Методические указания: Примеры решения задач по физике(механика)

Две частицы движутся с ускорением в однородном поле тяжести. В начальный момент
времени частицы находились в одной точке и имели скорости V1 и V
2  направленные горизонтально и в противоположенные стороны. Найти
расстояние между частицами в момент когда векторы окажутся взаимно
перпендикулярными.
     
Дано:  |1(t)|=   V1, |2(t)|   = V2
Угол между 1 и 2  в   момент
времени t   равен 
1 и 2    в   момент времени t0 антинаправлены
                            O       x
      mg     2
1(t)           2(t)
2(t)|
   y
Найти: 
Решение: Свяжем систему координат с начальной точкой нахождения частиц:
V1x(t)= |1|
V1y(t)= V1y(t 0)+gt
V2x(t)= V1x(t 0)= |2|
V2y(t)= V2y(t 0)+gt
Запишем условие перпендикулярности 1 и 2    так:
|1(t)|2+|2(t)| 2 = (V1x(t)- V2x(t)) 2+(V1y(t)- V2y(t)) 2=
=(V1x(t 0)- V2x(t0)) 2+ (V1y(t 0)+ gt-V2y(t0)-gt) 2
V1x2 (t)+V1y2 (t)+V2x2 (t)+V2y2 (t)= V1x2 (t0)+2 V1x(t 0) V2x(t0)+ V2x2 (t0)
V1x2 (t0)+V1y2 (t0
)+2V1y(t0)gt+g2t2+V2x
2 (t0)+V22y(t 0)+V
2y(t0)gt+g2t2= V1x2 
(t0)- 2V1x(t0) V2x(t0)+ V
22x(t0)
pg2t2=-2 V1x (t0) V2x (t0)
t=                     
Ответ: 
Полый шар (внешний радиус R1, внутренний R2), сделанный из материала плотностью
     1 плавает
на поверхности жидкости плотностью
2. Какова должна быть плотность вещества 
3, которым следует заполнить внутреннюю плотность шара, чтобы он находился
в безразличном равновесии внутри жидкости?
Дано:
Решение:
     
     
     1,2         
     
,R2
рис                                         
     
     
     31
Шар будет находится во взвешен-
ном состоянии внутри жидкости, если его
масса (вес) будет равна массе (весу) жидкости,
объем которой равен объему шара.
Запишем закон Архимеда:
     ;
В данном случае для тела, находящегося во взвешен-
ном состоянии:
     ;
            
Выразим из уравнения плотность жидкости:
                        
     
Ответ:
Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с угловым ускорением
e=a*t, где a=2,0*10-2 рад/с3. Через сколько времени после
начала вращения вектор полного ускорения произвольной точки тела будет
составлять угол a=600 с ее вектором скорости?
     
     Дано:                                                 Решение:
     
e=a*t
     a=2,0*10-2 рад/с3
     
     
     a=600
     
t - ?
Угловое ускорение e связано с угловой скоростью w
               
Вектор полного ускорения w раскладывается на две составляющие : тангенсальное
ускорение wt и нормальное ускорение wn
        
     
Вычисления
     
Ответ: 7 с
Радиус вектор точки А относительно начала координат меняется со временем по
закону  , где a,b
- сonst. Найти уравнение траектории, скорость и ускорение этой точки.
     
Дано:
A
Найти: y,V,

Решение:
     
Ответ: 
     
     
Из пушки выпустили последовательно два снаряда со скоростью v0,
первый под углом a, второй под углом b к горизонту (азимут один и тот же ).
Найти интервал времени между выстрелами, при котором снаряды столкнутся друг с
другом.
     
Дано:
0
Y
      X1=X2
Найти: 
Свяжем систему отсчета с пушкой
X0=0, Y0=0
X2=U0cost
Y1=U0sint
Учитывая Y1 =Y2,  X1= X2
Запишем:
     
     
     
     
     
     
     
     
Ответ: 
Точка движется по окружности со скоростью  
постоянная величина. Найти ее полное ускорение, в момент когда она пройдет n,
n<1 длины окружности после начала движения.
     
