Скачайте в формате документа WORD

Шпаргалка (математика)

№1

lim (∆x→0) ∆f/∆x = fТ(x)

∆f/∆x = fТ(x)+α(∆x), где

lim (∆x→0) α(∆x)=0

∆f = fТ(x)∙∆x+ α(∆x)∙∆x

Опред-е: диф-ом к ф-ии наз-ся вел-на пропорциональная приращ-ю аргумента и отлич-ся от приращ-я ф-ии на вел-ну беск. малую по сравнению с прир-м аргумента.

df(

Теорема: д/того, чтобы у ф-ии

df(

y<=

dx<=∆

df(

№2

Св-ва диф-а:

1)         dc=0

2)         d(cf(x))=cdf(x)

3)         d(

4)         d(u v)= du dv

5)         d(uv)=udv+vdu

6)         d(u/v)=( vdu-udv)/v2

7)         df(u(x))=fТu(u)du

8)         dφ(u)= φТ(u)du


№3

Будем предполагать, что приращение независ. переменной произвольно и не зависит от конкрет. Знач-я арг. Х и одно и то же д/всех значений этого аргумента.

df(

d(df(2f(2

d2f(2=

dnf((n)(n - диф.

f(x)=x

dx=∆x

dx2=0

dxn=0

Теорема: диф-ы высшего порядка д/независ. перемен. = 0.


№4

Опред-е: первообразной д/ф-ии

(F(

Опред-е: совокупность всех первообразных д/ф-ии

Св-ва:

1)         (∫

2)         d ∫

3)         ∫dφ(

4)         ∫af(x)dx=a∫f(x)dx

5)         ∫[f(x) g(x)]dx = ∫f(x)dx ∫g(x)dx


№5

∫f(φ(x))φТ(x)dx = ∫f(φ(x))dφ(x) = ∫f(u)du

u= φ(x)

Пример:

∫dx/2x+3 = ∫(dt/2)/t = 1/2∫dt/t = ½ ln|t|+C = ½ ln|2x+3|+C

2x+3=t

2dx=dt

dx=dt/2


№6

d(uv)=udv+vdu

∫d(uv)= ∫udv + ∫vdu

uv = ∫udv + ∫vdu

∫udv = uv - ∫vdu

Пример:

∫xsinxdx = -xcosx+∫cosxdx = -xcosx+sinx+C

u=x

dv=sinxdx

du=dx

v=∫sinxdx=-cosx



№7

f(x) [a, b]

- произв. Целое положит. Число

Выберем (∙)-и 0 = 1<2<Е<n =

{ 0; 1; 2;Е n<} = Tn - совокуп. точек - разбиение отрезка [

[i; i-1]

i = i - i-1 - длина

Ф-ия, опред-я на отрез. [

∆=1, ∆2, Е∆n}

Выберем произв. внутр. (∙) i-1≤ εii

Σni=1f(εi)∆i = 1)∆1+ 2)∆2+Е+ n)∆n - это интегр-я сумма д/ф-ии n и набору (∙)-ек ε1 и т.д. εn.

Σni=1f(εi)∆i = I(n, ε1Еεn)

Опред-е: если сущ-т конеч. предел послед-ти интегр-х сумм при усл-ии, что ∆→0 и этот n и выбора промеж. (∙)-ек ε1 и т.д. εn, то ф-ия a∫b n, ε1Еεn), где

№8

Д/V ф-ии a∫b

1)         abdt =

2)         ab cf(x)dx = c abf(x)dx

3)         Если ф-ии a∫b [f(x)+g(x)]dx = ab f(x)dx + ab g(x)dx.

