Пример. Решение равнения методом

бисекции

«Расчет цепи постоянного тока, содержащей диод»

Цель: меть находить методом хорд значение тока.

Для нахождения приближенного значения корня равнения f(x)= 0 с точностью

e = 0.001 воспользуемся методом хорд (см. задание лаб. № 4).

Варианты заданий

1.       0,5^x-3=(x+1)²;                         2. 5^x-6x-3=0;  

3.       x⁴-18x²+6=0;                          4. x⁴-x³-2x²+3x-3=0;

5.       2x⁴-x²-10=0;                           6.

«Расчет цепи постоянного тока, содержащей диод»

Цель: меть находить методом Ньютона значение тока.

Для нахождения приближенного значения корня равнения f(x) = 0 с точностью

e = 0.001 воспользуемся методом Ньютона (см. задание лаб. № 4).

Варианты заданий

1.

«Расчет цепи постоянного тока, содержащей диод»

Цель: меть находить методом итерации значение тока.

Для нахождения приближенного значения корня равнения f(x) = 0 с точностью e = 0.001 воспользуемся методом итерации. (см. задание лаб. № 4)

Варианты заданий

1. х³ - x³ + 3 = 0                              2.

Глава 4. Система линейных алгебраических равнений

§ 1. Определения, обозначения, основные сведения

   Решение систем линейных алгебраических уравнений – одна из основных задач вычислительной линейной алгебры. Хотя задача решения системы линейных равнений сравнительно редко представляет самостоятельный интерес для приложений, от мения эффективно решать такие системы часто зависит сама возможность математического моделирования самых разнообразных процессов с применением ЭВМ. Значительная часть численных методов решения различных (в особенности – нелинейных) задач включает в себя решение систем линейных равнений как элементарный шаг соответствующего алгоритма.

            Одна из трудностей практического решения систем большой размерности связанна с ограниченностью оперативной памяти ЭВМ. Хотя объем оперативной памяти вновь создаваемых вычислительных машин растет очень быстро, тем не менее, еще быстрее возрастают потребности практики в решении задач все большей размерности. В значительной степени ограничения на размерность решаемых систем можно снять, если использовать для хранения матрицы внешние запоминающие стройства. Однако в этом случае многократно возрастают как затраты машинного времени, так и сложность соответствующих алгоритмов. Поэтому при создании вычислительных алгоритмов линейной алгебры большое внимание деляют способам компактного размещения элементов матриц в памяти ЭВМ.

Системы линейных алгебраических уравнений можно решать как с помощью прямых, так и итерационных методов. Для систем равнений средней размерности чаще используют прямые методы.

Прямые методы характеризуются тем, что дают решение системы за конечное число арифметических операций. Если все операции выполняются точно (без ошибок округления), то решение заданной системы также получается точным. К прямым методам относятся: метод Крамера, метод Гаусса, метод квадратного корня и т.д.

Итерационные методы являются приближенными. Они дают решение системы как предел последовательных приближений, вычисляемых по единообразной схеме. К итерационным методам относятся: метод простой итерации, метод Зейделя, метод релаксации, градиентные методы и их модификации.

    Итерационные методы применяют главным образом для решения задач большой размерности, когда использование прямых методов невозможно из-за необходимости выполнения чрезмерно большого числа арифметических операций. Большие системы равнений, возникающие в основном в приложениях, как правило являются разреженными. Методы исключения для систем с разреженным и матрицами неудобны, например, тем, что при их использовании большое число нулевых элементов превращается в ненулевые и матрица теряет свойство разреженности. В противоположность им при использовании итерационных методов в ходе итерационного процесса матрица не меняется, и она, естественно, остается разреженной. Большая эффективность итерационных методов по сравнению с прямыми методами тесно связанна с возможностью существенного использования разреженности матриц.

            Применение итерационных методов для качественного решения большой системы равнений требует серьезного использования ее структуры, специальных знаний и определенного опыта.

     К счастью, приложения очень часто приводят к матрицам, в которых число ненулевых элементов много меньше общего числа элементов матрицы. Такие матрицы принято называть разреженными. Одним из основных источников разреженных матриц являются математические модели технических стройств, состоящих из большого числа элементов, связи между которыми локальны. Простейшие примеры таких стройств – сложные строительные конструкции и большие электрические цепи.

