Математический метод А.Ю.Виноградова решения краевых задач

1. Введение - краткое изложение основных матрично-векторных понятий в их классическом виде (составлено для выпускников вузов).

В матричном виде система линейных дифференциальных равнений записывается так:

Y(x)Т=A(Y(x) + F(x),

где Y(x) - вектор-столбец искомых функций, Y(x)Т - вектор-столбец производных искомых функций, A(F(x) - вектор внешних воздействий на систему.

Здесь для простоты рассуждений и для незагроможденности формул будем рассматривать однородную систему дифференциальных равнений:

Y(x)Т=A(Y(x),

но метод справедлив и для неоднородной системы.

Условия на левом крае записываются в виде:

LY(0) = L,

где Y(0) - вектор-столбец значений функций Y(x) на левом крае x=0, L - вектор-столбец правой части краевых словий левого края, L - прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых словий левого края.

налогично записываются словия на правом крае:

RY(1) = R,

где Y(1) - вектор-столбец значений функций Y(x) на правом крае x=1, R - вектор-столбец правой части краевых словий правого края, R - прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых словий правого края.

В книге Теория матриц Гантмахера можно посмотреть, что решение однородной (без правой части) системы дифференциальных равнений можно искать при помощи матрицы Коши, которую ещё называют интегралом Коши или матрициантом. Для обозначения можно использовать букву К или выражение K(хм0). (Там же можно посмотреть формулы для неоднородной системы дифференциальных равнений.)

Y(x)=K(хм0)Y(0),

где K(хм0)=

при словии, что матрица A<=

При словии, что матрица A не константа можно использовать свойство перемножаемости матриц Коши и записать формулу:

Y(x)=K(хм0)Y(0),

где K(хм0)=K(х4м K(х3м K(х2м K(х1м0),

где K(х

то есть интервал интегрирования разбивается на частки и на частках матрицы Коши приближённо вычисляются по формуле для постоянной матрицы в экспоненте.

2. Про половину констант.

Предположим, что решается краевая задача об оболочке ракеты. Это цилиндрическая оболочка и размерность задачи равна 8. То есть система дифференциальных равнений имеет размерность 8, то есть 8 равнений. То есть эта система дифференциальных равнений будет состоять из 8-ми равнений и матрица А(Y(x), Y(x)Т, F(x) будут иметь размерность 8х1. Соответственно матрицы краевых словий будут прямоугольными горизонтальными с размерностью 4х8.

Вообще то решение для такой краевой задачи с размерностью 8 может состоять полностью из всех 8а линейно-независимых векторов-решений однородной системы дифференциальных равнений плюс вектор решения неоднородной системы дифференциальных равнений:

Y(x) = Y1(x)с1 + Y2(x)с2 + Y3(x)с3 + Y4(x)с4 + Y5(x)c5 + Y6(x)c6 + Y7(x)c7 + Y8(x) + Y*(x).

Но решение может искаться в виде с половиной констант, то есть в следующем виде:

Y(x) = Y1(x)с1 + Y2(x)с2 + Y3(x)с3 + Y4(x)с4 + Y*(x)

или

Y(x) = Yматрица( с + Y*(x),

где векторы Y1(x), Y2(x), Y3(x), Y4(x) Ц это линейно-независимые вектора-решения однородной системы дифференциальных равнений (системы, где F(x)=0), а вектор Y*(x) - это вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных равнений, а с1, с2, с3, с4 - это константы, которые надо вычислить. Здесь Yматрица(Y1(x),Y2(x),Y3(x),Y4(x)|, с это вектор |с1,с2,с3,с4|.

3. Метод половины констант Алексея Юрьевича Виноградова для решения краевых задач.

Выполним построчное ортонормирование матричного равнения краевых словий на левом крае:

LY(0) = L,

где матрица L прямоугольная и горизонтальная размерности 4х8.

В результате получим эквивалентное равнение краевых словий на левом крае, но же с прямоугольной горизонтальной матрицей Lорт (размерности 4х8), у которой будут 4 ортонормированные строки:

LортY(0) = Lорт,

где в результате ортонормирования вектор L преобразован в вектор Lорт.

Как выполнять построчное ортонормирование систем линейных алгебраических равнений можно посмотреть в книгах по численным методам.

Дополним прямоугольную горизонтальную матрицу Lорт до квадратной матрицы U:

<| Lорт |

U = <|--------|

<| N <|,

где матрица N размерности тоже 4х8 должна достраивать матрицу Lорт до невырожденной квадратной матрицы U размерности 8х8.

В качестве строк матрицы N можно взять те краевые словия, то есть выражения тех физических параметров, которые не входят в параметры левого края или линейно независимы с ними. Это вполне возможно, так как у краевых задач столько независимых физических параметров какова размерность задачи, то есть в данном случае их 8 штук и если 4 заданы на левом крае, то ещё 4 есть где взять.

Завершим ортонормирование построенной матрицы U, то есть выполним построчное ортонормирование и получим матрицу Uорт размерности 8х8 с ортонормированными строками:

<| Lорта <|

Uорт = <|--------|

<| Nорт <|.

Можем записать, что

Yматрица(0) = (Nорт)транспонированная = (Nорт)тр.

Тогда:

Y(0) = Yматрица(0) с + Y*(0),

или

Y(0) = (Nорт)тр с + Y*(0).

Подставим эту последнюю формулу в краевые словия LортY(0) = Lорт и получим:

Lорт ( (Nорт)тр с + Y*(0) ) = Lорт.

