Теория вероятностей и математическая статистика

Задача 1.

Генерация случайных чисел с заданным законом распределения с помощью случайных чисел, равномерно распределенных на интервале (0,1):

a)      

b)      

Решение:

С помощью сумм 6 независимых равномерно распределенных на интервале (0,1) случайных чисел получим 24 случайных числа со стандартным нормальным законом распределения по формуле

, где z_i - равномерно распределенные на интервале (0,1) случайные числа.

Получены следующие числа:

-1.235	-0.904	-1.674	1.918	-0.335
1.082	-0.584	-0.565	0.149	0.528
1.076	1.011	0.671	-1.011	-1.502
0.627	-0.489	-0.486	1.022	-0.472
-0.844	0.92	-0.583	0.645	-0.495

Найдем выборочное среднее по формуле

Найдем выборочную дисперсию по формуле

Получим 11 случайных чисел с законом распределения Стьюдента с 10 степенями свободы:

Случайные числа, распределенные по закону хи квадрат с 10 степенями свободы:

, где x_i - нормальные независимые случайные величины.

Случайные числа, распределенные по закону Стьюдента с 10 степенями свободы:

, где x - нормальная случайная величина, c² - независимая от x величина, которая распределена по закону хи квадрат с 10 степенями свободы.

Получены следующие числа:

-0.58

-2.496

-0.06

-0.932

1.547

0.418

1.658

1.51

-0.171

-0.821

-1.728

Найдем выборочное среднее по формуле

Найдем выборочную дисперсию по формуле

Задача 2.

Проверка статистической гипотезы:

a)       ₁,Е,x₁₀₀}, распределенных по показательному закону с параметром l = 1/6, найти такое наименьшее целое число N, что N ³ x_k для всех k = 1,Е,100;

b)       разделить отрезок [0, N] на 10 равных отрезков; получить группированную выборку {n₁,Е,n₁₀}, где n_i Ц число чисел, попавших в i-ый интервал; построить гистограмму относительных частот; по группированной выборке найти оценку В параметра

c)       проверить с помощью критерия хи квадрат гипотезу о соответствии группированной выборки показательному распределению с параметром В при ровне значимости 0.05.

Решение:

Получим 100 случайных чисел {x₁,Е,x₁₀₀}, распределенных по показательному закону с параметром l = 1/6:

4,9713	3,2905	2,7849	4,1093	2,1764	9,9659	10,343	4,6924	13,966	14,161
0,4258	0,6683	8,4	5,3392	2,7906	4,7696	3,0867	0,9414	2,8	3,4177
10,148	3,5312	8,4915	3,0179	3,2209	4,2259	1,8006	2,8645	1,3051	3,3094
0,7	1,9075	2,4227	6,9307	7,1085	13,322	0,9665	11,19	15,203	2,6685
3,6408	5,3646	4,5871	11,277	1,823	1,142	0,8126	7,3	12,371	1,4527
2,9692	15,762	2,5493	13,533	8,8944	0,5005	2,4678	4,2491	4,1972	4,0488
2,2424	3,0025	30,785	13,778	0,8824	1,7475	5,8036	3,5565	0,2718	10,404
12,166	0,297	21,487	17,302	12,166	0,875	1,9573	25,326	2,0727	9,1516
10,669	6,4	6,005	1,3209	3,8486	1,3525	11,593	5,4617	11,946	16,293
3,3376	3,6084	7,0011	1,279	7,5471	0,6641	1,776	6,1109	8,857	8,8327

Находим такое наименьшее целое число N, что N ³ x_k для всех k = 1,Е,100:

N = 31

Разделяем отрезок [0, 31] на 10 равных отрезков и получим группированную выборку {n₁,Е,n₁₀}, где n_i - число чисел, попавших в i-ый интервал:

xi	Xi+1	ni	ni/n
0	3,1	39	0,39
3,1	6,2	25	0,25
6,2	9,3	12	0,12
9,3	12,4	12	0,12
12,4	15,5	6	0,06
15,5	18,6	3	0,03
18,6	21,7	1	0,01
21,7	24,8	0	0
24,8	27,9	1	0,01
27,9	31	1	0,01

Гистограмма относительных частот:

Находим выборочное среднее по формуле

По группированной выборке находим оценку В параметра

Проверяем с помощью критерия хи квадрат гипотезу о соответствии группированной выборки показательному распределению с параметром В при ровне значимости 0.05:

Находим вероятности попадания X в частичные интервалы (x_i, x_i+1) по формуле

Вычисляем теоретические частоты по формуле

xi	Xi+1	ni	Pi	fi	(ni - fi)2 / fi
0	3,1	39	0,3955	39,55	0,0076
3,1	6,2	25	0,2391	23,91	0,0499
6,2	9,3	12	0,1445	14,45	0,4162
9,3	12,4	12	0,0874	8,74	1,2188
12,4	15,5	6	0,0528	5,28	0,0977
15,5	18,6	3	0,0319	3,19	0,0116
18,6	21,7	1	0,0193	1,93	0,4482
21,7	24,8	0	0,0117	1,17	1,1668
24,8	27,9	1	0,0071	0,71	0,1231
27,9	31	1	0,0043	0,43	0,7717

Находим наблюдаемое значение критерия по формуле

По таблице критических точек распределения хи квадрат, по заданному ровню значимости 0.05 и числу степеней свободы 8 находим критическую точку

Гипотезу о соответствии группированной выборки показательному распределению с параметром В не отвергаем.

Задача 3.

Проверка гипотезы о равенстве дисперсий:

a)      

b)      

Решение:

Получим 2 случайных числа, распределенных по стандартному нормальному закону с помощью сумм 5 независимых равномерно распределенных на интервале (0, 1) случайных чисел по формуле

, где z_i -а равномерно распределенные на интервале (0, 1) случайные числа.

Получены следующие числа:

-0,848

-1,662

Получим 9 случайных числа, распределенных по стандартному нормальному закону с помощью сумм 9 независимых равномерно распределенных на интервале (0, 1) случайных чисел по формуле

, где z_i -а равномерно распределенные на интервале (0, 1) случайные числа.

Получены следующие числа:

0.885

1.25

-0.365

-1.139

0.891

-1.176

0.237

1.807

-0.96

Проверим гипотезу о равенстве генеральных дисперсий полученных совокупностей при ровне значимости 0.1:

Найдем выборочное среднее первой совокупности по формуле

Найдем выборочное среднее второй совокупности по формуле

Найдем исправленную дисперсию первой совокупности по формуле

Найдем исправленную дисперсию второй совокупности по формуле

Вычислим наблюдаемое значение критерия (отношение большей исправленной дисперсии к меньшей) по формуле

По таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора, по заданному ровню значимости 0.1 и числам степеней свободы 1 и 9 найдем критическую точку

Гипотезу о равенстве генеральных дисперсий полученных совокупностей при ровне значимости 0.1 не отвергается.

Задача 4.

Уравнение линии регрессии:

a)       ₁,Е,x₅₀} случайной величины X, равномерно распределенной на интервале (0, 9); получить 50 случайных независимых значений {y₁,Е,y₅₀} случайной величины Y следующим образом: y_i - случайное число, распределенное по показательному закону с параметром

b)      

c)       D_max, D_max] на 5 равных частей, где D_max Ц наибольшее по абсолютной величине отклонение y_i от линии регрессии.

Решение:

Получим 50 случайных независимых значений {x₁,Е,x₅₀} случайной величины X, равномерно распределенной на интервале (0, 9):

8.83174196071923	6.99053263384849	8.93890746776015	0.385410904884338	5.75393992289901	4.51090870331973	0.00656201597303152	7.97929550148547	6.6076143393293	4.54793028719723
1.40597840119153	2.18026433419436	5.0019520492	5.61958408355713	0.148365877147	4.25108801946044	4.77254802547395	1.53819094598293	6.14594876859337	0.812219920568168
6.2368449093774	1.69562757108361	0.272606268525	2.94200687524	7.07131071947515	2.973582518287	8.08092284202576	2.89726528152823	8.8169469544664	3.27939590346068
0.570096284151077	8.46246168483049	2.0076337551	2.70446146745235	8.67470343410969	1.92118153441697	1.92350933980197	1.31150823365897	1.80795181263238	3.65427995938808
8.97048242390156	2.54362053237855	0.0568648930639029	6.36279229167849	1.68422971665859	4.25911642424762	2.50030734948814	4.91532963048667	7.3589529544	4.39228433836252

