Диплом: Анализ волнового уравнения и расчет собственных чисел и собственных функций для колебаний давления в трубе при наличии осевого градиента температуры
КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
КАФЕДРА МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ
СПЕЦИАЛИЗАЦИЯ ТЕПЛОФИЗИКА
ДИПЛОМНАЯ РАБОТА
Анализ волнового уравнения и расчет собственных чисел и собственных функций
для колебаний давления в трубе при наличии осевого градиента температуры.
Выполнила:студентка 5 курса физического факультета группы 673 Сафиуллина Н.Н.
Научный руководитель:К. ф.-м. н.,
доцент Галиуллин Р.Г.
Казань 2002.
Содержание:
Введение.........................................................................................................
3
1. Вывод уравнения, описывающего высокочастотные
резонансные колебания давления неоднородного газа в
трубе....................................................... 5
2. Определение собственных чисел и собственных функций методом Ритца. 12
3. Анализ
результатов.................................................................................
25
Выводы.........................................................................................................
27
Литература....................................................................................................
28
Приложение
1.................................................................................................
29
Приложение
2.................................................................................................
42
Введение.
В различных газо-технических агрегатах часто возникают сильные нелинейные
колебания. Обычно возникновение таких колебаний нежелательно, поскольку они
нарушают расчетный режим работы агрегата и даже могут привести к выходу его
из строя.
Так одной из важных задач в компрессоростроении является борьба колебаний
межступенчатых коммуникаций аппаратов. Причиной являются возмущающие силы,
вызванные большой амплитудой колебаний газа в коммуникациях. Колебания газа,
воздействуя на компрессор, могут изменить его производительность и вызвать
перерасход энергии.
Нелинейные колебания легко возникают в ЖРД. Колебания увеличивают местные
коэффициенты теплоотдачи, механические и тепловые напряжения, что может
привести к разрушению элементов конструкций. Подобные явления могут возникать
также в газотурбинных установках, мощных парогенераторах, в тепловых контурах
АЭС и т.д.
С другой стороны, нелинейные колебания могут существенно интенсифицировать
горение, повышать теплонапряженность топочных камер, улучшать тепло и
массообмен, снижать гидравлическое сопротивление. В настоящее время
генераторы нелинейных колебаний нашли применение при очистке поверхности
нагрева котлоагрегатов, а также при распылении жидкости в промышленной
экологии.
Одно из перспективных направлений развития техники Ц это разработка волновых
газовых холодильных машин, в которых реализуются резонансные режимы колебаний
газа. Достижение низких температур при помощи таких установок открыло бы
принципиально новые возможности при решении многих задач физики, электроники,
энергетики систем связи, вычислительной техники, биологии, медицины и др.
В сложных системах, таких как трубопроводы или камеры внутреннего сгорания,
колебания генерируются сочетанием более простых источников возбуждения, как
поршень, периодический тепло- или массопровод, набегающая в трубу струя.
Кроме того, между колебаниями параметров газа и тепло- массопроводом может
возникать обратная связь, тогда колебания могут становиться
самовозбуждающимися. Теория нелинейных колебаний, когда они возбуждаются
сочетанием нескольких источников остается пока не разработанной. Поэтому
актуальной является разработка методики исследований резонансных колебаний,
возникающих в более простых установках, в частности, в трубе, на одном конце
которой находится гармонически колеблющийся поршень. Другой конец трубы может
быть закрыт (закрытая труба) или сообщаться с окружающей средой (труба с
отрытым концом). Труба может быть заполнена однородным газом, например,
воздухом или другим газом при постоянной температуре. Если средняя
температура изменяется по длине трубы, то меняются и другие физические
свойства. Это случай колебаний неоднородного газа. Наиболее исследованы
резонансные колебания в трубе с поршнем и заполненным однородным газом.
Задачи определения резонансных частот и амплитуды колебаний давления в этом
случае облегчается тем, что она сводится к решению уравнения
, (1)
где p Цамплитуда колебаний давления, x Цосевая (вдоль оси
трубы), k2 Цкомплексная константа при соответствующих
граничных условиях на концах. Как известно, уравнению удовлетворяют две
собственные функции sinkx, coskx. Cобственные числа определяются
из граничного условия на x=L, где L Цдлина трубы.
