Частные производные

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ НИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ ЭКОНОМИКИ И ИНФОРМАТИКИ

КАФЕДРА МАТЕМЕТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В ЭКОНОМИКЕ

РЕФЕРАТ

НА ТЕМУ:

УЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕФ

ВЫПОЛНИЛ:

СТУДЕНТ II КУРСА ГР. И-04-2

ПИВКОВ В.А.

ПРОВЕРИЛ:

ВОРОНОВА Е.А.

г. Липецк - 2006

Содержание.

I.     Функции нескольких переменных.

                        Определение функции нескольких переменных

                        Предел функции двух переменных

                        Непрерывность функции двух переменных

II. Частные производные

                        Частные производные

                        Полный дифференциал

                        Производная и дифференциал сложной функции

                        Неявные функции и их дифференцирования

.                     Частные производные и дифференциалы высших порядков

                        Частные производные высших порядков

                        Признак полного дифференцирования

                        Дифференциалы высших порядков

Список литературы

                  I.                        ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПРЕМЕННЫХ.

                        Определение функции нескольких переменных.

Переменная

Множество G пар значений

Пара чисел M а

Каждой тройке (

налогично можно дать определение функции четырех и более переменных.

1.2              Предел функции двух переменных.

Множество точек M(аили аназывается δ-окрестность точки

Определение. Число A называет пределом функции апри стремлении точки M к точке ε>0 существуета такое δ>0, что для всех точек M из области определения этой функции, довлетворяющих словию аимеет место неравенство : аили

Функция аназывается бесконечно малой при аесли

1.3               Непрерывность функции двух переменных.

Пусть точка апринадлежит области определения Определение. Функция аназывается непрерывной в точке аесли

аили апричем точка M стремится к M₀ произвольным образом, оставаясь в области определения функции.

Обозначим Полным приращением апри переходе от точки M называется разность значении функции в этой точке

              II.                         Частные производные.

2.1 Частные производные.

Частной производной функции нескольких переменных по какой-нибудь переменной в рассматриваемой точке называется обычная производная по этой переменной, считая другие переменные фиксированными (постоянными). Например, для функции двух переменных ав точке ачастные производные определяются так:

если эти пределы существуют. Величин называется частным приращением функции апо аргументу обозначения частных производных:

а

а

Символы как дроби трактовать нельзя (в этом отличие от случая одной переменной).

Из определения следует геометрический смысл частной производной функции двух переменных: частная производная а<- гловой коэффициент касательной к линии пересечения поверхности аи плоскости ав соответствующей точке.

Пользуясь понятием скорости изменения переменной, можно сказать, что частная производная аесть скорость изменения функции аотносительно апри постоянном

Из определения частных производных следует, что правила вычисления их остаются теми же, что для функций одной переменной, и только требуется помнить, по какой переменной ищется производная.

Пример 1. Если

Пример 2. Если аназывается изотермическим коэффициентом пругости идеального газа.

Аналогично определяются и обозначаются частные производные функции трех и большего числа независимых переменных.

2.2               Полный дифференциал.

(1)

Если приращение (1) можно представить в виде (2)

Где Аи В не зависят от аи аи астремятся к нулю при стремлении к нулю аи аназывается дифференцируемой в точке априращения функции (т.е. та часть а аи алинейно) называется полным дифференциалом (или просто дифференциалом) этой функции в точке аи обозначается символом

(3)

Из определения дифференцируемости функции следует, что если данная функция дифференцируема в точке

Действительно, если в точке афункция адифференцируема, то для этой точки представимо в форме (2), откуда следует, что

это и означает, что в точке афункция анепрерывна.

Из дифференцируемости функции в данной точке следует существование ее частных производных в этой точке (необходимое условие дифференцируемости).

В самом деле, пусть функция ав точке адифференцируема. Тогда имеет место соотношение (2). Полагая в нем

Деля на ааи переходя к пределу при

Это означает, что в точке асуществует частная производная функции апо аи (4)

Аналогично доказывается, что в точке асуществует частная производная

(5)

Используя формулы (4) и (5), можно переписать выражение (3) в виде

Если положить аа

Теорема (достаточное словие дифференцируемости). Если функция аимеет частные производные в некоторой окрестности точки аи эти производные непрерывны в самой точке

Доказательство. Дадим переменным аи астоль малые приращения аи ане вышла за пределы указанной окрестности точки аможно записать в виде

Каждая из этих разностей представляет частное приращение функции. Преобразует каждую из этих разностей по формуле Лагранжа. Получим:

а (6)

Так как производные аи анепрерывны в точке

Отсюда

и а<- бесконечно малые при

это и означает, что функция адифференцируема в точке

2.3 Производные и дифференциал сложной функции.

