Оптимальное правление вычислениями в распределенных вычислительных системах на основе графа потоков данных

Введение

Параллельный компьютер - это набор процессоров, которые могут работать совместно для решения вычислительных задач. Это определение достаточно общее, чтобы охватить и параллельные суперкомпьютеры с сотнями или тысячами процессоров, сети персональных ЭВМ, многопроцессорные рабочие станции, и другие параллельные системы. Параллельные компьютеры интересны тем, что они позволяют концентрировать большие вычислительные ресурсы для решения важных вычислительных задач. Параллелизм совсем недавно был экзотической областью компьютерной науки, интересной, но очень далёкой для рядового программиста. Сегодняшнее направление развития приложений, архитектуры компьютеров и сетей показывает, что теперь это не так. Паралеллизм становится вездесущим, и параллельное программирование становится центральным звеном при разработке программ.

Традиционно, достижения в области высокопроизводительных вычислений мотивировалось задачами численного моделирования сложных систем, таких как погода, климат, маханические устройства, электронные схемы, производственные процессы и химические реакции. Однако, наиболее влиятельной движущей силой разработки более быстрых компьютеров на сегодняшний день является потребность в коммерческих приложениях, которые требуют от компьютера возможности обработки больших объёмов данных изощрёнными способами. В число таких приложений входят видео конференции, совместная среда разработки, компьютерное диагностирование в медицине, параллельные базы данных со средствами поддержки принятия решений, продвинутая графика и виртуальная реальность, особенно в индустрии развлечений. Но несмотря на то, коммерческие приложения может определять архитектуру большинства будущих параллельных компьютеров, традиционные научные приложения останутся важными потребителями технологии параллельных вычислений.

Производительность наиболее быстрых компьютеров растёт экспоненциально с 1945 до наших дней, в среднем в 10 раз каждые пять лет. Нет сомнений, что этот рост будет продолжаться. Однако, для обеспечения этого роста архитектура компьютеров радикально меняется - от последовательной к параллельной.

Важной тенденцией, меняющей лицо компьютеров, является огромное возрастание возможностей компьютерных сетей. Лишь недавно, высокоскоростные сети работали на скорости 10 Mbit в секунду; в конце 90-х пропускная способность в 100 и 1 Mbit в секунду стала обычным делом. Значительно возрасла и их надёжность. Эти достижения позволяют разрабатывать приложения, использующие процессоры на множестве далённых компьютеров. Эта область параллельных вычислений называется распределённые вычисления. Основной задачей разработки программ, которые могут работать на множестве компьютеров одновременно, всё таки является задача параллельных вычислений. В этом отношении, два разных слова, параллельный и распределённый, сходятся.

Данный короткий обзор тенденций развития приложений, архитектуры и сетей наводит на мысль, что параллелизм охватывает не только суперкомпьютеры, но и рабочие станции, персональные компьютеры и сети. Поставщики традиционных коммерческих суперкомпьютеров (SMP, MPP, параллельных векторных) достаточно быстро лучшают производительность, надежность и простоту использования своих продуктов. Однако у этих компьютеров есть один большой недостаток - цена, подчас недоступная для многих образовательных и научно-исследовательских организаций. Однако потребность в вычислительных ресурсах у этих организаций велика. Следует иметь в виду, что производительность персональных компьютеров на базе процессоров Intel в последние годы также значительно выросла. Такие компьютеры стали создавать серьезную конкуренцию рабочим станциям на базе RISC, особенно по показателю цена/производительность. Одновременно стала приобретать все большую популярность многозадачнаые ОС Windows 95, NT. а

Возникла идея создавать параллельные вычислительные системы (кластеры) из общедоступных компьютеров на базе Intel и недорогих Ethernet-сетей. Оказалось, что на многих классах задач и при достаточном числе злов такие системы дают производительность, сравнимую с суперкомпьютерной.

Целью данной работы является создание системы поддержки выполнения параллельных алгоритмов для локальной сети персональных компьютеров. Реализация данной системы может применяться для решения специфических задач, характеризующихся высокой степенью регулярности. Класс таких задач довольно широк, он включает в себя такие задачи, как, например, обработка изображений, решение дифференциальных уравнений, моделирование длительных во времени процессов, в том числе и в реальном времени, многие другие научные и инженерные задачи, также другие виды потоковой обработки данных.

Модель параллельного компьютера состоит из некоторого числа вычислительных машин фон Ньюмана. Модель машины фон Ньюмана включает в себя центральный процессор (Central

памяти. Эта простая модель обосновалась довольно прочно в течение последних 45 лет. Все вычислительные машины соединены сетью.

Каждая машина выполняет свою собственную программу, которая может обращаться к локальной памяти, посылать и принимать данные по межмашинной сети. Понятие локальности - третье фундаментальное требование к параллельной программе, в дополнение к параллелизму и масштабируемости. Его важность зависит от отношения цены удалённого доступа к цене локального даступа к данным. Это отношение варьируется от 10:1 до 1:1 в зависимости от относительной производительности локального компьютера, сети, и механизма, используемого для передачи и приёма данных через сеть. Эта идеализированная модель достаточно хорошо согласуется с реальной архитектурой параллельного компьютера, в качестве которой выбрана локальная сеть компьютеров. Локальная сеть характеризуется высокой ценой далённого доступа. Ethernet и ATM являются наиболее распространёнными сетевыми технологиями на сегодняшний день. Для сети Fast Ethernet 100Mbits отношение времён далённого и локального доступа в некоторых случаях приближается к 10:1, что почти не сказывается на эффективности параллельных алгоритмов. Что касается ЭВМ с многозадачной операционной системой, то она также подходит под модель фон Ньюмана, т.к. центральный процессор просто работает в режиме разделения времени. В работе приводится соответствующая математическая интерпретация данного факта.