В настоящей работе поставлены задачи:
а) вывести уравнение, описывающее высокочастотные резонансные колебания
давления неоднородного газа в трубе,
в) выполнить приближенный расчет собственных чисел и собственных функций
этого уравнения в случае неравномерного распределения температуры.
1. Вывод уравнения, описывающего высокочастотные
резонансные колебания давления неоднородного газа в трубе.
Рассмотрим колебания в длинной цилиндрической трубе (L<<R, L-длина,
R-радиус трубы), заполненной газом. Примем H>>1 (случай высокочастотных
колебаний). Волновое уравнение в первом приближении, учитывающее пристеночное
поглощение, а также наличие осевого градиента температуры и форму канала,
получено Роттом:
, (2)
где
J0,J1-функции Бесселя нулевого и первого порядка,
p-колебания давления, a-скорость звука, Тm-средняя по
времени температура газа в трубе, ω-циклическая частота, σ-число
Прандтля.
При R=const. И N=1 (теплоемкость стенки трубы выше теплоемкости газа)
уравнение (2) выглядит следующим образом:
(3)
Уравнение (3) можно переписать в виде:
где
, (4)
Последнее слагаемое уравнения есть производная от произведения,
следовательно, можно переписать его в виде:
Здесь сумма двух последних слагаемых также есть производная от произведения,
поэтому запишем уравнение следующим образом:
(5)
Пусть
(6)
Перепишем (5) с учетом H*:
(7)
Так как
,
уравнение (7) примет вид:
(8)
Упростим это уравнение, оценив величину E. Пусть средняя температура
изменяется по закону (распределение средней температуры по длине трубы
показано на рис.1):
(9),
где
, (10)
T1-температура в начале трубы,
Т2-температура в конце трубы.
Запишем скорость звука:
, (11)
Вычислим величину θ, входящую в (4):
Рис.1: Распределениесредней температуры вдоль оси трубы при e = 0.4. Т1 = 293К
На рис.1 показано распределение средней температуры вдоль оси трубы для έ =
0.4, Т1 = 293К. В зависимости от έ крутизна графика изменяется.
(12)
Рассмотрим уравнение (5) при высокочастотных колебаниях. Тогда величины f, f
* будут иметь вид:
, , (13)
где
, (14)
ν Цкоэффициент кинематической вязкости.
Так как средняя температура потока изменяется по длине трубы, то и ν
будут изменяться по длине трубы. В силу соотношений
, (15)
где μ и ρ Ц текущие значения коэффициента динамической вязкости и
плотности соответственно, где
(16)
имеем
(17)
Тогда можно записать
, (18)
- коэффициент кинематической вязкости при температуре Т0 .
Аналогично из (13) можно получить:
(19)
Кроме того
(20)
Теперь рассмотрим интеграл, входящий в (4):
(21)
Рассмотрим дробь
( знаменатель перенесли в числитель по правилам геометрической прогрессии,
далее избавимся от степеней используя бином Ньютона)
Преобразуем следующую дробь, следуя тем же принципам:
В итоге интеграл (21) примет вид:
(22)
При высокочастотных колебаниях
(23)
Легко видеть, что
С учетом (23) определим (4):
и уравнение (8) обретет вид:
(24)
В уравнении (24)
, (25)
или
(26)
Тогда для μ<<1, H0>>1 запишем
(27)
Н* от x не зависит, поэтому при рассмотрении уравнения (24) ее можно
опустить. С учетом (11) уравнение (24) приводится к виду:
, (28)
где
Определим константы a и b. Для этого запишем уравнение (9) для
левого и для правого краев трубы (x1=0, x2=1):
, (29)
Для x=0:
, , .
Для x=1:
, , .
Константы найдены, и уравнение (28) примет вид:
, (30)
где
-,
к0 примем за λ, тогда:
(31)
При ε=0 выражение (31) принимает вид уравнения (1):
(32)
2. Определение собственных чисел и собственных функций методом Ритца.
В качестве метода приближенного аналитического определения собственных чисел и
собственных функций используем метод Ритца. Этот метод очень удобен, поскольку
параметр ε (при решении уравнения (31)) может быть произвольной константой
ε<1, в отличие от метода возмущений, где обязательным требованием
является ε<<1.
