Критерий согласия Пирсона

S_n²= (1/(n-1)) ∑(x_k - X_n)²

Выборочная дисперсия является оценкой для дисперсии

S_n²<=σ²

σ_n = √ S_n² = S_n - оценка среднего квадратичного отклонения.

Выборочная (эмпирическая) функция распределения.

Упорядочить элементы выборки по возрастанию

М_n(A) - случайное число появлений события A в серии из

W_n(A) = М_n(A)/

Рассмотрим выборку Z_n, порожденную СВ Х с функцией распределения F_x(1 событие A_х= {X ≤ х) = F_x(n(A_х) - случайное число элементов выборки Z_n, не превосходящих х

Определение. Частот М_n(A_х) события A_х как функция х к R¹ , называется выборочной (эмпирической) функцией распределения СВ Х и обозначается

F_n(x) = М_n(A_х).

Для каждого фиксированного х к R¹ СВ F_n(

P<{F_n(n(A_х)=

Любая реализация F_n(n((1)<Е< х⁽ⁿ⁾, где х^(k) - реализация порядковой статистики X^(k), функция F_n(

Свойства.

1)     M [F_n(1 и любого

2)     Sup<| F_n(

3)     d_n(x) = M[(F_n(x)- F(x))²] = F(x)(1-F(x))/n ≤ 1/4n

4)     (F_n(n(

N(0; 1)

Гистограмма

1)     Построить вариационный ряд выборки, т.е. элементы выборки порядочить по возрастанию {1,Е, n<} → {1,Е, n<}

х⁽¹⁾<Е< х⁽ⁿ⁾

Промежуток Δ= [1, n<] называется размахом выборки.

Все наблюдения принадлежат этому промежутку.

2)Группировки выборки.

Для этого размах выборки делится на

|Δ_i| - длина промежутка Δ_i

|Δ₁|<=<|Δ₂|<=Е=<|Δ_n|<=<|Δ|

n_m - число наблюдений попавших в интервал

Группировкой выборки называется набор следующего вида.

(Δ_m; m),

2)     Построение гистограммы

Для каждого промежутка Δ_m находится частота

P_m*= n_m/n

Над каждым промежутком Δ_m строится прямоугольник, основанием которого является этот промежуток, высот равна

h_m<=

m*/ |Δ_m<|

Гистограммой называется кусочно-постоянная функция, образованная верхними основаниями построенных прямоугольников.

Гистограмма является оценкой плотности вероятности, построенной по выборке.

4.Понятие о точечном и интервальном оценивании. Свойства точечных оценок: несмещенность и состоятельность.

Оценкой параметра называется его приближенное значение, построенное по выборке наблюдений (θ)

Точечной (выборкой) оценкой неизвестного параметра распределения

θ к Θ называется произвольная статистика Θ(Z_n), построенная по выборке Z_n и принимающая значение в множестве Θ.

Свойства:

1) Оценка θ(Z_n) параметра θ называется состоятельной, если она сходится по вероятности к θ, т.е. θ(Z_n) → θ приа

2) Оценка θ(Z_n) параметра θ называется несмещенной, если ее МО равно θ, т.е. M[θ(Z_n)] = θ для любого θ к Θ.

5.Метод моментов. Метод максимального правдоподобия.

Оценкой максимального правдоподобия (МП-оценкой) параметра θ к Θ называется статистика θ(n), максимизирующая для каждой реализации Z_n

функцию правдоподобия, т.е.

θ(z_n) = arg max L(z_n, θ)

Способ построения МП-оценки называется методом максимального правдоподобия.

Пусть i,

v_i (θ)= v_i,

и предположим, что ее можно решить относительно параметров θ₁,Е, θ_s, т.е. найти функции θ_i=φ_i(1,Е, s),

Решением полученной системы равнений θ_i=φ_i(1,Е, s),

6. Выборочные моменты

Пусть имеется выборка Z_n<=1,.., n) которая порождена СВ Х с функцией распределения F_x(

Для выборки Z_n объема

v_r(k)^r, r =1,2,Е.;

μ _r(k<- r(r, r =2,3,Е.;

Выборочным средним и выборочной дисперсией СВ Х называются соответственно:

m_X(1(k

d_X( 2(k<- X(2

7.Проверка гипотезы о законе распределения выборки по критерию согласия К. Пирсона (χ² - хи-квадрат)

СВ Х имеет распределение χ² с r степенями свободы. Если ее можно представить в следующем виде Х = ∑Х_i², где Х_i~ N(0; 1)

Х= χ²(r)

Плотность вероятности этой СВ имеет следующий график:

Критическая и доверительная область

Х= χ²(r)

Критической областью значений СВ Х называется промежуток на вещественной оси, в которой СВ Х попадает с некоторой малой вероятностью α.

Это число α называется ровнем значимости критической области.

S - критическая область

P(XкS) = α<<1

S<=RТ- S - доверительная область

P(XкS) = 1-α - близка к 1

Для задания критической области S распределения Пирсона поступают следующим образом:

P(X ≥ χ_кр²(r)) = α

S = [χ_кр²(r); +∞)

P(XкS) = α - по построению

S = [0, χ_кр²(r)) - доверительная область

Замечание: число χ²(r) находится по таблице распределения χ². Это число зависит от степеней свободы r и от ровней значимости α.

