Контрольная: Синтез управляющего автомата модели LEGO транспортной тележки и моделирование ее движения

Кубанский государственный технологический университет
Канфедра авнтонмантинзанции техннонлонгинченских пронцеснсов
Задание на контрольную работу
По диснцинпнлине УАвнтонмантинзинронваннное управнленние диснкретнными
пронцеснсамиФ для стунденнтов заночнной формы обунченния спенцинальннонсти
21.01 Ч УАвнтонмантика и управнленние в техннинченских сиснтенмахФ на тему:
УСиннтез управнляюнщего авнтонмата мондели LEGO Ч Утранснпортнная тенлежкаФ и
монденлинронванние её двинженния вдоль трассыФ
     
Вындано:
Аснпинраннтом каф. АПП  06.09.99          /Нанпынлов Р.Н./
стунденту гр. ____________        /____________/
Красннондар 1999
     
1 Исходные данные
 1.1 Управнляенмый пронцесс Ч двинженние мондели
LEGO транснпортнной тенлежки вдоль занданнной транекнтонрии в виде бенлой
понлосы. Ориненнтанция тенлежки отннонсинтельно трассы ренгунлинрунется
датнчинками коннтранста. 
1.2 Уснловнная схема транснпортнной тенлежки
принвондится на ринсунке 1.1. Тенлежка двинжется за счёт задннего принвода,
созндаюнщего понстоняннное тягнлонвое усинлие 
. Вранщенние пенредннего конлеса тенлежки осунщенстнвнлянется с понмонщью
ренвернсивнного понвонротнного двингантеля, отнранбантынваюнщего с
понстоняннной угнлонвой сконронстью 
, где  Ч угол
понвонрота пенредннего конлеса (ринсуннок 1.1)
 1.3 Транснпортнная
тенлежка, как обънект управнленния имеет сиснтему диснкретнных входнных и
вынходнных сигннанлов, струкнтурно преднставнленнную на ринсунке 1.2.
Кондинровка уканзаннных сигннанлов слендуюнщая:
Таблица 1.1 Ц Кодировка управляющих сигналов
     
Разряд сигнала
X
Управляющее действие
X0
1 Ц двигатель тележки включен
0 Ц двигатель тележки выключен
X1
1 Ц поворотный двигатель отрабатывает влево
0 Ц двигатель влево не   отрабатынвает
X2
1 Ц поворотный двигатель   отрабатывает вправо
0 Ц двигатель вправо не отрабатывает
Таблица 1.2 Ц Кодировка выходных сигналов
     
Разряд сигнала
Y
Событие
Y0
1 Ц левый датчик над светлой точкой   трассы
0 Ц левый датчик над тёмной точкой   трассы
Y1
1 Ц правый датчик над светлой точкой трассы
0 Ц правый датчик над   тёмной точкой трассы
     
     
Сигнналы Y иснпольнзунются в канченстве обнратнной связи управнляюнщего
авнтонмата. По изнменненнию этих сигннанлов вознможно сундить о тенкунщем
понлонженнии тенлежки отннонсинтельно бенлой понлосы трассы. Сигнналы X
вынранбантынванются управнляюнщим авнтонмантом в занвинсинмонсти от
понвенденния во вренмени сигннанлов Y так, что бы обеснпенчить совнпанденние
транекнтонрий двинженния тенлежки и трассы.
     1.4 Реншенние о пондачи пинтанния на заднний принвод тенлежки и,
раснпонлонженнный на ней, управнляюнщий авнтонмат приннинмает внешнний
опенрантор. Понэтому, иснходнным сонстояннием тенлежки явнлянется акнтивнность
двингантеля принвода. В этом слунчае зандача управнляюнщего авнтонмата сонстоит
только в обеснпенченнии двинженния тенлежки вдоль трассы. 1.5
Донпунщенния, денлаенмые при раснсмотнреннии управнляенмой тенлежки в
диннанмике:
1)      тягнлонвое усинлие  понстонянное;
2)      приведённая сила трения  
пропорциональна линейнной скорости движения тележки;
3)      сила трения 
, подменяющая реакцию  
в момент, когда  
(переднее колесо проскальзывает), постоянна и пропорциональна массе тележки;
4)      сила трения 
, подменяющая реакцию  
в момент, когда  
(тележку заносит), также постоянна и пропорнциональна массе тележки;
5)      масса тележки  
и её момент инерции  
относинтельно центра масс связаны зависимостью: 
, как если бы вся масса тележки была сосредоточена в стержне  
(рисунок 1.1).
     
