Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | Физика и техника полупроводников, 2000, том 34, вып. 3 Многодолинное расщепление энергетического спектра мелкого донора в полупроводниках со структурой типа алмаза и сфалерита й С.М. Зубкова, В.А. Изюмов, Л.Н. Русина, Е.В. Смелянская Институт проблем материаловедения им. И.Н. Францевича Национальной академии наук Украины, 252680 Киев, Украина Национальный технический университет ФКиевский политехнический институтФ, 252056 Киев, Украина (Получена 27 апреля 1999 г. Принята к печати 13 ноября 1999 г.) Последовательное применение теории возмущений к решению уравнения Шредингера, описывающего состояние мелкого донора в многодолинных полупроводниках, позволило получить секулярное уравнение, порядок которого равен числу долин. Решение этого уравнения дает как характер, так и величины расщепления основного состояния донорного центра. Матричные элементы междолинного взаимодействия, входящие в секулярный детерминант, строились в представлении псевдофункций Блоха. Псевдоволновые функции вычислялись как собственные векторы системы уравнений метода эмпирического псевдопотенциала (65 плоских волн). Матричные элементы на псевдофункциях Блоха оказались существенно отличными от таковых на плоских волнах. Возмущающий потенциал примесного центра аппроксимировался как точечный экранированный кулоновский потенциал. Численные расчеты проиллюстрированы на примере мелких изохронических доноров группы в Ge и Si. Наши результаты очень хорошо согласуются с экспериментальными данными для наинизшего уровня A1 (1) и отличаются на 14Ц15% для уровней T1 (3) и E (2).

1. Введение В работе [5] для расчета мелкого донора в Si впервые был использован модельный примесный псевдопоПроблема энергетического спектра мелкого донора тенциал без подгоночных параметров (ab intio). В V группы в полупроводниках типа алмаза и сфалерита работах [6Ц8] построена теория псевдопримеси, учитыисследуется не менее 40 лет. Но, несмотря на множевающая междолинное смешивание и применимая для ство фундаментальных исследований, интерес к ней в расчета как мелких, так и глубоких уровней доноров мировой литературе существует. Это связано с различзамещения и внедрения в полупроводниках типа Si и ными путями обобщения уравнений метода эффективной в GaP. В работе [9] выведено обобщенное уравнение массы (МЭМ) для многодолинных полупроводников, МЭМ с перенормированным видом потенциала внешнерасхождениями в оценках вклада междолинных членов го поля. Перенормировка обусловлена интерференцией в энергию связи донорного центра и способах их учета, блоховских функций из разных долин. Уравнение рев выборе потенциала и волновой функции донорного шено численно с модельным потенциалом примеси для центра. Кроме того, интерес к проблеме возрос в связи с доноров в Si и с использованием псевдопотенциальных повсеместным вхождением в практику численных псевфункций Блоха. Результаты очень чувствительны к подопотенциальных расчетов и возможностью корректно ведению потеницала на малых расстояниях и обладают конструировать кристаллический и примесный псевдонестабильностью типа мелкаяЦглубокая примесь. Мопотенциалы.

дельный учет пространственной дисперсии приводит к Развитое Коном и Латтинжером приближение появлению глубокого уровня основного состояния доноМЭМ [1Ц2] в течение многих лет использовалось ра, что качественно согласуется с экспериментальными для описания мелких примесных состояний в данными для примесей водорода и мюония. В работе [10] полупроводниках. Уравнение Шредингера для донорного приближение эффективной массы для донорного ценэлектрона в Si сводилось к шести независимым тра в GaAs обобщается на случай учета междолинного уравнениям для каждой долины в отдельности и давало взаимодействия. В уравнении Шредингера фигурирует шестикратно вырожденный уровень энергии основного перенормированный кулоновский потенциал, в котором состояния донорного центра. Через 10 лет опыты по инфракрасному поглощению [3] показали, что вырожде- перенормировочный множитель существенно отличен ние частично снимается и шестикратно вырожденный от 1 внутри сферы малого радиуса r0 вокруг примесного уровень расщепляется на уровни A1 (1), E (2) и T1 (3). иона. Решение дает положение основного состояния приВработе [4] впервые последовательно развито прибли- месного центра, соответствующее точкам, X и L зоны жение МЭМ, учитывающее многодолинность. Модель- Бриллюэна. Для L-долины донорный уровень оказался ный потенциал примеси с двумя подгоночными параме- глубоким благодаря междолинному взаимодействию. В трами Vimp стремится к постоянной величине при r 0и работах [11,12] из спектров инфракрасного поглощения становится кулоновским при r. Энергии основного азота в 4H-SiC и 6H-SiC найдены величины долинносостояния вычислялись вариационным методом.

