Высшая математика (шпаргалка)
1. Векторы. Действия над векторами.
Вектором наз.
упорядоченная совокупность чисел Х=<{X1,X2,...Xn} вектор дан в 1.умножение на число:
произведение вектора А на число 2.3. Декартова прямоугольная система координат. Базис. Базисом на плоскости называется совокупность фиксированной точки и 2х неколлинеарных векторов,
проведенных к ней. 4. Действия над векторами. <=х1 l*a= a< ab<=x1x2ii+y1x2ij+x2z1ki+x1y2ij+y1y2jj+
z1y2kj+x1z1ik+y1z2jk+z1z2kk=x1x2+y1y2+z1z2 ii<=1; ij=0; и т.д. скалярное произведение
2х векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов. <= ab<=|a|*|b|*cos )ав=0,<=>а<^в, б)а||в - коллинеарны, если,
5. Скалярное произведение векторов и его свойства. -(У 6. Векторное произведение 2х векторов. левая ----- правая Тройка векторов а,в,с наз. правоориентированной (правой), если с конца 3го вектора с кратчайший поворот от 1го ко 2му вектору мы будем видеть против час. стрелки.
Если кратчайший поворот от 1го ко 2му по час. стрелки - левая. Векторным произведением 2х векторов и в наз. такой вектор с,
который довлетворяет словиям: 1. <|c|=|a|*|b|*sin 7. Смешанное произведение векторов и его свойства. Смешанным произведением векторов наз. векторно-скалярное произведение, являющееся числом:
a<={ax,ay,az} b<={bx,by,bz} c<={cx,cy,cz} Св-ва: a*b*c=-b*c*a 2. не меняется при перестановке циклических сомножителей: a*b*c=c*a*b=b*c*a 3.)(Геометрич. смысл)
необходимым и достаточным словием компланарности 3х векторов явл. равенство б)если некомпланарные вектора если a*b*c>0,
то тройка a,b,c - правая если a*b*c<0,
то тройка a,b,c - левая 8. равнение линии и поверхности. 1. равнение сферы.
Сфера- геометрическое место точек, равноудаленных от 1ой точки, называемой центром. |OM|=r, OM={x-a,y-b,z-c} r2=(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2- равнение сферы. F( 2. равнение окружности r2=(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2- р-е окружности = F(x,y)=0- р-е линии на плоскости. 9. Плоскость в пространстве. Ур-е в плоскости,
проходящей через данную точку, перпендикулярно заданному вектору. M0M<{x-x0,y-y0,z-z0} Для того, чтобы точка MÎ 0M(т.е. N*M0M=0) A(x-x0)+B(y-y0)+С(z-z0)=0 - р-е плоскости,
проходящей через данную точку <^вектору. 10. Общее равнение плоскости. Ax+By+Сz-Ax0-By0-Сz0=0 -Ax0-By0-Сz0=D, где D=Ax+By+Сz Ax+By+Сz+D=0 Частный случай: Если D=0,
то Ax+By+Сz=0(проходит ч/з 0;0) Если A=0,
то By+Сz+D=0 Если B=0,
то Ax +Сz+D=0 Если C=0,
то Ax+By+D=0 Если A=B=0,
то Сz+D=0 Если A=C=0,
то By+D=0 Если A=D=0,
то By+Сz=0 Если B=D=0,
то Ay+Сz=0 11.
Взаимное расположение плоскостей. N1,N2<-нормальные векторы плоскости. P:A1x+B1y+C1z+D1=0 Q:A2x+B2y+C2z+D2=0 P<^Q{A1,B1,C1} Q<^N2{A2,B2,C2} 1)Пусть 1<^N2 A1A2+B1B2+C1C2=0
условие перпендикулярности
2) Пусть 1<^N2 A1/A2=B1/B2=C1/C2-
Условие параллельности 2х плоскостей. A1/A2=B1/B2=C1/C2=D1/D2-
Условие совпадения 2х плоскостей. 12. Каноническое уравнение прямой в пространстве. M0M<{x-x0,y-y0,z-z0} Чтобы точка МÎпрямой(или лежала на ней) необх. и достаточно, чтобы M0M<||S 13.