4)         ab f( ba f(

5)         Если ф-ия

6)         Если ф-ия

ab f( aс с∫b f(

7)         Если ф-ия

8)         Если ф-ия

m(b-a) ≤ ab f(x)dx ≤ M(b-a); ab mdx = m abdx = m(b-a)

9)         Если ф-ии a∫b f(

ab f(a∫b g(

10)       Теорема о среднем: если ф-ия a∫b f(

№9

Пусть ф-ия

Ф(х) = сх

Св-ва ф-ии Ф(х):

предположим

х+∆х

Ф(х+∆х) Ц Ф(х) = сх+∆х с∫х х∫х+∆х

1) Если ∆х→0, ф-ия непрерыв., т.е. ограничена => опред. ∫ тоже непрерыв.

2)

Т.е. введенная ф-ия Ф(х) - первообраз. д/ф-ии

№10

Пусть Ф(х) - какая-то первообраз-я д/ф-ии

aх a∫a f(t)dt =0; F(a)+C=0; C=-F(a)

ab f(t)dt = F(b) - F(a) - формула Лейбница<-Ньютона.




№11

ab f(х)dх = αβf(φ(t)) φТ(t)dt

x= φ(t)

x=a => a=φ(t), t = φ-1(a) = α

x=b => b=φ(t), t = φ-1(b) = β

dx = φТ(t)dt



№12

Будем предполагать, что ф-ии

d(

abd(a∫budv + abvdu

u(b)v(b) - u(a)v(a) = abudv + abvdu

abudv = a∫bvdu - правило интегр-я по частям в опред. ∫.


№13

2 случая: 1) ф-ия неогранич. растет в (∙); 2) интегр-ие на беск. интервале.

1) Пусть ф-ия a∫b f(х)dх будет наз-ся несобств. интегралом.

Под ним поним-ся ab

ab f(x)dx = lim (ε→0) a+εb f(x)dx.

Если этот предел сущ-т и конечен, то данный ∫ наз-ся сход-ся.

2) Оба, или хотя бы 1 предел интегр. Неограничен.

a+∞ a ∫А

Если этот предел сущ-т и конечен, то данный ∫ наз-ся сход-ся.

-∞b B∫b

-∞+∞ -∞∫0 0∫+∞

№14

Пусть ф-ия

Выберем нек. целое положит. число

(b-a)/n = R

x0 = a; y0 = f(x0)

x1=a+h; y1=f(x1)

--------; ---------

xi=a+ih

xn=b=a+nh; yn=f(xn)

Si = (yi-1 + yi)/2 ∙h

S=S1+S2+ЕSn = h∙[(y0+yn)/2 + y1+y2Е+yn-1]

ab f(x)dx = h∙[(y0+yn)/2 + y1+y2Е+yn-1]


№15

y=αx2+βx+γ

yi-1 = αx2i-1+βxi-1+γ = α(xi-h)2+ β(xi-h)+ γ

yi=αxi2+βxi+γ; yi-1 = αxi2- 2αhxi + 2h2 +βxi - βh +γ

yi+1 = α(xi+h)2+ β(xi-h)+ γ; yi+1 = αx2i +2αhxi +2h2 + βxi + βh +γ

yi+1+ yi-1 = 2 αx2i + 2αh2 + 2βxi + 2γ

yi+1+ yi-1 = 2yi = 2αh2

α = (yi+1+ yi-1 Ц 2yi)/ 2h2

Si = xi-1xi+1(αx2+βx+γ)dx = (αx3/3 + βx2/2 + γx) | xi+1xi-1 = α∙[(xi+h)3 - (xi-h)3]/3 + β∙[(xi+h)2 - (xi-h)2]/2 + γ∙[(xi+h) - (xi-h)]/1 = α/3∙(6x2ih + 2h3) + β/2∙(4xih) + 2γh = (2hαxi2 + 2hβxi + 2hγ) + 2/3∙h3α = 2hyi + 2/3∙h3∙( yi+1+ yi-1Ц 2yi)/ 2h2 = h∙(6yi + yi+1+ yi-1- 2yi)/3

Si = ( i+1+ 4i + i-1)/3∙

№16


S=ab (f1(x) - f2(x))dx

S2 = - ab f2(x)dx

S = ab(f1(x) Ц f2(x))dx



№17

y = f(x)