Основу математической модели параллельного алгоритма составляет граф потоков данных (ГПД). В потоковой модели параллельная программа представляется набором вычислительных злов-подзадач (далее задач), которые имеют фиксированное количество информационных входов и выходов. злы выполняют одни и те же операции с разной поступающей на входы информацией, и выдают результаты на свои выходы, также в виде числовой информации. Эти входы и выходы называются, соответственно, входными и выходными портами. Таким образом, вычислительные узлы строго периодичны. злы соединены между собой каналами передачи информации, выходные порты со входными. В реальной системе злы представляются программами, а каналы - потоками байтов данных.

Две эти абстракции - задача и канал - достаточно хорошо отвечают требованиям модели параллельного программирования: механизм, позволяющий ясно выразить параллелизм и облегчить разработку масштабируемых и модульных программ, абстракции, с которыми легко работать, и которые соответствуют архитектурной модели параллельного компьютера.

Данная модель характеризуется следующими свойствами:

1. Параллельное вычисление состоит из одного или более одновременно исполняющихся задач (процессов), число которых постоянно в течение времени выполнения программы.

2. Задача - это последовательная программа с локальными данными. Задача имеет входные и выходные порты, которые служат интерфейсом к среде процесса.

3. В дополнение к обычным операциям задача может выполнять следующие действия: послать сообщение через выходной порт, получить сообщение из входного порта, создать новый процесс и завершить процесс.

4. Посылающаяся операция асинхронная - она завершается сразу, не ожидая того, когда данные будут получены. Получающаяся операция синхронная: она блокирует процесс до момента поступления сообщения.

5. Пары из входного и выходного портов соединяются очередями сообщений, называемыми каналами. Каналы можно создавать и далять. Ссылки на каналы (порты) можно включать в сообщения, так что связность может измениться динамически.

6. Процессы можно распределять по физическим процессорам произвольным способами, причем используемое отображение (распределение) не воздействует на семантику программы. В частности, множество процессов можно отобразить на одиночный процессор.

Рассмотрим некоторые другие свойства модели задача/канал: производительность, независимость от распределения, модульность и детерминизм.

Производительность. Абстракции последовательного программирования, такие как процедуры и структуры данных, эффективны потому, что они могут просто и рационально отображаться на вычислительную машину фон Ньюмана. Задача и канал производят тот же эффект по отношению к параллельному компьютеру. Задача представляет собой кусок кода, который может выполняться последовательно, на одном процессоре. Если две задачи, обменивающиеся данными, распределены на разные процессоры, то канал связи между ними воспроизводится как межпроцессорное взаимодействие; если на один процессор, то может использоваться более быстрый механизм.

Независимость от распределения. Так как задачи взаимодействуют используя один и тот же механизм (каналы) независимо от их расположения, результат выполнения программы не зависит от того, где задачи выполняются. Следовательно, процесс проектирования и реализации алгоритмов может не касаться количества процессоров, на которых алгоритм будет выполняться; фактически, большинство реализаций алгоритмов состоят из намного большего числа задач, чем процессоров. Это прямая предпосылка к масштабируемости.

Модульность. В модульном программировании, различные компоненты программы разрабатываются поотдельности, как независимые модули, затем они собъединяются для получения полной программы. Взаимодействия между модулями ограничены хорошо продуманными интерфейсами. Т.о. модульность уменьшает сложность программ и облегчает повторное использование отлаженного кода. Задача является естественным строительным блоком. Задача инкапсулирует данные и код, который работает с этими данными; порты, через которые она посылает и принимает данные, составляют её интерфейс. Более того, в качестве модуля можно использовать более сложную структуру, реализующую какой-то алгоритм, и который имеет свой интерфейс. Определённое сходство существует и с объектно-ориентированной парадигмой программирования.

Детерминизм. Алгоритм или программа детерминирована, когда выполнение с определёнными входными данными всегда приводит к одним и тем же результатам. Попарные взаимодейтсвия в модели задача/канал позволяет относительно легко гарантировать детерминизм. Каждый канал соединяет только одного отправителя и одного принимающего, и принимающая задача блокируется пока не закончится операция приёма. Эти словия ослабляются тем, что в один и тот же входной порт могут передаваться данный по разным каналам, т.е. от разных посылающих задач, но при этом формат данных должен быть один и тот же. Операция посылки данных в порт также может блокироваться, если принимающая задача, на другом конце канала, не спевает принимать и обрабатывать данные.

Потоковая модель не единственный подход представления параллельных вычислений. Было предложено много других, отличающихся гибкостью, маханизмами взаимодействия задач, степенью разбиения на задачи (гранулярностью), масштабируемостью, модульностью. Примеры других моделей параллельного программирования: передача сообщений, параллелизм данных, разделяемая память.

Передача сообщений. В иностранной литературе её называют Message

Паралеллизм данных. Паралеллизм в данной модели используется тогда, когда одна операция применяется к нескольким элементам структуры данных, например, "добавить число ко всем элементам массива". Т.о. программа состоит из последовательности подобных операторов. Так как каждый элемент данных можно интерпретировать как независимую задачу, присущая гранулярность вычислений мала, и понятие "локальности" не очевидно. Следовательно, специализированные компиляторы часто требуют от программиста информацию о том, как данные распределяются между процессорами, другими словами, как данные должны разбиваться на задачи. Далее компилятор транслирует программу в SPMD формулировку, генерируя коммуникационный код автоматически.

