Реферат: Математические модели в теориях экономического цикла
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ
Р Е Ф Е Р А Т
Тема: Математические модели в
теориях экономического цикла
Запорожье, 1998
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1. Модели экономических колебаний, основанные на принципе мультипликатора -
акселератора.
2. Модель Калдора и ее модификации.
3. Иррегулярные колебательные процессы в моделях перекрывающихся поколений.
ВЫВОДЫ
ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ
В различных направлениях проводятся теоретические исследования в области
экономической динамики. Одно из них есть макроэкономическое моделирование
динамических закономерностей. Это построение достаточно простых взаимосвязей
между макроэкономическими переменными, анализ формальных свойств таких
взаимосвязей и объяснение свойств моделируемой системы в экономических
терминах. В настоящее время имеется богатый арсенал макроэкономических
моделей: от наиболее простых, представляющих собой односекторные динамические
зависимости, до сложных эконометрических и имитационных систем, основанных
либо на детализованном описании макроэкономических и структурных
взаимозависимостей, либо на явном выделении макроэкономических объектов и
механизмов их взаимодействия.
Все динамические макромодели, как аналитические, так и допускающие лишь
количественные исследования, можно условно разделить на две группы. К первой
относятся модели экономического роста, ко второй - модели экономического
цикла или, в более широком смысле, экономических колебаний.
Основной результат исследований первой группы состоит в доказательстве
существования траекторий сбалансированного развития экономической системы,
которые характеризуются неизменностью темпов роста производства и
используемых ресурсов. Режимы сбалансированного роста правомерно
рассматривать в качестве стационарных состояний в Упространстве темповФ, к
которым сходятся всевозможные траектории системы.
Теоретические модели экономического цикла позволяют дать описание и
объяснение качественно иных свойств экономической динамики. Речь идет о
немонотонном, колебательном характере изменения переменных макросистемы.
Циклическая или колебательная динамика в большей мере соответствует реальным
процессам по сравнению с поведением траекторий моделей роста. Данное
положение справедливо для систем, относящихся к разным типам хозяйствования.
Понятием Уэкономический циклФ охватываются процессы, присущие тем или иным
сторонам развития экономических систем рыночного типа. В теории изучаются
деловые, инвестиционные и технологические циклы, а также циклы занятости в
хозяйственной конъюктуре. Они различаются переменными, которыми описывается
динамика системы, периодичностью, регулярностью и амплитудой соответствующих
колебательных режимов. Разнообразие теоретических схем и моделей
экономического цикла вполне оправдано многообразием и сложностью реальных
макропроцессов.
Имеется определенное методологическое различие между экономическими и
теоретическими модельными исследованиями в рассматриваемой области. Цель
первых - выявление цикличности реальных показателей развития экономики и
количественный анализ их частотных характеристик. При этом могут
использоваться разные методы статистического анализа временных рядов, модели
стохастических разностных управлений. А теоретические модели направлены
прежде всего на то, чтобы отразить в упрощенной форме некоторые идеи,
позволяющие объяснить циклические явления. Наибольший интерес представляют
исследования, в которых устанавливается эндогенность колебательных процессов.
Это дает возможность рассматривать их в непосредственной взаимосвязи с
законами изменения макросистемы, формализованными в виде соответствующей
динамической модели.
Вместе с тем следует отметить и определенные соприкосновения этих подходов,
например, в вопросе о содержательном определении экономического цикла.
Согласно известной точке зрения, наиболее адекватное понимание цикла в
эконометрических исследованиях основано на идее близости перекрестных
спектральных разложений (cross-spectrum) для нескольких наиболее существенных
макропоказателей. Аналогично проявляется циклическая динамика переменных
теоретической модели, сформулированной в виде детерминированной системы
дифференциальных или разностных уравнений. Это позволяет считать упомянутые
направлениях исследований взаимодополняющими.
В реферате дается обзор некоторых теоретических моделей цикла созданные за
последние десятилетия и относятся к различным направлениям западной
экономической мысли (неокейнсианство, неоклассика). Анализ данных моделей
представляет определенный интерес для развития теоретического инструментария,
необходимого в исследованиях экономической динамики.
1.МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ, ОСНОВАННЫЕ НА ПРИНЦИПЕ МУЛЬТИПЛИКАТОРА -
АКСЕЛЕРАТОРА.