{x=φ(t)

{y=Ψ(t)

α ≤ t ≤ β

cos2φ + sin2φ = 1

{x=a∙cosφ

{y=a∙sinφ

0 ≤ φ ≤ 2π

S = 0a ydx = н - π/20 sin2φdφ = a2 0π/2 sin2φdφ = a2 0π/2 (1-cos2φ)/2 dφ = a2π/4

S = α β

№18

l - вектор, ρ - длина вектора ОМ

{

{

ρ = √(2 +2)

tgφ =

ρ = ρ(φ) - в полярн. сис. коорд.

ρ(φ) ρ(φ +dφ)

ds = ρ2/2 dφ

α β ds = S = ½ α βρ2

S = ½ α βρ2



№19


В дугу АВ вписали ломаную.

Mi (i, i)

yi = i) (если р-е кривой

| Mi-1а Mi | = √[(xi - xi-1)2 + (yi - yi-1)2]

l лом = Σn i=1 √[(i - i-1)2 + (i - i-1)2] Ц длина ломаной линии.

Опред.: под длиной дуги АВ будем понимать

При оч. мал. ∆х: dl = √[(dx)2 + (dy)2] = √[(dx)2 +(x)2 + (dx)2] =√ [1+(x)2] dx

l дуги ab = ab √ [1+(x)2] dx - формула д/вычисл. длины дуги.


№20

{

{

dx = φТ(

dy = ΨТ(

l дуги ab = α β √ [ (φТ(2 + (ΨТ(2] dt


№21

{

{

dx = (ρТ

dy = (ρТ

(dx)2 = (ρТ22φ Ц 2ρТρ22φ)

(dy)2 = (ρТ22φ + 2ρТρ22φ)

dl = √[(ρТ)2 + ρ2] dφ

l = α β √[(ρТ)2 + ρ2] dφ



№22


I Вокруг х

a) {

<{x = a, x = b

<{y = 0

Vx = π ab 2(

б) Час. случай

Vx = π ab 2(a∫b 2(a∫b [2(2(

II Вокруг

a)

Vy = π cd g2(y)dy

б) Час. Случай

Vy = π cd 2(c∫d 2(c∫d [2(2(

№23

Опред-е: числ. ряд - сумма беск. числа слаг-ыха 1+2+Е+n = Σn=1 n (1), каж. из кот. - опред. число.

un = 2+1)

Последов-ть частичных сумм:

S1 = u1

S2 = u1+u2

S3 = u1+u2+u3

----------------

Sn = u1+u2+Е+un

Σn=1 un = Sn + Σk=n+1 uk = Sn + rn, rn - n-й остаток ряда

Опред-е: ряд 1 наз-ся сход-ся рядом, если у него сущ-т, конечен

S = n

Опред-е: если у этой послед-ти частич. сумм нет

Теорема: д/того, чтобы ряд 1 сходился, необх-о и достат-о, чтобы остаток ряда → к 0, т.е. чтобы n = 0

Теорема (необх. сл-е сход. ряда)2: если ряд 1 сход-ся, то n = 0.

Следствие из теор.2: если

№24

Основ. св-ва сход. рядов:

1)         Если члены сход-ся ряда множ. на 1 и то же конеч. число, то нов. получ-й ряд будет тоже сход-ся, и сумма этого нов. ряда будет = произвед. эт. числа на сумму исход. ряда, т.е. Σn=1 n = S; Σn=1 λ∙n = λ∙S

2)         Если ряд 1 сход-ся и к нему добавить конеч. число слаг-х, либо из него брать конеч. число слаг-х, то получ. нов. ряд будет тоже сход-ся.

