Гамма функции
1. Бэта-функции 6
Бэта - функции определяются интегралом Эйлера первого рода:
(1.1)
сходятся при 
а<=
т.e. аргумент 
аи 
авходят в асиметрично. Принимая во внимание тождество
по формуле интегрирования почестям имеем
Откуда
(1.2)
7
При целом
Получим
(1.3)
при целых но B(1,1) =
1,следовательно: Положим в (1.1) 8 и в результате подстановки полагая в(1.1) разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 и от 1 до 2. Гамма-функция 9 Гамма функцию определяет интеграл Эйлера второго рода G( сходящийся при G( и после замены Умножая это равенство и интегрируя по или на основании (1.4) и после изменения в правой части порядка интегрирования,получаем: 10 откуд
заменяя в (2,1) получаем рекурентною формулу так как но при целом то есть при целых значениях аргумента гамма-функция превращается в факториал.Порядок которого на единицу меньше взятого значения аргумента.При Интеграл сходится при каждом В области Отсюда вытекает непрерывность гамма функции при 12 сходится равномерно на каждом сегменте и так как интеграл в котором подынтегральная функция непрерывна в области 13 сходится равномерно, а,
следовательно, г функция бесконечно дифференцируема при любом Относительно интеграла По индукции доказывается, что Г-функция бесконечно дифференцируема при Изучим теперь поведение Из выражения для второй производной 14 Равенство Положим для Определив таким образом Отметим еще раз, что интеграл определяет Г-функцию только при положительных значениях 15 (рис.1) 4. Вычисление некоторых интегралов. 16 Формула Стирлинга где и на основании (2.2) имеем В интеграле Где 17 Интеграл Где = где Рассмотрим неполные гамма функции (функции Прима) связанные неравенством Разлагая, 18
Переходя к выводу формулы Стирлинга,
дающей в частности приближенное значение Непрерывна на интервале (-1, то
И так производная непрерывна и положительна во всем интервале 19 Из предыдущего следует, что существует обратная функция, Обращающаяся в 0 при Формулу Стирлинга выведем из равенства полагая Положим далее 20 имеем полагая на конец, или в пределе при откуда вытекает формула Стирлинга которую можно взять в виде 21 где для достаточно больших вычисление же производится при помощи логарифмов если приведем без вывода более точную формулу где в скобках стоит не сходящийся ряд. 5. Примеры вычисления интегралов 22 Для вычисления необходимы формулы: Г( Вычислить интегралы 23 Запорзький державний нверситет
Зав. каф. Математичного аналзу д. т. н. проф. С.Ф.
Шишканова 2002р. ГАМА ФУНКЦ п Ст..гр.. 8221-2 Кервник Ст. викладач .
Запоржжя 2002. Реферат................................................................................................4 введение...............................................................................................5 1.
Бета функции..............6 2.
Гамма функции..........................................................................9 3.
Производная гамм функции.................................................11 4.
Вычисление интегралов формула Стирлинга............................16 5.
Примеры вычеслений...............................................................22 вывод..................................................................................................24 Список литературы..............25 Реферат Обьект иследований: гамма и ее приложения. В работе идет речь о представлении бета и гамма функций с помощью интегралов Эйлера соответствено первого и второго рода.
И о их применении для вычисления интегралов. Ключевые слова: ГАММ И БЕТА ФУНКЦИЯ, ИНТЕГРАЛ ЭЙЛЕРА, ПРОИЗВОДНАЯ,
ПРЕДЕЛ. Выделяют особый класс функций, представимых в виде собственого либо несобственого интеграла, который зависит не только от формальной переменной, и от параметра. Такие функции называются интегралами зависящими от параметра. К их числу относятся гамма и бета функции Эйлера. Бета функции представимы интегралома Эйлера первого рода: гамма функция представляется интегралом Эйлера второго рода: Гамма функции являются добным средством для вычисления некоторых интегралов в частности многих из тех интегралов, которые не представимы в элементарных функциях. Благодаря этому они широко применяются в математике и ее приложениях, в механике, термодинамике и в других отраслях современной науки. 2. Математический анализ часть 2: Ильин О.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х.,М.,Московский ниверситет,1987 3.
Сборник задач по математическому анализу: Демидович Б.П.,М.,Наука,1966 4. Интегралы и ряды специальные функции: Прудников А.П., Брычков Ю.А.,М.,Наука,1983 5. Специальные функции: Кузнецов, М.,Высшая школа,1965
<=
а.Так как график функции 
,откуда 
(1.4)
аи применение ко второму интегралу подстановки 
(2.1)
а0.Положим
аи
(2.2)
,на 
аи интегрируем по частям
(2.3)
аимеем
(2.4)
3.
Производная гамма функции 11
а 
апри 
аи можна применить признак Веерштраса. Сходящимся при всех значениях аявляется и весь интеграл 
атак как и второе слогаемое правой части является интегралом, заведомо сходящимся при любом
агде 
апроизвольно.Действительно для всех казаных значений 
а
ходится равномерно.
функция
анепрерывна при аи
а, 
а. Выберем число
атак, чтобы 
апри 
атакое, что 
аи 
ана
асправедливо неравенство
асходится, то интеграл 
асходится равномерно относительно ана 
асуществует такое число
авыполняется неравенство 
аи всех аполучим 
а в силу признака сравнения следует, что интеграл 
асходится равномерно относительно ана
а аинтеграл
аи справедливо равенство
адля всех 
авозрастает. Поскольку 
[1,2]производная 
апри 
аи
апри 
а Монотонно убывает на 
а 
аиз формулы 
а апри 
аиз (-1,0). Получаем, что так продолженная функция 
апринимает на (-1,0)
отрицательные значения и при 
функция 
а той же формуле продолжить ее на интервал (-2,-1). На этом интервале продолжением аокажется функция,
принимающая положительные значения и такая, что 
аи 
а Применим гамма функцию к вычислению интеграла:
(3.1)
ав ряд имеем
(3.2)
адо
апри изменении 
от 
доаи обращаются в 0а при
аопределенная на интервале 
анепрерывная и монотонно возрастающая в этом интервале,
(3.3)
апри 
а.Замечая что(см.3.2)
,
(3.4)
а,при аполагают
(3.5)
ацелое положительное число, то 
аи (3.5) превращается в приближенную формулу вычисления факториалов при больших значениях
а
Мнстерство освти науки крани
ДО ЗАХИСТУ ДОПУЩЕНИЙ
ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА ДО КУРСОВОГО ПРОЕКТУ
Розробив
Садигов Р.А.
Кудря В.
Содержание
Задание на курсовую работу..............................................................2
Курсовая работа: 24 ст., 5 источников, 1 рис.
Введение
Вывод
Список литературы