Blog

Алгебраические системы

Оглавление

Введение. 3

§1. Алгебра и алгебраические системы.. 5

п.1. Бинарные и n-местные операции. 5

п.2. Понятие алгебры. 6

§2. Система натуральных чисел. Принцип математической индукции. Теоремы математической индукции. 7

п.1. Аксиоматическая система натуральных чисел. 7

п.2. Теоремы математической индукции. 7

п.3. Основное свойство ассоциативных операций. 9

§3. Группы. Примеры групп. Простейшие свойства групп. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. Подгруппы.. 11

п.1. Понятие группы. 11

п.2. Примеры групп. 12

п.3. Простейшие свойства групп. 15

п.4. Гомоморфизмы групп. 17

п.5. Изоморфизмы групп. 18

п.6. Подгруппы. 19

§4. Подстановки. 21

п.1. Симметрическая группа степени

п.2. Чётные и нечётные подстановки. 21

п.3. Знак подстановки. 23

п.4. Разложение подстановок. Произведение циклов. 25

§5. Кольца. Примеры колец. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец. Подкольца. Кольцо целых чисел. 28

п.1. Понятие кольца. 28

п.2. Примеры колец. 28

п.3. Простейшие свойства кольца. 30

п.4. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец. 31

п.5. Подкольца. 31

п.6. Аксиоматическое определение кольца целых чисел. 32

§6. Поле. Примеры полей. Свойства полей. Поле рациональных чисел 34

п.1. Определение поля. 34

п.2. Простейшие свойства поля. 34

п.3. Подполе. 36

п.4. Поле рациональных чисел. 37

§7. Поле комплексных чисел. 38

п.1. Построение поля комплексных чисел. 38

п.2. Алгебраическая форма записи комплексных чисел. 39

п.3. Операция сопряжения. 40

п.4. Модуль комплексного числа. 41

п.5. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. 42

п.6. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. 44

п.7. Показательная форма записи комплексного числа. 46

п.8. Связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями. 47

п.9. Корни из комплексных чисел. 47

п.10. Мультисекция. 49

п.11. порядоченные поля. 50

§8. Перестановки. 52

п.1. r- перестановки...............................................................................................................52

п.2. r -элементные подмножества (r - сочетания)...............................................................53

п.3. Перестановки с повторениями......................................................................................54

Задачник.............................................................................................56

Заключение. 67

Литература. 68

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

§1. Алгебра и алгебраические системы<

п.1. Бинарные и n-местные операции.<

Пусть - непустое множество, то есть .

Определение. Бинарной операцией на множестве называется отображение прямого произведения .

Другими словами: если каждой порядоченной паре элементов множества поставлен в соответствие единственный элемент из , то говорят, что задана бинарная операция на множестве .

Пример.

1) Пусть - произвольные высказывания

: - бинарная операция на множестве высказываний.

2)   Пусть - произвольные множества

: - бинарная операция на множестве множеств.

3)   Пусть

: - бинарная операция на множестве действительных чисел.

: - не является бинарной операцией на множестве , так как .

Если - произвольная бинарная операция на множестве и паре ставится в соответствие элемент (то есть ), то вместо записи пишут , то есть имеем . Элемент называется композицией элементов .

Определение. Пусть . Отображение называется - местной операцией на множестве . Число - ранг операции.

Определение. Нульместной операцией на множестве называется выделение (фиксация) какого-нибудь элемента множества . Число называется рангом нульместной операции.

Определение. Одноместные операции называются нарными операциями. Другими словами: нарная операция каждому элементу из множества ставит в соответствие элемент из множества , то есть нарная операция – это отображение множества во множество .

Унарную операцию называют оператором.

Пример.

1) Пусть - множество натуральных чисел

<- нарная операция

<- не является нарной операцией

2) На множестве высказываний операция : <- нарная операция

3) На множестве подмножеств ниверсального множества операция дополнения – нарная операция.