3)         Если ряд с членами n сход-ся и его сумма = Σn=1 n = S и ряд с членами n сход-ся и его сумма = Σn=1 n = σ, то ряд с чл. (n + n) сход-ся и его сумма = Σn=1 (n + n) = S<+ σ

Σn=11/

№25

Признак Даламбера: Пусть дан ряд Σn=1 n, если n+1/n =

{

{

{

Интегральный признак: Им-ся ряд с положит. членами. n = 1∫

Σn=11/ n=11/ α - обобщ. гарм. ряд.

f(α

1 dxα = 1∫A dxα = -α+1] |A1 = -α+1] = -α+1]

Если α>1, вычит. → к 0 при А→ ∞, ряд сход-ся.

Если α≤1, А-

№26

Σn=1 (-1)n+1un = 1-2+3- 4+Е, причем n ≥0

Теорема Лейбница: если д/членов знакочеред-ся ряда справедливы соотнош-я n+1< n

и n = 0, то дан. ряд сход-ся.

Док-во:

Найдем 2n частичную сумму ряда:

S2n = (2) + (3-4) +Е+(2n-1-2n) = послед-ть, состав-я из четных частич-х сумм - возраст-я = 1Ц(3) + (5)-Е-( 2n-2-2n-1) - 2n< 1

имеем послед-ть монотонно возр-х сумм <М1 =>она имеет

Рассмотрим нечет. частич. сумму S2n+1 = S2n + 2n+1

lim (n→∞) S2n+1 = lim (n→∞) S2n + lim (n→∞) u2n+1 = S

Чтд.

Σn=1 (-1)n/

un = 1/n, un+1 = 1/(n+1)

un > un+1

lim (n→∞) un = lim (n→∞) 1/n = 0


№27

(1)       Σn=1 n - числа

(2)       Σn=1 |n<| - ряд из абсолют. знач-й ряда (1)

Обозначим ч/з Sn n - 2-го ряда.

|Sn<| = | Σnk=1 k<| ≤ Σnk=1|k<| = σn

|Sn<|≤ σn

Опред-е: если д/ряда (1) сход-ся ряд, состав-й из абсолют. знач-й членов ряда (1) (т.е. ряд 2), то ряд 1 наз-ся абсолютно сход-ся рядом. Если же ряд 1 сход-ся, ряд 2 расх-ся, то ряд 1 наз-ся словно сход-ся рядрм.



№28

Ряды можно составлять и из ф-ий - функц-е ряды: Σk=1 k(

Выберем нек. (∙)х этой области опред-я, получим числ. ряд. Мн-во тех (∙)-ек х, д/кот. соотв-е числ. ряды сход-ся, наз-ся областью сход-ти функц. ряда.

f1(0)+ 2(0)+Е+ n(0)+Е= S(х0)

Ч/з S(х) будем обознач. ф-ию, опред. на области сход-ти, кот. наз-ся суммой эт. ряда.

Степенным рядом наз-ся Σn=0 Сn(х-х0)n (1)

Числа Сn-ные наз-ся коэф-ом степ. ряда, число х0 наз-ся центром степ. ряда.

В (∙)х=х0 степ. ряд сход-ся.

Теорема Абеля: твержд.1: если ряд 1 сход-ся в нек. (∙)х1, то он сход-ся в люб. (∙)х, довл-ей нерав-ву |х-х0|<|х10|.

утвержд.2: если ряд 1 расх-ся в нек. (∙)х2, то он расх-ся в люб. (∙)х, довл-ей нерав-ву |х-х0|>|х20|.

Областью сход-ти степ-го ряда явл-ся интервал с центром в (∙)х00 Ц R, х0 + R), число R<-0 до (∙), где ряд сх-ся - радиус сход-ти степ. ряда.

R = n<|/|Cn+1| - правило д/нахожд. радиуса сход-ти.


№29

Св-ва степ. рядов:

1)         В интервале сход-ти степ. ряда ряд сход-ся абсолютно.

2)         В интервале сход-ти степ. ряда ряд сход-ся к непрерыв. ф-ии.

3)         Степ. ряд можно почленно диффер-ть. Получ-й при этом нов. степ. ряд будет сход-ся в том же самом интерв-ле к ф-ии, кот. явл-ся производ-й суммы исход. степ. ряда.

