Поверхности второго порядка

Содержание.

       Понятие поверхности второго порядка.

1. Инварианты равнения поверхности второго порядка.

       Классификация поверхностей второго порядка.

1. Классификация центральных поверхностей.

Äа 1

Äа 2

Äа 3

2. Классификация нецентральных поверхностей.

Äа 1

Äа 2

Ха Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим равнениям.

1.    Эллипсоид.
2. Гиперболоиды.

Äа 1

Äа 2

3. Параболоиды.

Äа 1

4. Конус и цилиндры второго порядка.

Äа 1

Список использованной литературы.

а

1. Аналитическая геометрия В.А. Ильин, Э.Г. Позняк

з 1. Понятие поверхности второго порядка.

Поверхность второго порядка -а геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых довлетворяют равнению вида

a₁₁х² + а₂₂у² + a₃₃2+ 2a₁₂xy + 223уz + 2a₁₃xz + 2а₁₄ 24у+2а₃₄z <+а₄₄ <= 0 (1)

в котором по крайней мере один из коэффициентов 11 , а₂₂, a₃₃ , 12 , 23, a_13а отличен от нуля.

Уравнение (1) мы будем называть общим равнением понверхности второго порядка.

Очевидно, поверхность второго порядка, рассматриваемая как геометрический объект, не меняется, если от данной денкартовой прямоугольной системы координат перейти к другой декартовой системе координат. Отметим, что исходное равненние (1) и равнение, полученное после преобразования коорндинат, алгебраически эквивалентны.

1. Инварианты равнения поверхности второго порядка.

Справедливо следующее тверждение.

являются инвариантами равнения (1) поверхности второго-порядка относительно преобразований декартовой системы конординат.

Доказательство этого тверждения приведено в выпуске Линейная алгебра настоящего курса.

з 2. Классификация поверхностей второго порядка

1. Классификация центральных поверхностей. Пусть S - центральная поверхность второго порядка. Перенесем начало координат в центр этой поверхности, затем произведем станндартное прощение уравнения этой поверхности. В резульнтате казанных операций равнение поверхности примет вид

a₁₁х² + а₂₂у² + a₃₃2 + а₄₄ а<= 0 (2)

Так как инвариант I₃ адля центральной поверхности отличен от ноля и его значение, вычисленное для равнения (2), равно 11 Х ₂₂ Ха 33 , то коэффициенты 11, ₂₂, 33а довлетворяют словию :

Возможны следующие случаи :

Äа 1

Если коэффициенты 11, ₂₂, 33 , а₄₄ одного знака, то левая часть (2) ни при каких значениях х, у, z не обращается в нуль, т. е. равнению поверхности S не довлетворяют координнаты никакой точки. В этом случае поверхность S называется мнимым эллипсоидом.

Если знак коэффициентов 11, ₂₂, 33 апротивоположен знаку коэффициента а₄₄ , то поверхность S называется вещественным эллипсоидом. В дальнейшем термином лэллипсоид мы будем называть лишь вещественный эллипсоид.

Обычно равнение эллипсоида записывают в канонической форме. Очевидно, числа

положительны. Обозначим эти числа соответственно а², b², с². После ненсложных преобразований равнение эллипсоида (2) можно записать в следующей форме:

Уравнение (3) называется каноническим равнением эллипнсоида.

Если эллипсоид задан своим каноническим уравнением (3), то оси Ох, Оу и Оz. называются его главными осями.

Äа 2

Обычно равнение однополостного гиперболоида записывают в канонической форме. Пусть, ради определенности, 11 > 0, а_22а > 0, а33а < 0, ₄₄ < 0. Тогда числа

положительны. Обозначим эти числа соответственно а², b², с². После несложных преобразований равнение (2) однополостного гиперболоида можно записать в следующей форме:

Уравнение (4) называется каноническим равнением однопонлостного гиперболоида.

Если однополостный гиперболоид задан своим каноническим равнением (4), то оси Ох, Оу и Oz называются его главнными осями.

Äа 3

Запишем равнение двуполостного гиперболоида в канониченской форме. Пусть, ради определенности, 11 < 0, а_22а < 0, а33а > 0, ₄₄ < 0. Тогда а:

Обозначим эти числа соответственно через 2, b², с². Поcли несложных преобразованний равнение (2) двуполостного гиперболоида можно запинсать в следующей форме:

Уравнение (5) называется каноническим равнением двупонлостного гиперболоида.