Начиная с 30-х годов в западной экономической литературе развивается
направление, которое ставит своей целью объяснение экономических колебаний на
основе достаточно простых теоретических моделей. Особенностью новых подходов
является признание их авторами неустойчивого характера реальных процессов,
понимание колебаний как внутренне присущих экономике процессов, а не как ее
аномальных отклонений от состояния равновесия. При этом исследуются
обуславливающие их причинно-следственные связи в зависимости.
Один из наиболее распространенных подходов к такому исследованию исходит из
неокейнсианской теории взаимодействия механизмов мультипликатора и
акселератора. В моделях Самуэльсона (8) и Хикса (9) в явном виде используются
линейный мультипликатор-акселератор с запаздыванием. Модель Самуэльсона
включает балансовое соотношение для национального дохода (условие равенства
спроса и предложения) в виде
Yt = Ct + It + Gt,
(1)
где - Yt - национальный доход; Ct - объем потребления; It - индуцированные
чистые инвестиции в частном секторе; Gt - автономные инвестиции
(государственные расходы); t - индексы дискретного периода времени. Кроме
того, считаются выполненными соотношения
Ct = aYt - 1,
(2)
It = b (Ct - C t - 1),
(3)
Gt = Iо = const,
(4)
где a - коэффициент мультипликации; b - коэффициент акселерации.
Запаздывание, равное одному периоду, одновременно присутствует в процессах
мультипликации и акселерации, которые описываются линейными зависимостями (2)
- (3).
Подстановка (2) - (4) в (1) дает линейное разностное уравнение второго
порядка, описывающее динамику национального дохода (8)
Yt = Iо + a(1+b)Yt - 1 - abYt - 2,
(5)
Исследуя поведение траекторий уравнения (5), Самуэльсон и Хикс (последний - в
модели, близкой к (1) - (4) показывают, что по мере увеличения эффекта
акселератора динамики национального дохода может принимать колебательный
характер. При этом затухающие колебательные режимы с увеличением коэффициента
b, b, b > 1/a, сменяются нарастающими.
Таким образом, основная причина колебательных процессов в простых
макромоделях Самуэльсона - Хикса - это интенсивные индуцированные частные
инвестиции, осуществляемые с запаздыванием.
Механизм акселерации капитальных вложений является также центральным пунктом
в модели, предложенной М. Калецким в (10). В ней рассматривается динамика
основного капитала на макроуровне. Ее особенность - учет двух типов
запаздывания: в решениях об инвестировании и в осуществлении капитальных
вложений. Динамика переменных в модели Калецкого задана в непрерывном
времени, а уравнение капитала принимает форму линейного дифференциально-
разностного соотношения (10).
В одном из вариантов модели Гудвина (11) также учитывается два запаздывания -
в процессе мультипликации национального дохода и в реализации инвестиций,
связанных с эффектом акселерации. В отличие от модели (10) здесь описывается
динамика национального дохода и рассматривается нелинейная форма акселератора
К = j(Y), dK/dt = Y, где t - непрерывное время ( приложение 1). Экономический
смысл такой формы заключается в предположении о снижении эффекта акселерации
при больших приростах и уменьшениях национального дохода.
В основе модели Гудвина лежит балансовое соотношение между произведенным и
использованным доходом, аналогичное (1)
Y (t) = C (t) + K(t) - eY(t),
(6)
где K - объем чистых инвестиций; eY - отражает действие мультипликатора с
лангом, равным e. Гудвин рассматривает потребление в виде линейной функции
дохода C = aY + Co, а чистые инвестиции - как сумму автономных и
индуцированных инвестиций
К = J + j[Y (t - O)] , где O - лаг в осуществлении инвестиций. С учетом
сделанных предложений (6) принимает форму дифференциально-разностного
уравнения
eY(t) + (1 - a) Y (t) - j[Y (t - O)] = Co + J,
которое аппроксимируется нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка
e OY + bY - j (Y) + (1-a)Y = Co + J,
где b = e + (1- a) O.
Замена переменной позволяет привести последнее уравнение к виду
х + F(x) + x = O,
(6)
где х - линейная функция Y; F ( ) - функция, имеющая вид кубической параболы.
Для (7), известного как уравнение Рэлея, доказано существование,
единственность и глобальная устойчивость предельного цикла.
Такой цикл представляет собой замкнутую траекторию, к которой сходятся любые
другие траектории системы. Данный факт следует понимать как доказательство
существование я описываемой системе самогенерирующихся незатухающих
колебаний. Их амплитудные показатели определяются свойствами (7), а не
начальными условиями, что характерно для линейных уравнений второго порядка
или для некоторых структурно неустойчивых нелинейных систем. Наличие таких
колебаний обусловлено прежде всего функцией F (x) и соответственно формулой
нелинейного акселератора с западыванием j[Y (t - O)]. Именно этот результат
работы Гудвина представляет наиболее значимым для дальнейшего развития теорий
и моделей экономических колебаний.