Получим 50 случайных независимых значений {y₁,Е,y₅₀} случайной величины Y следующим образом: yi - случайное число, распределенное по показательному закону с параметром :

24.9323592452182	15.7441606069719	15.5028112434691	2.87790855039727	4.16156795216443	0.190460347139702	0.252207251176988	5.55884492608762	11.5417165759534	11.8189116910915
9.57191092954621	6.48268208064067	10.6729845988228	11.9201379351172	0.0563900402236241	6.07239051882238	10.8341890845962	2.77373256689	1.4735808529829	0.683544240471081
1.536352690789	0.10049538246	6.48630115206778	1.01945703768	6.79791391486788	2.34472037157293	2.06912254815368	3.42524848981833	9.45107567296	3.18848770214796
1.69800713475763	2.42887690987151	6.18175839336735	4.85432860734921	3.12088295311468	0.14473630724364	0.312712437424258	1.16492882917332	2.95306149294792	6.38190212865322
0.293019110223049	0.664514453422601	3.47608211592645	20.3599120342622	1.45318365215952	9.23209976014301	0.965294785502523	6.29747102157127	6.46689933291391	3.14474865192493

Найдем равнение прямой линии регрессии Y на X по этим данным по формулам

Уравнение прямой линии регрессии Y на X:

Получены следующие значения отклонений имеющихся данных от прямой регрессии:

15.1803992483	7.69319511536507	5.65184678474214	0.929060623659	-2.74697588437076	-5.56971364166513	-1.34664251825399	-3.40558552590376	3.84450875080244	6.024535447371
6.68021544884769	2.87566537149934	4.45916201865442	5.13571824955786	-1.67346851299683	0.55225091890577	4.83230056456327	-0.240106987952807	-5.79711892247662	-1.65960963866345
-5.81832115202078	-3.05879142493402	4.17543322148284	-3.29134973659658	-1.32767811582337	-1.99520044159931	-6.98919595084991	-0.844166923187427	-0.287216028830924	-1.43395767411
-0.421461708068378	-6.98192485416478	2.7342258747	0.763034293093572	-6.48599757504491	-3.92770452086	-3.0571021088348	-1.63949073262982	-0.305654309725	1.41312147312541
-9.58711575629829	-3.27818755099385	1.8307602174006	12.21627727	-1.69557328905632	3.70454314781532	-2.93739249325208	0.163674237751803	-1.9244299300759	-2.50583465164

Проверим с помощью критерия хи квадрат гипотезу о нормальном распределении с нулевым математическим ожиданием отклонений имеющихся данных от прямой регрессии при ровне значимости 0.05:

Найдем наибольшее по абсолютной величине отклонение y_i от линии регрессии:

Рассмотрим группированную выборку, разделив отрезок [-D_max, D_max] на 5 равных частей:

zi	zi+1	ni
-15.1803992483	-9.10823954902661	1
-9.10823954902661	-3.03607984967554	12
-3.03607984967554	3.03607984967554	25
3.03607984967554	9.10823954902662	10
9.10823954902662	15.1803992483	2

Вычислим шаг:

Вычислим выборочное среднее по формуле

Вычислим выборочное среднее квадратическое отклонение по формуле

Вычислим теоретические вероятности попадания в интервалы (z_i, z_i+1) по формуле

Вычислим теоретические частоты по формуле

zi	zi+1	ni	Pi	fi	(ni - fi)2 / fi
-15.1803992	-9.10823954	1	0.02546995	0.02546995	0.02546995
-9.10823954	-3.03607984	12	0.23264461	0.23264461	0.23264461
-3.03607984	3.036079849	25	0.48256076	0.48256076	0.48256076
3.036079849	9.108239549	10	0.23264461	0.23264461	0.23264461
9.108239549	15.18039924	2	0.02546995	0.02546995	0.02546995

По таблице критических точек распределения хи квадрат, по заданному ровню значимости 0.05 и числу степеней свободы 3 находим критическую точку:

Гипотезу о нормальном распределении с нулевым математическим ожиданием отклонений имеющихся данных от прямой регрессии при ровне значимости 0.05 не отвергаем.