Разложение рациональной дроби на простейшие.

Федеральное агентство по образованию

Государственное общеобразовательное чреждение

высшего профессионального образования

Башкирский Государственный ниверситет

Нефтекамский филиал

Кафедра МиПОВМ

Курсовая работ

Тема: Разложение рациональной дроби на простейшие.

Выполнил студент

группы М-31

Остапов А. Б.

Принял:

Вильданов А. Н.

Нефтекамск 2006

Содержание.

        Введение.

        Часть 1. Теоретическая часть к курсовой работе.

        Часть 2. Практическая часть к курсовой работе.

o   з Реализация метода простых коэффициентов в MapleФ.

o   з Реализация метода простых коэффициентов на DelphiФ.

        Заключение.

        Список литературы.

Введение./h1>

Этот вопрос же много раз изучен и рассмотрен. Казалось бы, что может быть проще для современного математика, чем разложить рациональную дробь на простейшие, разве что элементарные алгебраические операции. Однако, применение этого метода существенно облегчает жизнь - не будь метода - некоторые задачи было бы очень проблематично решить, некоторые вообще не решались.

Основные операции, в которых я применял этот метод, были:

) Разложение рациональной дроби на простейшие с целью дальнейшего интегрирования получившихся элементарных дробей (Матем. анализ);

б) Разложение рациональной дроби на простейшие для использования в процессе преобразования Лапласа, что иногда серьезно скоряет нахождение решения различных равнений и систем равнений в частных производных (Курс равнений мат. физики).

Разложение - это необходимость. Без нее нельзя обходиться, тем более на современном этапе развития математической мысли. Об этом и пойдет речь в моей курсовой работе.

Часть 1.

Теоретическая часть к курсовой работе.

Рациональной дробью назовем отношение двух алгебраических многочленов с вещественными коэффициентами:

Практическая часть к курсовой работе.

за Реализация метода простых коэффициентов в MapleФ.

Для определения конкретных значений сих коэффициентов следует привести равенство к общему знаменателю и сравнить коэффициенты при одинаковых степенях x в числителе. Т.е. по сути дела решить систему линейных равнений. Используется эта конструкция по большей части при вычислении интегралов, т.к. таким образом интеграл произвольной рациональной функции сводится, по сути дела, к сумме табличных интегралов. Этакая лекция по мат. анализу получилась.

Сразу скажу тем, кому вообще лень что-то делать по этому поводу. Maple делает все, что мы сейчас напишем, одной операцией:

> сonvert(rfun, parfrac, x);

И все. Спросите: зачем этот велосипед? Цель - не конечный результат, идея и методы ее реализации на Maple. Гораздо интереснее получается посмотреть на целую программу, реально работающий ниверсальный алгоритм, делающий конкретно нечто, чем просто читать обрывки help-ов под каждую команду языка на английском, не понимая в принципе, как это все связать воедино. Ясное дело, профессионалу, прочувствовавшему Maple, будет неинтересно читать подробные объяснения по поводу использованных функций языка, однако для изучающего систему не совсем новичка-математика это будет крайне полезно. Постараюсь в процессе показать читателю свое разумение философии пакета.

Как всегда первый вопрос: с чем работаем? Действительно, для отладки алгоритма необходимо создать хоть несколько рациональных дробей. Руками писать неудобно, поэтому даже этот этап сгрузим на машину.

> restart:

> readlib(randomize):

(а) > randomize():

(б) > d1:= rand(1..3):

> d2:= rand(2..7):

(в) > px:= randpoly(x, degree=21, coeffs=rand(-7..7), terms = 9):

(г) > for i from 1 to 3 do

> q[i]:= randpoly(x, degree=1, coeffs=rand(-7..7))^d1():

> q[i+3]:= (x^2 + x + d2())^d1():

> od:

(д) > rfun:= px/product(q[k], k=1..6);