Разделяемая память. В модели разделяемой памяти задачи используют общее адресное пространство для асинхронного чтения и записи. Различные механизмы, такие как замки и семафоры, могут регулировать доступ к разделяемой памяти. Преимуществом данной модели для программиста яляется то, что не нужно явно казывать источник и приёмник данных, эта модель может сильно упростить программирование. Однако, затрудняется понимание и правление обменом данных, также затрудняется написание детерминированииых программ.

Далее приводится несколько типичных примеров параллельных алгоритмов. Все они описываются в терминах модели потоков данных.

Конечные разности.

Рассматривается одномерная конечноразностная задача, в которой имеем вектор X⁽⁰⁾ размерности N и должны вычислить вектор X⁽^T⁾, где

Т.о. мы должны периодически обновлять каждый элемент

X, так чтобы на i⁽⁰⁾и вычисляет, за T шагов, значения X_i⁽¹⁾, X_i⁽²⁾, Е X_i⁽^T⁾. Значит, на шаге i_-1⁽^t⁾ и X_i₊₁⁽^t⁾ от задач

1) посылает данные X_i⁽^t⁾ в свои левый и правые выходные порты;

2) принимает от своих X_i_-1⁽^t⁾ и X_i₊₁⁽^t⁾ левого и правого соседа;

3) использует полученные значения для вычисления X_i⁽^t⁺¹⁾.

Заметим, что N задач могут выполняться независимо, с одним лишь ограничением на порядок выполнения, определяемом синхронизацией посредством операций приёма. Следовательно, выполнение детерминировано.

Попарные взаимодействия.

В данном примере используется похожая структура ГПД как в примере с конечными разностями, но требуется более сложный алгоритм обмена данных. Многие задачи требуют вычисление всех N(N<-1) попарных взаимодействий I (X_i, X_j) между N векторами X_o,X₁,ЕX_N_-1. В случае, когда взаимодействия симметричны,

I (X_i, X_j) = i, X_j), и требуется вычислить только N(N<-1) / 2 взаимодействий. Например, в молекулярной динамике требуется вычислить суммарный вектор сил воздействующих на атом X_i, определённый как:

F(X_i, X_j) означает взаимное притяжение или отталкивание между атомами X_i и X_j; в данном случае, F (X_i, X_j) = <- F (X_i, X_j), взаимодействия симметричны.

Простой параллельный алгоритм для общей задачи попарных взаимодействий состоит из N задач. Задача i и вычисляет набор <{ I (X_i, X_j) |
1)    посылает значение из буфера в свой выходной порт;

2)    принимает значение из входного порта и записывает его в буфер;

3)    вычисляет функцию взаимодействия между принятым и локальным значением;

4)    использует вычисленное значение для обновления локального аккумулятора.

Этот цикл посылки-приёма-вычисления повторяется N<-1 раз, осуществляя перемещение по кольцу всех N значений X_i. Каждая задача видит их всех и способна вычислить все

N<-1 взаимодействия. Алгоритм выполняет N<-1 операцию на каждую задачу.

Если взаимодействия симметричны, то можно меньшить в два раза количество вычислений и обменов данных путём улучшения структуры ГПД. Предположим для простоты, что N четно. Добавляется дополнительные N каналов, соединяющих каждую задачу с задачей, расположенной через [N / 2] по кольцу. Каждый раз, когда вычисляется I (X_i, X_j) между локальным X_i и принятым X_j, вычисленное значение не только суммируется в аккумуляторе для X_i, но и в другом аккумуляторе, который является противоположным с X_j. После [N / 2] итераций аккумуляторы, ассоциированные со своими противоположными значениями, возвратятся в свои начальные задачи через новые каналы и обхединятся с локальными аккумуляторами. Следовательно, каждое симметричное взаимодействие вычислится только раз: либо как

I (X_i, X_j) на вершине содержащей X_i, либо I (X_j, X_i) на вершине содержащей X_j.

Параметрическое исследование

В случае, когда множество задач может работать независимо и без взаимодействия друг с другом, степень паралеллизма принимает предельное значение. Примером подобного паралеллизма может послужить, так называемое параметрическое исследование, в котором одни и те же вычисления должны быть проведены для набора различных входных параметров. Значения параметров могут считываться из входногофайла, результаты записываться в выходной файл.

Если время выполнения одинаково и процессоры идентичны, то достаточно разпределить задачи по ровну на каждый процессор. В другой ситуации, можно выбрать структуру ГПД показанную на рисунке. Задачи I (входная) и O (выходная) должны считывать и записывать входной и выходной файл, соответственно. Каждая рабочая задача W периодически запрашивает значения параметров от задачи I, вычисляет используя их, затем отсылает результаты задаче O. Так как время выполнения варьируется, входная и выходная задачи не могут расчитвать на правильный порядок поступления сообщений от рабочих задач. Используется соединение типа много-к-одному. Возможный в этом случае недетерминизм влияет всего лишь на порядок записи результатов в выходной файл, но не на сами вычисляемые результаты.

Входная задача посылает следующий набор параметров после того как получит запрос от рабочей задачи. В это время рабочая задача просто ждёт поступления входных данных. Поэтому, иногда эффективность можно лучшить с помощью раннего запроса, когда следующий набор параметров запрашивается до того как они потребуются.

В данной работе

Формулируется модель параллельной программы, называемая потоковой, на основе графа потоков данных. Она основывается на интенсивностях трафика в каналах обмена данных между задачами.