Стандартный α<=0,05

лгоритм критерия Пирсона

1) Формулировка гипотезы

Н₀: имеющаяся выборка соответствует закону распределения F(

2) Производится группировка выборки и вычисление частот {

m*},

3) Для каждого подынтервал Δ_m вычисляется вероятность попадания реализации выборки в этот промежуток на основе принятой гипотезы

Δ_m=[m; m₊₁]

P_m<= F(m₊₁) - F(m);

4)     Вычисляется статистика критерия Пирсона

g_n=(n∑(P_m+ P_m*)²/ P_m)+n(P₀+ P_m+1),

где

0+

m₊₁=1-∑

m,

Теорема. Если проверяемая гипотеза Н₀- верна, то СВ n - называемая статистикой критерия Пирсона имеет распределение

g_n ~ χ²(r)

r<=1- 2-1

k - число интервалов

n₁ - число дополнительных интервалов

n₂ - число неизвестных параметров распределения F(

5)     Принятие решения.

Строится критическая область S

S = [χ_кр²(r); +∞)

Если n к S, то гипотеза отвергается

Если n к S, то гипотеза принимается, как не противоречащая данным

Практическая часть

Вариант № 13

Исходные данные:

набор наблюдений

1.Найдем оценку математического ожидания и выборочную дисперсию.

M[X<]= X<= 1/k = 1/56 [-11,963+(-19,371) +Е+ (-5,758)]= -8,661

D[X]= S²= 1/n Σ(X_k Ц X) ²= 1/56 [(-11,963 - (-8,661)) ² + (-19,371 - (-8,661))²а<+Е+

+ (-5,758 - (-8,661)) ² = 46,075

M[X]= -8,661

D[X<]= 46,075

2. Построение графика выборочной функции распределения и гистограммы.

1). Построим вариационный ряд выборки

2). Вычислим выборочные функции распределения

F(x

m_x - количество наблюдений меньших или равных числа

F(-21,99)=1/56=0,02

F(-21,01)=2/50=0,04

.

F(1,33)=49/50=0,98

F(1,416)=50/50=1

3.Построение гистограммы.

1).

k - число интервалов

n_m - число наблюдений попавших в каждый интервал

P_m* = m /

|∆_m| - длина каждого интервала

h_m =

m*/|∆_m| - высот столбца

2). Группировка выборки

K<=8

|∆₁|=|∆₂|=Е=|∆_k|=2,926

Статистический ряда (∆_m; m),

([-21,99; -19,065]; 7),

((-19,065; -16,139]; 5),

((-16,139; -13,213]; 2),

((-13,213; -10,287]; 6),

((-10,287; -7,361]; 10),

((-7,361; -4,436]; 8),

((-4,436; -1,51]; 8),

((-1,51; 1,416];10),

3).Найдем частоты для каждого интервала

P₁*= 0,125

P₂*= 0,09

P₃*= 0,036

P₄*= 0,107

P₅*= 0,179

P₆*= 0,143

P₇*= 0,143

P₈*= 0,179

4).Найдем высоты столбцов гистограммы

h₁= 0,043

h₂= 0,03

h₃= 0,012

h₄= 0,037

h₅= 0,061

h₆= 0,049

h₇= 0,049

h₈= 0,061

5). H₀ : имеющаяся выборка соответствует закону распределения R[

4. 1). Находим

a<= -21,99

b<= 1,416

2). Найдем вероятности попадания СВ в интервалы

1)=

2)=...=

k)= 0,125

0)= (X к (-_∞; -21,99))= 0

k₊₁)= (X к (1,416; +_∞))= 0

3). Статистика критерия Пирсона

g_n<=(m<-

m*)²/

m) + 0 +

k₊₁)

g₅₆= 7,143

5. Принятие решения

χ_α²(r) Ца квантиль распределение хи-квадрат ровня α с числом степеней свободы r.

r = 1Ц 2Ц 1

k - количество интервалов

n₁ - число дополнительных интервалов

n₂ - число неизвестных параметров закона распределения, для которых были сделаны оценки

r = 5

χ_0,95²(5)= 11,07 (по таблице)

Доверительная область [0; 11,07]

7,143 к [0; 11,07] - гипотеза H₀ принимается с вероятностью 0,95

χ_0,9²(5)= 9,24 (по таблице)

Доверительная область [0; 9,24]

7,143 к [0; 9,24] - гипотеза H₀ принимается с вероятностью 0,9

6. Найдем интервал, в который СВ X попадает с вероятностью 0,99

P(∆₁≤ X ≤ ∆₂)= 0,99

∆₁ и ∆₂ к [-21,99; 1,416]

(∆₁- (-21,99))/(1,416-(-21,99)) - (∆₂- (-21,99))/(1,416-(-21,99))=0,99

∆₁- ∆₂=23,172

если ∆₁= -21,99, тогда ∆₂= 1,182

СВ Х попадает в [-21,99; 1,182] с вероятностью 0,99

Список использованной литературы

1.     Конспект лекций по курсу ВиМС

2.     Теория вероятностей и математическая статистика. А.И. Кибзун и др. М. Физматлит 2005