Основные определения и теоремы к зачету по функциональному анализу

Определение:а Элемент наилучшего приближения - L - линейное многообразие, плотное в E. "

Теорема:а Для любого элемента нормированного пространства существует хотя бы один элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства.

Теорема:а Для элемента из строго нормированного конечномерного пространства существует единственный элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства.

Теорема:а Рисса о существовании почти ортогонального элемента. E-НП LÌE, "eÎEL ║z_e║=1 r(z_e,L)>1-

Определение:а Полное нормированное пространство- любая фундаментальная последовательность сходиться.

Теорема:а О пополнении нормированного пространства. Любое нормированное пространство можно считать линейным многообразием, плотным в некотором полном нормированном пространстве.

Определение:а Гильбертово пространство - нормированное пространство, полное в норме, порожденной скалярным произведением.

Теорема:а Для любого элемента гильбертова пространства существует единственный элемент наилучшего приближения в конечномерном подпространстве гильбертова пространства.

Определение:а L плотное в E, если "

Теорема:а Чтобы L было плотно в H ó ортогональное дополнение к L состояло только из нулевого элемента.

Определение:а Сепарабельное - нормированное пространство, содержащее некоторое счетное плотное в нем множество.

Определение:а Ортогональное дополнение - множество элементов ортогональных к элементам данного пространства.

Определение:а Линейный оператор - отображение, для которого A(ax+by)=aAx+bAy

Определение:а Непрерывный оператор - AxàAx₀при xà x₀

Определение: L(X,Y) - пространство линейных операторов

Теорема:а Пусть X и Y - полные НП и A - непрерывен на некотором подпространстве пространства X, тогда он непрерывен на всем X.

Определение:а Ограниченный оператор - "║x║≤1 <$с: ║Ax║≤c

Теорема:а A - ограниченный ó "

Теорема:а Для того чтобы А был непрерывен ó чтобы он была ограничен

Теорема: {A_n} равномерно ограничена è {A_n}- ограничена.

Теорема:а <{A_nx} - ограниченно ó {║A_n║}- ограничена.

Определение:а Сильная (равномерная) сходимость ║A_n-A║à0, nàA

Определение:а Слабая сходимость - "n-A)x║_Yà0, nà¥

Теорема:а Для того, чтобы имела место сильная сходимость ó {A_n} сходилась равномерно на замкнутом шаре радиуса 1

Теорема:а Банаха-Штенгауза A_nàA nà¥ слабо è 1) {║A_n║}- ограничена 2) A_nàA, xТÌX, xТ=x

Теорема: Хана Банаха. A:D(A)àY, D(A)ÌX è <$ AТ:XàY 1) AТx=Ax, xÎD(A)а 2) ║AТ║=║A║

Определение:а Равномерная ограниченность - $

Определение: Равностепенная непрерывность "1,t₂ <$d: ║x(t₁)-x(t₂)║<

Теорема: L(X,Y) полное, если Y - полное.

Определение:а Ядро - {xÎX | Ax=0}

Определение:а Сопряженное пространство - пространство функционалов X^*:=L(X,E)

Определение:а Сопряженный оператор A^*: Y^*àX^*

Теорема:а Банаха A:XàY и X,Y- полные нормированные пространства. Тогда $ A^-1и ограничен.

Определение:а Оператор А - обратимый

Определение:а Оператор А- непрерывнообратимый если 1) A- обратим, 2) R(A)=Y, 3) A^-1-ограничен.

Теорема:а A^-1 <$ и ограничен ó <$

Теорема:а Рисса о представлении линейного функционала в гильбертовом пространстве. Пусть f:XàY - линейный ограниченный функционал è $

Определение:а MÌX называется бикомпактным, если из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся к элементам этого же множества последовательность.

Определение:а Множество называется компактным, если любая ограниченная последовательность элементов содержит фундаментальную подпоследовательность.

Теорема:а Хаусдорфа. MÌX компактно ó "

Теорема:а Арцела. MÌC[a,b] компактно ó все элементы множества равномерно ограничены и равностепенно непрерывны.

Определение:а Компактный (вполне непрерывный) оператор - замкнутый шар пространства X переводит в замкнутый шар пространства Y.

Определение:а

Теорема:а Шаудера. AÎ*Î*,Y^*)

Линейные нормированные пространства

1. <

сферическая норма