2 Основное задание
 2.1 Сформировать модель управляющего автомата в
форме таблицы переходов и выходов автомата Милли, предварительно составив
список его возможных состояний и перекодировав входной алфавит автомата во
множество многонзначной логики (Y - четырёхзначное); 2.2
Минимизировать, в случае возможности, таблицу пенреходов и выходов автомата
Милли; 2.3 Составить алгебрологические выражения функции пенреходов и
функции выходов минимизированного автомата, иснпользуя только двоичное
представление входных и выходных сигналов; 
2.4 Минимизировать
полученные функции;
 2.5 По минимизированным логическим функциям
зарисонвать цифровую схему управляющего автомата (стандарт условнного
графического изображения логических элементов Ч Роснсийский).   
3
Дополнительное задание
Вывести модель динамики транспортной тележки. Положенние центра масс тележки в
плоской системе координат заданвать вектором положения 
. Положение точки приложения силы тяги привода задавать вектором 
.
     
4 Список источников
 4.1 Юдицкий С.А., Магергут В.Э. Логическое
управленние дискретными процессами. Модели, анализ, синтез. Ч   М.:
Машиностроение, 1987. Ч 176 c. 4.2 Кузнецов О.П., Адельсон-Вольский
Г.М. Дискретнная математика для инженеров. Ч М.: Энергоатомиздат,   1987. Ч 450
c. 4.3 Шварце Х., Хольцгрефе Г.-В. Использование комнпьюнтеров в
регулировании и управлении: Пер. с нем.ЧМ.: Энернгоатомиздат, 1990. Ч 176 с.:
ил. 4.4 Каган Б.М., Сташин В.В. Основы проектирования
микропроцессорных устройств автоматики. Ч М.: Энергоатомниздат, 1987. Ч 304 c. 
4.5 Мишель Ж., Лоржо К., Эспью Б., Программируемые контроллеры. Ч Пер. c
французского А.П. Сизова Ч М.: Машинностроение, 1986. 4.6
Микропроцессоры: В 3-х кн. Кн. 2. Средства сонпрянжения. Контролирующее и
информационно-управляющие сиснтемы: Учеб. Для втузов/В.Д. Вернер, Н.В.
Воробьёв, А.В. Горячев и др.; Под ред. Л.Н. Преснухина. Ч М.: Высш. шк., 1986.
Ч 383 c.: ил. 4.7 Фиртич В. Применение микропроцессоров в систенмах
управления: Пер. с нем. Ч М.: Мир, 1984,Ч464 c., ил. 
5 Решение
основного задания
 5.1 Выходной алфавит транспортной тележки является
входным алфавитом управляющего автомата Y. Для возможности применения теории
конечных автоматов перекодируем его во множество четырёх знаков в соответствии
с таблицей 5.1.
Таблица 5.1 Ц Кодировка входного алфавита управляющего автомата
     
Y0
Y1
Y
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
2
3
     5.2 При определении возможных состояний управляющего автомата будем
руководствоваться правилом: Ч допустимо введение избыточных состояний, которые
при последующей миннимизации автомата исключаются; недопустим пропуск
необхондимого состояния, который уменьшает адаптированность автонмата к внешним
ситуациям.
Перечень возможных состояний авнтомата, отождествлённных с ситуационными
событиями транснпортной тележки, привондится ниже.
Таблица 5.2 Ц Перечень состояний управляющего автомата транспортной тележки
     