Уравнение прямой в пространстве, проходящей ч/з 2 заданные точки. S<{x2-x1,y2-y1,z2-z1} 14.
прямая, как пересечение плоскостей. Нахождение начальной точки и направляющего вектора прямой. P:A1x+B1y+C1z+D1=0 Q:A2x+B2y+C2z+D2=0 Общее ур-е прямой в пространстве. Для того, чтобы перейти от общего к каноническому р-ю прямой, надо задать начальную точку и направляющий вектор: 1. Найдем начальную точку: Z=0 M0(x0,y0,0), т.к. Z=0 2. Найдем направляющий вектор S<-? P<^N1<{A1,B1,C1} Q<^N1<{A2,B2,C2} S<=N1*N2 16. Взаимное расположение прямой на плоскости. P:A1x+B1y+C1z+D1=0<^N1<{A1,B1} Q:A2x+B2y+C2z+D2=0<^N2<{A2,B2} ) то б) в) Сначала запишем р-е прямой, проходящей через заданную точку <^ заданному вектору. M0(x0,y0) M0M<{x-x0,y-y0} n*M0M=0 A(x-x0)+B(y-y0)=0 Ax+By-Ax0-By0=0 -Ax0-By0=C Ax+By+C=0-общее уравнение прямой на плоскости. 18.19. Каноническое ур-е прямой линии на плоскости. р-е прямой, проходящей ч/з 2 точки. р-е с угловым коэффициентом. y-y1=k1(x-x1) y=k1x-k1x1+y1 y1-k1x1=b y=k1x+b ур-е прямой с гловым коэффициентом Теперь вид искомой прямой имеет вид: - р-е прямой,
проходящей ч/з 2 ) S1<{l1,m1}
S2{l2,m2}, или p:y=k1x+b1, k1=tg q:y=k2x+b2, k2=tg =(tg =(k2-k1)/(1+k1k2). б) 1=k2 в) 22.
Расстояние от точки до прямой на плоскости и до плоскости в пространстве. 1. Ax+By+C=0, M0(x0,y0) 2.
Пусть плоскость задана р-ем Ax+By+Cz+D=0 23.
Кривые линии 2-го порядка. Кривые 2го порядка описываются с помощью общего р-я: Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0, где ) Каноническое р-е эллипса Если б) р-е гиперболы: в) р-е параболы: г) р-е сферы: д) р-е эллипса: 24. Парабола и ее свойства. Множество точек плоскости, координаты которых по отношению к системе декартовых координат удовлетворяет равнению y2=2px-симметрично отн. оси ОХ х2=2pу-симметрично отн. оси ОУ Точка F(p/2,0) наз. фокусом параболы, прямая а Любой точке М(х,у),
принадлежащей параболе, расстояние до фокуса = r=p/2 Св-ва: 1. парабола предст.
собой ¥ точек плоскости, равноотстающих от фокуса и от директрисы 25.Эллипс и его св-ва: Кривая второго порядка наз. эллипсом если коэффициенты А и L имеют одинаковые знаки ур.-е наз. канонич. р.-ем эллипса, где Точки F1(-c,0) и F2(c,0) - наз. фокусами эллипса а. Отношение Точки A1,A2,B1,B2 -вершины эллипса. Св-во: 26. Гипербола и ее св-ва. Кривая 2го порядка наз. гиперболой, если в р-ии Ax2+Cy2=d, коэффициент А и С имеют противоположные знаки, т.е. А*С<0 б) Если d>0, то каноническое р-е гиперболы примет вид: Св-во: б) если d<=0,
ур-е примет вид в) если d<0,
то x2/a2-y2/b2=-1 - р-е сопряженной гиперболы. 27. Понятие о поверхностях 2го порядка. лгебраическим р-ем
2ой степени наз. р-е вида Ax2+Bxy+Cy2+Dx+ Линии, которые в системе декартовых координат определяются алгебраическим р-ем 2ой степени наз.
