны [2,4].

и магнитными полями может снять это вырождение. При В этом случае в эффективном гамильтониане исключаэтом возникает сверхтонкая структура ядерных уровней.

ются слагаемые S+aЖ и S-a, которые осциллируют с Будем вычислять взаимодействие одинаковых мессбау- частотами, равными сумме частоты перехода 0 и частоэровских ядер, спроектированное на определенную пару ты фотона k = ck. В гамильтониане остаются члены, состояний |Igmg и |Leme сверхтонкой структуры, на которые соответствуют процессам излучения фотона при которой наблюдается мессбауэровский переход. Первое переходе |Ieme |Igmg и поглощения фотона при из них соответствует основному уровню энергии со переходе |Igmg |Ieme. Таким образом, остается вычиспином Ig и его проекцией mg, а второе Ч возбу- слить только матричные элементы Igmg, k|Vint|Ieme и Ieme|Vint|Igmg, k, которые должны совпадать с матричжденному состоянию со спином Ie и проекцией me.

ными элементами двухуровневого гамильтониана Тогда в качестве основного гамильтониана динамической подсистемы можно выбрать оператор 1/2 c g|Vge|e Igmg, k|Vint|Ieme = e-ikrj Igmg| Vk Hs = 0 Szj, (6) j - jje e-ikxj|Ieme g g|S-|e, k j c где 0 Ч частота рассматриваемого перехода, Sz Ч j 1/2 c оператор псевдоспина одного ядра, определенный на e|Vge|g Ieme|Vint|Igmg, k = eikrj Ieme| Vk указанных уровнях [4].

В качестве переносчика взаимодействия будем рассма- jjeeikxj|Igmg gk e|S+|g.

тривать электромагнитное поле, гамильтониан которого j c Физика твердого тела, 2001, том 43, вып. 1178 А.Р. Кессель, В.А. Попов При вычислениях матричных элементов гамильтониа- Перейдем от суммирования по k к интегрированию на (8) полагалось, что имеет место магнитодипольный V переход M1 (Ig = 1/2, mg = 1/2 Ie = 3/2, dk.

(2)me = 3/2) [1].

k Эффективный гамильтониан взаимодействия псевдоЭкспоненту разложим по сферическим функциям [8] и спинов с электромагнитным полем в этих обозначениях проинтегрируем по углам имеет вид Vge = gkS+akeikrj + g S-aЖ e-ikrj, j k j k d(1 + cos2 )eikr j k 1/= [4 j0(kr) - (3cos2 - 1) j2(kr)], (14) 122 c 1 gk = i D1 ( k) M1, (10) Vk 2 где Ч угол между осью z и радиус-вектором r, а где D1( k) Ч матрица вращения собственных функjl(x) Ч сферические функции Бесселя. В результате ций углового момента при переходе из лабораторной этих операций преобразованный гамильтониан взаимосистемы координат в систему координат, где ось z содействия приобретает следующую форму:

впадает с вектором k [1], 1/2||M1||3/2 Ч приведенный матричный элемент рассматриваемого перехода.

1 k + W = - (Si S- + Si S+) [4 j0(kri ) j j 2 k - k0 j i j 3. Взаимодействие мессбауэровских ядер 1 3 - (3cos2 i j - 1) j2(kri j)] |M1| dk, (15) 2 Оператор унитарного преобразования в псевдоспиновом представлении, соответстующий операторам (6), где k0 = 0/c.

(7), (10), найдем по формуле (4) Для вычисления интеграла (15) необходимо знать функциональную зависимость приведенного матричного 1 eikrj L = gkS+ak элемента от k. Если принять, что потенциал ядра имеj k - 0 + i j k ет вид осцилляторной ямы, то для магнитодипольного перехода в первом приближении можно считать, что e-ikrj +g S-aЖ. (11) k j k k - 0 - i 1 3 |M1| = Akae-(k) /4, (16) 2 Тогда оператор косвенного взаимодействия мессбауэровских ядер примет вид где A Ч константа, не зависящая от k, а Ч радиус ядра.

Парциальная ширина -излучения на частоте перехода W = [H, L] 8k0 1 (k0) = |M1(k0)| 1 eikri j 2Ie + 1 2 + = - |gk|2 Si Sj k - 0 + i i j k 2A2k02, (17) e-ikri j поскольку k0 1. Таким образом, можно записать + Si S+. (12) j k - 0 - i 1 3 k2 Поскольку 2 = 1, а |M1| = e-(k) /2. (18) 2 2 2k2 2 1 + cos 1 - cos D1( k) = + Подставив (18) в (15), получим 2 + W = Ai j Si S- + Si S+. (19) j j = (1 + cos2 ), i j то Потенциалы Ai j определяются выражением 62 c 1 3 |gk|2 = (1 + cos2 ) |M1|, (13) Ai j = - [40(i j, p) Vk 2 где Чугол между осьюz и вектором k. - (3cos2 i j - 1)2(i j, p)], (20) Физика твердого тела, 2001, том 43, вып. Косвенное взаимодействие мессбауэровских ядер Уширение резонансной линии, которое в этих оценках q3e-p ql(, p) jl(q)dq, l = 0, 2, (21) описывается вторым моментом M2, равно q - - ss =Rnk0. (25) где p = k0/ 2, = k0r. Получить точный аналитический вид функциональной зависимости для l не удаДля изотопа Fe57, доля которого в обычных услоется. В приложении показано, как можно приближенно виях составляет 2%, а 0 = 14.4 keV, отношение проинтегрировать выражения (21), имея в виду малость ss/ 10-3. Для обогащенных образцов это отпараметра p. В этом случае функция l практически не ношение может достигать 10-1. Эта оценка хорошо зависит от p, согласуется с тем, что для мессбауэровской линии железа работает одночастичная модель, хотя двухчастичное cos cos 2 sin 2 f () взаимодействие, по-видимому, также вносит вклад в 0() = - 3 + -, (22) 2 уширение линии.