Дано:
         R          
                           O
Найти: 
По условию задачи
     
Обозначим что:
     
Следовательно:
     
     
Из вышеприведенных выражений следует:
     
     
     
Ответ: 
В установке показанной на рис.,   массы тел равны m0, m1,
m2 . Массы блока и нитей пренебрежимо малы, трения в блоке нет.
Найти ускорение с которым опускается тело m0 и силу натяжения нити,
связывающую тела m1 и m2 , если коэффициент трения между
этими телами и горизонтальной поверхностью равен k.
     
Дано:
k
         T
  g      xx
Найти: a
     
     
     
     
     
Ответ: , 
Небольшое тело пустили снизу вверх по наклонной плоскости, составляющей угол
a с горизонтом. Найти  коэффициент трения, если время подъема оказалось в n
раз меньше времени спуска.
     
Дано:
x
Найти: 
Решение:
Для подъёма:  
     
     
Для спуска:

     
     
Ответ: 
Через блок прикрепленный к потолку кабины лифта, перекинута нить, к концам
которой привязаны грузы m1 и m2. Кабина начинает
подниматься с ускорением а. Пренебрегая массами блока и нити, а также трением
найти ускорение груза m1 относительно кабины, силу с которой блок
действует на потолок кабины.
     
Дано: m1, m2   , а
a1, F-?
      
Свяжем систему отсчёта с лифтом,
Запишем второй закон ньютона с учётом знаков, для обоих тел:
пусть 
     
Ответ: 
Катер массы m движется по озеру со скоростью v0. В момент времени t=0
выключили его двигатель. Считая силу сопротивления пропорциональной скорости
катера F = - r v, найти время движения катера с выключенным двигателем и его
полный путь до остановки.
     
Дано:
m
V0
Найти: 
Решение:
По второму закону Ньютона: 
Т.К. по условию , 2-й закон Ньютона будет иметь вид:
     ; (1)
из (1) следует:
     
     
     
из (1) следует:
     
     
     (3)
принимая во внимание (2)  и (3) получаем:
     
логарифмируем:
     
при ,
Ответ: , при ,
Небольшое тело поместили на вершину гладкого шара радиуса R. Затем шару сообщили
в горизонтальном направлении постоянное ускорение а0 , и тело начало
скользить вниз. Найти скорость тела относительно шара в момент отрыва.
     
Дано:
R
         R         
Найти: V
Решение: Переведем в систему отсчета связанную с шаром. В этой системе в
начальный момент времени 
Воспользуемся законом сохранения энергии.
      (1)
V-скорость отрыва.
Заметим 2-рой закон Ньютона
     (V) где -центростремительное ускорение
спроецируем Сx на 0x
      (3)
(1)(3)
m
     
            (4)-(1)
            
     
Ответ: 
На экваторе с высоты H свободно падает тело без начальной  скорости
относительно Земли. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти, на какое
расстояние и в какую сторону отклонится от вертикали тело при падении.
     
Дано:
H
R-радиус Земли
         H
         L=R
                R
Найти: l,отклонение   от вертикали при падении
Решение:
     
Так как Земля двигаются с запада на восток, то тело упадет на l западней.
Ответ: 
Небольшая шайба А соскакивает  без начальной скорости с горки высотой H,
имеющей горизонтальный трамплин. При какой высоте h трамплина шайба пролетит
расстояние s, чему оно равно?
     
Дано:
H
h
Найти: S
Решение: Запишем закон сохранения энергии
     
     
h=  S=  t
     
Найдем максимум:
     
     
Ответ: S=H
Летевшая горизонтально пуля массой m попала, застряв в тело массы M , которое
подвешено на двух одинаковых нитях  длиной l . В результате нити отклонились на
угол  q. Считая m<<M, найти скорость пули перед попаданием в тело и
относительную долю начальной кинетической энергии пули , которая перешла во
внутреннюю энергию .
     