            Известны примеры решенных в последние годы задач, где число неизвестных достигало сотен тысяч. Естественно, это было бы невозможно, если бы соответствующие матрицы не являлись разреженными

§2. Решение системы линейных равнений по способу Гаусса

Способ Гаусса является одним из наиболее распространенных способов решения систем линейных равнений. Этот метод (который также называют методом последовательного исключения неизвестных) известен в различных вариантах же более 2 лет. Он является точным, т.е. если точно выполнить все требуемые в нем действия, то мы получим точное решение системы. Практически, впрочем, точного решения получить не дается, поскольку арифметические действия далеко не всегда могут быть выполнены вполне точно.

  Вычисления с помощью метода Гаусса заключаются в последовательном исключении неизвестных из системы для преобразования ее к эквивалентной системе с верхней треугольной матрицей. Вычисления значений неизвестных производят на этапе обратного хода.

  Способ Гаусса может быть реализован в виде различных вычислительных схем, в основе которых лежит одна и та же идея последовательного исключения неизвестных.

2.1. Схемой единственного деления.

  Рассмотрим сначала простейший вариант метода Гаусса, называемый схемой единственного деления.

Прямой ход состоит из n - 1 шагов исключения.

1-й шаг. Целью этого шага является исключение неизвестного x₁ из равнений с номерами i = 2, 3, …, n. Предположим, что коэффициент a₁₁¹ 0. Будем называть его главным элементом 1-го шага.

Найдем величины   q_i1 = a_i1 /a₁₁   (i = 2, 3, …, n), называемые множителями 1-го шага.

   Вычтем последовательно из второго, третьего, …, n-го равнений системы первое равнение, множенное соответственно на q₂₁, q₃₁, …, q_n1. Это позволит обратить в нуль коэффициенты при x₁ во всех равнениях, кроме первого. В результате получим эквивалентную систему

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + … + a_1nx_n = b₁,

      a₂₂⁽¹⁾x₂ + a₂₃⁽¹⁾x₃ + … + a_2n⁽¹⁾x_n = b₂⁽¹⁾,

      a₃₂⁽¹⁾x₂ + a₃₃⁽¹⁾x₃ + … + a_3n⁽¹⁾x_n = b₃⁽¹⁾,

.   .  .  .   .  .  .   .  .  .   .  .  .   .  .

      a_n2⁽¹⁾x₂ + a_n3⁽¹⁾x₃ + … + a_nn⁽¹⁾x_n = b_n⁽¹⁾ .

в которой a_ij⁽¹⁾ и b_ij⁽¹⁾ вычисляются по формулам

a_ij⁽¹⁾ = a_ij − q_i1a_1j    ,  b_i⁽¹⁾ = b_i − q_i1b₁.

  2-й шаг. Целью этого шага является исключение неизвестного x₂ из равнений с номерами i = 3, 4, …, n.

   Пусть a₂₂⁽¹⁾ ≠ 0, где a₂₂⁽¹⁾ ­– коэффициент, называемый главным (или ведущим) элементом 2-го шага. Вычислим множители 2-го шага  q_i2 = a_i2⁽¹⁾ / a₂₂⁽¹⁾   (i = 3, 4, …, n)

и вычтем последовательно из третьего, четвертого, …, n-го равнения системы второе равнение, множенное соответственно на q₃₂, q₄₂, …, q_m2. В результате получим систему

            a₁₁x₁ + a₁₂x₂ +      a₁₃x₃ +   … + a_1nx_n =      b₁,

                        a₂₂⁽¹⁾x₂ +   a₂₃⁽¹⁾x₃ +          … +         a_2n⁽¹⁾ =     b₂⁽¹⁾,

                                        a₃₃⁽²⁾x₃ + … + a_3n⁽²⁾x_n =   b₃⁽²⁾,

                                      .  .   .  .  .   .  .  .   .  .  .   .  .  .   .  .  .

                                        a_n3⁽²⁾x₃ +          … +         a_nn⁽²⁾x_n = b_n⁽²⁾.

Здесь коэффициенты a_ij⁽²⁾ и b_ij⁽²⁾ вычисляются по формулам

a_ij⁽²⁾ = a_ij⁽¹⁾ – q_i2a_2j⁽¹⁾   ,    b_i⁽²⁾ = b_i⁽¹⁾ – q_i2b₂^(1).