Если двуполостный гиперболоид задан своим каноническим

уравнением, то оси Ох, Оу и Оz называются его главными осями.

Ä 4

Если коэффициенты 11, а_22а , 33_а аодного знака, то левая часть (2) обращается в нуль (а₄₄ = 0) лишь для х=у=z=0, т. е. равнению поверхности S довлетворяют координаты только едной точки. В этом случае поверхность S называется мнимым конусом второго порядка. Если коэффициенты 11, а_22а , а33_а имеют разные знаки, то поверхность S является вещественным конусом второго порядка.

Обычно равнение вещественного конуса второго порядка занписывают в канонической форме. Пусть, ради определенности,

a_11а > o, а_22а > 0, 33а < 0. Обозначим

соответственно через а², b², с². Тогда уравнение (2) можно записать в виде

Уравнение (6) называется каноническим равнением вещенственного конуса второго порядка.

2. Классификация нецентральных поверхностей второго понрядка.

Пусть S - нецентральная поверхность второго порядка, т. е. поверхность, для которой инвариант I₃ равен нулю. Произведем стандартное прощение равннения этой поверхности. В результате равнение поверхности примет вид

a´₁₁х´² + а´₂₂у´² + a´₃₃2 + 2а´₁₄ 24у´<+2а´₃₄z´ +а´₄₄ <= 0 (7)

для системы координат Ox´y´z´

Так как инвариант I₃ = 0 и его значение, вынчисленное для равнения (7) , равно

a´₁₁ Х а´₂₂ Х 33 , то один или два из коэффициентов 11а , а´_22а , 33 равны нулю. В соответствии с этим рассмотрим следующие возможные случаи.

Ä 1

Подставляя х', у' и z', найденные из (8), в левую часть (7) и заменяя затем

a´₁₁ н 11а , а´_22а ана ₂₂а , а´₃₄а н

44а н

a₁₁х² + а₂₂у² + 2pz + q = 0 (9)а

1) Пусть р <= 0, q = 0. Поверхность S распадается на пару плонскостей

При этом, очевидно, эти плоскости будут мнимыми, если знаки 11 аи а₂₂ одинаковы, и вещественными, если знаки 11 аи а₂₂ различны.

2) Пусть р <= 0, q ≠ 0. равнение (9) принимает вид

a₁₁х² + а₂₂у²а <+ q = 0 (10)

Известно, что равнение (10) явнляется равнением цилиндра с образующими, параллельными оси Оz. При этом если 11а , а_22а , q имеют одинаковый знак, то левая часть (10) отлична от нуля для любых х и 11а , а_22а , q имеются коэффициенты разных знаков, то цилиндр будет венщественным. Отметим, что в случае, когда 11а и а_22а аимеют одинаковые знаки, a

а

положительны.

Обозначая их соответственно через а²а и b², мы приведем равнение (10) к виду

Таким образом, в отмеченном случае мы имеем эллиптический цилиндр. В случае, 11а и а₂₂ имеют различные знаки, мы получим гиперболический цилиндр. Легко бедиться, что равннение гиперболического цилиндра может быть приведено к виду

3) Пусть р≠0. Произведем параллельный перенос системы координат, выбирая новое начало в точке с координатами

(0, 0, ).

При этом оставим старые обозначения координата х, у, z. Очевидно, для того чтобы получить равнение поверхнности S в новой системе координат, достаточно заменить в равннении (9)

а

Получим следующее равнение:

a₁₁х² + а₂₂у² + 2pzа <= 0 (13)

Уравнение (13) определяет так называемые параболоиды. Причем если 11а и а₂₂ аимеют одинаковый знак, то параболоид называется эллиптическим. Обычно равнение эллиптического параболоида записывают в канонической форме:

Уравнение (14) легко получается из (13). Если 11а и а₂₂ аимеют разные знаки, то параболоид называется гиперболиченским. Каноническое равнение гиперболического параболоида имеет вид

Это равнение также легко может быть получено из (13).

