Алгебра. Геометрия. Тригонометрия (шпаргалка)

(а
в)² = а² 2ав + в²

(а
в)³ = а³ 3а²в + 3ав² в³

² - в² = (а + в) (а - в)

³ + в³ =а (а + в) (а² - ав + в²)

³ - в³ =а (а - в) (а² + ав + в²)

(а + в + с)² = а² + в² + с² +2ав +2ас +2вс

Степени.

^м а^н = а^{м + н}

^м : а^н = а^{м - н}

(ав)^м = а^м в^м

(а^м)^н = а^мн

(а : в)^м = а^м : в^м

^{- м} = 1 : а^м

^{м : н} = ^нÖ а^м

Корни.

^нÖав =^нÖа ^нÖв

^нÖа ^мÖв = ^{н м}Öа^м в^н

^нÖа : в = ^нÖа : ^нÖв

(^нÖа^м)^х = ^нÖа^{м х}

^нÖа^м = а^м/н

^мÖ^нÖа = ^мнÖа

(^нÖа)^м = ^нÖа^м

рифметическая прогрессия.

₁, а₂, а₃, Е, а _n-1, а_n

_n-1а - а_n = d _а

d - разность прогрессии

₂ = а₁+ d

₃ = а₂ + d = а₁ + 2d

_n = а₁ + d(n-1)

Sn = (а₁ + а_n) nа = (2а₁ + ( n-1) d) n

2а 2

Sn - сумма членов арифметической

прогрессии.

d - разность прогрессии.

d > 0 - прогрессия возрастающая

d < 0 - прогрессия убывающая.

Геометрическая прогрессия.

₁, а₂, а₃, Е, а _n-1, а_n

_n+1 / а_nа = q

₂ = а₁ q

qа - знаменатель прогрессии.

₃ = а₂ q = а₁ q²

_n = а₁ q_а ^n-1

Сумма членов для возрастающей

прогрессии (q > 1)

Sn = а_n q - а₁ а= а₁ (qⁿ а-1 : q - 1)_а

q - 1

Сумма членов для бывающей прогрессии (qа <а 1)

Sn = а₁ (1 - qⁿ)

а1 - q

Сумма членов бесконечно бывающей

Прогрессии

Sn =а ₁

1 - q

Вектора.

= М₁М₂ ={х₂ - х₁, у₂ - у₁, z₂ Цz₁}

Длина вектора

çа ç=Ö(х₂ - х₁)² +(у₂ - у₁)² + (z₂ - z₁)^2а

Умножение вектора на число

a = d

Скалярное произведение векторов

в = çа ççв çcos j

Формулы сложения и вычитания

sin (a b) = sina cosb cosa sinb

cos (a b) = cosa cosb sina sinb

tgа (a b) = (tga tgb)

(1 + tga tgb)

ctg (a b) = ctga ctgb + 1

ctgb ctga

sina + sinb = 2 sin (a + b) cos (a - b)

2              2

sina - sinb = 2 cos (a + b) sin (a - b)

2              2

cosa + cosb = 2 cos (a + b) cos (a - b)

2              2

cosa - cosb = - 2 sin (a + b) sin (a - b)

2              2

tga tgb = sin (a b)

cosa cosb

ctga ctgb = sin (b a)

sina sinb

sin²a - sin²b = cos²b - cos²a =

sin (a + b) sin (a - b)

cos²a - sin²b = cos²b - sin²a =

cos (a + b) cos (a - b)

Связь между тригонометрическими функциями

sina = Ö1 - cos²a

sina = tga

Ö1 + tg²a

sina = 1

Ö1 + ctg²a

cosa = Ö1 - sin²a

cosa = 1

Ö1 + tg²a

cosa = ctga

Ö1 + ctg²a

tga = sina

Ö1 - sin²a

tga = Ö1 - cos²a

cosa

tga = 1

ctga

ctga = Ö1 - sin²a

sina

ctga = cosa

Ö1 - cos²a

ctga =а 1

tga

Формулы преобразования произведения

sina sinb = cos (a - b) - cos (a + b)

2

cosa cosb = cos (a - b) + cos (a + b)

2

sina cosb = sin (a + b) + sin (a - b)

2

tga tgb =а tga + tgb

ctga + ctgb

ctga tgb = ctga + tgb

tga + ctgb

ctga ctgb = ctga + ctgb

tga + tgb

Формулы двойных глов

sin2a = 2 sina cosa

sina = 2 sin (a) cos (a)

cos2a = cos²a - sin²a =

= 1 - 2sin²a =

= 2cos²a - 1

tg2a = 2 tga

1 - tg²a

= 2

ctga - tga

tga = 2 tg (a/2)

