Некоторые Теоремы Штурма
Быков В.В. Содержание з1.
Предварительные сведения5 з2. Основные факты8 з3. Теоремы Штурма18 Использованная литература27 Введение Тема дипломной работы Теорема Штурма,
связана с именем французского математика Жака Шарля Франсу Штурма. Штурм Жак Шарль Франсу (Sturm J. Ch. F. - правильное произношение: Стюрм), родился 29 сентября 1803 года в Женеве. Был членом Парижской академии наук с 1836, также иностранным членом - корреспондентом Петербургской академии наук с того же года. С 1840 года был профессором Политехнической школы в Париже. Штурм (182425)
и Рбе (1827) ввели главные формулы сферической тригонометрии при помощи пространственных координат. Теорему Фурье
( Теорема о числе действительных корней между двумя данными пределами ),
математика Жозефа Фурье (Joseph Fourier, 1768-1830), затмила более общая теорема, опубликованная Штурмом в Bull.
mathem., 1829. Доказательство сам Штурм представил только в одной премированной работе
1835г. Коши Огюстен (Cauchy
Augustin, 1789-1857)
распространил теорему Штурма на комплексные корни (1831). Дополнение к ней дал также Сильвестр Джемс Джозеф (Sylvester Y.Y.,
1814-1897) в
1839 году и позже. Основные работы Жана Шарля Штурма относятся к решению краевых задач равнений математической физики и связанной с этим задачей о разыскивании собственных значений и собственных функций для обыкновенных дифференциальных равнений.
(Задача Штурма-Лиувилля, о нахождении отличных от нуля решений дифференциальных уравнений : -(
удовлетворяющих граничным условиям вида: 1u(a)+B1u¢(a)=0, A2u(b)+B2u¢(b)=0, (так называемых собственных функций), также о нахождении значений параметра Эта задача была впервые исследована Штурмом и Жозефом Лиувиллем (Joseph Liouville, 1809-1882) в 1837г. и закончена в 1841
г. Также Жак Штурм дал общий метод для определения числа корней алгебраических равнений, лежащих на заданном отрезке,
названный правилом Штурма, который позволяет находить непересекающиеся интервалы, содержащие каждый по одному действительному корню данного алгебраического многочлена с действительными коэффициентами (уже поминалось выше). Ему принадлежат ряд работ по оптике и механике. Штурм Жак Шарль Франсу мер 18 декабря 1855года. з 1. Предварительные сведения Среди дифференциальных равнений, наиболее часто испольнзуемых в математике и физике,
следует выделить линейное равненние второго порядка, имеющее вид u"+ g(t)u' + f(t)u=h(t) (1.1) или (р (t) и')'
+ Как правило, если не оговорено противное, предполагается, что функции а( Из двух выражений (1.1) и (1.2) последнее является более общим,
поскольку равнение (1.1) может быть записано в виде (
если определить
при некотором
это равнение имеет вид (1.1). В случае,
если функция р (t) непрерывна, но не имеет непрерывнной производной,
уравнение (1.2) не может быть записано в виде (1.1). Тогда равнение (1.2) можно интерпретировать как линейную систему из двух равнений первого порядка для неизвестного двумерного вектора Другими словами, решение и = и (t) равнения (1.2) должно быть такой непрерывно дифференцируемой функцией, что функция р( Частному случаю равнения (1.2) при и" + Если функция при некотором аи потому строго монотонна. Следовательно, функция s =
s (t) имеет обратную а где аргумента Если функция при некотором
которое имеет вид (1.6). В силу сказанного выше, мы можем считать, что рассматнриваемые равнения второго порядка в общем случае имеют вид (1.2) или (1.6). тверждения,
содержащиеся в следующих пражннениях, будут часто использоваться в дальнейшем. з 2. Основные факты Прежде чем перейти к рассмотрению специальных вопросов, мы получим следствия,
касающиеся однородного и неоднородного равнений Для этого перепишем скалярные равнения (2.1) или (2.2) в виде системы двух равнений где векторы х= (х1,
х2), у == (у1, Если не оговорено противное, то предполагается, что (i) Если имеет единственное решение, существующее при всех ( (<) Принцип суперпозиции.
