
Комплексные числа
Брянский городской лицей № 1
Учебно-исследовательская работа
по математике на тему:
Комплексные числа
Выполнил
ученик 10 физико-
математического класса
Петрухин Вячеслав
Учитель: Тюкачева О.И.
Брянск, 2003
Оглавление:
1.Комплексные числ
3
2.Свойства операций над комплексными числами 3
3. Комплексная плоскость 3
4. Модуль комплексного числ
4
5. Геометрический смысл сложения, вычитания и модуля разности двух комплексных чисел
5
6. Аргументы комплексного числ
5
7.Алгебраическая и тригонометрическая формы. комплексного числ 6
8. множение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме
8
9. Возведение в степень и извлечение корня
8
10.Квадратные уравнения 10
11.Использованная литератур
14
В элементарной математике изучаются действительные числа. С начала в процессе счёта возникает так называемый натуральный ряд чисел 1, 2,Е
Та же потребность измерения величин и проведения таких операций, как извлечения корня, решение алгебраических равнений, приводит к дальнейшему расширению запаса рассматриваемых чисел: появляются иррациональные и, наконец, комплексные числа.
1.Комплексные числа
Комплексными числами называются выражения вида a + ib, где a и b - любые действительные числа, i - некоторый символ, для которых вводятся понятия равенства и операции сложения и множения:
) два комплексных числа a + ib и c + id равны тогда и только тогда, когда
a<=c и b<=d;
б) суммой чисел a + ib и c + id называется число
a + c + i(b +d);
в) произведением чисел a + ib и c + id называется число
ac - bd +i(ad+bc).
Комплексные числа принято обозначать одной буквой (чаще всего буквой z или w).
Равенство z<= a + ib означает, что комплексное число a + ib обозначено буквой z.
Действительное число a называется действительной частью комплексного числа z = a + ib и обозначается Re
Заметим, что операции сложения и умножения над числами a<+
i0 проводятся так же,
как над действительными числами.
Таким образом, отождествив число a + i0 с действительным числом a, получим, что каждое действительное число содержится во множестве комплексных чисел, именно a =a<+i0.
Числа вида 0 +ib называю чисто мнимыми и обозначаются ib.
На основании формулы (2) найдём значение выражения i2=ii:
i2 = ii =(0+i1)(0+i1)=
-1+i0=-1.
Таким образом,
i2=-1.
2.Свойства операций над комплексными числами.
1.
Коммутативность сложения: z1 + z2 = z2 + z1.
2.
Ассоциативность сложения (z1 + z2)+z3 = z1 +(z2 + z3)
3.
4.
Коммутативность множения: z1 z2= z2 z1.
5.
Ассоциативность множения: z3( z1 z2) =z1( z2 z3).
6.
Дистрибутивный закон: z1( z2 + z3) =z1 z2 + z1 z3.
7.
1*z<=z.
8.
1 и 2, где z1
, существует такое число z
такое, что z1z = z2. Это число называется частным комплексных чисел z1 и z2 и обозначается
а.Деление на 0
невозможно.



а 3. Комплексная плоскость. Рассмотрим прямоугольную систему координат на плоскости. Каждому комплексному числу z = a + ib поставим в соответствие точку M(a,b) координатной плоскости, т.е. точку,
абсцисса которой равна Re
Не менее важной и добной является интерпретация комплексного числа a + ib как вектор
.
4. Модуль комплексного числа. Модулем комплексного
числа z = a +ib называется длина вектора, соответствующего
этому числу. Модуль обозначается
аили буквой r. Применяя
теорему Пифагора, получим, что
а<=
.
Пусть z = a +ib. Число a - ib называется комплексно сопряжённым с числом z = a +ib и обозначается 
а<= a - ib. Заметим, что
<=
<=
, z
2 + b2=
2 =
2,

Пример 1. Запишите z в алгебраической форме,
если
) 


б) 


Пример 2. Запишите решения системы
)а
б)
в алгебраической форме.
Решение:
)