налогично проводятся остальные шаги. Опишем очередной k-й шаг.

k-й шаг. В предположении, что главный (ведущий) элемент k-го шага a_kk^(k–1) отличен от нуля, вычислим множители k-го шага

q_ik = a_ik^(k–1) / a_kk^(k–1)   (i = k + 1, …, n)

и вычтем последовательно из (k + 1)-го, …, n-го равнений полученной на предыдущем шаге системы k-e равнение, умноженное соответственно на q_k+1,k, q_k+2,k, …, q_nk.

После (n - 1)-го шага исключения получим систему равнений

            a₁₁x₁ + a₁₂x₂ +      a₁₃x₃ +   … +  a_1nx_n =        b₁,

                        a₂₂⁽¹⁾x₂ +   a₂₃⁽¹⁾x₃ +          … +            a_2n⁽¹⁾x_n =            b₂⁽¹⁾ ,

                                            a₃₃⁽²⁾x₃ +          … +            a_3n⁽²⁾x_n =            b₃⁽²⁾,

                                                       .  .  .   .  .  .  .  .   .  .  .   .  .  .   .  .  .   .  .  .

                                                                a_nn^(n–1)x_n =   b_n^(n–1).

матрица A(n-1) которой является верхней треугольной. На этом вычисления прямого хода заканчиваются.

   Обратный ход. Из последнего равнения системы находим x_n. Подставляя найденное значение x_n в предпоследнее равнение, получим x_n–1. Осуществляя обратную подстановку, далее последовательно находим x_n–1, x_n–2, …, x₁. Вычисления неизвестных здесь проводятся по формулам

x_n = b_n^(n–1) / a_nn^(n–1)

x_k = (b_n^(k–1) – a_k,k+1^(k–1)x_k+1 – … – a_kn^(k–1)x_n) / a_kk^(k–1), (k = n – 1, …, 1).

Необходимость выбора главных элементов. Заметим, что вычисление множителей, также обратная подстановка требуют деления на главные элементы a_kk^(k–1). Поэтому если один из главных элементов оказывается равным нулю, то схема единственного деления не может быть реализована. Здравый смысл подсказывает, что и в ситуации, когда все главные элементы отличны от нуля, но среди них есть близкие к нулю, возможен неконтролируемый рост погрешности.

2.2. Метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу (схема частичного выбора).

 На k-м шаге прямого хода коэффициенты уравнений системы с номерами i = k + 1, …, n преобразуются по формулам

a_ij^(k) = a_ij^(k–1) − q_ika_kj, b_i^(k) = b_i^(k–1) − q_ikb_k^(k–1) , i = k + 1, …, n.

Интуитивно ясно, что во избежание сильного роста коэффициентов системы и связанных с этим ошибок нельзя допускать появления больших множителей q_ik.

  В методе Гаусса с выбором главного элемента по столбцу гарантируется, что |q_ik| ≤ 1 для всех k = 1, 2, …, n – 1 и i = k + 1, …, n. Отличие этого варианта метода Гаусса от схемы единственного деления заключается в том, что на k-м шаге исключения в качестве главного элемента выбирают максимальный по модулю коэффициент a_ik^k при неизвестной x_k в равнениях с номерами i = k + 1, …, n. Затем соответствующее выбранному коэффициенту равнение с номером ik меняют местами с k-м равнением системы для того, чтобы главный элемент занял место коэффициента a_kk^(k-1). После этой перестановки исключение неизвестного x_k производят, как в схеме единственного деления.

2.3. Метод Гаусса с выбором главного элемента по всей матрице (схема полного выбора).

 В этой схеме допускается нарушение естественного порядка исключения неизвестных.

На 1-м шаге метода среди элементов a_ij определяют максимальный по модулю элемент a_i1j1. Первое равнение системы и равнение с номером i1 меняют местами. Далее стандартным образом производят исключение неизвестного x_i1 из всех уравнений, кроме первого.  На k-м шаге метода среди коэффициентов a_ij^(k–1) при неизвестных в уравнениях системы с номерами i = k, …, n выбирают максимальный по модулю коэффициент a_ikjk^(k-1). Затем k-е равнение и равнение, содержащее найденный коэффициент, меняют местами и исключают неизвестное x_jk из равнений с номерами i = k + 1, …, n.