Пусть анепрерывны и асуществуют. Найдем а Дадим переменной аи

откуда

Устремим теперь ак нулю. Тогда аи абудут стремиться к нулю, так как функции аи аи абудут стремиться к нулю. В пределе получим:

или, короче,

(7)

Формула (7) называется формулой производной сложной функции.

Пример 1. Пусть

Предположим, в частности, что роль независимой переменной играет, т.е. рассмотрим функцию

(8)

так как а<- частная производная по первому аргументу функции двух переменных а<- обычная производная сложной функции одной переменной полной производной функции. В случае, когда

(а<- частная производная по второму аргументу функции а<- полная производная функции одной переменной

Пусть теперь а( здесь предполагается существование первых производных функцийа апо аи аи

(9)

налогично

(10)

/p>

Пример 2. Если

Из формул (9) и (10) видно, что символ частной производной, как же отмечалось выше, нельзя трактовать как дробь. В самом деле, если бы можно было сократить на аи

и

2.3           Неявные функции и их дифференцирование.

Если равнение, с помощью которого задается функция одной переменной

(11)

В связи с этим встает вопрос о том, как найти производную неявной функции, не разрешая равнения (11) относительно у.

Если в равнении (11), определяющем неявную функцию х, то для нахождения соответствующего значения у надо решать равнение. Теперь, если в это равнение подставить его решение, то получится тождество. Поэтому можно сказать также, что неявная функция а такая функция, которая, будучи подставлена в равнение (11), обращает его в тождество. Дифференцируя это тождество по

Отсюда при авытекает формула для производной неявной функции

(12)

Пример 1. Пусть

Для аимеем: аи согласно формуле (12)

а

Пусть равнение (13)

Определяет анезависимых переменных

Пользуясь формулой (12), из равенства (13) имеем:

(14)

Пример 2. Найти частные производные неявной функции

Согласно формулам (14)

           .                        Частные производные и дифференциалы высших порядков.

3.1              Частные производные высших порядков.

Частные производные функции нескольких переменных сами являются функциями этих переменных и могут иметь частные производные. Для исходной функции эти последние производные будут частными производными второго порядка. Так, для функции адвух независимых переменных можно определить (предполагается, что все производные существуют) четыре частные производные второго порядка, которые обозначаются символами

Частные производные аи смешанными частными производными второго порядка.

Аналогично определяются частные производные третьего, четвертого и старших порядков.

Пример. Найти частные производные второго порядка функции

Имеем:

Здесь а<=

Теорема. Смешанные производные второго порядка равны, если они непрерывны: а<=

Следствие. Смешанные производные высших порядков равны, если они непрерывны и получены в результате дифференцирования по одним и тем же переменным одинаковое число раз, но может быть в разной последовательность.

Покажем это на примере:

т.е.

Здесь мы дважды пользовались только что отмеченной теоремой: первый раз применительно к функции а(мы изменили порядок ее дифференцирования), второй раз использовали равенство а<=

3.2              Признак полного дифференцирования.

Выясним, при каких словиях выражение (1)

где аи анепрерывны и вместе со своими частными производными первого порядка, является полным дифференциалом некоторой функции

Теорема. Выражение (1) есть полный дифференциал тогда и только тогда, когда выполнено равенство

3.3. Дифференциалы высших порядков.

Заметим прежде всего, что для функции нескольких переменных справедливы те же общие правила дифференцирования, что и для функции одной переменной:

I. ,.

II. .

. а.

IV. а.

Пусть имеется функция анезависимых переменных

(dx и dy - произвольные приращения), который назовем полным дифференциалом первого порядка (или, кратко, первым дифференциалом).

Так как аи апо предложению имеют непрерывные частные производные первого порядка, то от функции полный дифференциал второго порядка (или, кратко, второй дифференциал), который обозначается

Аналогично, потребовав существование непрерывных частных производных третьего, четвертого, п-го порядков, можно получить полные дифференциалы соответственно третьего, четвертого, п-ого порядков.

Найдем выражения для второго дифференциала через частные производные. Пользуясь правилами I, < (dx и dy не зависят от

(2)

(здесь

Формула (2) обобщается на случай дифференциала п-го порядка.