Дано:
M
m
l
q
m<<M
0
    m
Найти: Vп
Решение:
Запишем Закон Сохранения Импульса:
     (1)
где V-скорость: с которой система состоящая пули и тела будет двигаться сразу
       (2)
         (3)
(3) (2):    (4)
(4)(1): (5)
Закон сохранения энергии для начального  отдела.
       Q ,V-внутренняя энергия
(4)(6)       (6)
(5)        (7)
(7):  (8)
Найдем относительную долю начальной кинетической энергии, которая перешла во
внутреннюю.
     (9)
Так как m<<M , то m+M=M
Ответ: 
     
w
С вершины гладкой сферы радиусом R=1,00 м начинает соскальзывать небольшое
тело массы m=30 кг. Сфера вращается с постоянной угловой скоростью w=6,0
рад/с вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Найти в системе
отсчета, связанной со сферой, центробежную силу инерции и силу Кориолиса в
момент отрыва тела от поверхности.
     
     
     
N
     
j
aн
L
Fцен.ин.
at
Дано:
  w=6,0 рад/с
  R=1,00 м
 m=30 кг
     
V1
     
mg
1) Fцен.ин-?
2) FКориолиса-?
1)
Для нахождения центробежной инерции  запишем систему для нормального и
тангенсального ускорений:
ìm×aн=m×g×sinj - N,
í                                           Так как в момент отрыва N=0,
то система будет выглядеть
îm×at = m×g×cosj;                   будет выглядеть следующим образом:
ìm×aн=m×g×sinj,
í
îm×at = m×g×cosj;
Учитывая, что нормальное ускорение равно отношению квадрата
cкорости тела к радиусу, то  запишем:
V12=R×g×sinj;
Запишем закон изменения кинетической энергии для данного тела:
     
Так как sinj=2/3, то V21=2Rg/3. По определению Fцен.инерции=m×R×cosjw2, то в нашем случае она будет     равна m×R×w2Ö5/9.
     
=0
     
V21=2×g×h;
V21=2×g× (R-R×sinj);
2g×R-2g×R×sinj=R×g×sinj;
sinj=2/3;
     
Так как начальная скорость была равна 0, то уравнение     примет вид:
     
Так как тело вращается по окружности с радиусом L и cosj = Ö(1-sin2j) = Ö5/9
Запишем конечную формулу для центробежной силы инерции:
Fцен.инерции= m×R×cos×j×w2
Вычисляя силу инерции получаем, что
     Fцен.инерции=30 кг× 36 (рад/с)2× 1 м ×Ö5/9=805 Н
     
     
V2
     2)
     V2 = w×MD = w×R×cosj;
     
     
D
     
a1Кор
     
a2Кор
     
     
M
     
j
     V21= g×R×2/3;
Учитывая, что относительная скорость равна
векторной сумме V1 и V2 запишем:
     
     
     
Подставляя значения в конечную формулу получим, что
aКор=2/3×36 (рад/с)2×1м×Ö5+80 м/с2/3×36 (рад/с)2×1м = 57.5 м/с2
Ответ: Fцен.инерции=805 Н, aКор= 57.5 м/с2
Тело бросили с поверхности Земли под углом a к горизонту с начальной скоростью v
0. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:
А) время движения;
Б) максимальную высоту подъема и горизонтальную дальность полета; при каком
значении угла a они будут равны друг другу.
     Дано:                                       Решение:
     
     
     
a                 y
     v0                    ymax
     
                          v0y     v0
     tп-?
     
     
ymax-?
xmax-?                     a
     
aр-?                  v0x                                                          
xmax        x
     Движение
данного тела можно представить как суперпозицию горизонтального равномерного
движения по оси х со скоростью vx и движения тела, брошенного
вертикально вверх по оси y со скоростью vy.
     
     
Запишем уравнения движения вдоль осей
     
     
В момент падения тела на Землю координата y=0. Приравняв y нулю, из уравнения
( 3 ) найдем время движения
     
Значение времени t1=0 соответствует точке бросания тела. Таким
образом, время движения
     
При подъеме тела значение скорости vy уменьшается и при ymax 
равно нулю. Из уравнения (1), приняв vy=0, находится время подъема
тела на максимальную высоту
     
Подставив время подъема tпод в формулу (3), найдем максимальную
высоту подъема тела
     
Дальность полета определяется, если в уравнение (2) вместо t  подставить
время движения
     
Приравняем xmax  и ymax
     
     
     
При a=00, тело не оторвется от Земли и xmax=ymax=0.
Значит aр=a2=760
     
Ответ:
     
Пушка массы M начинает свободно скользить вниз по гладкой поверхности,
составляющей угол α с горизонтом. Когда пушка прошла путь , произвели
выстрел, в результате которого снаряд вылетел с импульсом в горизонтальном
направлении, а пушка остановилась. Пренебрегая массой снаряда по сравнению
с массой пушки, найти продолжительность выстрела.
     