   На этапе обратного хода неизвестные вычисляют в следующем порядке: x_jn, x_jn–1, …, x_j1.

     Вычислительную схему добно иллюстрировать на конкретном примере. Поэтому ограничимся рассмотрением системы четвертого порядка. Те же приемы могут быть применены и в любом другом случае.

Пример. Решим систему равнений

2х₁+ 3х₂ + 11х_з + 5х₄ = 2,

- х₁+ х₂ + 5х_з + 2х₄ = 1,

2х₁ + х₂ + 3х_з + 2х₄ = 3

х₁+ х₂ + 3х_з +  4х₄  = 3

Первое равнение разделим на а₁₁ = -2. Уравнение примет вид

х₁ = -1,5х₂ -5,5х₃ - 2,5х₄ + 1.

С помощью этого равнения надо х₁ исключить  из оставшихся трех равнений. Подставив значение х₁ во второе равнение, получим

(-1,5*1+1)х₂ + (-5,5*1+5)х_з + (-2,5*1+2)х₄ +(1*1-1) = 0, т.е. -0,5х₂ - 0,5х_з - 0,5х₄ = 0

Подставляя х₁, в третье и четвертое уравнения, находим

(-1,5*2+1)х₂ + (-5,5*2+3)х_з + (-2,5*2+2)х₄ + (1*2 + 3) = 0

(-1,5*1+1)х₂ + (-5,5*1+3)хз + (-2,5*1+4)х₄ + (1*1+ 3) = 0

т. е. мы приходим к системе трех равнений вида:

-0,5х₂ - 0,5х_з - 0,5х₄ = 0,

-2х₂ - 8х_з - 3х₄ = 5

-0,5х₂ - 2,5х_з + 1,5х₄ = 4

С этой системой нужно проделать ту же операцию. Разделим первое равнение на

Лабораторная работа №13.

«Расчет цепи постоянного тока»

Цель: меть вести расчет цепи постоянного тока по методу Гаусса.

Задание: Дана линейная электрическая цепь

Лабораторная работа № 14

«Расчет цепи постоянного тока»

Цель: меть вести расчет цепи постоянного тока по методу Зейделя.

Задание: Дана линейная электрическая цепь (см. лаб. № 13).

Варианты заданий

Определить все токи в ветвях методом Зейделя с точностью до 0.001.

1. 2.7x₁+3.3x₂+1.3x₃=2.1;                 16. 3.8x₁+4.1x₂-2.3x₃=4.8;

    3.5x₁-1.7x₂+2.8x₃=1.7;                       -2.1x₁+3.9x₂-5.8x₃=3.3;

    4.1x₁+5.8x₂-1.7x₃=0.8.                         1.8x₁+1.1x₂-2.1x₃=5.8.

 2. 1.7x₁+2.8x₂+1.9x₃=0.7;                17. 1.7x₁-2.2x₂+3.0x₃=1.8;

     2.1x₁+3.4x₂+1.8x₃=1.1;                      2.1x₁+1.9x₂-2.3x₃=2.8;

     4.2x₁-1.7x₂+1.3x₃=2.8.                       4.2x₁+3.9x₂-3.1x₃=5.1.

 3. 3.1x₁+2.8x₂+1.9x₃=0.2;                18. 2.8x₁+3.8x₂-3.2x₃=4.5;

     1.9x₁+3.1x₂+2.1x₃=2.1;                      2.5x₁-2.8x₂+3.3x₃=7.1;

     7.5x₁+3.8x₂+4.8x₃=5.6.                      6.5x₁-7.1x₂+4.8x₃=6.3.

 4. 9.1x₁+5.6x₂+7.8x₃=9.8;                19. 3.3x₁+3.7x₂+4.2x₃=5.8;

     3.8x₁+5.1x₂+2.8x₃=6.7;                      2.7x₁+2.3x₂-2.9x₃=6.1;

     4.1x₁+5.7x₂+1.2x₃=5.8.                      4.1x₁+4.8x₂-5.0x₃=7.0.