Разберемся, что тут мы с вами наворотили. Итак, сначала подробно остановимся на генерации случайных целых чисел в системе Maple. (а) Ч здесь мы заставляем генератор случайных чисел привязаться к системному времени. Если этого не сделать, то генерируемая последовательность будет каждый раз одинаковой. Вызов просто функции rand() без аргументов возвратит двенадцатизначное случайное натуральное число. В большинстве случаев это ну совсем неудобно. Можно это дело исправить, передавая функции один аргумент: rand(n), что приведет к генерации числа из полуинтервала [0, n). Зачастую и этого недостаточно для решения поставленной задачи. Можно еще более сузить область значений - (б). Только в этом случае в d1 вернется отнюдь не число, а ссылка на процедуру, вызов которой приведет к генерации случайного числа из заданного отрезка. Произвольный полином максимальной степени 21 степени с коэффициентами из отрезка [-7,7] и девятью членами получим в (в). Дальше интереснее - нужно изготовить знаменатель. Сделаем его в виде произведения трех многочленов первой, и трех - второй степени. Причем по определению многочлены второй степени не должны иметь действительных корней. Реализующая эту задачу конструкция (г) очевидна и в пояснениях не нуждается. И наконец, собрав числитель и знаменатель в одно целое, в (д) получим нашу рациональную дробь. Выражение product(q[k], k=1..6); является формальным переводом на язык Maple записи:

з Реализация метода простых коэффициентов на DelphiФ.

unit Unit1;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs, Spin, StdCtrls, Grids, MatUtilits;

type

signs = -1..1;

polinom = array of real;

fpolinoms = array of polinom;

TForm1 = class(TForm)

StringGrid1: TStringGrid;

Edit1: TEdit;

StringGrid2: TStringGrid;

Edit2: TEdit;

SpinEdit1: TSpinEdit;

SpinEdit2: TSpinEdit;

Button1: TButton;

Memo1: TMemo;

Edit3: TEdit;

Label1: TLabel;

Label2: TLabel;

Edit4: TEdit;

procedure Button1Click(Sender: TObject);

procedure SpinEdit1Change(Sender: TObject);

procedure SpinEdit2Change(Sender: TObject);

procedure FormCreate(Sender: TObject);

private

{ Private declarations }

public

{ Public declarations }

procedure Polinommul(a:polinom;n:byte;b:polinom;m:byte;var ab:polinom;var nm:byte);

procedure GetPolinom(r:fpolinoms;step:byte;flag:boolean;numdrob:byte;var res:polinom);

procedure Calculate(mass1:polinom;n:integer;var formula:string);

end;

const

n10 =10;

var

Form1: TForm1;

n1,n2,s1,s2:shortint;

roots1,roots2,znamen,matr:fpolinoms;

pol1,pol2,chislit:polinom;

matr1,koef:matdouble;

mass1:array of real;

elem:array[0..n10] of string[10];

equation,eq1,eq2,eq3:string;

implementation

{$R *.dfm}

Процедура перемножения объектов типа polinom, т. е. массивов с коэффициентами многочленов и получения результата их перемножения:

procedure TForm1.Polinommul(a:polinom;n:byte;b:polinom;m:byte;var ab:polinom;var nm:byte);

var

temp:real;

i,j,t:shortint;

p1:polinom;

begin

setlength(p1,m+n+1);

setlength(ab,m+n+1);

temp:=0;

for i:=0 to m+n doа p1[i]:=0;

for i:=0 to n do

for j:=0 to m do

begin

temp:=a[i]*b[j];

p1[i+j]:=p1[i+j]+temp;

end;

nm:=n+m;

ab:=p1;

{ t:=0;

for i:=0 to m+n do

if p1[i]=0 then

begin

t:=i+1;

continue;

end

else break;

setlength(ab,m+n-t);

for i:= 0 to m+n-t+1 do

ab[i]:=p1[i+t];

nm:=m+n-t+1;а }

end;

Процедура, которая из массива многочленов делает многочлен - или результат их перемножения - или произведение, но без i-го члена, в зависимости от flag.

procedure TForm1.GetPolinom(r:fpolinoms;step:byte;flag:boolean;numdrob:byte;var res:polinom);

var

buffer,buffer1,temp:polinom;

i,j,p,p1:byte;

flag1:boolean;

begin

if not(flag) then

begin

setlength(buffer,2);

setlength(buffer1,2);

setlength(temp,2);

buffer[0]:=r[0,0];

buffer[1]:=r[0,1];

p:=1;

p1:=1;

for i:=1 to step do

begin

setlength(temp,p1+1);

for j:=0 to 1 doа buffer1[j]:=r[i,j];