орбитального расщепления донора N в гексагональных позициях (h): 7.6 и 12.6 мэВ для 4H-SiC и 6H-SiC Fax: (380 44) E-mail: ludm@rus.semicond.kiev.ua соответственно.

Многодолинное расщепление энергетического спектра мелкого донора в полупроводниках... Наша работа посвящена теоретическому исследова- Применим к решению системы (5)Ц(5 ) метод теории нию и численному расчету энергетического спектра возмущений, считая матричные элементы Vkk величимелкого донора в полупроводниках типа алмаза с учетом нами нулевого порядка малости, если k и k близки реальной зонной структуры этих кристаллов. Аналогич- к одному и тому же минимуму ki, и величинами 1-го но [13], где рассматривалось многодолинное расщепле- порядка малости, если вектор k близок к ki-му, а k Чк ние экситонов ВанньеЦМотта в кубических полупро- kj-минимуму. Разложим EC(k) в ряд до членов, квадраводниках, матричные элементы междолинного взаимо- тичных по (k - ki) вблизи минимума E(ki):

действия (смешивания) будем рассматривать по теории возмущений [10], а волновую функцию электрона при- EC(k) =E(ki) + (1/2mi )(k - ki)(k - ki), (6), месного центра выбираем в виде линейной комбина-, ции псевдопотенциальных функций Блоха, являющихгде, Ч x, y, z, 1/mi Ч тензор обратной привеся собственными векторами системы уравнений мето, денной эффективной массы для i-го минимума. Тогда да эмпирического псевдопотенциала при различных ki, система (5) в нулевом приближении распадается на i = 1,..., p, где p Ч число эквивалентных минимумов несколько независимых систем по числу минимумов k:

энергии.

E(ki)+ (k-ki)(k-ki) B0(k)+ Vkk, 2. Вывод секулярного уравнения 2mi, kk ki, k для нахождения поправок к энергии основного состояния B0(k ) =Eimp B0(k). (7) мелкого донора Решение этих уравнений даст систему коэффициентов Запишем уравнение Шредингера для идеального кри- Bi(k), быстро убывающих с удалением k от ki. Тогда для решения системы уравнений первого приближения сталла:

возьмем в качестве нулевого приближения линейную H00 (r) =En(k)0 (r), (1) nk nk комбинацию:

где n Ч номер энергетической зоны, k Ч волновой B0(k) = CjB0(k). (8) j вектор, j 0 (r) = 1 v Unk(r) eikr (2) nk Уравнения первого приближения для ki-минимума приЧ функции Блоха, являющиеся полной ортонормирован- мут вид ной системой волновых функций идеального кристалла.

Для кристалла с примесью уравнение Шредингера 1 E(ki) + (k -ki)(k -ki) B1(k) имеет вид 2 2mi,, H0 + V (r) (r) =E(r), (3) 0 + Vkk B1(k ) - Eimp B1(k) где V(r) Ч возмущающий потенциал примесного центра.

k kk ki Запишем волновую функцию примесного электрона в представлении Блоха:

= - Vkk B0(k ) +E1B0(k). (9) k kki,k kj (r) = Bn(k)nk(r). (4) n k Из условия разрешимости (9) Ч ортогональности правой части к любому решению B0(k ) левой части Ч i Для мелких доноров в разложении (4) можно ограниимеем читься только наинизшей зоной проводимости. Тогда (3) перепишется в виде E1Ci B0(k) 2 - CjB0(k)Vkk B0(k ) =0.