     
     
     
A
Дано:                                                                   Решение:
     
     , M, α
     
     
     
     
     
h
     
     
     
     
     
     
     
Запишем теорему об изменении кинетической энергии для данного тела :
     (1)
Так как начальная скорость пушки была равна 0, то уравнение (1) запишется в
виде:
     ; Выразив отсюда
скорость получим, что 
илиесли выразить h
из прямоугольного треугольника.
     -скорость пушки к моменту выстрела.
     ;   Выразив отсюда t получим 
     
Ответ:
     
Fт
     Ракету массой М запускают
вертикально. Скорость истечения газов из сопла двигателя равна V. При каком
расходе топлива (массы в единицу времени) сила тяги двигателя будет достаточна,
чтобы: а) уравновесить действующую на ракету силу тяжести; б) сообщить ракете
ускорение а = 19.6 м/с2 .
     
Дано:                               1)                                         2
     M
V
     
mg
     
mg
μ
1) Если расход топлива равен μ, а скорость истечения газов из сопла V,
то за единицу времени ракете сообщается импульс μV, который, согласно
законам Ньютона, равен реактивной силе. Поэтому:
MּdV/dt = Fт Ц μV2;
0 = Fт Ц μV2;
Fт=mּg;
μ = mּg/ V2;
2) Mּa = Fт Ц μV; (1)
Выражая из (1) μ получим, что μ = 
μ =;
Ответ: μ = mּg/ V2; μ = (FтЦ Mּa)/V;
μ = (mּg Ц 19.6ּM)/V;
В установке массы тел равны mo, m1, m2, массы блока и нитей пренебрежимо малы и
трения в блоке нет. Найти ускорение 
, с которым опускается тело mo, и натяжение нити, связывающей тела m
1, m2, если коэффициент трения между этими телами и
горизонтальной поверхностью равен k. Исследовать возможные случаи.
     
     
Дано:                                                     Решение:
     
     
     mo, m1, m2
     
     
     k
     
     
      - ?
     
      - ?
     
Ответ:             
На наклонную плоскость, составляющую угол α с горизонтом, поместили два
соприкасающихся бруска  1 и 2. Массы брусков равны m1, m2, коэффициенты
трения между наклонной плоскостью и этими брусками Ц соответственно k1,k2,
причем k1 больше k2. Найти: а) Силу взаимодействия между брусками в процессе
движения;
б) Минимальное значение угла, при котором начинается скольжение.
     
     
     
     
Дано:                                                    Решение:
     m1, m2, α
     
     k1, k2
     
     
     
     
α
     k1>k2
     Fвз, αmin
     
Для решения задачи распишем второй закон Ньютона для данных тел:
     
Твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью w0=0,50 рад/с
вокруг горизонтальной оси АВ. В момент t=0 ось АВ начали поворачивать вокруг
вертикали с постоянным угловым ускорением b0=0,10 рад/с2.
Найти угловую скорость и угловое ускорение тела через t=3,5 c.
     Дано                                                         Решение
     w0=0,50 рад/с
w1                                  
w          w1
     b0=0,10 рад/с2
     t=3,5 c
     w - ?
     
b - ?                                            w0                                                                               
w0
Из рисунка видно, что  находится как геометрическая сумма векторов .
     
Угловое ускорение
     
Вычисления
     
     
Ответ : 
Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси так, что его угловая скорость
зависит от угла поворота j по закону w=w0-aj, где w0 и a
Ц положительные постоянные. В момент времени t=0 угол j=0. Найти зависимость от
времени:
А) угла поворота;
Б) угловой скорости.
     Дано                                                Решение
     
     w=w0-aj
j(t) - ?
w(t) - ?
     
                                                            w0
     
Продифференцируем данное уравнение по t
     
Учитывая, что , получим
     
Интегрируем и вычисляем произвольную постоянную интегрирования из условия, что 
при t=0 -> j=0 -> w=w0.
     
Ответ :