Согласно (25), взаимодействие (19) наиболее сильно cos sin cos 2 cos 2()= - +3 +3 + может проявиться в веществах, у которых концентрация 2 2 мессбауэровских изотопов велика, а величина перехода относительно мала. Этим условиям удовлетворяет Tm169, sin 2 f () g() f () - 4 + - 3 - 3, (23) со стопроцентным содержанием мессбауэровских ядер и 3 2 0 = 8.4 keV. Для него вклад в ширину линии, оценен f () =sin Ci () - cos Si () -, ный по формуле (25), оказывается порядка естественной ширины линии. В таких случаях эксперименты g() =- cos Ci () - sin Si () -, по изучению зависимости формы линии от концентрации ядер или размеров образца могут послужить средгде Si() и Ci() Ч интегральные синус и косинус.

ством для обнаружения двухчастичных взаимодействий Функции f () и g() монотонно убывают с ростом.

мессбауэровских ядер.

Для больших значений аргумента эти функции могут Выше рассмотрено косвенное взаимодействие только быть аппроксимированы более простыми зависимостями одной пары спиновых подуровней мессбауэровских ядер.

f () 1/, g() 1/2.

Результат (19)Ц(23) просто обобщается на случай нескольких подуровней 4. Обсуждение результатов i j j i W = Ai j PmgmePmemg + PmgmePmemg, (26) mgme Для экспериментальных проявлений взаимодействия i j mgme (19) наиболее удобным представляется измерение его i где Pmgme Ч проективные операторы, в которых единвклада в сдвиг и ширину линии поглощения сигнаственным отличным от нуля является матричный элела. В низкотемпературном приближении ( 0 kT, z мент, соответствующий переходу |Igmg |Ieme, а Si = -1/2) первый и второй моменты линии попотенциалы Ai j имеют структуру, аналогичную (20) глощения для системы частиц, взаимодействие которых mgme для каждого разрешенного перехода |Igmg |Ieme. От описывается оператором (19), имеют форму [9] выражения (20) они отличаются только числовым множителем, связанным с вычислением матричного элемен1 M1 = Ai j, M2 = Ai j. (24) та, и значением частоты перехода, входящей в функции N N i j i j (22) и (23). Отметим, что (26) соответствует так называемой секулярной части двухчастичного взаимодействия, Вычисление суммы в формулах (24) для рассматриваекоторая наиболее сильно проявляется в резонансной мых в этой работе потенциалов (20) является довольно спектроскопии.

сложной задачей. Это обусловлено тем, что длина волны гамма-излучения меньше межатомного расстояния и изза наличия осциллирующих функций нельзя совершить Приложение. Вычисление интегралов обычный в таких ситуациях переход от суммирования к интегрированию. Кроме того, системы с регулярным Для определения аналитического вида зависимости порасположением мессбауэровских ядер требуют иных ме- тенциала косвенного взаимодействия (19) от расстояния тодов вычислений, нежели вещества, в которых мессбау- между ядрами необходимо вычислить интегралы вида эровские центры имеют малую концентрацию. Каче- (21). Точное интегрирование провести не удается. Однаственная оценка для веществ с небольшой концентра- ко, приняв во внимание, что параметр p 10-4, можно цией n мессбауэровских изотопов (образец сферической с хорошей степенью точности выполнить приближенное формы радиуса R) показывает, что величина моментов интегрирование.

определяется только последним слагаемым в (22), а Рассмотрим в качестве примера функцию 0(). Инвкладом осциллирующих слагаемых можно пренебречь. теграл 2 вычисляется аналогичным образом. Прежде Физика твердого тела, 2001, том 43, вып. 1180 А.Р. Кессель, В.А. Попов всего выполним замену = q - 1, после чего разобъем [3] Y. Ben-Aryeh, C.M. Bowden, J.C. Englund. Phys. Rev. A34, 5, 3917 (1986).

область интегрирования на два интервала [4] Л. Аллен, Дж. Эберли. Оптический резонанс в двухуровне2 вые атомы. Мир. М. (1978). 222 с.

( + 1)2e-p (+1)[5] G.S. Agarwal. Quantum Statistic Theories of Spontaneous 0 = + sin([+1])d. (27) Emission and Their Relation to Other Approaches. Springer -1 Tracts in Modern Physics. Vol. 70 (1974).

[6] H. Frhlich. Phys. Rev. 79, 2, 845 (1950).

В первом интеграле можно положить exp(-p2[ + 1]2) [7] H. Frhlich, H. Pelzer, S. Zienau. Phil. Mag. 41, 314, 1. Тогда (1950).

Pages:     | 1 | 2 |    Книги по разным темам