Определение. Отображение из множества называется частичной - местной операцией на множестве , если область определения отображения не совпадает с .

п.2. Понятие алгебры.<

Определение. Алгебра , где , - множество операций на .

Другими словами: если мы говорим об алгебре, то считаем, что задано множество и заданы операции.

Пример.

1) Пусть - множество высказываний

- алгебра логики высказываний.

2)   Пусть - множество натуральных чисел

- алгебра натуральных чисел относительно операций и .

Определение. Алгебра называется подалгеброй алгебры , если множество ; - ограничение операции .

Определение. Алгебраическая система - это порядоченная тройка , где , - множество операций на ; - множество отношений на . <

<

§2. Система натуральных чисел. Принцип математической индукции. Теоремы математической индукции<

п.1. Аксиоматическая система натуральных чисел.<

Определение. Системой натуральных чисел (системой Пеано) называется алгебра , где - бинарные операции, - нарная операция (функция «следования»), - выделенный элемент в множестве , для которой выполнены следующие аксиомы:

1. Для , (элемент называется следующим за ).

2. Для , , .

3. , .

4. Для , .

5. , .

6. Для , .

7. Аксиома индукции: Пусть . Если множество удовлетворяет словиям:

) ;

б) для , ;

то .

Система аксиом Пеано обладает тем свойством, что ни одна из аксиом системы не является следствием других аксиом.

Из системы аксиом Пеано можно вывести все известные нам свойства натуральных чисел.

п.2. Теоремы математической индукции.<

Теорема 1. (принцип полной математической индукции). Пусть - одноместный предикат на , который довлетворяет словиям:

1. - истина.

2. (- истина ® - истина).

Тогда предикат тождественно истинен на .

Доказательство. Обозначим через множество всех тех , для которых истина. Проверим, что удовлетворяет словиям аксиомы индукции.

Т.к. - истина, то .

Если , то - истина и по второму словию теоремы индукции - истина. Поэтому .

Множество удовлетворяет словиям аксиомы индукции. Поэтому .

Обозначение. Множество целых чисел состоит из натуральных чисел, нуля и чисел противоположных натуральным.

Для обозначим .

Теорема 2. (обобщение принципа полной математической индукции). Пусть - одноместный предикат на , где , который довлетворяет словиям:

1. - истина.

2. (- истина ®- истина).

Тогда предикат тождественно истинен на .

Теорема 3. (сильная форма принципа полной математической индукции). Пусть - одноместный предикат на , который довлетворяет словиям:

1. - истина.

2. (- истины® - истина).

Тогда предикат тождественно истинен на .

Теорема 4. (обобщение сильной формы принципа полной математической индукции). Пусть - одноместный предикат на , где , который довлетворяет словиям:

1. - истина.

2. (- истины ® - истина).

Тогда предикат тождественно истинен на .

п.3. Основное свойство ассоциативных операций.<

Теорема. Если бинарная операция на множестве ассоциативна, то при любой расстановке скобок, задающих порядок выполнения операций в произведении значения произведений будут одинаковыми, то есть значение произведения не зависит от способа расстановки скобок.

Доказательство. Проводится индукцией по . Проверим тверждения теоремы для и .

Для - очевидно, так как порядок выполнения операций единственен.

Для произведение может быть вычислено двумя способами: или . В силу ассоциативности - эти произведения равны.

Предположим, что теорема доказана для всех чисел , где .

Докажем теорему для числа . При любой расстановке скобок в произведении , такое произведение есть произведение двух скобок (1), где . Внутри каждой скобки расставлены свои скобки. Так как в каждой скобке множителей, то по индукционному предположению значение произведения в скобках не зависит от того, как в них расставлены скобки. Поэтому произведение (1) можно записать в виде , применяя закон ассоциативности и индукцирования к множителям. Получим, что произведение (1) равно и так далее продолжая, получим , поэтому произведение (1) не зависит от способа расстановки скобок.