Геометрия Лобачевского
Реферат
З геометрÿ
На тему:
"Геомтря Лобачевського"
Виконав
Учень 10-А класу
Середньо
Коркуна Дмитро
Львв 2
Нехай тепер АОВ - деякий гострий кут. (рис1) В геометрÿ Лобачевського можна вибрати таку точку М на сторон ОВ, що перпендикуляр MQ до сторони ОВ не перетина
ться з другою стороною кута. Цей факт як раз пдтверджу
, що не викону
ться п'яте правило: сума кутв ( (а
менше розгорнутого кута, але прям о MQ не перетинаються. Якщо почати зближувати точку М до О, то найдеться така "критична" точка М0, що перпендикуляра M0Q0 до сторони OB поки що не перетина
ться з стороною о, але для любо
На рис. 3 перпендикуляр МQ до сторони ОВ кута АОВ не перетина
ться з стороною о, прям ОВ`, М`Q` симетричн прямим ОВ MQ вдносно о. Дальше |о| = |MB|, так як MQ - перпендикуляр до вдрзка ОВ`а в його середин аналогчно M`Q` - перпендикуляр до вдрзка ОВ` в його середин. - перпендикуляри не перетинаються, тому не сну
точки, одинаково вддалено
На рис. 4а зображено цкавий варант розташування трьох прямих на площин Лобачевського: кожн дв з них паралельн, тльки в рзних напрямках. А на рис. 5 вс прям паралельн одна однй в одному напрямку (пучок паралельних прямих). Лня позначена пунктиром на рис.5а "перпендикулярна" всм проведеним прямим (тобто дотична до ц㺿 нÿ в любй ? точц М перпендикулярна прямй, яка проходить через М.). Ця ня назива
ться граничною кола, або орициклом. Прям розглянутого пучка нби являються ? "радусами", центр гранично
Ми коротко торкнулися деяких факторв геометрÿ Лобачевського, не згадуючи багатьох нших цкавих змстовних теорем (наприклад, довжина кола площа круга тут зроста
в залежноста вд радуса по показниковому закону). Виника
переконання, що ця теоря багата дуже цкавими змстовними фактам, насправд не суперечлива. Але це переконання (яке було у всх трьох творцв не
вклдово
Щоб дстати таке доведення, треба побудувати модель.
Лобачевський це добре розумв намагався ? знайти.
ле сам Лобачевський вже не змг цього зробити. Побудова тако
В 1868 р. талйськй математик к. Бельтрам дослдив згнуту поверхнсть, яка називалась псевдосферою, довв, що на цй поверховост дú геометря Лобачевського! Якщо на цй нÿ намалювати найкоротш нÿ ("геодезичн") вимрювати по цим ням вдстан, складати з дуг цих нй трикутники тощо, то вияявля
ться, що в точност реалзуються вс формули геометрÿ Лобачевського (зокрема сума кутв будь-якого трикутника дорвню
менше 1800). Правда, на псевдосфер реалзу
ться не вся площина Лобачевського.
Клейн бере деякий круг К и розгляда
так проективн перетворення площини, як вдображають круг К на себе. "Площину" Клейн назива
внутршнсть круга К, вказан проективн перетворення вважа
"рухом" ц㺿 "площини". Дальше кожну хорду круга К (без кнцв оскльки беруться тльки внутршн точки круга) Клейн вважа
"прямою". Оскльки, "рух" явля
собою проективн перетворення, "прям" при цих рухах переходять в "прям". Тепер в цй "площин" можна роздивлятися вдрзки, трикутники тощо. Дв фгури називаються рвними, якщо кожна з них може бути перетворена в ншу деяким "рухом". Так само введен вс поняття, як згадуються в аксомах в цй модел. Наприклад, очевидно, що через будь-як дв точки А, В проходить
дина пряма. Також, можна прослдкувати, що через точку А, яка не лежить на прямй a, проходить нескнченно багато прямих, яка не перетинають a. Пзнша переврка показу
, що в модел Клейн виконуються и вс нш аксоми геометрÿ Лобачевського. Частково для будь-яко