б)
а 

Пример 3.Существуют ли такие действительные числ 1 и z2 являются сопряжёнными
) z1=8x2 - 20i15,
z2=9x2 - 4+ 10yi3;
б)z1=4x + y+(1+I)y, z2=8 +
ix.
Решение:
) z1=8x2 - 20i15=8x2
+ 20i; z2=9x2 - 4+ 10yi3=9x2 - 4 -
10yi;
Используя определение сопряжённых комплексных чисел, получим систему:


откуда такие сопряжённые числ существуют.
б)z1=4x + y + (1+i)y = 4x +2y+yi;
2=8+ix.
Используя определение сопряжённых комплексных чисел, получим систему:


аоткуда такие сопряжённые числ существуют.
5. Геометрический смысл сложения, вычитания и модуля разности двух комплексных чисел.
1=a1 + ib1 и z2=a2 + ib2.Им соответствуют векторы с координатами (a1,b1) и (a2,b2). Тогда числу z1+z2=a1 + a2 + i(b1 + b2) будет соответствовать вектор с координатами (a1
+ a2,b1+b2).Таким образом,
чтобы найти вектор, соответствующий сумме комплексных чисел z1 и z2, надо сложить векторы,
отвечающие комплексным числам z1
и z2.




1- z 2 комплексных чисел z1 и z2 соответствует разность векторов, Соответствующих числам z1 и z2.Модуль
адвух комплексных чисел
z1 и z2 по определению модуля есть длина вектора z1-
z 2.Построим вектор, как сумму двух векторов z2
и (- z1).
Получим вектор
, равный вектору
.Следовательно,
аесть длина вектора
,то есть модуль разности двух комплексных чисел есть расстояние между точками комплексной плоскости, которые соответствуют этим числам.



6. Аргументы комплексного числа.
Аргументом комплексного числа z<= a + ib
Для обозначения того факта, что число j является аргументом числа z<= a<+ ib,
пишут

С другой стороны, если задано комплексное число, то, очевидно, модуль этого числа всегда определён единственным образом в отличие от аргумента, который всегда определяется неоднозначно: если j - некоторый аргумент числа z,то глы j<+2p
Из определения тригонометрических функций следует, что если j<=arg (a<+ib),то имеет место следующая система
аили 
Пример 4. Сколько решений имеет система равнений
)
аб)
в)
Решение:





найдём модуль1-i:а
.
Заметим, что никакая точка большей окружности не
приближена к меньшей на расстояние, равное 




другую окружность.













7.Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Запись комплексного числа z в виде a +ib называется алгебраической формой комплексного числа.
Рассмотрим другие формы записи комплексных чисел. Пусть r<-
модуль, j - какой-либо из аргументов комплексного числа z<= a<+ ib, то есть r = 

Запись комплексного числа в виде
тригонометрической формой.
Для того чтобы перейти от алгебраической формы комплексного числа a<+ib к тригонометрической, достаточно найти его модуль и один из аргументов.
Пример 5. Какое множество точек комплексной плоскости задаётся словием
) 
б)
в)
д)





















чтобы построить множество точек, довлетворяющих данному словию, мы должны:
1)

2)
а влево и на i вверх


а <-i чем к 2i,
эти точки казаны на рисунке.













а это будут точки далённые от начала координат не более чем на 1 и при этом исключая число
0. учитывая второе и третье словие, получим:
е) Чтобы построить точки, довлетворяющие первому условию, надо сдвинуть точки, далённые на расстояние 1,
на 1 вправо. При этом, учитывая другие словия,
получим
искомое множество точек.
Пример
6. Будет ли тригонометрической формой числа 
)
б) 
в) 
Решение:
Тригонометрической формой записи числа
атолько будет выражение а), так как только оно довлетворяет определению тригонометрической формы записи числа(

8. множение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Пусть

Тогда
модуль и произведение двух комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей, сумма аргументов сомножителей является аргументом произведения.
Пусть