В работе показано, что словием оптимальности параллельного вычислительного процесса (ПВП) является, как сбалансированность вычислительной нагрузки между процессорами, так и минимизация межпроцессорного обмена данных по сети. В системах с идентичными процессорами оптимальной является равномерная балансировка нагрузки. В гетерогенных или нагруженных системах нагрузка должна распределяться в соответствии с текущей производительностью процессоров: на более мощные - большая нагрузка. Для чета ограниченной пропускной способности сети введён второй критерий оптимальности: минимизация потока данных между узлами сети.

Для работы алгоритмов оптимизации необходимо количественно определить понятие перегрузки в ПВП. Перегрузки определяются с помощью изменерния среднего трафика (потока), проходящего по каналам обмена данных. Точнее говоря, ма предполагаем, что статистика потоков во всех каналах-дугах ГПД меняется только из-за изменения распределения задач по процессорам (конфигурации).

В потоковых моделях делается неявное предположение, что статистика трафика в дугах ГПД, также загруженность задач и процессов, не меняется во времени. Такое допущение разумно, когда эта статистика меняется очень медленно по сравнению со средним временем, необходимым для перераспределения задач, т.е. перехода к другой конфигурации, и когда потоки измеряются путём временного среднения.

Постановка задачи

1.    <

Задан набор идентичных процессоров:

P = { P₁, P₂, Е P_N }

Между любыми процессорами P_i и P_j (i и P_j равен f_ij, тогда ограничение на пропускную способность сети выражается как:

, где f_ij - максимальная пропускная способность сети.

2.

Под вычислительной задачей понимается последовательная программа, которая может выполняться на любом из процессоров сети. Она реализует какую-либо фиксированную операцию: вычислительный процесс, загрузку данных, вывод на экран и т.п. Назовем эту программу задачей.

Задача z имеет наборы входных и выходных портов, посредством которых она получает входные данные и выдает результаты своей работы, соответственно. Задача может не иметь входных портов, когда она является стартовой. При этом она должна иметь хотя бы один выходной порт. Но обратное неверно - признак стартовой задачи может иметь и задача с входными портами. А если задача не имеет выходных портов, то она является завершающей или замыкающей. При этом она должна иметь хотя бы один входной порт. Стартовые задачи обычно осуществляют загрузку входных данных из файлов или запрашивая их у пользователя, либо самостоятельно генерируя их. Замыкающие задачи, как правило сохраняют результаты работы параллельного алгоритма в файл или выводят их на экран. Но, вообще, содержание задач не играет большой роли в данной модели, - это предоставляется решать программисту параллельного алгоритма. Роль генераторов данных и интерпретации результатов может выполнять любая из задач. В программе обязательно должна быть хотя бы одна стартовая задача, но может совсем не быть замыкающих. Параллельный алгоритм завершается, если завершены все задачи, помеченые признаком стартовая. С другой стороны завершить выполнение параллельного алгоритма можно прерыванием выполнения всех задач.

Входные и выходные данные представляются порциями определенного размера. Рассмотрим задачу с несколькими входными и выходными портами. Схематическое изображение задачи показано на рисунке. В момент, когда поступают порции данных во все входные порты, задача приступает к их обработке. Пусть это будет какой-то вычислительный процесс. После окончания вычислений, их результаты направляются в соответствующие выходные порты, также в виде порций данных определенного размера.

Процесс обработки данных в задаче должен быть периодическим. Т.е. после обработки очередной порции данных задача ожидает следующей. При этом во время этого ожидания процессорное время данной задачей не используется.

(2.1)

Рассмотрим математические соотношения для модели простой вычислительной задачи - с единственным входным и выходным портом. Пусть входные порции данных поступают в моменты времени { i<} и имеют объем в байтах { M_i<}, i. Последовательность {

(2.2)

так как в модели предполагается, что данные не могут накапливаться во входном буфере, и это соответствует реальному программному механизму передачи данных.

Подробнее, это значит, что скорость выдачи данных задачей генератором будет равняться скорости обработки данных задачей приемником. Задача генератор может приступить к выдаче очередной порции данных до того момента, как задача приемник запросит входные данные. В этом случае протокол обмена данных затормозит выдачу, этим и саму задачу генератор, т.к. операция посылки данных в порт является блокирующей. Временная диаграмма процесса поступления и обработки данных

t_i

t_i

q_i

t_i+1

показана на рисунке.

(2.3)

Процесс обмена по каналу данных характеризуется скоростью обмена или потоком F, который определяется следующими соотношениями:

(2.4)

, где F_i - мгновенный поток в момент времени ti, F - средний поток на интервале [0, k);

(2.5)

(2.6)

, где F_max - средний максимальный поток, который может обрабатывать задача при текущем времени обработки t_i.

(2.7)

Эффективность работы задачи при заданном входном потоке определяется отношением чистого времени вычислений ко всему времени работы:

(2.8)

где t - чистое время вычислений, q - интервал работы задачи; таким образом, (

где e - эффективность работы задачи на интервале времени [0, k).

(2.9)

Существует прямо-пропорциональная зависимость между входным и выходным потоками задачи. Это следует из характера обработки данных - на каждую порцию входных данных вычисляется порция выходных, определенного размера. Если N_i - размер i<-той порции выходных данных, тогда:

(2.10)

где F^out - средний выходной поток за время q. Следовательно, коэффициент обработки стремится к следующему среднему значению s при qо<�:

Коэффициент s является постоянным для данной задачи, при фиксированных размерах входных и выходных порций данных, т.е. M_i<=M_j и N_i<=N_j для "

Как видно из (2.2) период поступления данных не может превышать периода их обработки, поэтому входной поток F ограничен максимальным потоком F^max. Из пропорциональности выходного потока входному следует, что и выходной ограничен:

где F (с чертой) - задаваемый входной поток, F - реальный входной поток.