Код
   состояния S
Описание   состояния
0
1
2
3
Исходное состояние неуправляемого движения;
Поворот вправо (поворотный двигатель непренрывно   отрабатывает вправо);
Поворот влево (поворотный двигатель непрерывно отрабатывает   влево);
Конфликт поворотов.
     5.3 Для возможности формирования математической мондели управляющего
автомата рассмотрим описательный алгонритм управления транспортной тележки по
состояниям:
―      В исходном состоянии тележка непрерывно движется под действием
привода. Ни один из датчиков контраста не находится над белой полосой трассы.
Поворотный двигатель остановлен;
―      При возникновении белой полосы под левым датчиком контраста
включается поворотный двигатель на отработку влево. Привод отключается и
далее следует движение по инерции, что уменьшает вероятность заноса тележки;
―      Как только левый датчик контраста УсходитФ с белой полосы
поворотный двигатель останавливается в текущем сонстоянии, а привод вновь
запускается;
―      При возникновении белой полосы под правым датчиком Ч поведение
транспортной тележки аналогично;
―      Возникновение белой полосы под правым и левым датнчиком
свидетельствует о том, что тележка движется перпенндикулярно трассе. Это
сбойная ситуация, при которой слендует отключение привода и блокировка
управляющего автонмата. Нормальный ход работы автомата может быть
восстановнлен только УсбросомФ.
     5.4 Поскольку управляющий сигнал имеет три разряда, то для составления
модели автомата Милли необходимо понстроить три таблицы переходов и выходов.
Указанные табнлицы, эквивалентные описательному алгоритму управления,
приводятся ниже.
Таблица 5.3 Ц Таблицы переходов и выходов управляющего автомата
     
Код
Si
Для   X0
Для   X1
Для   X2
y
y
y
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
0

     
Код
Si
Для   X0
Для   X1
Для   X2
y
y
y
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
1
2
3

     
5.5 Как видно, состояния S0, S1, S2 явно
эквивалентны, причём для каждого из выходов X. Представляется возможным эти
эквивалентные состояния обозначить одним состоянием S0 Ц состояние
управления тележкой. В этом случае, состояние блокировки S3 удобно
переобозначить как S1 Ц состояние блонкировки автомата. В результате
получаем модель несократинмого автомата Милли.
Таблица 5.4 Ц Таблицы переходов и выходов несократимого автомата
     
Код
Si
Для   X0
Для   X1
Для   X2
y
y
y
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1

     5.6 Учитывая, что код состояния полученной модели описывается одноразрядным
сигналом S, а также учитывая кондировку входных сигналов Y (табл. 5.1),
составим таблицу истинности комбинационной схемы автомата,  непосредственно по
таблице 5.4 и введя обозначения: S[j] Ч текущий сигнал состояния, S[j+1] Ч
сигнал состояний на следующем такте автомата.
Судя по таблице 5.5, минимизации поддаётся только функция переходов 
. Минимизируем её метондом карт Карно (см. рис. 5.1).
Таблица 5.5 Ц Таблица истинности комбинационной схемы автомата
     
S[j]
0
0
0
0
1
1
1
1
Y0
0
0
1
1
0
0
1
1
Y1
0
1
0
1
0
1
0
1
S[j+1]
0
0
0
1
1
1
1
1
X0
1
0
0
0
0
0
0
0
X1
0
0
1
0
0
0
0
0
X2
0
1
0
0
0
0
0
0
     
     5.7 Теперь можно записать логические выражения для комбинационной схемы
автомата.
Функция переходов:
     .                   (5.1)
Функции выходов в СДНФ по таблице истинности:
     .                    (5.2)
Для удобства реализации комбинационной схемы предстанвим рассматриваемые
функции в базисе УИЛИ-НЕФ:
     .                (5.3)
     5.8 На основе системы (5.3), окончательно получаем цифровую схему реализации
управляющего автомата транспортнной тележки, представленную на рисунке 5.2.
Особенностью полученной схемы является то, что она не содержит элементы
памяти и задержки и, соответственно, не является тактируемой. Такой вариант
реализации возможен для автоматов с двумя состояниями, одно из которых
являнется абсолютно устойчивым. В нашем случае состояние блокинровки есть
абсолютно устойчивое состояние. Если комбинацинонная схема сформируем это
состояние, то за счёт обратной связи по линии S запрещается реакция выходов X
на измененние входных сигналов Y. Выход из этого устойчивого состоянния
возможен только принудительным обнулением линии S единничным уровнем на линии
УСбросФ. Конфликтных УСостязанийФ в рассматриваемом автомате не возникает.
     
     
6 Решение дополнительного задания
 
6.1 Действующая на тележку в
динамике система сил раскладывается на результирующую силу, приложенную к
ценнтру масс тележки  
и вращающий момент ,
относительно того же центра масс.
 