Если ( независимы в том смысле, что равенство (v) Если Поскольку матричным решением системы (2.3) является detX(t)=p(t)W(t)
и trA(t)=0. ( где так как где ( ( ( после интегрирования мы будем иметь где а, (х) Пусть и(t), . Поэтому решением равннения (2.2), довлетворяющим условиям (проще проверить это непосредственно). Общее решение равнения (2.2) получается прибавлением к (2.13) общего решения Если замкнутый ограниченный интервал [
мы получаем из (2.14) частное решение Оно может быть записано в виде где матрица С
(t) зависит от ( Функция z довлетворяет дифференциальному равнению Умножая его на или, в силу (2.27), что т. е. подстановка (2.29) приводит уравнение (2.1) к (2.30) или к (2.31). Мы могли также начинать не с решения ( и" + q (t) и = 0. (2.32) Предположим, что функция q (t) имеет непрерывную производную второго порядка, вещественна и не равна нулю, так что не зависит от t. Рассмотрим вариацию постоянных Тогда (2.32) сводится к (2.30), где Замена независимых переменных переводит (2.35) в равнение где аргументом функции q и ее производных служит функция Замена переменных (2.34), (2.36) называется подстановкой Лиувилля. Эта подстановка, или повторное применение ее, часто приводит к дифференциальному равнению типа (2.37), в котором функция f (s) близка к постоянной. Простой предельнный случай такой подстановки см. в пр. 1.1(с). ( так что Это равнение называется уравнением Риккати, соответствующим (2.1). (В общем случае равнение вида Читателю предоставляется проверка того факта, что если и ( уравнения (2.1), не равное нулю ни в одной точке из J'. ( Поскольку и и и' не могут обратиться в нуль одновременно, то, фиксируя соответствующее значение функции В равнение (2.43) входит лишь одна из неизвестных функций Преимущество уравнения (2.43) по сравнению с (2.40) состоит в том, что всякое решение равнения (2.43) существует на всем интервале J, где непрерывны р и Упражнение 2.1. Проверьте, что если функция при фиксированном значении Соотношения (2.46) и (2.47) следует понимать так, что интегралы Римана - Стильтьеса от обеих их частей равны. Обратно, (непренрывные) решения системы уравнений (2.46), (2.47) определяют решенния уравнения (2.1) с помощью соотношений (2.45). Заметим,
что если q (t)
> 0, р (t) > 0 и функция q(t) р(t) имеет локально огранниченную вариацию, то, полагая з 3. Теоремы Штурма В этом параграфе мы будем рассматривать только равнение вида (2.1) с вещественными непрерывными коэффициентами р (t) > 0, q (t). Под лрешением мы будем понимать вещественное, нентривиальное (т. е. Лемма 3.1. Пусть
Доказательство. Заметим, что в той точке
В теоремах этого параграфа будут рассматриваться два равннения где функции В этом случае равнение (3.1) называется мажорантой Штурма для (3.1) на J, а равнение (3.1)<-минорантой Штурма для (3.1). Если дополнительно известно, что соотношения или выполняются в некоторой точке Теорема 3.1 (первая теорема сравнения Штурма). Пусть коэффициенты равнения при