Form1.Polinommul(buffer,p,buffer1,1,temp,p1);

setlength(buffer,p1);

buffer:=temp;

p:=p1;

end;

end

else

begin

setlength(buffer,2);

setlength(buffer1,2);

setlength(temp,2);

buffer[0]:=0;

buffer[1]:=1.0;

p:=0;

p1:=0;

for i:=0 to step do

begin

if numdrob = i then

begin

buffer1[0]:=0;

buffer1[1]:=1.0;

end;

if numdrob<>i then inc(p);

if numdrob<>i then for j:=0 to 1 doа buffer1[j]:=r[i,j];

if numdrob=i then

begin

Form1.Polinommul(buffer,p,buffer1,1,temp,p1);

continue;

end;

Form1.Polinommul(buffer,p,buffer1,1,temp,p1);

if numdrob<>i then setlength(buffer,p1);

buffer:=temp;

end;

end;

setlength(res,p1);

res:=buffer;

end;

Основной текст программы, вбирающий в себя процедуры и реализовающий сам процесс разложения на простые множители. Его я повесил на кнопку: а

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

var

i,j,k:byte;

temp:polinom;

st1,st2,st3,stt:string;

begin

Form1.Edit1.Text:='';

Form1.Edit2.Text:='';

Form1.Edit3.Text:='';

Form1.Edit4.Text:='';

n1:=strtoint(Form1.SpinEdit1.Text);

n2:=strtoint(Form1.SpinEdit2.Text)-1;

setlength(chislit,n1+1);

setlength(roots2,n2+1,2);

setlength(znamen,n2,n2);

for i:=0 to n1 do

begin

chislit[i]:=strtofloat(Form1.StringGrid1.Cells[i,0]);

end;

for i:=0 to n2 do

begin

roots2[i,0]:=1.0;

roots2[i,1]:=-strtofloat(Form1.StringGrid2.Cells[i,0]);

end;

form1.GetPolinom(roots2,n2,false,0,pol2);

setlength(temp,n2+1);

for i:=0 to n2 do

begin

for k:=0 to n2 do temp[k]:=0;

form1.GetPolinom(roots2,n2,true,i,temp);

for j:=0 to n2 do

Form1.Edit3.Text:= Form1.Edit3.Text+getfstring(temp[j+1],1)+' ';

for k:=0 to n2 do temp[k]:=0;

end;

form1.Calculate(chislit,n1+1,st1);

form1.Calculate(pol2,n2+2,st2);

Form1.Edit1.Text:=st1;

Form1.Edit2.Text:=st2;

{for i:=0 to n1 do

Form1.Edit1.Text:=Form1.Edit1.Text+getfstring(chislit[i],1)+' ';

for i:=0 to n2+1 do

Form1.Edit2.Text:=Form1.Edit2.Text+getfstring(pol2[i],1)+' ';}

Setlength(matr,n2+2,n2+1);

for i:=0 to n2 do

begin

form1.GetPolinom(roots2,n2,true,i,temp);

for j:=1 to n2+1 do matr[i,j-1]:=temp[j];

end;

i:=0;

for j:=0 to n2 do

matr[n2+1,j]:=0;

for j:=n2-n1 to n2 do

begin

matr[n2+1,j]:=chislit[i];

inc(i);

end;

setlength(matr1,n2+1,n2+2);

setlength(koef,n2+1,1);

for i:=0 to n2 do

for j:=0 to n2+1 do

matr1[i,j]:=matr[j,i];

korni(matr1,n2+1,n2+2,koef);

for i:=0 to n2 do

form1.Edit4.Text:=form1.Edit4.Text+getfstring(koef[i,0],3)+' ';

end;

procedure TForm1.SpinEdit1Change(Sender: TObject);

begin

Form1.StringGrid1.ColCount:=strtoint(Form1.SpinEdit1.Text)+1;

end;

procedure TForm1.SpinEdit2Change(Sender: TObject);

begin

Form1.StringGrid2.ColCount:=strtoint(Form1.SpinEdit2.Text);

end;

procedure TForm1.FormCreate(Sender: TObject);

var i:shortint;

begin

Form1.StringGrid1.ColCount:=strtoint(Form1.SpinEdit1.Text)+1;

