Сложение колебаний
Реферат
Студента I Цго курса гр. 107
Шлыковича Сергея
Минск 2001
Векторная диаграмма
Колебаниями называются движения или процессы, обладающие той или иной повторяемостью во времени.
Слонжение нескольких гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты становится нагляднным, если изображать колебания графически в виде векторов на плоскости. Полученная таким способом схема называется векторной диаграммой.
Следовательно,
проекция конц вектора на ось будет совершать гармонические колебания са амнплитудой,
равной длине вектора, с круговой частотой, равной гловой скорости вращения вектора, и с нанчальной фазой, равной глу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени. Таким образом, гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого равнна амплитуде колебания, а направление образует с осью Рассмотрим сложение двух гармонических коленбаний одного направления и одинаковой частоты. Результирующее колебание будет суммой колебанний х1 и Представим оба колебания с помощью векторов A1и А2. Построим по правилам сложения векторов результирующий вектор А. На рисунке виднно, что проекция этого вектора на ось Также,
из рисунка видно, что Представление гармонических колебаний с помощью векторов позволяет заменить сложение функций сложениема векторов, что значительно проще. Сложение колебаний во взаимно перпендикулярных направлениях. Представим две взаимно перпенндикулярные векторные величины Где В случае колеблющейся частицы величины определяют координаты частицы на плоскости Развернем косинус во втором из равнений (2) по формуле для косинуса суммы: Подставим вместо Преобразуем это равнение Это равнение эллипса, оси которого понвернуты относительно координатных осей х и у. Оринентация эллипса и его полуоси зависят довольно сложным образом от амплитуд A и В и разности фаз α. Попробуем найти форму траектории для нескольких частных случаев. 1. Разность фаз α равна нулю. В этом случае уравнение (5) прощается следующим образом: Отсюда получается равнение прямой: Результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль этой прямой с частотой ω и амнплитудой, равной 2. Разность фаз α равна π. Из уравнение (5)а имеет вид Следовательно, результирующее движение представнляет собой гармоническое колебание вдоль прямой Полуоси эллипса равны соответствующим амплитундам колебаний. При равенстве амплитуд А и В эллипс превращается в окружность. Случаи Следовательно, равномерное движение по окружности радиуса R с гловой скоростью ω может быть представлено как сумма двух взаимно перпенндикулярных колебаний: (знак плюс в выражении для у соответствует движеннию против часовой стрелки, знак минус - движеннию по часовой стрелке). Если частоты взаимно перпендикулярных колебанний не одинаковы, то траектории результирующего движения имеют вид сложных кривых, нанзываемых фигурами Лиссажу. Фигура Лиссажу для отношения чанстот 1:2 и разности фаз
π/2 Фигура Лиссажу для отношения частот 3:4 и разности фаз π2Возьмем ось, вдоль которой будем откладывать колеблющуюся величину а
(1)
Поэтому, вектор A представляет собой резульнтирующее колебание. Этот вектор вращается с той же гловой скоростью ω0,
как и векторы А1 и А2,
так что сумма
(2)
(3)
(1)
(2)
а(3)
Соответственно
а(4)
(5)
а
(рис. 1 а).
(рис. 1 б)
Рис.1
3. При
ауравнение (5) переходит в равнение эллипса,
приведенного к координатным осям:
и
аотличаются нанправлением движения по эллипсу или окружности.
а