Доказательство. В силу (3.4) можно определить при Тогда справедливы аналоги соотношения (2.43): Поскольку непрерывные функции Чтобы доказать последнюю часть теоремы, предположим внанчале, что при Рассмотрим теперь тот случай, когда в (3.4) имеет место равеннство, но в некоторой точке из где Если доказываемое утверждение неверно, то из же рассмотреого случая следует, что Следовательно, если Следствие 3.1 (теорема Штурма о разделении нулей). Пусть равннение (3.12) является мажорантой Штурма для (3.11) на интервале J,
и пусть Заметим, что, последнее утверждение этой теоремы имеет смысл, поскольку нули функций Упражнение 3.1. (Другое доказательство теоремы Штурма о разделении нулей, когда 1(t)º 2(t)>0, q2(t)³ Предположим, что 1(t)>0 при 1(t)u¢)¢<+q1(t)u=0, где 1, на 2, ( 2(t)u¢)¢<+q2(t)u=0, где 2, на 1, вычитая и интегрируя по [t1,t2],
получаем: p(t)(u1¢2-u1u2¢)³0, при 1=p2. Это означает, что (1/u2)¢³0; поэтому 1/u2>0 при t1<t£ Решение: (p1(t)u¢)¢<+q1(t)u=0, u=u1 (p1(t)u1¢)¢<+q1(t)u1=0. Умножим левую часть равенства на 2, получим: u2(p1(t)u1¢)¢<+q1(t)u1u2=0. Во втором равнении проделаем соответствующие операции: (p2(t)u¢)¢<+q2(t)u=0, u2=u (p2(t)u2¢)¢<+q2(t)u2=0. Умножим левую часть равенства на 1, получим: u1(p2(t)u2¢)¢<+q2(t)u1u2=0. Вычитаем из первого равнения второе,
получим: u2(p1u1¢)¢<+q1u1u2-u1(p2u2¢)¢<-q2u1u2=0, 1=p2 u2(pu1¢)¢<+q1u1u2-u1(pu2¢)¢<-q2u1u2=0 (u2(pu1¢)¢<-u1(pu2¢)¢)+u1u2(q1-q2)=0 Упростим это равнение, u2(p¢1¢<+pu1¢¢)-u1(p¢2¢<+pu2¢¢)+u1u2(q1-q2)=0 Раскроем скобки, получим: p¢1¢2+ pu1¢¢2- p¢1u2¢<-pu1u2¢¢<+u1u2(q1-q2)=0. Сравнивая с формулой (2.2), получаем: (p(u1¢2-u1u2¢))¢<+u1u2(q1-q2)=0 (p(u1¢2-u1u2¢))¢<-u1u2(q2-q1)=0 (p(u1¢2-u1u2¢))¢<=u1u2(q2-q1)=0. Проинтегрируем это равнение по [t1,t], получим: u1u2>0, q2-q1³0. Значит 1¢2-u1u2¢)³0. Т.о. (1/u2)¢³0 Þ u1/u2>0. Упражнение 3.2. с)
Проверьте, что вещественные решения 2u=0 (1/17) имеет не более одного нуля при Решение: в з1 было рассмотрено пражнение 1.1
с), где показали, что функция l является решением равнения 2u=0 тогда и только тогда, когда Если u=t1/2[cos ( имеют бесчисленное множество нулей. В частности, если положить: c1=sinu,c2=cosu, то получим: u= t1/2[sin u cos ( t1/2 [sin (u+ Если u<=с1t1/2+ <+c2t1/2- имеют не более одного нуля. Так же, если u=c1t1/2+c2t1/2ln
t имеют не более одного нуля. d) Рассмотрим равнение Бесселя: v¢¢<+v¢ где u¢¢<+(1-2)u=0, где 2-1/4 (3.11) Проверим истинность этого тверждения 1/2v, следовательно: v=u/t1/2=ut-1/2. Найдём первую производную: v¢<=(ut-1/2) ¢<=u¢ Теперь вторую производную: v¢¢<=(u¢ =u¢¢ =u¢¢ Подставляя в равнение (3.10), получим: v¢¢<+v¢ u¢¢ t-1/2(u¢¢<-u¢ u¢¢<+1/4ut-2+u(1- u¢¢<+u- u¢¢<+u-( u¢¢<+u-(( u¢¢<+u-2=0 u¢¢<+(1-2)u=0, где 2-1/4. Покажем, что нули вещественного решения
Так как в равнении u¢¢<+(1-2)u=0, т.е. равнение u¢¢<+(1-( m - постоянное число, то при 1-( u¢¢<+(1-( сравнить с равнением n-tn-1о
Теорема 3.2 (вторая теорема сравнения Штурма). Пусть выполннены словия первой части теоремы 3.1 и функция Доказательство этого тверждения содержится по существу в доказательстве теоремы
3.1, если заметить, что из предположения о числе нулей функции Использованная литература: 1. Ф.