Исследованию процессов взаимодействия мультипликатора и акселератора
посвящены многие работы. В них динамика макроэкономической системы
описывается линейными разностными или дифференциальными уравнениями и по
существу аналогична типам поведения траекторий модели Самуэльсона - Хикса.
Важной чертой всех этих моделей является, с одной стороны, использование
простых балансовых макросоотношений, например, тождества национального
дохода, равенства инвестиций и сбережений, а с другой - введение в той или
иной форме запаздываний в описание механизма мультиплликатора - акселератора.
Именно учет запаздываний позволяет выявить колебательные режимы в моделях
подобного типа.
Имеются, однако, и другие попытки дать объяснения экономическим циклам, не
основанные на предложении о равенстве сбережений и инвестиций.
2. МОДЕЛЬ КОЛДОРА И ЕЕ МОДИФИКАЦИИ.
Неокейсианские теории экономических колебаний включает направление
исследований, у истоков которого находится модель делового цикла Калдора. В
ней в центре внимания - неравновесные процессы на рынке капитала, которые
самовоспроизводятся за рамками краткосрочного периода. Модель сформулирована
в виде следующих рассуждений.
Предполагается, что инвестиции и сбережения ex ante являются нелинейными
функциями от показателя, характеризующего уровень экономической активности:
I(x) и S(x). У Калдора таким показателем служит занятость. Считается, что ex
ante функции I(x) и S(x) имеют вид, представленный на рисунке (3). Точки А, В
и С на нем соответствуют равновесным значениям занятости, т.к. в них I(x)=
S(x). Если выполнено условие I(x) > S(x), т.е. спрос на капитал больше
его предложения, то это означает увеличение экономической активности (рост х).
Если I(x) < S(x), то занятость падает. Поэтому точки равновесия А и С
являются устойчивыми, тогда как В - неустойчивая.
Это вытекает из гипотез Калдора о функциях инвестиций и сбережений: dI/dx
< dS/dx при большой или малой активности (в районе точек равновесия А и
С) и dI/dx > dS/dx при нормальной активности ( в районе точки В).
Данные гипотезы интерпретируются следующим образом: при ненормально высокой и
ненормально низкой активности стимулы и возможности к дополнительному
инвестированию намного меньше, чем стимулы к дополнительному сбережению;
наоборот, при нормальном уровне активности предельная склонность к
инвестированию превышает предельную склонность к сбережению.
Функция I(x) и S(x) краткосрочные, поскольку они неизменны при фиксированной
величине основного капитала. В долгосрочном периоде эти зависимости меняются
под влиянием изменений запаса капитальных благ. Сдвиги кривых I(x) и S(x) в
свою очередь определяют циклическую динамику величины капитала и занятости.
При достаточно высоком уровне активности кривая S(x) постепенно движется
вверх, а I(x) - вниз. Точка равновесия В сближается с С. После этого как эти
две точки совпадут, графики функций выглядит так, как показано на рис.4.
Поскольку теперь для всех х > A выполнено S(x) > I(x), то уровень
занятости начинает быстро падать в зависимости от степени превышения S(x) над
I(x), достигая состояния равновесия при малой активности в точке А. Затем
процесс идет в обратном направлении: сначала I(x) движется вверх, а S(x) -
вниз, и после совпадения точек А и В занятость резко увеличивается до
равновесного уровня С. Как считает Н. Калдор, такой циклический процесс не
является затухающим.
Схема Калдора вызвала определенный интерес у последующих поколений
исследователей. Она дала возможность более изящного использования теоремы
Пуанкаре - Бендиксона для доказательства существования предельного цикла в
двумерной нелинейной системе, описывающей схему Калдора.
Согласно данной теореме - классическому результату качественной теории
дифференциальных уравнений на плоскости - устойчивый предельный цикл
существует, при траектории системы остаются при любых t Î [0, ¥] в
некоторой замкнутой области D, не содержащей особых точек. В частности система
содержит устойчивый предельный цикл, если ее траектории ограничены, а точки
равновесия неустойчивы. Например, на рис.2 изображены множество D (его граница
выделена пунктиром), предельный цикл L и неустойчивая особая точка Y.