При взаимодействии двух задач соединенных каналом обмена данных, величина выходного потока первой задачи строго равна величине входного потока второй задачи:

Таким образом, при величении F₁ⁱⁿ, если F₂ⁱⁿ достиг максимума F₂^max, то F₁ⁱⁿ не может далее величиваться (см. рисунок). А коэффициент обработки по входу z₁ и выходу z₂ равен произведению коэффициентов s₁ и s₂ первой и второй задачи, соответственно:

3.

Граф потоков данных алгоритма является ориентироваым графом, в котором вершины представляют вычислительные задачи, дуги - каналы обмена данных:

G(V, U) ГПД параллельного алгоритма,

V = { 1, 2, Е M<} множество вершин-задач,

U = { ji^kl<} множество дуг-каналов обмена данных,

где

ji^kl - канал между задачами v_k и v_l, соединяющий выходной порт j задачи v_k со входным портом i задачи v_l.

Задача v_k имеет m_k входных портов под номерами {0,1,Еk_-1<} и n_k выходных -{0,1,Еk_-1<}.

Должны быть согласованы размеры передаваемых и принимаемых данных для каждого канала обмена. Т.е. для "ji^kl<Î U, размер порции данных, исходящих из порта k^j, должны в точности равняться размерам входных данных в порт lⁱ.

Данное определение ГПД не делает ограничений на наличие кратных дуг и петель. Т.е. две задачи могут быть связаны несколькими однонаправленными каналами. А также канал может соединять собой выходной и входной порт одной и той же задачи. Ниже будет осуществляться переход к более добному для анализа представлению ГПД.

4.

Любая вычислительная система состоит из набора, так называемых, функциональных устройств (ФУ) - это могут быть процессоры, каналы связи, память, накопители и т.п. - все, что частвует или влияет на процесс работы параллельного алгоритма. Для ФУ можно определить величину загруженности p на определенном интервале времени T, как отношение стоимости выполненной ФУ работы к максимальной стоимости работы, которая может быть выполнена данным ФУ за время T. Стоимость работы может измеряться, например, в количестве арифметических операций, времени и т.п. Каждое ФУ характеризуется номинальной производительностью a (далее производительность), равной максимальной стоимости работы за единицу времени.

(4.1)

Утверждение. Пусть в системе имеется N функциональных стройств {ФУ₁, ФУ₂, Е ФУ_N<} с номинальными производительностями {1, 2, Е N<}, соответственно. Тогда загруженность всей системы
iа ФУ, входящих в систему, как

где

åjЦ номинальная производительность системы.

Доказательство.

Пусть за время T ФУ_i выполнило работу стоимостью b_i. Максимальная стоимость работы, которую может выполнить ФУ_iза T, равна i T. Вся система реально выполнила <åi, максимально может - <åi T. Следовательно:

ч.т.д.

Следствие 1. Если система состоит из ФУ одинаковой производительности, то её загруженность равна среднему арифметическому загруженностей ФУ.

Следствие 2. Чтобы выполнить работу заданной стоимости за минимальное время необходимо обеспечить максимальную загруженность ФУ наибольшей производительности.

Доказательство.

ч.т.д.

(4.2)

Важной характеристикой параллельного алгоритма является коэффициент скорения (далее скорение):

где T - время выполнения алгоритма на параллельной вычислительной системе, T_o - на простом, т.е. непараллельном или эталонном, ФУ. Если принять за a₀ и a <- производительности эталонной и параллельной вычислительных систем, соответственно, тогда:

(4.3)

где R_max - максимальное скорение, которое можно получить на данной параллельной системе; реальное скорение зависит от степени загруженности системы:

Если R << 1, то параллельный алгоритм не имеет смысла выполнять на данной параллельной вычислительной системе.

(4.4)

Возвращаясь к модели вычислительной задачи, выведем важное неравенство, касающееся многозадачных операционных систем ЭВМ. Это неравенство характеризует загруженность процессора, если на нем работают несколько задач, также взаимное влияние задач. Рассмотрим случай двух задач z₁ и z₂, на процессоре P. Пусть они работают с периодами q₁ и q₂, соответственно. Времена обработки данных t₁ и t₂ соответствуют работе каждой задачи поотдельности на данном процессоре, т.е. без влияния другой задачи. В данном случае за стоимость берётся время выполнения задачи на данном процессоре, точнее время чистых вычислений, т.о. стоимость задач равна t₁ и t₂. При выполнении задач z₁ и z₂ одновременно на многозадачном процессоре P, стоимость выполненой работы за время T равна:

т.к. отношения T к q_i равны количеству циклов обработки за время T, при T >> 1 и t₂.

(4.5)

Максимальная стоимость работы, которую мог бы выполнить процессор, выраженная в единицах времени, равна T. Следовательно, загруженность процессора:

(4.6)

где p₁ и p₂ - загруженности, вносимые каждой из задач. То же неравенство в терминах входных потоков выглядит так:

где s₁ и s₂ - входные потоки задач z₁ и z₂, x₁ и x₂ - соответствующие максимальные потоки при работе задачи на данном процессоре в одиночестве.

(4.7)

Аналогично, для

5.

5.1.

(5.1)

Каждая задача должна работать на каком-либо из процессоров. Отсюда, распределение задач по процессором определяется функцией K_n(конфигурацией):

где V = { 1, 2, Е M<} - набор задач параллельного алгоритма,
1,
2, Е
N } - набор процессоров параллельной вычислительной системы.

