Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | Физика и техника полупроводников, 2001, том 35, вып. 5 Динамическое влияние постоянного электрического поля на кинетику фотонов, взаимодействующих с электронами полупроводника й Р.Х. Амиров, В.Н. Гусятников НИИ механики и физики Саратовского государственного университета, 410026 Саратов, Россия (Получена 26 июля 2000 г. Принята к печати 4 ноября 2000 г.) Исходя из уравнения ЛиувилляЦфон-Неймана методом неравновесного статистического оператора получено кинетическое уравнение для фотонов, взаимодействующих с нерелятивистскими электронами в постоянном электрическом поле. Интеграл столкновений отличен от нуля из-за влияния поля на процесс взаимодействия фотонов с электронами. Вероятности поглощения и излучения фотонов зависят от их частоты и проекции напряженности поля на направление импульса фотона как степенным, так и осциллирующим образом. Осцилляции связаны с соотношением неопределенности энергияЦвремя. Рассчитан вклад этого эффекта в спектр фотонов относительно излучения при рассеянии электронов на фононах и ионизованных примесях на примере n-GaAs. Выявлена область параметров, где этот эффект может существенно влиять на спектр.

1. Оптические методы исследования кинетики нерав- слабоанизотропном распределении электронов, часто реновесных процессов во внешних полях в полупроводни- ализующемся в упомянутых средах. Показано, что вероковой и газовой плазме используются в последнее время ятность излучения и поглощения фотонов может вести достаточно часто. Внешние поля влияют не только на себя как степенным, так и осциллирующим образом в коллективные эффекты в этих средах, но могут изме- зависимости от частоты и величины проекции поля на нять характер взаимодействия частиц. Это приводит к направление импульса фотона. Осцилляции связаны с модификации интегралов столкновений в кинетических ФуширениемФ -функции и тем самым с соотношением уравнениях, что для функции распределения электро- неопределенности энергияЦвремя. Рассчитан вклад даннов хорошо известно [1Ц3]. В частности, постоян- ного эффекта в спектр излучения свободных электроное электрическое поле может влиять на вероятность нов полупроводника относительно излучения электрорассеяния электронов на фононах и примесных цен- нов при рассеянии на фононах и ионизованных притрах [4,5] и изменять проводимость полупроводника [6]. месях на примере n-GaAs. Помимо осцилляций данНаличие внешнего переменного электрического поля ный эффект может проявиться при частотах, где энермодифицирует также интеграл столкновений фотонов с гия фотона выше электронной температуры, но ниже электрон-фонон-примесной системой [7,8]. В связи с энергии оптического фонона. Это дает принципиальэтим представлялось интересным рассмотреть влияние ную возможность экспериментальной проверки данного постоянного электрического поля на кинетику взаи- эффекта.

модействия фотонов с электронами, так как в отсут2. Гамильтониан системы нерелятивистских электроствие поля число фотонов данной частоты в фотоннов, находящихся в постоянном электрическом поле электронной системе в нерелятивистском приближении E с потенциалом (r) = -rE и взаимодействующих не изменяется в силу законов сохранения энергии и со слабым полем фотонов, представляется суммой гаимпульса. В данной работе методом неравновесного мильтониана электронов во внешнем поле He, гамильстатистического оператора [3,9] получено кинетическое тониана свободных фотонов Hr и гамильтониана их уравнение для функции распределения фотонов, взаивзаимодействия Her. Введем взаимодействие фотонов с модействующих с нерелятивистскими электронами, инэлектронами обычным образом с помощью векторного теграл столкновений которого отличен от нуля лишь потенциала A(r) и его разложения при наличии постоянного электрического поля. Присутствие поля приводит к разрушению -образного закона 2 c e сохранения энергии в элементарном акте рассеяния изA(r)= j CjK exp(iKr) +C+ exp(-iKr), jK V K за нелинейной зависимости энергии электрона от имj,K пульса и из-за явной зависимости константы связи от импульса электрона. Степень проявления той или другой где C+ и CjK Ч операторы рождения и уничтожения jK причины определяется геометрическим соотношением фотонов с импульсом K и вектором поляризации ej;