Рассмотрим подробнее модель Чинга - Смита, Чтобы построить динамическую систему,
описывающую цикл, авторы несколько изменили предложение Калдора о функциях
инвестиций и сбережений. Теперь они зависят от двух переменных: национального
дохода и объема капитала - I = I (Y,K) и S = S (Y,K) , так что I/ Y > 0,
S / Y > 0 и, кроме того, I/ K < 0, S / K< . Величина Y
характеризует уровень экономической активности в макросистеме (переменная х в
модели Калдора). Система имеет простой вид
Y = a [ I (Y,K) - S (Y,K)],
(8)
K = I (Y,K)
(9)
где (8) описывает процесс настройки выпуска (дохода) на отклонение инвестиций от
сбережений: когда I > S, доход возрастает, и наоборот;
(9) - процесс накопления основного капитала: инвестиций ex ante принимаются
равными фактическими чистыми инвестициями. При некоторых условиях на функции
I (Y,K) и S (Y,K) - фазовая плоскость системы Чинга- Смита имеет вид,
показанный на рис.5. Кривая АВ на этом рисунке соответствует условию
равенства сбережений и инвестиций (I (Y,K) - S (Y,K)), а СD - условию
нулевых инвестиций (I (Y,K) = 0); замкнутая кривая F - предельный цикл, на
которой УнаматываютсяФ траектории системы (8) - (9). Стрелками на кривой F
показаны циклические фазы увеличения и снижения переменных Y и K. Точка
(Y,K), K = Y = 0, означает состояние равновесия систем (8) и (9), которое в
соответствии с рис.5 является устойчивым.
Условие неустойчивости состояния равновесия в содержательном смысле наиболее
существенно. Оно требует, чтобы частная производная I/ Y была достаточно
большой. Предельная УсклонностьФ к инвестированию I/ Y - прямой аналог
коэффициента акселерации в моделях мультипликатора-акселератора. В этом
смысле выводы модели Чанга-Смита совпадают с основными результатами
исследований Д.Хикса и П.Самуэльсона и др. Развитие ими первоначальной
конструкции Калдора состояло не только в построении нормальной формальной
модели и применении математического аппарата, адекватного теории делового
цикла. У. Чанг и Д. Смит показали, что условия на функции инвестиций и
сбережений, предложенные Н. Калдором в качестве необходимых и достаточных для
возникновения в макроэкномической системе незатухающих самогенерирующихся
колебаний, являются только лишь необходимыми. Чтобы такие колебания
действительно возникали, требуется довольно ощутимый эффект акселерации
инвестиций (запаздывание в этом эффекте не предполагается). Иначе описываемая
моделью система устойчива: переменный УдоходФ и УкапиталФ при больших
интервалах времени стремятся к равновесному состоянию.
Автор дополнил модель уравнением изменения предложения денег: М = G - T(Y), где
G - государственные расходы; T(Y) - налоги, величина которых зависит от уровня
дохода. Однако не анализируется динамика полной кейнсианской системы Удоход,
процент, деньгиФ . Автор фактически ограничивается допущением о равновесии на
денежном рынке в каждый момент времени и исследованием упущенной модели,
описывающей динамику дохода и предложения денег. При таком допущении
равновесная ставка процента - это функция дохода и предложения денег r = H
(Y,M), а эффект акселерации может быть представлен как сумма прямого и
косвенного эффектов: (I/Y+I/r)(H/Y). Косвенный эффект вызван воздействием
равновесной процентной ставки на инвестиции. Будучи однонаправлен с прямым
эффектом I/r < 0,H/Y < 0, он способствует возникновению колебательных
режимов в системе Удоход - деньгиФ. Этому же содействует увеличение налоговых
ставок при недостаточно высокой предельной склонности к сбережениям S/Y<
1.
3. ИРРЕГУЛЯРНЫЕ КОЛЕБЫТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ В МОДЕЛЯХ ПЕРЕКРЫВАЮЩИХСЯ ПОКОЛЕНИЙ.
Рассмотренные модели позволяют объяснить возникновение эндогенных колебаний
основных макроэкономических переменных: национального дохода, капитала,
процента, занятости, заработной платы и др. Общий недостаток их состоит в
том, что описываемые ими циклические процессы имеют периодический характер. В
существенной мере это связано со спецификой аналитического аппарата -
качественной теории дифференциальных уравнений на плоскости. Основными
результатами данной теории являются теорема Пуанкаре - Белдиксона, теорема
Андронова - Хопфа о бифуркациях рождения предельного цикла, классификация
качественных типов поведения траекторий двумерных систем и некоторые другие.