Σn=0 Cn (х-х0)n = S(

Σn=0 Cn 0)n-1 = SТ(

4)         Степ. ряд можно почленно интегрировать, при этом получ-й новый степ. ряд сход-ся в том же интервале к ф-ии = ∫ от ф-ии исход. ряда.

Σn=0 ∫Cn (х-х0)n dx = ∫S(

Σn=0 Cn0)n+1 = ∫S(

№30

R может = люб. числу от 0 до +∞.

Σn=0 Cn (х-х0)n = S(

0 Ц R, х0 + R) - интерв.

S(х0) = С0

С1 + С2 (х-х0) +С3(х-х0)2 +Е= SТ(1= SТ(х0)

С2 + 3∙С3 (х-х0) +4∙С4(х-х0)2 +Е= SФ(x); С2= SФ(х0)/2

Сn = S(n)0)/n!

S(х) = Σn=0 S(n)0)/0)n - ряд Тейлора д/ф-ии S(х)


№31

Опред-е: диф-м р-м наз-ся р-е, связывающее искомую ф-ию одной или неск-х переменных, эти переменные и производ-е различ. порядков дан. ф-ии.

Если исход. ф-ия зависит от 1 перемен. => р-е обыкновенное, если от 2 и более перемен. => р-е в частных производных.

FТ(

G((n))=0 - общая запись обык. диф. р-я

Опред-е: решением диф-го р-я наз-ся такая ф-ия у, кот. при подстановке ее в р-е превращ. его в тождество.

у+

y<=

Задача о нахождении реш-я диф. р-я наз-ся задачей интегриров-я дан. диф. р-я. График реш-я диф. р-я наз-т интегральной кривой. Реш-е, зависящее от произвольных

№32

Опред-е: диф. р-е 1-го порядка наз-ся диф. р-м с разделяющимися переменными, если оно может быть записано в одном из след. видов:

(*) dy/dx = f(x)g(y); dy/g(y) = f(x)dx

(**) M(x)N(y)dx + P(x)Q(y)dy = 0; M(x)dx/P(x) = Q(y)dy/N(y)

(*)а ∫dy/g(y) = ∫f(x)dy

(**) а∫M(x)dx/P(x) = -∫Q(y)dy/N(y)



№33

Опред-е: диф. р-е 1-го порядка наз-ся однородным, если его можно записать в след. виде:

Ф-ия k

Пример:

yТ = (

yТ = 1+2

Пусть

y =

yТ =

z<+

xzТ = 1+

dz

∫dz

ln<|1+

|1+

z = xC - 1

y/x = xC - 1

y = x2C - x



№34

Опред-е: диф. р-е 1-го порядка, им. вид

Если

Если

Реш-е им. вид:

y(

yТ =

uТv + u(vТ + f(x)v) = g(x)

vТ + f(x)v= 0

dv/v = -f(x)dx

v = -∫

№35

В нек. случаях реш-е диф. р-я 2-го порядка можно свести к послед. реш-ю 2-х диф. ур-й 1-го порядка. В этих случаях говорят, что диф. р-е 2-го порядка допускает пониж. порядка р-я.

)

yТ = z

zТ = ∫f(x)dx

yТ = ∫f(x)dx

б) если в записи р-я 2-го порядка не входит искомая ф-ия у

G (x, yТ, yФ) = 0

yТ = z

G (x, zТ, zФ) = 0

в) когда в р-ии нет в явном виде независ. перемен. х

За независ. перемен. взять у, за нов. ф-ию -

G (

yТ =

22 +1

yТ =

yФ = y

22 +1

22 +1

22 +1) = dy

ln<|2 +1| = 1|

z2 +1 =1

z = √( 1 - 1)

dy1 - 1)