Таким образом мощность множества всех конфигураций K:

(5.2)

Обозначим множество задач, распределенных на процессор P_j как:

5.2.      точнение модели ГПД

Преобразования и требования к графу потоков данных:

1)

2)

3)

4)

Таким образом, получаем конечный связный ориентированный граф без кратных дуг и петель, т.е. простой орграф:

G(V, U) ГПД параллельного алгоритма,

V = { 1, 2, Е M<} множество вершин-задач,

U = { kl<} множество дуг-каналов обмена данных.

Теперь можно определить матрицу потоков ГПД следующим образом:

(5.3)

(5.4)

Следующие равенства определяют корректность задания графа потоков данных в данной модели:

где s_l и q_kЦ суммарный входной и выходной поток для каждой вершины ГПД;

(5.5)

(5.6)

постоянные матрицы - A , нормированая по строкам, и B, нормированая по столбцам, -задают отношения величин входных и выходных потоков каждой задачи:

(5.7)

акоэффициент обработки s_k задачи v_k задаётся следующим равенством:

5.3.

Постановка задачи оптимизации

(5.8)

Существуют следующие ограничения:

(5.9)

ограничение на пропускную способность сети, где W - множество дуг, соединяющих те задачи, которые в данной конфигурации распределены на разные процессоры;

- неравенство для загруженности процессора P_j, где s_k - суммарный входной поток, x_k - максимальный суммарный входной поток, который может обрабатывать задача v_k, работая на процессоре P_j в одиночестве. Величина x_k является постоянной для "

(5.10)

С данными ограничениями оптимизация осуществляется на дискретном множестве конфигураций K, нужно найти конфигурацию, для которой максимизируется суммарная загруженность p вычислительной системы:

(5.11)

где p_j - загруженность процессора P_j. Отсюда формула для максимизации функционала качества D(K_n) выглядит следующим образом:

(5.12)

Утверждение. Матрица потоков Fа ГПД при любом распределении задач K_n представима в виде:

где F_o Цлюбая матрица потоков довлетворяющая определению данного ГПД, g - скаляр, больший нуля.

Доказательство. Следует из определения ГПД.

(5.13)

Пусть F_o нормирована так, что сумма всех её элементов равна единице. Тогда будет g равно суммарному потоку в ГПД. Входные потоки задач s_k выражаются через базовые потоки как:

(5.14)

Таким образом, функционал качества D(K_n) записывается следующим образом:

(5.15)

Задача оптимизации эквивалентна максимизации скалярного коэффициента g, при ограничениях:

или

(5.16)

где e_k - является постоянной величиной, характеризующая сложность задачи v_k. Суммарный поток g будет равняться минимальному из этих двух ограничений, так как больше он ничем не сдерживается. Отсюда следует, что задача оптимизации сводится к двум критериям:

(5.17)

По первой формуле, требуется как можно более равномерно распределить вычислительную нагрузку по процессорам вычислительной системы. Вторая говорит о том, что при этом следует минимизировать поток по сети, т.е. межпроцессорный обмен данных.

5.4. чёт фоновой загруженности процессоров

(5.18)

Фоновая загруженность процессора означает, что помимо нашего ПВП на процессорах могут работать и другие вычислительные и другого рода процессы. Фоновая загруженность (j^b, 0 <£
j^b < 1. Тогда неравенства (5.9) принимают вид:

(5.19)

и, соответственно, критерий (5.16)

a_jЦ ни что иное, как цена процессора P_j.

5.5. Регулирование процента загрузки системы

(5.20)

Если требуется не загружать систему как можно более полно только для выполнения нашего ПВП, выделить под него только часть процессорных ресурсов, то можно принять в качестве предельно допустимого процента загрузки процессора число p_j^a, 0 <
j^a <£ 1. Регулирование имеет смысл проводить, если для какого-то o выполняется:

то есть, наблюдается превышение предела загрузки хотя бы одного из процессоров. Тогда регулирование должно привести к такой ситуации:

(5.21)

(5.22)

и при этом для o, соответствующего максимально загруженному процессору, будет выполняться:

(5.23)

Это достигается снижением потока g в m раз, где m вычисляется как:

где g<' - будет новый суммарный поток,

лгоритмы оптимизации

лгоритмы поиска оптимальной конфигурации или оптимального распределения задач по процессорам, будем называть алгоритмами распределения.

Сначала приводятся статические алгоритмы распределения, для которых должны быть известны или эвристически заданы начальные параметры ГПД, такие как сложности задач e_k и матрица потоков F_o. Статические алгоритмы могут использоваться для осуществоения начального распределения задач. Каждый алгоритм имеет свою специфику по сравнению с другими: в одних делается пор на первый из критерием эффективности - балансировка нагрузки между процессорами, в других на второй - минимизация потока в сети, или же на оба критерия сразу. На основе некоторых статических алгоритмов выводятся алгоритмы динамической корректировки распределения задач с учетом изменяющейся статистики потоков данных, загруженностей задач и процессоров, и т.п.

Загруженность процессора вычисляется как сумма сложностей задач, распределенных на данный процессор. Во всех алгоритмах предполагается, что количество задач превышает количество процессоров, т.е. M > N. Для алгоритмов, в которых используются значения потоков в ГПД, необходимо преобразовать ГПД в неориентированный, когда дуги превращаются в рёбра. Кратные рёбра между парами вершин, если таковые имеются, объединяются, причём значения потоков суммируются. Это преобразование делается потому, что направление потоков данных между задачами безразлично - важно только его суммарное значение.

6.1.

Данный алгоритм опирается только на критерий балансировки процессорной нагрузки (5.16). На вход требуется только информация об относительных сложностях задач e_k, достаточны даже не точные, их оценочные значения.

