Элементарные конформные отображения
ЕЛЕЦ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ.
КУРСОВАЯ РАБОТА
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
Тема: Элементарные конфортные отображения
Выполнила: студентка группы М-31
физико-математического факультета
Е.Г. Петренко
Научный руководитель:
О.А. Саввина
1998 г.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Краткая справка. Пусть имеются два множества комплексных точек 
аточку (или точки) 
со значениями в множестве 
Задание функции 
аэквивалентно заданию двух действительных функций 
аи тогда 
а, где 
1. 
а
а<- линейная функция.
Определена при всех 
а. Функция 
сжимает)
ее в 
араз и после этого осуществляет параллельный сдвиг на величину 
2. 
3. 
а<- показательная функция. По определению 
; 
Определена на всей комплексной плоскости и непрерывна на ней. 
а
а, 
4. 
натуральный логарифм). По определению: 
называется главным значением 
а<- бесконечно-значная функция, обратная к 
5. 
а
6. Тригонометрические функции 
а По определению, 
а; 
7. Гиперболические функции. Определяются по аналогии с такими же функциями действительной переменной, именно:
а, 
Определены и непрерывны на всей комплексной плоскости.
Задачи с решением.
1)
Найти модули и главные значения аргументов комплексных чисел: 
а 
Решение. По определению,
а 
а 
Найти суммы:
1) 
2) 
Решение. Пусть: 
;
Преобразуя, получим:
3. Доказать, что:
1) 
2)
3)
4)
Доказательство:
1) По определению, 
2) 
3) 
а; 
Выразить через тригонометрические и гиперболические функции действительного аргумента действительные и мнимые части, также модули следующих функций: 1) 
Решение: 
аи, учитывая результаты предыдущего примера, получим:
Напомним,
что 
2) 
а 
3) 
а , 
,
а, 
а.
Найти действительные и мнимые части следующих значений функций: 
; 
; 
Решение. Следуя решению примера 4, будем иметь:
а;а 
а;а 
а; 
а; 
Вычислить:
1) 
3) 
; 5) 
2) 
4) 
а; 6) 
а;
Решение. По определению, 
1)
2) 
3) 
4)
5)
а 
6)
Найти все значения следующих степеней:
1) 
2) 
а; 3)
а; 4)
Решение. Выражение 
адля любых комплексных 
аи 
1) 
2)
3)а 
4) 
8. Доказать следующие равенства:
1) 
2)а 
3) 
Доказательство: 1) 
а, откуд 
Решив это равнение, получим 
аи 
2) 
а 
3) 
Отсюд 