Form1.StringGrid2.ColCount:=strtoint(Form1.SpinEdit2.Text);

end;

Чтобы вид был более нагляден и информативен, я использовал процедуру преобразования массива коэффициентов:

procedure TForm1.Calculate(mass1:polinom;n:integer;var formula:string);

var

i,j,k1:byte;

sign:array of signs ;

first,flag:boolean;

odin:array of boolean;

s:integer;

begin

k1:=n-1;

for i:=0 to n-1 do

begin

elem[i]:='x^'+inttostr(k1);

dec(k1);

end;

first:=true;

setlength(odin,n);

setlength(sign,n);

setlength(mass1,n);

equation:='';

for i:=0 to n-1 do //calculating and building

begin

if abs(mass1[i])=1 then odin[i]:=true; //esli ediniza

if mass1[i]>0 then sign[i]:=1 //check sign

else

if mass1[i]=0 then sign[i]:=0

else sign[i]:=-1;

if odin[i] thenа //esli ediniza

begin

if i<n-1 then

case sign[i] of

1:

if first then

begin

equation:=equation+elem[i];

first:=false;

end

else

equation:=equation+' + '+elem[i];

0:

continue;

-1:

begin

if first then first:=false;

equation:=equation+' - '+elem[i];

end;

end

else

case sign[i] of

1:

if first then

begin

equation:=equation+'1';

first:=false;

end

else

equation:=equation+' + 1';

0:

continue;

-1:

begin

if first then first:=false;

equation:=equation+' - 1';

end;

end;

continue;

end;

if i = n-1 then

case sign[i] of

1:

if first then

begin

equation:=equation+getfstring(abs(mass1[i]),3);

first:=false;

end

else

equation:=equation+' + '+getfstring(abs(mass1[i]),3);

0:а continue;

-1:

begin

if first then first:=false;

equation:=equation+' - '+getfstring(abs(mass1[i]),3);

end;

end

else

case sign[i] of

1:

if first then

begin

equation:=equation+getfstring(abs(mass1[i]),3)+'*'+elem[i];

first:=false;

end

else

equation:=equation+' + '+getfstring(abs(mass1[i]),3)+'*'+elem[i];

0:

continue;

-1:

begin

equation:=equation+' - '+getfstring(abs(mass1[i]),3)+'*'+elem[i];

if first then first:=false;

end;

end;

end;

s:=0;

{ for i:=0 to n-1 do

s:=s+abs(mass1[i]);

if s=0 then equation:='0';а }

formula:=equation;

end;

end.

Пример:

Заключение.

В моей курсовой работе я рассмотрел подробно метод простых коэффициентов и реализовал программу на Delphi, которая вычисляет значения коэффициентов для случая простых действительных корней знаменателя. В Maple эта процедура тоже есть и вычисляет коэффициенты для любой дробно - рациональной функции. Нехватка времени не позволила мне довести мою программу до полной функциональности: вычисление коэффициентов для любого знаменателя, т. е. знаменателя с любыми корнями. В дальнейшем, может быть, я это осуществлю. Однако, даже в таком варианте она полезна для практического использования - быстрого вычисления коэффициентов.

Список литературы.

1.Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Кобельков Г. М. Численные методы. - М.: Физматлит, 2001.

2.Волков Е.А. Численные методы. - Петербург, изд - во Лань, 2004.

3.Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: Наука, 1970.

4.Вержбицкий В.М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные равнения. - М.: Высшая школа, 2.

5.Бахвалов Н.С., Лапин А.В. Численные методы в задачах и пражнениях. - М.: Высшая школа, 2.

6.Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. - Петербург, изд Цво Лань, 2002.

7.Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы математической физики. - М.: Научный мир, 2003.

8.Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. - М.: Мир, 2001.

9.Косарев В.И. 12 лекций по вычислительной математике. - М.: изд Цво МФТИ, 2.

10. Лобанов А.И., Мещеряков М.В., Чудов Л.А. Задачи для самостоятельного исследования в курсе вычислительной математики. - М.: изд Цво МФТИ, 2001