векторов напряженности поля, импульса и поляризации c = c/, c Ч скорость света в вакууме, Ч диэлектри фотона. Рассмотрен вид интеграла столкновений при ческая проницаемость среды; = Kc Ч частота фотона, V Ч объем системы. При использовании кулоновской ка E-mail: victor@mail.saratov.ru либровки ejK = 0 ( j = 1, 2) гамильтонианы принимают Динамическое влияние постоянного электрического поля на кинетику фотонов, взаимодействующих... вид При E = 0 правая часть уравнения (1) в нерелятивистском случае равна нулю. Комптоновское рассеяние e He = kk,k + (k - k ) a+ a,k, на нерелятивистских электронах также отсутствует [12].

,k V,k,k Таким образом, наличие интеграла столкновений обусловлено лишь влиянием внешнего поля на процесс взаимоHr = C+ CjK, действия фотонов с электронами. При K E (ejE = 0) он jK j,K отличен от нуля лишь по причине ФуширенияФ -функции из-за внешнего поля, а при K E Ч только благодаHer = Gj(k, K)(Cj,K + C+ )a+ a,k, ря зависимости константы связи Gj(k, K) от импульса j,-K,k+K V, j,k,K электрона (возникает слагаемое, пропорциональное ).

Отметим, что зависимость Gj от k проявляется лишь где при наличии анизотропии в распределении электронов k(это следует из инверсии проекции k на плоскость e1, e(k) =- d3r(rE) exp(-irk), k =, 2m в (1)), в то время как уширение -функции проявляется V и при изотропной f (k). Проинтегрировать по в общем случае не удается. Нельзя также перейти к нерелятиe Gj(k, K) =- kej, вистскому пределу, так как соответствующие параметры m находятся в аргументе осциллирующей функции. Однако a+ и a,k Ч операторы рождения и уничтожения можно использовать возможность интегрирования по,k электронов с импульсом k;, m, e Ч спиновый индекс, импульсам электронов, для чего необходимо задать их эффективная масса и заряд электрона (e < 0). В выраже- функцию распределения.

нии для Her выброшено слагаемое A2, ответственное В достаточно широком интервале параметров (криза двухквантовые процессы. терии известны, например, [13]) как в газовой, так и в Используя метод неравновесного статистического опе- полупроводниковой плазме адекватной аппроксимацией ратора [9], способ точного учета внешнего поля в ин- f (k) является слабоанизотропное невырожденное растеграле столкновений обобщенного кинетического урав- пределение следующего вида:

нения [3], теорему ВикаЦБлохаЦде-Доминисиса [10], по f (k) f0(k)(1 + 22kk0), (2) = лучаем во 2-м порядке итераций по константе фотонэлектронного взаимодействия кинетическое уравнение где f0(k) Ч функция распределения Максвелла для средних чисел заполнения фотонных состояний f0(k) =43/2n03 exp(-2k2), =, Nj(K, t) 2 2mTe = G2(k, K) Nj(K, t) +j t V k в которой n0 Ч концентрация электронов, а дрейфовый импульс k0 и электронная температура Te находятся из f (k, t) 1 - f (k - K, t) - Nj(K, t) f (k - K, t) решения уравнений баланса энергии и импульса. После перехода в уравнении (1) от суммирования к интегриро e Eej ванию и после вычисления интеграла по k с функцией (2) 1 - f (k, t) d 1 + exp(- ) kej получим, что в интеграле по появится обрезающий множитель exp(-2 ), = Te/2mc2. Это позволяет 1 e записать кинетическое уравнение в стандартной форме exp (k -k-K- ) + KE +(к.с.), (1) i 2m Nj(K, t) =[Nj(K, t) +1]Wj+ - Nj(K, t)Wj- (3) в котором t f (k, t) f (k, t) =Sp (t)a+ a,k, и представить вероятности излучения Wj+ и поглоще,k ния Wj- фотона в следующем виде:

Nj(K, t) =Sp (t)C+ Cj,K j,K -Te k0 2 - p Ч функции распределения электронов и фотонов;

Wj+ = s 1 + 2 2mc2 (t) Ч статистический оператор системы; (к.с.) означает слагаемое, комплексно-сопряженное предыдущему;

(1 + 2 cos2 j) ( cos a + sin a) > 0 и 0 после термодинамического предельного перехода [9]. При выводе данного уравнения, как обычно, предполагалось, что за Фвремя взаимодействияФ k(1) (2) +(I - I ) + (cos2 j - cos2 ) одночастичные функции распределения практически не изменяются [11]:

(1) (2) (cos a - sin a)+(1-I -I ), (4) f (k, t - ) f (k, t), Nj(K, t - ) Nj(K, t).

2 Физика и техника полупроводников, 2001, том 35, вып. 530 Р.Х. Амиров, В.Н. Гусятников где длине волны, к энергии излучаемого или поглощаемого фотона. В низшем порядке разложения по степеням a a a a получаем = exp - s + erf, (5) 2 - Nj(K, t) Te p = a/2(1 + a) +2sa (1) t I cos a(1 - x) = a dx exp[a(x2 - 1)/2], (2) sin a(1 - x) k0 cos2 j I 0 1 -, cos(6) 4n0e2 + где a (2 )-1. Очевидно, что в случаях (7), (8) ос2 =, =, p m - цилляции слагаемых, пропорциональных , проявиться не могут, и мы имеем степенные зависимости от и E.

2 - 1 |e|E a = 1 , =, В противоположной ситуации, когда a 2/2 и 1, 2mc2 42 что соответствует 2 и 1/2, также можно KE получить приближенное аналитическое выражение для 2 = 1 + 2 cos2, cos =, (1,2) KE Wj. Если сделать в выражениях для I замену Eej cos переменных y = a(1 - x) и привести соответствующие cos j =, s = -.

E | cos | интегралы к интервалу (0, ), то можно показать, что в 1-м порядке по 2/a При K E из (4) следует W1 = W2, что очевидно из симметрии задачи. При K E (a = 0) из (1) (1) (2) и (3)Ц(6) после вычисления соответствующих инте- I - I -, a(1 + 2)гралов и последующего перехода к нерелятивистскому пределу получаем (2 - 1) (1) (2) 1 - I - I -. (9) Nj(K, t) 8e2 eEej a(1 + 2)= - kej f (k, t)[1 - f (k - K, t)] t V mk При получении выражений (9) слагаемые exp(-l) (l 4) считались малыми по сравнению с 1.

|e|Ekp Из (4), (5), (9) следует, что при k0K < = - cos2 j. (7) 2 m (cos > 0, s = -1) Ч экспоненциально малая величина, и Wj+ Ч не осциллирующие функции. При Отрицательный знак правой части в уравнении (7) k0K > 0 (cos < 0, s = 1) слагаемые, содержащие можно проинтерпретировать качественно. В присутствии , превалируют над слагаемыми (9) в случае поля импульс электрона есть k + eEt. За Фвремя (a/ 2 - 1 1), совместимом с условием привзаимодействияФ i он изменяется как за счет импульса менимости данной аппроксимации. Тогда вероятности фотона, так и из-за наличия поля. При излучении фотона Wj могут иметь осциллирующую зависимость от и электроном с импульсом k закон сохранения энергии и E cos. Так как электрон локализован в пространстве импульса имеет вид с точностью до де-бройлевской длины волны, а на k - k+ke-K = ( ke = eEi), этой длине он изменяет энергию из-за внешнего поля на величину |e|E| cos |, то неравенству а при поглощении можно придать форму соотношения неопределенности энергияЦвремя t, где t = 2/. Это k + = k+ke+K.