 5. 3.3x₁+2.1x₂+2.8x₃=0.8;                20. 7.1x₁+6.8x₂+6.1x₃=7.0;

     4.1x₁+3.7x₂+4.8x₃=5.7;                      5.0x₁+4.8x₂+5.3x₃=6.1;

     2.7x₁+1.8x₂+1.1x₃=3.2.                      8.2x₁+7.8x₂+7.1x₃=5.8.

 6. 7.6x₁+5.8x₂+4.7x₃=10.1;               21. 3.7x₁+3.1x₂+4.0x₃=5.0;

     3.8x₁+4.1x₂+2.7x₃=9.7;                    4.1x₁+4.5x₂-4.8x₃=4.9;

     2.9x₁+2.1x₂+3.8x₃=7.8.                   -2.1x₁-3.7x₂+1.8x₃=2.7.

 7. 3.2x₁-2.5x₂+3.7x₃=6.5;                22. 4.1x₁+5.2x₂-5.8x₃=7.0;

    0.5x₁+0.34x₂+1.7x₃=-0.24                  3.8x₁-3.1x₂+4.0x₃=5.3;

    1.6x₁+2.3x₂-1.5x₃=4.3.                       7.8x₁+5.3x₂-6.3x₃=5.8.

 8. 5.4x₁-2.3x₂+3.4x₃=-3.5;               23. 3.7x₁-2.3x₂+4.5x₃=2.4;

     4.2x₁+1.7x₂-2.3x₃=2.7;                       2.5x₁+4.7x₂-7.8x₃=3.5;

     3.4x₁+2.4x₂+7.4x₃=1.9.                      1.6x₁+5.3x₂+1.3x₃=-2.4.

 9. 3.6x₁+1.8x₂-4.7x₃=3.8;                24. 6.3x₁+5.2x₂-0.6x₃=1.5;

     2.7x₁-3.6x₂+1.9x₃=0.4;                      3.4x₁-2.3x₂+3.4x₃=2.7;

     1.5x₁+4.5x₂+3.3x₃=-1.6.                   0.8x₁+1.4x₂+3.5x₃=-2.3.

10. 5.6x₁+2.7x₂-1.7x₃=1.9;                25. 1.5x₁+2.3x₂-3.7x₃=4.5;

      3.4x₁-3.6x₂-6.7x₃=-2.4;                      2.8x₁+3.4x₂+5.8x₃=-3.2;

      0.8x₁+1.3x₂+3.7x₃=1.2.                      1.2x₁+7.3x₂-2.3x₃=5.6.

11. 2.7x₁+0.9x₂-1.5x₃=3.5;                26. 0.9x₁+2.7x₂-3.8x₃=2.4;

      4.5x₁-2.8x₂+6.7x₃=2.6;                     2.5x₁+5.8x₂-0.5x₃=3.5;

      5.1x₁+3.7x₂-1.4x₃=-0.14.                   4.5x₁-2.1x₂+3.2x₃=-1.2.

12. 4.5x₁-3.5x₂+7.4x₃=2.5;                27. 2.4x₁+2.5x₂-2.9x₃=4.5;

      3.1x₁-0.6x₂-2.3x₃=-1.5;                      0.8x₁+3.5x₂-1.4x₃=3.2;

      0.8x₁+7.4x₂-0.5x₃=6.4.                     1.5x₁-2.3x₂+8.6x₃=-5.5.

13. 3.8x₁+6.7x₂-1.2x₃=5.2;                28. 5.4x₁-2.4x₂+3.8x₃=5.5;

      6.4x₁+1.3x₂-2.7x₃=3.8;                      2.5x₁+6.8x₂-1.1x₃=4.3;

      2.4x₁-4.5x₂+3.5x₃=-0.6.                   2.7x₁-0.6x₂+1.5x₃=-3.5.

14. 5.4x₁-6.2x₂-0.5x₃=0.52;               29. 2.4x₁+3.7x₂-8.3x₃=2.3;

      3.4x₁+2.3x₂+0.8x₃=-0.8;                    1.8x₁+4.3x₂+1.2x₃=-1.2;

      2.4x₁-1.1x₂+3.8x₃=1.8.                    3.4x₁-2.3x₂+5.2x₃=3.5.