Распределение осуществляется в соответствии с приоритетом задачи, который равен её сложности, по одной задаче за шаг. Алгоритм заканчивается через M шагов, где М - количество задач.

лгоритм:

1)            k₁.

2)
j₁.

3)            k₁ на процессор P_j₁, т.е. K_n(k₁)=
j₁.

4)

Данный алгоритм можно применить для начального распределения задач при известных относительных сложностях задач.

6.2.

Приведённые далее алгоритмы, основанные на построении остовного дерева максимального веса, учитывают оба критерия оптимальности - они в разной степени осуществляют балансировку вычислительной нагрузки между процессорами и минимизацию потока данных в сети.

Для следующего алгоритма требуется информация об отностительной сложности задач e_k, и также относительные величины потоков данных в ГДа i^o.

Рассмотрим вариант алгоритма для частного случая вида графа потоков данных. ГПД представляет собой последовательность вершин, соединённых в цепь парами разнонаправленных каналов между каждой парой вершин. ГПД такого вида используют так называемые разностные параллельные алгоритмы. Вычисления производятся во всех вершинах одновременно, по окончании очередного цикла задачи обмениваются результатами с задачами на двух соседних вершинах. Полученные от "соседей" данные используются в качестве входных для следующего цикла вычислений. Таким образом, обеспечивается стационарность потоков и загруженностей задач, и их относительные величины известны априори.

лгоритм для ГПД в виде цепи:

1)    N задач с максимальной сложностью, где N - число процессоров, пусть это задачи v_k₁, v_k₂, Е v_kN.

2)    K_n(ki)=
i.

3)
j₁.

4)    соседними для тех задач, которые же распределены на процессор P_j₁, выбрать задачу с наибольшей сложностью, пусть это v_ki.

5)    k₁задачу на процессор P_j₁, т.е. K_n(ki)=
j₁.

6)

Результат работы алгоритма для ГПД в виде цепи иллюстрирует рисунок, где в скобках показаны вершины, распределенные на один процессор.

В данном примере алгоритма, основанного на построении остовного дерева максимального веса, используется принцип исключения дуг наибольшего веса из неравенства, ограничивающего суммарный поток в сети. Распределяя разные задачи на один и тот же процессор, мы их как бы объединяем, и соединяющая их дуга исключается из суммы межпроцессорных потоков. Следовательно, если мы попытаемся исключить из этой суммы дуги с максимальными потоками, то этим обеспечивается минимизация потока данных в сети, т.е. второй критерий оптимальности. Кроме того, если при выборе процессора для распределения очередной задачи использовать минимаксный принцип, показанный в алгоритме (6.1), то мы приближаемся к довлетворению и первого критерия оптимальности.

Рассмотрим задачу построения остовного дерева с максимальной суммой весов дуг (МОД для краткости). Вес дуги (ij. Любое поддерево МДа будет называться фрагментом. Заметим, что зел может рассматриваться как фрагмент. Дуга, имеющая один зел во фрагменте, а другой зел - вне этого фрагмента, называется дугой, ходящей от фрагмента.

Утверждение. Пусть L - некоторый заданный фрагмент МДа, u = (
Данное утверждение используется в качестве основы для алгоритмов построения МОД. Идея алгоритма Крускаля состоит в том, что берутся несколько произвольных вершин как начальные фрагменты, и затем эти фрагменты величиваются путем последовательного добавления ходящих дуг минимального веса. Настанет момент, когда какие-либо пары фрагментов соедининяются дугой, имеющей минимальный вес среди дуг, добавление которых не создаёт цикла. Алгоритм заканчивает работу после

N<-1 итерации.

На этих принципах основан следующий алгоритм оптимального распределения для ГПД любого вида:

1)    N задач с максимальной сложностью, где N - число процессоров, пусть это задачи v_k₁, v_k₂, Е v_kN.

2)    K_n(ki)=
i. Вершины на каждом процессоре (с номерами V(
3)
j₁.

4)    1<-ого фрагмента, пусть на внешнем конце ребра находится задача v_ki.

5)    kiна процессор P_j₁, т.е. K_n(ki)=
j₁.

6)

6.3.

Заметим, что на шаге 4 предыдущего алгоритма выбирается задача не оптимальная в смысле балансировки нагрузки, в то время как в алгоритме для ГПД в виде цепи выбирается задача с максимальной сложностью из всех нераспределённых задач. Оптимизационные характеристики алгоритма можно улучшить, если построить остовное дерево максимального веса заранее, затем выполнить алгоритм распределения, аналогичный примеру для ГПД в виде цепи, приняв определение соседней вершины исходя из построенного остовного дерева. Единственным недостатком такого подхода является необходимость постороения всего остовного дерева сразу, что для больших графов потребует много оперативной памяти.

6.4.

даптивные или динамические алгоритмы оптимального распределения задач основаны на тех же принципах, что и статические. На каждой итерации динамического алгоритма в качестве начальных данных для используемого статического алгоритма берутся текущие среднённые, с момента последней итерации, значения характеристик вычислительного процесса, такие как величины потоков, загруженности задач и процессоров. Осуществлять полное перераспределение задач на каждой такой итерации нецелесообразно, так как это может занять много времени. Вместо этого перераспределяется определённое подмножество задач. Это подмножество составляется из тех задач, перераспределение которых может привести к лучшению критерия качества. Затем над выбранным набором задач осуществляется алгоритм статического распределения.