Таким образом, модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя, разность аргументов делимого и делителя является аргументом частого.
9. Возведение в степень и извлечение корня. Формула (6) для произведения двух комплексных чисел может быть обобщен на случай 


а
Отсюда, как частный случай,
получается формула, дающая правило возведение комплексного числа
ав целую положительную степень:
а (8)
Таким образом, при возведении комплексного числа в степень с натуральным показателем его модуль возводится в степень с тем же показателем, аргумент множается на показатель степени.
Формула (8) называется формулойа Муавра.
Число 

аиз числа w (обозначается


Если w<=0, то при любом
n равнение
Пусть теперь


Тогда равнение
апримет вид

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули, аргументы отличаются на число, кратное
2p.
Следовательно,

или

Таким образом, все решения уравнения 

В самом деле, придавая числу k в формуле (9)целые значения, отличные от 0, 1, Е, (n<-1), мы не получаем других комплексных чисел.
Формула (9) называется второй формулой Муавра.
Таким образом, если
В частности, если
а равнение
аимеет два корня:

то есть эти корни симметричны относительно начала координат.
Также из формулы (9) нетрудно получить, что если

Из сказанного выше следует, что символ 
Пример 7. Запишите в тригонометрической форме:
) 
б)
в)
Решение:
) 

б) Так как 


Так как 



в) Так как 



10.Квадратные равнения.
В школьном курсе алгебры рассматривались квадратные равнения
(10)
с действительными коэффициентами
a, b, c. Там было показано, что если дискриминант равнения (10) неотрицателен, то решения такого равнения даются формулой

(11)
В случае, если 
Для вывода формулы (11)
использовался приём выделения квадрата трёхчлена с последующим разложением левой части на линейные множители:

откуда и получалась формула
(11). Очевидно, что все эти выкладки остаются справедливыми и в том случае,
когда a, b, c являются комплексными числами, корни равнения отыскиваются во множестве комплексных чисел.
Таким образом, во множестве комплексных чисел равнение

всегда разрешимо. Если 


где под
аподразумеваются все значения корня.
Пример 8. Решить уравнение
) 
б) 
Решение:
) Данное равнение является квадратным.
По формуле корней квадратного уравнения имеем:

Для определения всех значений
аположим


Тогда

и, следовательно, x и y довлетворяют системе

причём x и y действительные числа. Решим систему:
Заметим, что x<=0 решением системы не является.
При
:

Решим равнение (*): x4+15x2-16=0
Цквадратное равнение относительно x2, откуда
Вернёмся к системе:

Поэтому

б) Данное равнение является квадратным.
По формуле корней квадратного уравнения имеем:

Для определения всех значений
аположим


Тогда

и, следовательно, x и y довлетворяют системе

причём x и y действительные числа. Решим систему:
Заметим, что x<=0 решением системы не является.
При
:

Решим равнение (*): x4-16x2-225=0
Цквадратное равнение относительно x2, откуда
Вернёмся к системе:

Поэтому

Пример 9. Решить уравнение
) 
б) 
Решение:
) Пусть 


Возвращаясь к z, получим

1)

а вторую формулу Муавра, получим:

1)

а вторую формулу Муавра, получим:

Следовательно,

2)

а вторую формулу Муавра, получим:

Следовательно,

б)Преобразуем уравнение:





Заметим,
что
а вторую формулу Муавра, получим:


Пример10.
Решите равнение:

Решение:
Решим уравнение как квадратное относительно z2: D=

Пусть z<=a<+ib, тогда 


Пусть 


Пусть 


Ответ: 
Использованная литература:
- Пособие
по математике для поступающих в вузы: пособие/ Кутасов А.Д., Пиголкина
Т.С., Чехлов В.И., Яковлев Т.Х. - под редакцией Яковлева Г.Н.-3-е издание
М.: Наука, 1998, Глава X.
- Лекции
и задачи по элементарной математике / Болтянский В.Г., Сидоров Ю.В.,
Шабунин М.И., - М.: Наука, 1971. ГлаваIV.