1 - tg² (a/2)

ctg2a = ctg²a - 1

2 ctga

= ctga - tga

2

ctga = ctg² (a/2) - 1

2 ctg (a/2)

sin x = a

x = (-1)ⁿ arksin a + pn

cos x = a

x = arkcos a + 2pn

tg x = a

x = arktg a + pn

ctg x = a

x = arkctg a + pn

Формулы приведения

sin (p /2 - a) = + cosa

sin (p /2 + a) = + cosa

sin (p - a) = + sina

sin (pа + a) = - sina

sin (3p/2 - a) = - cosa

sin (3p /2 + a) = - cosa

sin (2p - a) = - sina

sin (2pа + a) = + sina

----------------

cos (p/2 - a) = + sina

cos (p/2 + a) = - sina

cos (p - a) = - cosa

cos (p + a) = - cosa

cos (3p/2 - a) = - sina

cos (3p/2 + a) = + sina

cos (2p - a) = + cosa

cos (2p + a) = + cosa

-----------------

tg (p/2 - a) = + ctga

tg (p/2 + a) = - ctga

tg (p - a) = - tga

tg (p + a) = + tga

tg (3p/2 - a) = + ctga

tg (3p/2 + a) = - ctga

tg (2p - a) = -а tga

tg (2p + a) = + tga

-------------

ctg (p/2 - a) = + tga

ctg (p/2 + a) = - tga

ctg (p - a) = - ctga

ctg (p + a) = + ctga

ctg (3p/2 - a) = + tga

ctg (p/2 + a) = - tga

ctg (2p - a) = - ctga

ctg (2p + a) = + ctga

sin (- a) = - sina

cos (- a) = cosa

tg (- a) = - tga

/h1>

В прямоугольном треугольнике

a² + b² = c²

a = c sina

a = b tga

b = c cosa

теорема синусов:

a = b = c

sina sinb sing

теорема косинусов:

a² = b² + c² - 2 bc cosa

S = ½ ab

Площади фигур

Прямоугольник

S = a b = ½ d₁ d₂ sina,

d₁ и d₂ - диагонали

a - гол пересечения диагоналей

Параллелограмм/h2>

S = a h = a b sina

S = ½ d₁ d₂ sina

Трапеция

S = a + bа h = ½ d₁ d₂ sina

2

Круг

S = l r = p r²

2

ТРЕУГОЛЬНИК

S = ½ ah = ½ ab sina

Формула Герона:

S = Ö p (p - a) (p - b) (p - c)

p = a +b + c

2

Площадь треугольника описанного окружностью:

S = a b c

4r

Площадь треугольника с вписанной окружностью:

S = ½ r P

где- периметр

радиус описанной окружности:

R = a b c

4S

радиус вписанной окружности:

r = 2S

a + b + c

длина окружности:

l = 2pr

Квадрат

S = a² = d²/2

Ромб

S = a² sina = ah = ½ dD

где d - малая диагональ

D - большая диагональ

Объемы тел:

Параллелепипед

V = Ssub>осн h

Куб/h3>

V = abc = a³

Призма

V = Ssub>осн h = S_^сеч l

l - грань призмы

Пирамида

V = 1/3 Ssub>осн h

Цилиндр

V = Ssub>осн h = p r² h = 1/4p d² h

r - радиус основания

d - диаметр основания

Конус

V = 1/3 Ssub>осн h = 1/3 p r² h

Шар

V = 4/3 p r³

Площади поверхностей

Призма

Ssub>п = S_бок + 2Ssub>осн_/sub>

S_бок = ph = S_^сеч l

p = a + b +c

Куб

Ssub>п = 6a²

Пирамида четырехугольная

Ssub>п = S_бок + Ssub>осн_/sub>

S_бок = ½ Psub>осн h

h - высот боковой грани

Пирамида треугольная

Ssub>п = S_бок + Ssub>осн_/sub>

S_бок = Ssub>осн cosj

j - гол наклона грани

Цилиндр

Ssub>п = S_бок + Ssub>осн_/sub>

S_бок = 2p rh

Ssub>осн = 2pr (h + r)

Конус

Ssub>п = S_бок + Ssub>осн_/sub>

S_бок = prl

Ssub>осн = pr (l + r)

Параллелепипед

Ssub>п = S_бок + 2Ssub>осн_/sub>

S_бок = Psub>осн l

Шар

S = 4 pr²

Значения глов

a 0 p/6 p/4 p/3 p/2 p

sin 0 ½ Ö2/2 Ö3/2 1 0а

cos 1 Ö3/2 Ö2/2 ½ 0 -1

tg 0 1/Ö3 1 Ö3 - 0

ctg - Ö3 1 1/Ö3 0 -