Хартман. Обыкновенные дифференциальные равнения: учебн. пособие. Пер. с англ. И.Х.Сабитова, Ю.В.Егорова; под ред. В.М.Алексеева.-М.: изд.Мир, 1970г.-720 с. 2. В.В.Степанов.
Курс дифференциальных равнений. Гос.изд. Технико-теор. литер.Ф<-М., 1953г.-468 с. 3. Большая Советская Энциклопедия. Под ред.
А.М.Прохорова. Изд. 3-е., М., Советская Энциклопедия,
1978г., т.29. Чачан-Эне-ле-Бен.Ф - 640 с. 4. Г.Вилейтнер. История математики от Декарта до середины 19-го столетия.Ф М.,
изд. Наука.Ф, 1966г. - 508 с. 5. История математики с древнейших времён до начала 19-го столетия. Под ред. Юшкевича А.П., т.3 Математика
18-го столетия
Введени3
(1.4)
(1.5)
асоответствует равнение
апринимает вещественные значения, равннение (1.2) может быть приведено к такому виду с помощью замены независимых переменных
(1.7)
(1.8)
(1.9)
(1.10)
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
,
, A(
(2.5)
аи
,
а<- произвольные комплексные числа, то задача Коши для равнения (2.2)
а
(2.6)
, см. лемму IV. 1.1.
. Поэтому,
если
аесть решение равнения (2.1), то нули функции и (t) не могут иметь предельной точки в J.
,
<-решения равннения (2.1),
<-постоянные, то функция
является решением равнения (2.1). Если
<-решение равннения (2.2), то функция
атакже является решением уравнения (2.2) тогда и только тогда, когда функция
аудовлетворяет равнению (2.1).
<-решения равнения (2.1), то соответнствующие векторные решения системы (2.3)
алинейно независимы
(в каждой точке
алинейно
где
аи
<- постоянные,
влечет за собой
,
а<- решения равнения (2.1), то существует постоянная с, зависящая от и (t) и v (t) и такая,
что для их вроннскиана W (
(2.7)
,
,
, (2.8)
а, (2.9)
. Соотношение (2.9) назынвается тождеством Лагранжа. Его интегральная форма
(2.10)
, называется формулой Грина.
афункций и(
), то вронскиан любой пары решений и(t),
ана подинтервале
, этим уравнением служит равнение (2.7), где и - известная функция,
, (2.11)
а (2.12)
. Легко проверить, что если
,
<- произвольные постоянные и а,
, то функция (2.12) является решением равнения (2.1), довлетворяющим (2.7) на любом интервале J', где
а.
арешением равнения (2.1), довлетворяющим начальным словиям и (s) = 0,
, слунжит функция
; (2.13)
уравнения (2.1), что дает
. (2.14)
а
а
.(2.15)
, (2.16)
(2.17)
, но не зависит от их пронизводных. В этом случае равнение (2.1) и эквивалентная ему система (2.3) сводятся к системе
. (2.28)
.
(2.29)
.
, мы получаем, что
а (2.30)
, (2.31)
адифференнциального уравнения (2.27), с функции
, имеющей непрерывную производную
аи такой, что
непрерывнно дифференцируема. При этом
аопределяется равенством (2.27), так что
а. Подстановка (2.29) будет назынваться также вариацией постоянных.
(2.34)
, т. е. к равнению
(2.35)
определенная соотношением
, (2.36)
а а(2.37)
(2.38)
(2.39)
. Тогда после деления (2.1) на и результат можно записать в виде
(2.40)
, где правая часть является квадратичным полиномом от г, называется дифференциальным уравнением Риккати.)
а<- решение равнения (2.40) на
(2.41)
ав некоторой точке
, мы определяем с помощью второго из равенств (2.42) непренрывно дифференцируемую функцию
. Соотношения (2.42) перенводят уравнение (2.1) в систему
а, (2.43)
(2.44)
Если решение
ауравнения (2.43) известно,
то соответствуюнщее решение равнения (2.44) может быть найдено с помощью квадратуры.