Рассмотрим уравнение Штурма-Лиувилля:
(33)
при граничных условиях
. (34)
Составим функцию
(35)
и составим для нее уравнение Эйлера
,
где индексы обозначают дифференцирование по соответственно. Получим уравнение
, (36)
совпадающее с уравнением (33). Следовательно. Уравнение (33) есть уравнение
Эйлера для функционала:
(37)
Решение задачи проводится в следующем порядке. Сначала берут последовательность
независимых функций p1(x), p2(x),.,
удовлетворяющих граничным условиям, составляют их линейную комбинацию
(38)
и подставляют сумму (38) в функционал (37). В результате получают квадратичную
форму коэффициентов ai. Приравнивая ее частные производные
по ai, приходят к системе n однородных уравнений с n
неизвестными аi. Полагая определитель системы равным нулю,
получают уравнение n-ой степени относительно
. Его корни ,
, могут быть
приняты за приближенные значения первых трех собственных значений задачи. Для
каждого из них может быть найдена из упомянутой однородной системы, система
чисел ai, и по ней построена соответствующая функция
p(x), которая приближенно может быть принята за соответствующую собственную
функцию.
Приступим к конкретному расчету, для чего положим в уравнении (33) g(x)=1,
r(x)=1, q(x)=0, тогда получим уравнение
, (39)
при граничных условиях (34), совпадающее с (32) и с (1). Оно описывает
колебания давления в случае равномерного распределения температуры. Общее
(точное) решение этого уравнения имеет вид:
(40)
Подстановка (40) в первое из граничных условий дает:
,
,
.
Подстановка (40) во второе из граничных условий дает:
,
с1=0,
соответственно
,
,
Для .
Подставляя найденные значения в выражение (40), получим:
(41)
Определим константу с2 из условия нормировки:
(42)
таким образом:
. (43)
Запишем функционал (37) для случая равномерного распределения температуры:
(44)
В нашем случае (неравномерное распределение температуры) рассмотрим следующий
функционал:
, (45)
где
(46)
В качестве пробных функций удобно выбрать полиномы так, чтобы выполнялись
граничные условия (34). В этом случае
(47)
Таким образом
(48)
Теперь займемся вычислением функционала. Для удобства разобьем его на три
интеграла:
(49)
(50)
. (51)
Вычислим (49). Сначала рассмотрим подынтегральную часть:
А теперь проинтегрируем полученное выражение. В результате имеем:
Соберем коэффициенты при ai:
Интеграл (49) вычислен и имеет вид:
(52)
Далее вычислим интеграл (50). Его можно записать в виде суммы интегралов.
Вычислим каждый интеграл, используя следующие формулы:
Сделаем замену
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
В итоге интеграл (50) примет вид:
(53)
Вычислим (51):
,
где
(54)
Теперь рассмотрим каждую скобку по отдельности.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
Соберем коэффициенты при ai
Наш интеграл имеет вид:
(55)
Определим а0 из условия симметрии:
p(0)=-p(1) (56)
Подставляя условие (56) в уравнение (48), получим:
или
(57)
Отсюда
(58)
Перепишем (55) в следующем виде:
(59)
Подведем итоги и запишем вид функционала (45) после всех проведенных вычислений:
(60)
Получили квадратичную форму коэффициентов аi. Теперь получим
собственные функции и собственные значения при ε=0,1. В этом
случае (60) примет вид:
(61)
Исследуем функционал на минимум. Для этого найдем производные по а1, а3, а5.
(62)
На минимуме производные (62) должны обращаться в нуль, поэтому получаем систему
однородных уравнений относительно а1, а3, а5
.
(63)
Чтобы система (63) имела решение, ее определитель должен быть равен нулю.
(64)
Прежде чем приступить к вычислениям, для удобства умножим определитель на 100 и
сделаем замену
.Тогда
(65)
Если раскрыть определитель, получим кубическое уравнение, корни которого и
будут приближенными значениями собственных чисел задачи.