Используя такой аппарат, невозможно объяснить непериодические, иррегулярные
колебательные процессы, эндогенно возникающие при изменении режимов
экономической динамики. Характерно, что колебания макропоказателей во многих
случаях далеки от того, чтобы считаться строго циклическими (иррегулярными).
Исследование экзогенных непериодических экономических колебаний обычно
проводится с помощью аппарата линейных стохастических дифференциальных или
разностных уравнений (7). Чтобы объяснить появление эндогенных
непериодических колебаний, необходимо рассматривать нелинейные
дифференциальные уравнения, имеющие размерность больше двух, или нелинейные
разностные уравнения. В последнее время заметно возрос интерес исследователей
к применению такого рода динамических систем, поскольку стало возможным
описать сложное, хаотическое поведение экономических переменных в рамках
малоразмерных детерминированных моделей.
Такие модели могут отражать различные стороны макроэкономической динамики и,
в частности, процессы взаимодействия разновозрастных поколений индивидов,
осуществляющих межвременный выбор. Имеются в виду так называемые модели
перекрывающихся поколений, исследованные в ряде работ.
В каждые дискретный период в описываемой системе сосуществуют два поколения
индивидов - молодое и старое, представленных двумя участниками. Молодой
осуществляет выбор между уровнем потребления и величиной свободного времени в
текущем и в будущем периодах. Считается, что продолжительность
жизнедеятельности каждого поколения равна двум периодам, количество же
последних же последних, а следовательно, и общее число поколений
неограниченно.
Выбор молодого поколения согласуется, во-первых, с решением, принятым старым
поколением в предшествующем временном интервале, во-вторых, с его собственным
бюджетным ограничением, относящимся к постоянному и последующему периодам, и,
в-третьих, с совершенной информацией об изменении уровня цен в будущем. При
этом возможны две ситуации обмена между поколениями. В одной (классическая
ситуация) молодые участники становятся должниками старых в первом периоде и в
свою очередь ссужают последующие молодое поколение во втором. В другой
(случай Самуэльсона) молодое поколение вначале делает сбережения, передавая
их старому, а замет получает обратно свою ссуду от следующего поколения.
Стимулом обмена в обоих случаях является отклонение индекса цен
потребительских товаров Оt = pt/ pt+1, от единицы. Предвидя, например,
уменьшение цен в следующем периоде, индивиды планируют увеличение потребления
и свободного времени в будущем и некоторое их изменение в настоящем.
Направление такого изменения определяется характером межвременных
предпочтений.
Если в первые два момента времени индекс цен равен единице, то в дальнейшем
обмен между поколениями не происходит. Траектория индекса цен, тождественно
равная единице, называется стационарной. Д. Гейл показал, что она является
локально устойчивой с случае Самуэльсона и локально неустойчивой в
классической ситуации. Неустойчивость стационарной траектории означает, что
обмен между поколениями, а также изменения уровня потребления и величины
свободного времени происходят при любых, сколь угодно близких к единице,
значениях индекса цен. Как справедливо считает Д. Гейл, случай Самуэльсона
менее реалистичен, чем классический, в котором настоящее потребление
предпочтительнее будущего. Именно этому в исследованиях моделей
перекрывающихся поколений большое внимание, как правило, уделяется
классическому случаю с неустойчивым стационарным состоянием.
Дж. Бенхабиб и Р. Дэй (32) и Ж.-М. Грандмо (33) показали, что неустойчивая
динамика потребления (32), цен и денег, ссужаемых молодому поколению (33),
может принимать сложный, непериодический характер. Это происходит при
достаточно сильном предпочтении потребления во времени (32) или в условий,
когда воздействия межвременных эффектов дохода и замещения на выбор молодого
поколения оказываются противонаправленными (33).
В (32) модель перекрывающихся поколений выглядит так
Uo(co(t)) + U1(c1(t+1)) max,
(32)
c1(t +1) = w1+Ot(wo - co(t)),
(33)
(1+g)(wo-co(t))+w1-c1 (t) =0,
(34)
co (t) ³0, c1 (t +1)³0,
(35)
где co (t), c1 (t +1) - уровни потребления представителя молодого поколения в
текущем и будущем периодах; Uo(co(t)) и U1(c1(t+1)) - функции полезносности,
относящиеся к этим интервалам; Оt - относительная цена потребительного блага,
которым располагает представитель молодого поколения в настоящем и в будущем
(предложение труда, выраженное в единицах потребительского блага); g - темп
прироста численности населения. Уравнение (33) - бюджетное ограничение для
молодого поколения; (34) - балансовое отношение обмена между поколениями в
текущем периоде.