анепренрывна на J и имеет локально ограниченную вариацию (т. е. имеет ограниченную вариацию на всех замкнутых ограниченных подин-тервалах из J) и если <-
вещественное решение равнения (2.1), то равенства
а (2.45)
адля некоторого
аоднозначно определяют непрерывные функции
, имеющие локально ограниченную вариацию и
, мы получаем
,
а соотношения (2.45), (2.46) и (2.47) переходят в равенства
а (2.48)
(2.49)
.
(2.50)
)
решение. Нас будет интересовать множество нулей решения атогда и только тогда, когда
.
а<- вещественное решение равненния (2.1) при
, где
аи
авещественны и непренрывны. Пусть функция и (t) имеет в точности
анулей
апри
. Предположим, что
а<- непрерывная функция, определенная равенством (2.42), и
а. Тогда
и
апри
а.
ав силу (2.43). Следовательно,
функция
авозрастает в окрестности точек, где
адля некоторого целого
,
то
апри
,
а также что если
,
то
апри
.
Тем самым лемма доканзана.
а
авещественны и непрерывны на интервале J. и
. (3.2)
(3.32)
аи
(3.31)
, то равнение (3.32) назынвается строгой мажорантой Штурма для (3.31) на J.
анепрерывны на интервале J:
, и пусть равнение (3.32) является мажорантой Штурма для (3.11). Предположим,
что функция
аявляется решением равнения (3.11) и имеет точно
анулей
апри
а, функция
аудовлетворяет равненнию (3.12) и
(3.4)
. [Выражение в правой
(соответственно левой) части неранвенства (3.4) при
аполагается равным
,
если
а(соответственно если
); в частности, соотношение (3.4) справедливо при
, если
.] Тогда
аимеет при
ап
ав (3.4) имеет место строгое неравенство или если равнение (3.1 г) является стронгой мажорантой Штурма для (3.11) при
.
апару непрерывных функций
ас помощью соотношений
(3.5)
а (3.6j)
,
гладким образом зависят от
,
решения системы (3.6) однозначно определяются своими начальными словиями. Из
(3.2) следует, что
апри
аи всех
.
Поэтому последняя часть (3.5) и следствие.4.2 означают, что
адля
В частности, из
аследует, что
, и первая часть теоремы вытекает из леммы 3.1.
ав (3.4) имеет место строгое неравенство. Тогда
.
Обозначим через
арешение равнения (3.62), довлетворяющее начальному словию
,
так что
.
Поскольку решение равнения (3.62) однозначно определяется начальными условиями,
апри
.
Неравенство, аналогичное (3.7), означает,
что
апотому
. Следовательно,
аимеет
авыполняется либо (3.31), либо (3.32).
Запишем (3.62) в виде
,
апри
.Поэтому
аи
при
. Так как
атолько в нулях функции
,
то отсюда следует, что
апри
аи
.
апри некотором
. Если (3.31) не выполняется ни при каком
. Но тогда на этом интервале
и потому
. Однако это противоречит условию
. Доказательство закончено.
а<- вещественные решения равнений, (3.3j). Пусть
аобращается в нуль в двух точкаха
аинтернвала J. Тогда
аимеет по крайней мере один нуль на
. В частности, если
аи
вещественные линейно независимые решения равнения а(3.11)
(3.12). То нули функции
аразделяют нули функции
аи разделяются ими.
аи
ане имеют на J предельных точек.
Кроме того,
,
ане могут иметь общего нуля
, так как в противном случае в силу того, что решения равннения (3.11) единственны,
, где
а(так что
аи
ане являются линейно независимыми).
1(t).)
[p(u1¢2-u2¢1)]¢dt =
1u2(q2-q1)dt, где
аимеет точно
а[где выражение в правой (соответственно левой)
части (3.4) при
аполагается равным
, если
(соответственно,
)]. Кроме того, при
ав (3.4) имеет место строгое неравенство, если выполнены словия последней части теоремы 3.1.
авытекает последнее неравенство в слендующей цепочке:
3.1 дает неравенство