Раскрывая определитель, получим:
, 1, 2, 3,.6. (66)
Вычислим Сi:
Сложив все Сi, получим уравнение:
(67)
Разделив уравнение (67) на коэффициент при последнем члене, получим:
(68)
Алгебраическое уравнение вида (68) можно записать как
, (69)
где
Делая в уравнении (69) замену неизвестного
, , (70)
получаем, так называемое, приведенное уравнение
, (71)
где
Вычислим дискриминант:
Здесь , поэтому уравнение (71) имеет три действительных решения. Положим
, ,
, .
Тогда решениями приведенного уравнения будут:
(72)
Из (70) найдем :
Отсюда
(73)
Числа и есть
собственные значения задачи. Наиболее важным и близким к
(решению задачи при
) здесь является .
Для определения чисел а1, а3 , а5
подставим значения
в систему уравнений (63), получим:
(74)
Разделим каждое уравнение на коэффициент при последнем члене:
Теперь рассмотрим уравнения попарно, найдем коэффициенты а1, а
3, а5 для каждой пары уравнений, а затем проверим точность,
подставив решения каждой пары в неиспользованное уравнение.
1)
Проверим точность:
2)
Проверим точность:
3)
Проверим точность:
Наибольшую точность дают коэффициенты, полученные при рассмотрении второй
пары уравнений, поэтому при дальнейших вычислениях будем использовать именно
их:
Коэффициент а1 определим из условия нормировки (42):
Вычисления остальных коэффициентов дают:
(из (57))
Теперь, когда нам известны все коэффициенты, можем записать вид собственной
функции, используя (48):
Вычисления собственных функций и собственных значений для других значений
смотрите в приложении.
3. Анализ результатов.
В данной работе были найдены собственные значения и собственные функции для
колебаний в трубе при наличии осевого градиента температуры для пяти значений
έ. На рис.2 показана зависимость квадратного корня из собственного числа
от e. Видно, что с увеличением έ происходит уменьшение собственных чисел
задачи. На рис.3 показано распределение давления по длине трубы при различных
e. Можно сказать, что с увеличением έ происходит понижение абсолютного
значения собственной функции, а также смещение нуля функции в сторону меньших
x. Сдвиг нуля функции влево увеличивается с ростом έ.
X | P(x) e = 0,1 e = 0,2 e = 0,3 e = 0,4 e = 0,5 | |||||
| 0 | 1,414213562 | 1,351337613 | 1,345077412 | 1,31158723 | 1,28515283 | 1,264954689 |
| 0,1 | 1,344997024 | 1,264773675 | 1,2415668 | 1,196856087 | 1,161517943 | 1,134016591 |
| 0,2 | 1,144122805 | 1,017857386 | 0,949735364 | 0,875681894 | 0,817424341 | 0,77127018 |
| 0,3 | 0,831253875 | 0,646672286 | 0,521181175 | 0,411815774 | 0,326733047 | 0,259215005 |
| 0,4 | 0,437016024 | 0,20419281 | 0,029641934 | -0,105275817 | -0,208189682 | -0,288907547 |
| 0,5 | 0 | -0,249374378 | -0,445373761 | -0,582435385 | -0,683477292 | -0,760529386 |
| 0,6 | -0,437016024 | -0,65793397 | -0,837180146 | -0,94733827 | -1,023373652 | -1,077791406 |
| 0,7 | -0,831253875 | -0,980354085 | -1,10844317 | -1,169208273 | -1,204252985 | -1,224256129 |
| 0,8 | -1,144122805 | -1,198024876 | -1,26012529 | -1,26761186 | -1,262510955 | -1,2515107 |
| 0,9 | -1,344997024 | -1,3157028 | -1,326139526 | -1,299417442 | -1,273446969 | -1,250032689 |
| 1 | -1,414213562 | -1,351595438 | -1,345603285 | -1,312201895 | -1,285915598 | -1,265850284 |
P(x) | e = 0,1 | e = 0,2 | e = 0,3 | e = 0,4 | e = 0,5 | |||
| 0,954447796 | 0,999942599 | 0,999793439 | 0,977583504 | 0,966228922 |
| ε | |
| 0 | 3,141592654 |
| 0,1 | 3,127212235 |
| 0,2 | 3,089629554 |
| 0,3 | 3,035440182 |
| 0,4 | 2,968654175 |
| 0,5 | 2,891459932 |