15. 7.8x₁+5.3x₂+4.8x₃=1.8;                30. 3.2x₁-11.5x₂+3.8x₃=2.8;

      3.3x₁+1.1x₂+1.8x₃=2.3;                    0.8x₁+1.3x₂-6.4x₃=-6.5;

      4.5x₁+3.3x₂+2.8x₃=3.4.                    2.4x₁+7.2x₂-1.2x₃=4.5.

Пример выполнения задания.

Пример. Дана система равнений Ax=b. Найти решение  системы  с помощью метода Зейделя, выполнив 10 итераций. Найти величину абсолютной погрешности итерационного решения.

Программа на MathCade имеет следующий вид:

Лабораторная работа №15

«Расчет цепи постоянного тока»

Цель: меть вести расчет цепи постоянного тока по методу итерации.

Задание: Дана линейная электрическая цепь (см. лаб. № 13).

Варианты заданий

Определить все токи в ветвях методом итерации с точностью до 0.001.

Номер         Матрица системы                  Правая 

вари-                                                  

нта                                                  

   1                    2                                           3   

---------------------------------------------------------

   1  .4       .3    .8    .0014     .1220

      -.0029      -.5    -.0018    -.0012    -.2532

      -.0055      -.0050   -1.4    -.0039    -.9876

      -.0082      -.0076    -.0070   -2.3   -2.0812

   2  1.7       .3    .4    .5     .6810

         .      .8    .1     .2     .4803

       -.3      -.2    -.1     .    -.0802

       -.5      -.4    -.3   -1.   -1.7

   3  3.       .0038    .0049    .0059    1.5136

        .0011      2.1    .0032     .0043    1.4782

       -.5      .5    1.2    .0026    1.0830

       -.0022      -.0011    -.1     .3    .3280

   4  4.3       .0217    .0270    .0324    2.6632

        .0100      3.4    .0207     .0260    2.9

        .0037      .0090    2.5     .0197    2.5330

      -.0027      .0027    .0080    1.6    1.9285

   5  5.6       .0268    .0331    .0393    4.0316

        .0147      4.7    .0271     .0334    4.3135

        .0087      .0150    3.8     .0274    4.2353

        .0028       .0090    .0153    2.9    3.7969

   6  6.9       .0319    .0390    .0416    5.6632

        .0191      6.    .0     .0405    6.9

        .0134      .0205    5.1     .0348    6.2

        .0077      .0149    .0220    4.2    5.9275

   7  8.2       .0370    .0451    .0532    7.5591

       .0234      7.3    .0396     .0477    8.1741

       .0179      .0260    6.4     .0422    8.4281

       .0124      .0205    .0286    5.5    8.3210

   8  9.5       .0422    .0513    .0604    9.7191

        .0278      8.6    .0459     .0550   10.5

        .0224      .0315    7.7     .0496   10.9195

   9 10.8       .0475   .0576      .0676  12.1430

         .0321       9.9   .0523      .0623  13.0897

        .0268       .0369   9.      .0570  13.6744

        .0215       .0316   .0416     8.1  13.8972

  10 12.1       .0528   .0639      .0749  14.8310

         .0365      11.2   .0586      .0697  15.9430

         .0312        .0423  10.3     .0644  16.6926

         .0260       .0370   .0481     9.4  17.0800

  11 13.4       .0518   .0702      .0822  17.7828

         .0408      12.5   .0650      .0770  19.0599

         .0356       .0477  11.6      .0718  19.9744

         .0304       .0425   .0546    10.7  20.5261

  12 14.7       .0635   .0765      .0896  20.9985

         .0452      13.8   .0714      .0844  22.4406

         .0400       .0531  12.9      .0793  23.5195

         .0349       .0479   .0610    12.  24.2353

  13 16.       .0688    .0829     .0970  24.4781

         .0496      15.1   .0      .0918  26.0849

         .0       .0585  14.2      .0867  27.3281

         .0393       .0534   .0674    13.3  28.2078