i i j kki j =i kki k kj EC(k) - E BC(k) + Vkk BC(k ) =0, (5) (10) k При этом где p B0(k)B0(k) =j, j, j i 0 j Vkk = (k )(r)V(r)k(r)d p Ч число эквивалентных минимумов энергии. После 0 0 введения сглаженной функции = (UCk )(r)V(r)UCk(r)ei(k-k )rd, (5 ) v i (r) = B0(k) eikr (11) i UCk(r) Ч периодическая часть функции Блоха.

kki Физика и техника полупроводников, 2000, том 34, вып. 280 С.М. Зубкова, В.А. Изюмов, Л.Н. Русина, Е.В. Смелянская система линейных однородных алгебраических уравне- После подстановки (15)Ц(18) в (14) и ряда преобразований относительно Ci примет вид ний получим 4e2 bG(ki - kj) p Vi j = 0v |G + kj - ki|CiE1 - Cji (0)Vkikjj(0) =0. (12) G v j =i (ac)(ki)ac (kj) 4eg g+G = -. (19) Из условия разрешимости системы (12) получаем уравv |G + kj - ki|g G нение p-й степени относительно поправки к энергии связи примесного центра:

4. Нахождение энергии основного p состояния и сглаженной волновой E1i j - i (0)Vi1j(0) = 0. (13) j v функции примесного центра j =i в однодолинном приближении Таким образом, вырождение основного состояния до0 Для нахождения величин i (r) (11) и Eimp (7) для норного уровня, связанное с учетом многодолинного примесного центра воспользуемся уравнением метода смешивания, по крайней мере частично снимается и эффективной массы, которое в безразмерных переменэнергерический уровень расщепляется в общем случае ных имеет вид на p уровней по числу эквивалентных минимумов.

m0 2 2 m0 2 - + - - 0() =0(), 2m x2 y2 2m z2 1,2 3. Получение матричных элементов 2 = rm0e2/, = E /m0e4. (20) междолинного смешивания Здесь m и m Ч поперечные и продольная эффектив1,2 Из соотношения (5 ) следует, что ные массы эллипсоида постоянной энергии электрона у дна наинизшей зоны проводимости. Для решения (20) Vi j Vkikj(r) применим прямой вариационный метод. Пробную функцию выбираем в виде 0 = (Uckj)(r)V(r)Uckj(r) e-i(ki-kj)rd. (14) v i () =A exp - (x2 + y2) +z2, Возмущающий потенциал в случае мелкого донора запигде и Ч вариационные параметры, A2 = / Ч шем:

нормировочный коэффициент.

V(r) =-1/0, (15) Из вариационной процедуры получаем следующую системы уравнений для нахождения вариационных парагде 0 Ч статическая диэлектрическая проницаемость.

метров:

Воспользуемся известным разложением произведения x периодических частей функций Блоха в ряд по плос 3m + 6m ким волнам с волновыми векторами, равными векторам 1,2 обратной решетки G:

1 x 1 - x - arctg = 0, 20 (1 - x) x 0 (Ucki)(r)Uckj(r) = bG(ki, kj) eiGr, (16) (21) G + 3m 20(1 - x) 1,где функции 1 1 1 - x - arctg = 0, 20 x(1 - x)3 x (Ucki)(r) = ac(ki) e-igr, g g где x = / (<). Случай > приводит к значению, соответствующему возбужденному уровню энергии примесного центра, лежащего в зоне проводимости.

Uckj(r) = ac (kj) e-ig r (17) g g 5. Иллюстрация численных расчетов будем находить как собственные векторы системы уравнений метода эмпирического псевдопотенциала. Из для Ge и Si (16)Ц(17) имеем Проведенные в этом разделе расчеты позволили получить качественную и количественную информацию о bG(ki, kj) = (ac)(ki) ac (kj). (18) g g+G характере расщепления, относительном расположении и g Физика и техника полупроводников, 2000, том 34, вып. Многодолинное расщепление энергетического спектра мелкого донора в полупроводниках... Таблица 1. Вариационные параметры (, ), квадрат норми- В табл. 2 приведены полученные нами энергии свяровочного коэффициента (A2) и энергия связи примеси Eimp зи уровней основного состояния изохорического донора V группы в Si и Ge, теоретические результаты Полупроиз [4,14,16] и экспериментальные данные [3]. Из табл. X, 10-4a2, 10-5a2 A2, 10-7a3 Eimp, мэВ B B B водник видно, что наинизший уровень A1 в Si и Ge очень хоGe 0.126 5.82 7.36 5.65 Ц12.рошо согласуется с экспериментальными результатами.