Äа а2

Подставляя х', у' и z' , найденные из (16) в левую часть (7) и заменяя затем 33 на а33 , a´₁₄ ана р , 24 н а44 ана аr , понлучим следующее равнение поверхности S в новой системе конординат Охуz :

a₃₃ z² + 2px + 2qy + r = 0 (17)

1) Пусть р=0, q=0. Поверхность S распадается на пару панраллельных плоскостей

При этом, очевидно, эти плоскости будут мнимыми, если знаки 33 аи аr одинаковы, и вещественными, если знаки 33 и r различнны, причем при r <= 0 эти плоскости сливаются в одну.

2) Хотя бы один из коэффициентов р или

a₃₃ z² + 2q´yа <= 0 (19)

которое является равнением параболического цилиндра с обранзующими, параллельными новой оси Ох.

з 3. Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим равнениям

1. Эллипсоид.

Из равнения (3) вытекает, что координатные плоскости явнляются плоскостями симметрии эллипсоида, начало координнатЧцентром симметрии. Числа а, b, с называются полуосями эллипсоида и представляют собой длины отрезков, от начала координат до точек пересечения эллипсоида с осями координат. Чтобы более наглядно представить себе форму эллипсоида, выясним форму линий пересечения его плоскостями, параллельными какой-либо из координатных плоскостей.

Ради определенности рассмотрим линии L_h пересечения элнлипсоида с плоскостями

zа <=а

параллельными плоскости Оху. равнение проекции L^*_h линнии L_h ана плоскость Оху получается из равнения а(3), если положить в нема

Если положить

то равнение (21) можно записать в виде

т. е. L^*_h представляет собой эллипс с полуосями а* и b*, которые могут быть вычислены по формулам (22). Так как L_h получается подъемом L^*_h ана высоту h апредставляет собой эллипс.

Представление об эллипсоиде можно получить следующим обнразом. Рассмотрим на плоскости Оху семейство эллипсов (23) а(рис. 1), полуоси а* и

(Метод представления формы фигуры путем получения карты фигуры я привожу только для эллипсоида, представить форму других фигур этим методом можно аналогично)

Наглядное изображение эллипсоида находится на следующей странице.

Эллипсоид
.

2. Гиперболоиды.

Äа 1

уравнению (4) однополостного гиперболоида

Из равнения (4) вытекает, что координатные плоскости явнляются плоскостями симметрии, начало координат - центром симметрии однополостного гиперболоида.

Äа 2

3. Параболоиды.

Äа 1

мы видим, что для него Oxz и Оуz являются плоскостями симметрии. Ось Oz, представляющая линию пересечения этих плоскостей, называется осью эллиптического параболоида.

Äа 2

Прим.: получениеа лкарты высот для гиперболического п

Линии

с полуосями

а при

^ас полуосями

Используя формулы (24)Ч(27), легко построить лкарту гиперболического параболоида. Отметим еще, плоскость

Из формул (25) и (27) вытекает, что прямые (28) являются асимптотами гипербол (24) и (26).
Карта гиперболического параболоида дает представление о его пространственной форме. Как и в случае эллипнтического параболоида, можно бедиться в том, что гиперболинческий параболоид может быть получен путем параллельного перемещения параболы, предстанвляющей собой сечение плосконстью Oxz (Оу

Прим.: Изображение гиперболического п

Гиперболический паранболоид.

4. Конус и цилиндры второго порядка.

Äа 1

Убедимся, что вещественный конус S образован прямыми линниями, проходящими через начало О координат. Естественно нанзывать точку О вершиной конуса.

Для доказательства сформулированного тверждения, очевиднно, достаточно становить, что прямая L, соединяющая произвольную, отличную от начала координат точку
М₀(х₀, у₀, 0) аконнуса (6) и начало координат О, целиком располангается на конусе, т. е. координаты (х, у, z) любой точки М прямой L довлетворяют равнению (6).

Так как точка М₀(х₀, у₀, 0) алежит на конусе (6), то :

Координаты (х, у, z) любой точки М прямой L равны соответнственно 0 , 0 , tz₀ , где 2 за скобнку и учитывая (29), мы бедимся в том, что М лежит на коннусе. Таким образом, тверждение доказано. Представление о форме конуса может быть получено методом сечений. Легко бедиться, что сечения конуса плоскостями

Äа 2

Состоит из прямых линий, параллельных оси Oz.

Äа 3

Состоит из прямых линий, параллельных оси Oz.

Äа 4