Отсюда получаем, что константы с же не на что не влияют, так как Lорт (Nорт)тр = 0 и остаётся только найти Y*(0) из выражения:

Lорт Y*(0) = Lорт.

Но матрица Lорт имеет размерность 4х8 и её надо дополнить до квадратной невырожденной, чтобы найти вектор Y*(0) из решения соответствующей системы линейных алгебраических равнений:

<| Lорт | <| Lорт |

<|-------| Y*(0) =а <|--------|

<| Nорт| <| 0 <|,

где 0 - любой вектор, в том числе вектор из нулей.

Отсюда получаем при помощи обратной матрицы:

<| Lорт | -1 <| Lорт |

Y*(0) = <|--------|а <|--------|

<| Nорт| <| 0 <|.

Тогда итоговая формула Алексея Юрьевича Виноградова для начала вычисления имеет вид:

<| Lорт | -1 <| Lорт |

Y(0) = (Nорт)тр с + |--------|а <|--------|

<| Nорт | <| 0 <|.

Далее пойдут новые рассуждения.

Кажется из теории матриц известно, что если матрица ортонормирована, то ее обратная матрица это есть ее транспонированная матрица (не могу посмотреть в литературу, чтобы проверить, но, кажется, это так и есть). Тогда последняя формула приобретает вид:

Y(0) = (Lорт)тр Lорт + а(Nорт)тр с

или

<| Lорт |

Y(0) = [ (Lорт)тр | (Nорт)тр ] |--------|

<| с <|

То есть получена формула для начала вычислений с левого края, чтобы искать решение в виде только с половиной констант.

Далее запишем RY(1) = R и Y(1)=K(1м0)Y(0) совместно:

R K(1м0)Y(0) = R

 И подставим туда выражение для Y(0):

<| Lорт |

R K(1м0) [ (Lорт)тр | (Nорт)тр ] |--------|а = R

<| с <|

Таким образом мы получили выражение

<| Lорт |

B |--------|а = R

<| с <|,

где матрица B имеет размерность 4х8 и может быть естественно представлена в виде двух квадратных блоков размерности 4х4 B1 и B2. Тогда можем записать:

B1 Lорт + B2 c = R

Отсюда получаем, что

c = (B2)обратная ( R а<-а B1 Lорт )

Таким образом найдены искомые константы c и краевая задача сведена к задаче Коши. А как решать задачи Коши (начальные задачи) это известно.

4. Про жесткие краевые задачи.

При моделировании пространственных систем при помощи дифференциальных равнений они иногда оказываются жёсткими.

Это, например, задачи типа расчёта на прочность тонкостенных оболочек в ракето и самолёто-строении, в кораблестроении, в трубопроводах, баках, прочие задачи для тонких и изогнутых конструкций из металла, пластика или композиционного материала.

Для решения таких краевых задач с жёсткими дифференциальными равнениями обычно применяют специальные приёмы-методы.

5. Метод половины констант для жестких краевых задач.

Запишем

<| Lорт |

R K(1м0) [ (Lорт)тр | (Nорт)тр ] |--------|а = R

<| с <|

совместно с K(1м0)=K(1м K(х3м K(х2м K(х1м0) и получим:

<| Lорт |

R K(1м K(х3м K(х2м K(х1м0) [ (Lорт)тр | (Nорт)тр ] |--------|а = R

<| с <|

Эту систему можем записать в в иде

R вектора = R

Выполним ортонормирование строк этой системы линейных алгебраических равнений, что не изменит, не затронет вектор. Получим:

Rорт вектора = Rорт

Далее из вектора вычленим матрицу K(1м

Rорт K(1м другой_вектора = Rорт

или

D другой_вектора = Rорт

Мы опять получили систему линейных алгебраических равнений с прямоугольной матрицей D и можем опять выполнить ортонормирование строк этой матрицы, что не затронет другой_вектор. Получим:

Dорт другой_вектора = R2орт

 И так далее по очереди вычленяем матрицы K(х3м, K(х2м, K(х1м0). В результате получаем систему:

<| Lорт |

ортонормированная_матрица |--------|а = R(орто_несколько_раз)

<| с <|

Таким образом мы получили выражение

<| Lорт |

Bортонорм |--------|а = Rортонорм

<| с <|,

где матрица Bортонорм имеет размерность 4х8 и может быть естественно представлена в виде двух квадратных блоков размерности 4х4 B1ортонорм и B2ортонорм. Тогда можем записать:

B1ортонорм Lорт + B2ортонорм c = R

Отсюда получаем, что

c = (B2ортонорм)обратная ( R а<-а B1ортонорм Lорт )

Таким образом найдены искомые константы c и жесткая краевая задача сведена к жесткой задаче Коши. А как решать жесткие задачи Коши (начальные задачи) это можно посмотреть в интернете.

6. Метод Алексея Юрьевича Виноградова решения жестких начальных задач (задач Коши).

Запишем

Y(x1)=K(х1м0)Y(0)

Матрица обратная матрице K(хм0) это матрица K(0м

K(0мY(x1)=Y(0)

Проортонормируем построчно эту систему равнений и получим

K(0мY(x1)=Y(0)орт

Далее запишем

Y(x1)=(K(0мY(0)орт

И так далее односторонней прогонкой во всех точках по очереди, начиная с

лексей Юрьевич Виноградов

12 июля 2006

J

Пишите комментарии к методу на адрес