∫ dy1 - 1) = ∫dx

y = [(2)2/4 + 1] ∙ 1/C1


№36

Пусть

x; ∂

у; ∂

Полный дифф-ал 1-го порядка от ф-ии

Пример:

z = 3y)

x = 3y) ∙32y

у = cos(x3y) ∙ x3

dz = 3x2ycos(x3y)dx + x3 cos(x3y)dy


№37

M0 (x0, y0)

M (x0+∆x, y0)

f(M) - f(M0) = f(x0+∆x, y0) - f(x0, y0) = ∆x f(x0, y0) - част. приращ. по перемен. х

f(0+∆0) - 0, 0) = ∆у 0, 0)а <- част. приращ. по перемен. у

Опред-е: част. произв-й ф-ии 2-х переменных по перемен. х наз-ся предел отнош-я частного приращ-я по этой перемен. к приращ. этой перемен. при сл-ии когда предел:

lim(∆xf(

№38, №41

Пусть дана ф-ия 2-х перемен.

ρ = √[(∆2 - (∆2]

Если расст. → к 0, ∆

Если ∆

В этом прир-ии ф-ии глав.лин. часть - выр-е: ∆

Если при ρ→0 можно подобрать вел-ны А и В, не завис. от ∆

∙∆

Теорема1: диф-л ф-ии <= сумме произвед-й: част. произв-е ф-ии на диф-л этой перемен.

dz = ∂

Теорема2: если ф-ия

P(x, y)dx + Q(x, y)dy (*)

{∂f(x,y)/∂x = P(x, y)

{∂f(x,y)/∂y = Q(x, y)

Теорема3: д/того, чтобы выр-е (*) было полн. диф-ом нек. ф-ии

№39

z =

На луче

e z =

ρ(M, MТ) = ∆

π

cosα и

Опред-е: вел-на e z

lim (∆e z

№40

Опред-е: 0,0), кот. больше всех ее знач-й 0,0).

Опред-е: 1,1).

Теорема1 (необх. сл-е экстремума): в (∙) экстремума ф-ии неск. переменных каж. ее частная произв-я 1-го порядка либо =0, либо не сущ-т.

(∙)-ки, в кот. частная произв-я 1-го порядка одновременно =0, и не сущ-т, наз-ся критич. д/дан. ф-ии или подозрит. на экстремум.

Опред.: наиб. и наим. знач. ф-ии в дан. области

Теорема Вейерштрасса: ф-ия, непрерыв. в огранич. и замкнутой области достигает своего наиб. и наим. знач. либо в критич. (∙) этой ф-ии, лежащей в области, либо на границе области.

Теорема3 (достат. сл-е экстремума ф-ии 2-х перемен.): пусть ф-ия 0, 0), также определена и непрерывна в нек. ее окрестности. Пусть кроме того ф-ия имеет непрерыв. част. произв. 2-го порядка в этой (∙) и пусть

xx(x0, y0) = A

xy(x0, y0) = B

yy(0, 0) = C,

тогда если число (АС-В2)>0, то в дан. (∙) будет экстремум, причем, если А<0, то в дан. (∙) будет

Если (АС-В2) <0, то в дан. (∙) экстремума нет.

Если (АС-В2) =0, то вопрос ост-ся открытым.


№42

z =

Д- плоскость, огранич. или неогранич.

Разделим областьД:


∆Si

∆S = i<}

I = Σni=1 i, i)∆Si - интегр-я сумма д/ф-ии

Опред-е: если сумма (1) им. предел при n→∞, так, чтобы ∆S→0 и этот предел не зависит от выбора сп-ба разбиения области Д и от выбора внутр. (∙)-ек в каж. части разбиения, то ф-ия

lim(∆S→0) Σni=1f(i, i)∆Si = Д

Геометрич. смысл 2-го ∫:


∆Si = ∆ i ∙ ∆i

Σmj=1 Σni=1 i, i)∙ ∆ i ∙ ∆i

ДД∫

abdx g(x) f1(x)

Дc∫d g(y) r(x)

Д∫ dxdy = Sд - замечание