В приведённом здесь алгоритме выбирается одна из задач на основе текущих измерений характеристик параллельного вычислительного процесса. Затем задача переназначается на другой процессор с помощью алгоритма, аналогичного одной итерации алгоритма (6.2). Выбор задачи кандидата на перераспределение является эвристическим - выбирается наименее загруженная задача в наиболее загруженном процессоре. Перераспределив такую задачу на меннее загруженный процессор мы, таким образом, лучшим степень сбалансированности нагрузки. Кроме того, при этом будет наименьшая вероятность того, что это может привести к колебательному режиму. Колебания в алгоритме распределения могут возникнуть в следующей ситуации. Предположим, по какому то принципу выбрана задача кандидат на перераспределение. Сначала её выполнение приостанавливается. Это действие последует за собой меньшение загруженности того процессора, на котором работала эта задача. Затем задача запускается на другом процессоре, что приводит к величению его загруженности. В следующей итерации алгоритма может случиться так, что в качестве кандидата выберется та же самая задача и перераспределится снова на старый процессор. Этот процесс может продолжаться довольно долго и отнять много времени на никчемные перескоки с одного процессора на другой. Данная ситуация наиболее вероятна в случае, когда задача вносит большой вклад в загруженность процессора. Поэтому, одной из мер предотвращения таких ситуаций является выбор задачи с наименьшей загруженностью. Этот способ оправдывается, если изменения статистических характеристик параллельного вычислительного процесса происходит гораздо медленнее, чем период одной итерации алгоритма оптимизации.

Еще одним способом лучшения оптимизационных характеристик алгоритма является перераспределение как можно большего числа задач за одну итерацию. Но, как же говорилось, процедура перераспределения отнимает много времени. Поэтому, число этих задач должно быть не слишком большим.

Программная реализация и эксперименты

1.

Система управления параллельным вычислительным процессом (ПВП) реализована для ОС Windows 95, она состоит из двух частей: программы-монитора (далее монитор) и программы-диспетчера (далее диспетчер). Монитор должен работать на каждой ЭВМ локальной сети. Он выполняет запросы от диспетчера - на запуск задач, присоединение каналов, сбора статистики и др. Монитор работает в полностью автоматическом режиме, и не требует от пользователя постоянного надзора. Диспетчер запускается перед началом работы параллельного алгоритма (ПА), на любой из машин сети. Входными данными для диспетчера является граф потоков данных (ГПД) и скомпилированная библиотека задач ПА. Эти данные подготавливаются программистом в среде разработки ПА, основанной на пакете Borland Delphi. А затем, передаются диспетчеру с помощью специальной тилиты запуска, входящей в эту среду.

После получения всех данных для выполнения ПА имеется возможность выбора алгоритма начального распределения и алгоритма динамической оптимизации, также настройки других параметров диспетчера. Начальное распределение задач можно задать и вручную.

Что касается внутренней программной структуры системы, она состоит из трёх ровней: низкого, среднего, высокого и отображения. Функции низкого ровня:

1)

2)

3)

Функции среднего ровня:

1)

2)

3)

4)

Функции высокого ровня:

1)

2)

Функции ровня отображения:

1)

2)

2.

Для проведения экспериментов были выбраны параллельные алгоритмы для численных методов вычислительной линейной алгебры (ВЛА): параллельное множение матриц, итерационный метод Якоби решению СЛУ, параллельный алгоритм факторизации матриц (LU-разложение).

Алгоритм параллельного множения матриц имеет ГПД в виде звезды, эта задача аналогична задаче типа параметрического исследования. Каждая задача типа Worker выполняет операцию скалярного или блочного множения. Задача типа Manager выполняет генерацию самих перемножаемых матриц. В данном случае генерируются квадратные матрицы, заполненные случайными числами. Данный ПВП характеризуется большими объёмами передаваемых данных, т.к. хорошее скорение получается только при достаточно больших размерностях матриц, порядка нескольких сотен и тысяч. Поэтому с ним лучше работают алгоритмы оптимизации, оприрющиеся на критерий минимизации потоков (5.17).

ГПД метода Якоби имеет циклический или кольцевой вид. С данным видом ГПД хорошо должен работать алгоритм на с пором на балансировку нагрузки.

ГПД алгоритма LU-разложения имеет более сложный вид. В данном алгоритме наблюдается частые обмены данных и быстрые процессы вычисления в каждой рабочей задаче. С данным типом алгоритма должны хорошо работать оба из предложенных критериев оптимальности.

Заключение

Оптимальное управление параллельными вычислительными процессами является одной из сложнейших областей параллельных вычислений. Эффективность работы параллельного вычислительной программы (ПВП) зависит не только от её параллельной структуры, но и от того, как реализуется её выполнение на конкретной вычислительной системе, и от многих внешних факторов.

Главное внимение в данной работе было сосредоточено на описание математической модели параллельного алгоритма на основе ГПД. Были строго матеметичеки выведены критерии оптимального выполнения ПВП в терминах потоков и загруженностей. А также, предложены алгоритмы оптимального правления, опирающиеся на эти критерии. Один из этих алгоритмов реализован программно, спомощью чего были проведены эксперименты на реальной вычислительной сети. Эксперименты показали, что эффективная работа алгоритмов оптимизации данного типа возможна только при стационарности ПВП во времени. По мере того, как параметры потоков данных и загруженностей процессоров начинают быстро меняться во времени, преимущества рассмотренных методов оптимального правления ПВП начинают исчезать. В таких случаях трудно рекомендовать какие-либо методы оптимизации, которые были бы одновременно эффективными и практичными.

Литература.

1.

2.

3.    Ian Foster "Designing and Building Parallel Programs", 1995, в электронном виде.

4.

5.

6.

Blog

Оптимальное правление вычислениями в распределенных вычислительных системах на основе графа потоков данных

Постановка задачи