вполне согласуется с происхождением осцилляций из-за В нерелятивистском случае эти законы сохранения могут нарушения -образного закона сохранения энергии в выполняться лишь за счет слагаемых, содержащих kke, присутствии внешнего поля. Период осцилляций в облапричем при излучении должно быть kke < 0, а при сти их существования при изменении частоты фотона поглощении kke > 0. Так как при наличии поля E ( Ч тепловая скорость электронов) на величину электронов с kke > 0 больше, чем с kke < 0, поглощение фотонов превалирует над их излучением.

= 1 (10) При cos = 0 ( = 1) простейшим приближением c является a 1, что означает от самой частоты не зависит. При изменении проекции напряженности поля на направление распространения 2|e|E| cos | 1/4, =, (8) фотона оценка периода имеет следующий вид:

где есть величина порядка отношения энергии, наби|E cos | 2 1. (11) = раемой электроном от внешнего поля на де-бройлевской |E cos | c Физика и техника полупроводников, 2001, том 35, вып. Динамическое влияние постоянного электрического поля на кинетику фотонов, взаимодействующих... пространения фотона относительно направления внешнего поля имеет аналогию с классическим случаем при рассмотрении потенциалов ЛиенараЦВихерта [14], так как, несмотря на постоянную среднюю скорость электронов, в самом сечении рассеяния ускорение электронов присутствует.

На рис. 1, 2 представлены результаты численных рас2 четов величины = Wj для свободных носитеj Te p лей заряда n-GaAs ( = 12.79, m = 0.07m0) при температуре решетки T = 80 K, n0 = 1016 см-3, E = 367.6В/см, Te = 101 K, k0 = 0.34 (результаты решения уравнения баланса энергии и импульса соответствуют [8]) для 1 = /2 () и 2 = + /2 (). Согласно (7) 1 при = /2 = 0, = const. Функции + 1 2 j и - в масштабе графиков не различаются, сгущение j осцилляций на рис. 2 объясняется логарифмическим масштабом по. График при = отличается 1,от графика при = 3/4 лишь несколько большей амплитудой ( 5 1013 с-1).

3. Рассмотрим вклад данного эффекта во внутризонное излучение полупроводника относительно фонового Рис. 1. Зависимости нормированной вероятности поглощения излучения при взаимодействии электронов с фононами и излучения фотонов от частоты: 1 Ч 10-9, = 0;

j 1,и примесями. Соответствующее кинетическое уравнение 2 Ч 10-9, = /4; 3 Ч 10-11, = /4.

1 будет иметь тот же вид (3), в котором вместо Wj надо подставить M = Wj + Fj, j где Fj+ = Fjpo() +Fjim(), Fj- = -Fjpo(-) - Fjim(-).

Функции Fjpo() и Fjim() соответствуют излучению кванта при рассеянии на оптических фононах и ионизованных примесях, а Fjpo(-) и Fjim(-) Чпоглощению. Эти величины приведены в [8]. Решение кинетического уравнения имеет следующий вид:

Nj(K, t) =Neq exp[-Bj(t -t0)]+N0 j{1-exp[-Bj(t -t0)]}, где Neq = Nj(K, t0) Ч начальное распределение, полагаемое равновесным с температурой T, N0 j = Aj/Bj, Aj = Wj+ + Fj+, Bj = Wj- - Wj+ + Fj- - Fj+.

Стационарное распределение N0 j существует в том случае, когда Рис. 2. Зависимости нормированной вероятности поглощения exp[-Bj(t - t0)] 1, Neq exp[-Bj(t - t0)] N0 j, и излучения фотонов от частоты: 10-13, 10-15;

j 1 = 3/4.

Pages:     | 1 | 2 |    Книги по разным темам