линиями 2го порядка. 28. Функции.
Определение способа задания. Классификация функций. Основные элементарные функции. Функция - это зависимость одной величины от другой. Если существует взаимооднозначное соответствие между переменной х одного множества и переменной у другого множества, то она называется функциональной зависимостью. Определение способа задания: -аналитически ( -графический
(график) -таблично x 1 2 3 y 4 5 8 -алгоритмически
(с помощью ЭВМ) Классификация функций: Элементарные: - функции, которые получаются из основных элементарных ф-ций с помощью алгебраических действий
(+,-,*,/,введение в степень). Основные элементарные ф-ции: 1. 2. y=ax - показательная 3. 4. Сложные: Y=f(U), где U= Если ф-ция у зависит от промежуточного аргумента U, который зависит от независимой переменной х, то 29. Определение пределов последовательности и ф-ции. Осн. св-ва пределов ф-ции 1ой переменной. ) Предел последовательности: y=f(Un), где
U1,U2,...Un, Un=n/(n2+1) limxn=a nо¥ <- б)
Предел ф-ции: Число А называется пределом ф-ции Основные св-ва: 2.
3.
Если 4. предела б.б.в. не существует 5.
если 30.
Основные теоремы о пределах. 1.
Предел суммы = суммы пределов: x< 2.
Теорема о пределе производной: если сомножители имеют пределы, то и произведение имеет предел, равный произведению пределов сомножителей. limx=a, limy=b, то на основании 5го св-ва x=a+ y=b+ x*y=(a+ сумма б.м.в. = d(дельта) xy=ab+d xyо limxy=ab=limx*limy 3. Следствие: постоянная величина выноситься за знак предела. limCx=limC*limx=C*limx 4. Предел от частного = частному пределов (кроме limx/y=limx/limy, т.к. x=a+ x/y=(a+ 31.
1й, 2й замечательный пределы. 1й:
lim((Sin xо0 SDOAC<SсектораOAC<SDOCB SDOAC=1/2*OC*AD, OA=OC=1,
то SDOAC=1/2*OC*OA*Sin SсектораOAC=1/2*OA*OC*
3.Суммой неск-их векторов и в наз. соединяющий начало 1-го и конец последнего вектора. 4. Разностью векторов и в наз-ся вектор
Базисом в пространстве наз. совокупность фиксированной точки в пространстве и 3х некомпланарных векторов.
Любой вектор на плоскости может быть разложен по векторам базиса на плоскости. Любой вектор в пространстве может быть разложен по векторам базиса в пространстве.
ОС<=OA+OB, OA=x*i, OB=j*y, OC=xi+yj.
Числа х,у наз-ся координатами вектора ОС в данном базисе
1. При перестановке 2х сомножителей:
O(a,b,c)
<|OM|=r, OM={x-a,y-b)
N<-вектор нормали
нq<=> N1||N2, то A1/A2=B1/B2
N1<^N2, то A1A2+B1B2=0
17. Общее ур-е прямой линии на плоскости. Его частные случаи.
Пусть даны 2 точки M1(x1,y1),
M2(x2,y2) и
20,21.
Угол м/ду прямыми на плоскости. словия <||
и<^.
а<- Каноническое р-е эллипса
Если вершина нах. в О(0,0), то р-е примет вид
а
При а=в представляет собой р-е окружности х2+
Для любой точки эллипса сумма расстояний этой точки до фокусов есть величина постоянной, =2а.
для любой точки гиперболы абсолютная величина разности ее расстояний до фокусов есть величина постоянная = 2а.
Предел: число а называется пределом переменной
1.Если величина имеет предел, то только 1.
j
33. Непрерывность ф-ции в точке и на интервале.
2. Если ф-ция 
KN=D
Если функция 