Модели перекрывающихся поколений оказываются полезными также при исследовании
свойств динамики макросистемы в условиях неопределенности. При этом гипотеза
совершенного предвидения изменений цен заменяется гипотезой рациональных
ожиданий, а традиционное понятие равновесия динамической системы - понятием
равновесия солнечных пятен. В основе последнего - идея согласованности
ожидаемых и действительных значений равновесных цен. Это направление
исследований является достаточно новым, однако в нем уже имеются интересные
результаты, в которых, например, устанавливается взаимосвязь
детерминированных циклов и равновесия солнечных пятен.
Таким образом, модели перекрывающихся поколений позволяют выявить ряд свойств
экономической динамики, определяемых межвременным поведением участников.
Эндогенные колебательные режимы могут быть объяснены при допущении таких
условий, как отсутствие внешних возмущений (Убелых шумовФ), рациональное
поведение индивидов и согласованные прогнозы и,. Наконец, равновесие рынка.
ВЫВОДЫ
Таким образом рассмотренные модели дают возможность сделать выводы о причинах
и факторах возникновения эндогенных (самогенерирующихся) циклических
колебаний в экономической системе. Несмотря на абстрактный характер
допущений, принимаемых в моделях колебательных процессов, нельзя не отметить
строгость и прозрачность выводов, получаемых на основе анализа.
В теоретических исследованиях экономической динамики, которые могут быть
отнесены к традиционным направлениям экономической науки, наибольшее внимание
уделяется инвестиционному поведению. Последнее представляется в виде
определенной зависимости между размерами инвестиций и характеристиками
состояния экономической системы - прибылью, доходом, занятостью, ставкой
процента и т.д. В неоклассических моделях роста рассматриваются инвестиции
ex post, т.е. капитальные вложения, реально увеличивающие стоимость основного
капитала. Поэтому соответствующие уравнения накопления (воспроизводства)
ресурсов односекторных и много секторных моделей роста имеют смысл балансовых
поношений типа Удоходы - расходыФ или Узатраты - выпускФ.
В неокейнсианких моделях более существенное значение имеет описание
инвестиционных ожиданий или инвестиций ex ante в форме механизмов
акселеративного типа. Именно такие механизмы приводят к неустойчивой динамике
макросистемы и, в частности, к возникновению эндогенных циклических
колебаний. В неоклассических моделях подобные колебания обусловлены
характером межвременных предпочтений общества или индивида-представителя.
Однако реальные колебательные процессы с большой условностью можно считать
циклическими, имея в виду лишь последовательное чередование стадий цикла, а
не строгую периодичность этих стадий. Чтобы дать более реалистическое
описание таких процессов, необходимо создать модели, позволяющие выявить
иррегулярную, хаотическую динамику экономических переменных. В последнее
время появились работы, в которых делаются попытки построения плотность
детерминированных динамических моделей с хаотическим поведением траекторий.
Общий и, пожалуй, наиболее существенны недостаток всех традиционных -
неоклассических и неокейнсианских - моделей экономической динамики состоит в
том, что в них не представлены явном виде движущие силы экономических
изменений. Поведенческие соотношения заданы на макроэкономическом уровне,
или, в крайнем случае, на уровне производственного сектора. В неоклассической
теории имеется богатый арсенал макромоделей, включающих описание
микроэкономического поведения. Однако это - модели чисто статистические
(модель равновесия Эрроу - Дебре и др.) Макроэкономическое моделирование
динамических процессов в принципе полезно для теории, но оно не позволяет
раскрыть рад важных сторон реальной динамики. Последовательные теоретические
построения в данной области должны включать прежде всего объяснение
внутренних экономических механизмов развития, выявление движущих сил,
поведенческих мотивов и средств реализации изменений в экономических
системах.
ЛИТЕРАТУРА
1. Аллен Р. Математическая экономия. М.: Изд-во иностран. лит.,1963.
2. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и её приложения. М.:
Мир, 1980.
3. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
М.: Изд-во МГУ, 1984.
4. Рейсиг Р., Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных
дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1974.
5. Шарковский А.Н., Майстренко Ю.А., Романенко Е.Ю. Разностные уравнения и их
приложения. Киев: Наук. думка, 1986.
Приложение 1