  14 17.3       .0741    .0892     .1043  28.2215

         .0539      16.4   .0841      .0992  29.9928

         .0488       .0639  15.5      .0941  31.4001

         .0437       .0588   .0739    14.6  32.4435

  15 23.8       .1010    .1212     .1414  50.8968

         .0757      22.9   .1161      .1363  53.4873

         .0707       .0909  22.      .1313  55.7118

         .0656       .0858   .1060     1.1  57.5703

16 19.        .0849    .1020     .1191  36.5001

       .0626      19.   .0969      .1140  38.5997

       .0576       .0747  18.1      .1090  40.3345

       .0525       .0696   .0867    17.2  41.7045

  17 21.2       .0902   .1084      .1265  41.0351

         .0670      20.3   .1033      .1215  41.2986

         .0619       .0801  19.4      .1164  45.1968

         .0569       .0750   .0932    18.5  46.7299

  18 22.5       .0956   .1148      .1339  45.8340

         .0714      21.6    .1097     .1289  48.2611

         .0663       .0855  20.7      .1238  50.3226

         .0612       .0804   .0996    19.8  52.0184

  19 23.8       .1010   .1212      .1414  50.8968

         .0757      22.9   .1161      .1363  53.4873

         .0707       .0909  22.      .1313  55.7118

         .0656       .0858   .1060    21.1  57.5703

  20 25.1       .1063   .1276      .1488  56.2234

         .0801      24.2   .1225      .1437  58.9772

         .0750        .0963  23.3     .1387  61.3645

         .0700       .0912   .1124    22.4  63.3853

  21 26.4       .7   .1339      .1562  61.8139

         .0844      25.5   .1289      .1512  64.7307

         .0794       .1017  24.6      .1461  67.2806

         .0744       .0966   .1189    23.7  69.4636

  22 27.7       .1171    .1403     .1636  67.6682

         .0      26.8   .1353      .1586  70.7478

         .0838       .1070  25.9      .1536  73.4601

         .0788       .1020   .1253    25.  75.8051

  23 29.       .1225   .1467      .1710  73.7864

         .0932      28.1   .1417      .1660  77.0286

         .0882       .1124  22.2      .1610  79.9030

         .0831       .1074   .1317    26.3  82.4098

  24 30.3       .1278   .1531      .1784  80.1684

         .0975      29.4   .1481      .1734  83.5730

         .0925       .1178  28.5      .1684  86.6095

         .0875       .1128   .1381    27.6  89.2778

  25 31.6       .1332    .1595     .1859  86.8143

         .1019      30.7   .1545      .1809  90.3811

         .0969       .1232  29.8      .1759  93.5793

         .0919       .1182   .1445    28.9  96.4090

  26 32.9        .1386    .1659     .1933  93.7240

         .1062      32.   .1610      .1883  97.4528

         .1013       .1286  31.1      .1833 100.8126

         .0963       .1236   .1510    30.2 103.8034

  27 34.2       .1400   .1724      .2007 100.8976

         .1106      33.3   .1674      .1957 104.7881

         .1056       .1340  32.4      .1907 108.3093

         .1006       .1290   .1574    31.5.4610

  28 35.5       .1494   .1788      .2082 108.3351

        .1150      34.6    .1738     .2032 112.3871

         .1100       .1394  33.7      .1982 116.0694

         .1050       .1344   .1638    32.8 119.3819

  29 36.8       .1547   .1852      .2156 116.0363

         .1193      35.9   .1802      .2106 120.2497

         .1143       .1448  35.      .2056 124.0930

         .1094       .1398   .1702    31.1 127.5660

  30 38.1       .1601   .1916      .2230 124.0015

         .1237      37.2   .1866      .2180 128.3760

         .1187       .1502  36.3     .2131 132.3800

         .1137       .1452   .1766    35.4 136.0134

 Пример выполнения работы

Программа на MathCade имеет следующий вид:

Пусть дана система равнений Ax = b
Лабораторная работа № 16 «Нелинейные равнения» Цель:  Научиться решать нелинейные равнения методом Ньютона и градиента. Задание: Решить систему нелинейных равнений методом градиента и методом Ньютона с точностью e, выполнить вычисления на персональном  компьютере. Варианты заданий № вар	Система равнений	точность e
1.	x1=0,5sin(0,3 x2)+2; x2= 0,5cos(0,3x1)	10-4
2.	x1=0,5sin(0,2 x2)+2; x2= 0,5cos(0,5x1)	10-5
3.	x1=0,5sin(0,2 x2)+3; x2= 0,5cos(0,5x1)	10-5
4.	x1= 0,25sin(0,3 x2) +2 ; x2= cos(0,3x1)	10-3
5.	x1=0,25sin(0,3 x2)+3; x2= 0,1cos(0,25x1)	10-4
6.	x1=0,5sin(0,3 x2)+1; x2= 0,2cos(0,25x1)	10-4
7.	x1=0,5sin(0,2 x2)+3; x2= 0,3cos(0,25x1)	10-5
8.	x1=0,25sin(0,3 x2)+1; x2= 0,5cos(0,3x1)	10-3
9.	x1=0,5sin(0,3 x2)+2; x2= 0,5cos(0,5x1)	10-4
10	x1=0,25sin(0,3x2)+2; x2= 0,5cos(0,5x1)	10-3

Пример выполнения задания.

Пример. Найти с точностью

§2. Интерполяция многочленами

Интерполяционные формулы применяются, прежде всего, при замене графически заданной функции аналитической, также для интерполяции в таблицах. Задачи  интерполяции  в  самом  общем  виде  можно сформулировать следующим  образом.  Пусть  на  отрезке [a,b]  заданы  значения  неизвестной   функции y = f(x)  в n  различных точках:  x1, x2, …,xn. Требуется  найти  многочлен   P  (x) степени  n, приближенно выражающий функцию  y =f (x) -  рис.1

2.5. Сплайн-аппроксимация

Другой метод аппроксимации - сплайн-аппроксимация - отличается от полиномиальной аппроксимации Лагранжем и Ньютоном. Сплайном называется функция, которая вместе с несколькими производными непрерывна на отрезке [a,  b],  а на каждом частном интервале этого отрезка [x_i, x_i+1] в отдельности являются некоторым многочленом невысокой степени. В настоящее время применяют кубический сплайн, то есть на каждом локальном интервале функция приближается к полиному 3-го порядка. Трудности такой аппроксимации связаны с низкой степенью полинома, поэтому сплайн плохо аппроксимируется с большой первой производной. Сплайновая интерполяция напоминает лагранжевую тем, что требует только значения в злах, но не её производных.

Лабораторная работа № 19.

«Сплайн-аппроксимация»

Цель: меть составить многочлен пользуясь сплайн - аппроксимацией.

Задание. Построить параболический сплайн дефекта 1 для функции img src="images/picture-1336-2.gif.zip" title="Скачать документ бесплатно">

Дополнительное словие

R=img src="images/picture-1505.gif.zip" title="Скачать документ бесплатно">

Пример: вычислить по формуле  Симпсона img src="images/picture-1509.gif.zip" title="Скачать документ бесплатно">

Решение: По формуле (3) имеем img src="images/picture-1511.gif.zip" title="Скачать документ бесплатно">

§5. Метод Адамса

Рассмотренные в предыдущем параграфе метод Эйлера и его точнение были основаны на замене искомой функции линейной функцией и экстраполяции этой последней за пределы того частка, где она известна.    Метод Адамса, основан на той же идее экстраполяции, но берет за основу интерполяционный многочлен более высокой степени. Собственно говоря, существует целая серия формул, которые используют интерполяционные многочлены различных степеней и носят одно и то же название формул метода Адамса.

Квадратурная формула Адамса

Вариант № 2

1.      В каком варианте ответа отделены корни равнений?

5х - х⁴-1 = 0

) (0.2,0.3)                   Б)(-1, - 0.9)                            В) (0.8,0.9)               Г) (0.4,0.5)

2.      Какой интервал выходит на 3-м шаге метода половинного деления при решении данного равнения?

х⁴-18х²+6х-5 = 0, [-1.5, 2]

)   [1.25,3]         Б) [2.5,4.5]        В) [1, 2.75]         Г) [4, 4.5]

3.      Чему равно второе приближение корня при решении следующего равнения методом хорд?

0,25х²- 1,2502х³ = 0, [-1.5, 2]

) -0,285         Б)1,576        В) -0,233         Г) -1,001

4.      Чему равно третье приближение корня при решении следующего равнения методом Ньютона?

х³-х-1-0,                                           [1, 4.5]

) -8         Б) -10        В) -3         Г) -1

5. Чему равно третье приближение корня при решении следующего равнения методом итерация?

5х-