Шпаргалки по Численным методам

Вопрос №1 Источники погрешностей величин, структура погрешности приближенного значения числовой величины Этапы решения прикладной задачи и классификация ошибок. Абсолютная и относительная погрешности. Значащие и верные цифры. Округление чисел.

Решения, полученные численным методом, обычно являются приближенными, т.е. содержат некоторую погрешность.

Этапы решения прикладной задачи и классификация ошибок:

5 этапов:

Моделирование - осуществляется постановка задачи и построение математической модели.

Математическая постановка - точная формулировка словий и целей решения.

Построение математической модели - выделение наиболее существенных свойств реального объекта и описание их с помощью математических соотношений.

Алгоритмизация - осуществляется выбор метода и разработка алгоритма.
Программирование - алгоритм записывается на понятном ЭВМ языке.
Реализация - осуществляется отладка и исполнение программы на ЭВМ.
Интерпретация - анализ полученных результатов.

Ошибки могут появляться на любой стадии.

Погрешность обуславливается:

Матем. Описание задач неточно (например, исходные данные неточны). Погрешность, соответствующая этой причине, называется неустранимой погрешностью.
Применяемый для решения метод часто является неточным: получение точного решения задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций, поэтому прибегают к приближенному решению. Часто погрешность возникает вместо замены бесконечных процессов конечными - это погрешность метода.
При выполнении арифметических операций часто производиться округление.

Абсолютная и относительная погрешность:

Приближенное число лx - число, незначительно отличающееся от точного Х и заменяющее последнее вычисление.

Пусть Х - истинное значение некоторой величины. лх - ее известное приближение.

Погрешность=(Х-х). Знак погрешности не имеет значения, поэтому рассматривают |Х-х|.

Величина |Х-х| называется абсолютной погрешностью приближенного значения х.

Число Х часто неизвестно. =>По формуле считать нельзя, но бывает известна абсолютная величина ошибки, т.е. такое наименьшее число х для которого справедливо неравенство:

|Х-х|<=х, х - граница абсолютной погрешности приближения х.

Неравенство |Х-х|<=х позволяет становить приближение к Х по недостатку и избытку. (Х-х)<=x<=(Х+х). Вместо этой формулы часто используют Х=х+х.

По абсолютной погрешности нельзя судить о точности измерений и вычислений.

Качество приближенных значений измеряется с помощью относительной погрешности, которая определяется как отношение ошибки |Х-х|/Х.

Границей относительной погрешности х приближенного числа Х называется отношение предельной абсолютной погрешности х к модулю значения Х.

х=х/|x|

Относительная погрешность часто выражается в процентах.

Значащие и верные цифры:

Значащие цифры в записи числа - все цифры в его десятичном изображении, отличные от нуля и нули, если они расположены между значащими цифрами или стоят в конце для выражения верных знаков.(все цифры, начиная с первой ненулевой слева).

Значащая цифра называется верной в широком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующей этой цифре.

Значащая цифра называется верной в строгом смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда в которой стоит эта цифра.

Сомнительные - не верные цифры.

Правильная запись - если в его записи все цифры верны. Правильная запись обязывает выписывать нули в последних разрядах, если они являются выражением верных цифр.

Округление чисел:

Округление - замена числа его приближением с меньшим количеством значащих цифр.

окр=|Х-х_n|

Абсолютная погрешность числа складывается из абсолютной погрешности первоначального числа и погрешности округления, т.е. х₁=х+окр

Используется 3 метода округления чисел:

Отбрасывание:

Оставляет все сохраняемые цифры округляемого числа верными в широком смысле.

Округление завышением:

Последнюю цифру величиваем на 1

Метод симметричного округления

Выполняется по правилам:

Если первая слева из отбрасываемых цифр <5, то оставшиеся десятичные знаки сохраняются без изменения
Если первая слева из отбрасываемых цифр >5, то последняя сохр-ая цифра величивается на 1
Если первая слева из отбрасываемых цифр =5 и среди отбрасываемых цифр есть ненулевые, то последняя сохран-я цифра величивается на 1
Если первая слева из отбрасываемых цифр =5, и остальные отбрасываемые цифры 0, то последняя сохраняемая цифра величивается на 1, если она нечетная и остается неизменной, если она четная. (правило четной цифры)

Погрешности записывают с 1 значащей цифрой и всегда округляют завышением.