Si 0.330 15.06 49.61 61.31 Ц41.Величины уровней T1 и E на 14Ц15% отличаются от имеющихся опытных данных.

По данным [14], экспериментальные значения энергии Таблица 2. Энергии связи в мэВ компонент основного расщепления = E(T1) - E(A1) в Ge равны 2.83, состояния доноров V группы в Si и Ge 4.23 и 0.32 мэВ для примесей P, As и Sb соответственно. В Si экспериментальные величины расщепления Si Ge 1 = E(A1) - E(T1) равны 11.85, 21.15 и 9.94 мэВ и Источник данных A1 T1 E A1 T2 = E(T1) - E(E) равны 1.35, 1.42 и 2.50 мэВ для примесей P, As и Sb соответственно.

Настоящая работа 45.5 39.5 37.4 14.3 11.Baldereschi [14] 40.5 29.5 28.8 10.1 9.Ning, Sah [4] 45.5 33.7 32.Altarelli, Hsu et al. [16] 47.5 31.4 30.6 12.5 9.6. Обсуждение результатов Экспериментальные результаты [3] 45.3 33.7 32.3 14.2 10.Вопрос о применимости псевдопотенциальных функций Блоха и использовании их для расчета междолинного взаимодействия обсуждался, например, в [16,17]. Наши Таблица 3. Сравнение матричных элементов Vi j значения фактора bG =(ki, kj), вычисленные при G = в Si для случаев, когда минимумы зоны проводимости Полупро- Приближение Приближение расположены на одной и той же оси (ki = -kj), водник плоских волн функций Блоха составляют b = 0.17, и на взаимно перпендикулярных Ge 1.44 1.осях Ч b = -0.44 (65 плоских волн). Они хорошо Si 1.85, 0.924 2.27, 1.согласуются с данным из работы [17], соответственно:

b Ч0.18 и b = 0.41 (59 плоских волн). Послойные вклады в bG(ki, kj) при суммировании по g в (18) оказались существенно отличными от единицы и хорошо величине уровней энергии основного состояния мелкого согласуются с данными [16] для Si и Ge.

донора V группы (P, N, As) в Si и Ge. Численное решение системы (21) для Ge и Si дало результаты, Как и следовало ожидать, матричные элементы межпомещенные в табл. 1.

долинного взаимодействия Vi j (19), вычисленные на Вычисление матричных элементов примесного по- псевдопотенциальных функциях Блоха, которые более тенциала Vi j (19) свелось к нахождению собственных приспособлены к описанию реальных кристаллов, чем векторов ac(ki) и ac (kj) для системы уравнений единичная плоская волна, существенно отличаются от g g+G в методе эмпирического псевдопотенциала (65 плос- матричных элементов на плоских волнах. В последнем ких волн) Ч в точках эквивалентных наинизших мислучае Vi j 1/|ki - kj|2 (см. табл. 3).

нимумов энергии в зоне проводимости, и последующему двойному суммированию по векторам обратной решетки. В Ge имеется 4 таких минимума в точках 7. Заключение ki = (111, 111, 111, 111), в Si Ч 6 минимумов в точa ках ki = 0.85 (100, 010, 001, 100, 010, 001). Значения a Анализ зависимости величин матричных элементов форм-факторов псевдопотенциала для этих кристаллов междолинного взаимодействия Vi j от порядка системы брались из работы [15].

уравнений в методе электронных плоских волн (ЭПП) и Решение секулярного уравнения (12) для определения количества векторов обратной решетки G в разложении поправки E привело к частичному снятию вырождения (16) показал, что дальнейшего уточнения результатов примесного уровня. Так, в случае Ge получаем расчета и улучшения согласования с экспериментальными результатами при данном выборе примесного потенE1 = -1.97 мэВ, E2,3,4 = 0.66 мэВ.

Pages:     | 1 | 2 |    Книги по разным темам