6.2 Как видно из рисунка 1.1
вращающий момент опреденляется только силой реакции опоры переднего колеса  
Ч
     ,                    (6.1)
где               Ч угол поворота переднего колеса.
Зная из рисунка, что
     ,              (6.2)
получим:
     .          (6.3)
Положительные значения вращающего момента соответствуют повороту тележки
влево, отрицательные Ч вправо.
     6.3 Результирующая сила, действующая на центр масс тележки, определяется
векторной суммой всех сил на рисунке 1.1:
     .                  (6.4)
Для нашего случая важно знать направление действия силы 
, которое зависит от направлений и величин составнляющих рассматриваемой суммы.
В свою очередь направления составляющих рассматриваются относительно положения
габанритной определяющей, которое характеризуется единичным вектором:
     ,                       (6.5)
где               Ч вектор, задающий координаты центра масс тележки;
      Ч вектор, задающий координаты точки приложения силы тяги ;
      Ч габаритная определяющая транспортной тележки.
     
6.4 Вектор  представляется в базисе вектора  слендующим образом:
     ,          (6.6)
где               Ч единичный вектор, ортогональный вектору ,
или
     .              (6.7)
Если  имеет
координаты , то  
имеет координаты .
Тогда вектор ,
выраженный в базисе Декартовой системы координат, имеет вид:
     
     
     , (6.8)
где               Ч матрица (оператор) поворота вектора  на угол .
Теперь, используя выражение (6.2), окончательно найдём, что
     .                  (6.9)
     6.5 Из рисунка 1.1 очевидным образом вытекают выраженния для векторов силы
тяги и приведённой силы трения, а именно:
     ,                      (6.10)
     .                     (6.11)
     
6.6 Центростремительная реакция трассы  
определянется произведением массы тележки и нормальной составляющей ускорения её
центра масс, возникающей при закруглении транектории движения:
     ,                      (6.12)
где               Ч центростремительное ускорение.
Если траектория движения центра масс задаётся вектонром , то
     ,          (6.13)
где               Ч вектор скорости центра масс;
      Ч вектор полного ускорения;
      Ч оператор скалярного произведения векторов.
Это физический факт. Вывод его опускаем.
     
6.7 Центр масс тележки смещается под действием рензультирующей силы 
, при этом справедливо:
     .                     (6.14)
     
6.8 Точка приложения силы тяги смещается под дейстнвием вращающего момента 
, за счёт которого ей придаётся угловое ускорение 
:
     ,                        (6.15)
где               Ч момент инерции тележки относительно центра масс.
Зная угловое ускорение можно найти тангенциальное  в скалярной форме:
     ,
а затем и в векторной:
     ,                (6.16)
где               
Ч векторная скорость изменения ориентации габанритной определяющей.
С другой стороны, Ч вектор тангенциального ускорения может быть выражен через
полное ускорение вектора 
:
     ,                  (6.17)
где               
Ч вектор полного ускорения изменения ориентации габаритной определяюнщей;
В результате имеем связь:
     .                   (6.18)
     6.9 Учитывая, что приведённая сила трения пропорционнальна модулю скорости
центра масс:
     ,                     (6.19)
где               Ч коэффициент трения,
на основании всех найденных зависимостей путём исключения неизвестных нетрудно
получить систему дифференциальных уравнений, являющуюся моделью динамики
транспортной тенлежки в векторной форме. Записать эту систему в одну строчку
проблематично, поэтому ограничимся указанием того, что первое дифференциальное
уравнение системы строится на основе выражений: (6.3), (6.4), (6.5), (6.9),
(6.10), (6.11), (6.13), (6.14), (6.19), а второе на основе: (6.3), (6.5),
(6.18). Решением первого уравнения является зависинмость траектории центра масс
тележки от времени, решением второго Ч ориентация во времени вектора 
.
Полученная система не имеет аналитического решения и поэтому должна решаться
численно при любой зависимости от времени угла поворота  
и четырёх начальных условиях типа:
     ,                      (6.20)
которые показывают, что в нулевой момент времени центр масс тележки находится в
начале координат, скорость тенлежки равна нулю (и поступательная и
вращательная), тенлежка сориентирована вертикально по оси 
.
Для более детального учёта свойств транспортной тенлежки в динамики выражения
векторов реакций трассы должны быть заменены на выражения с условиями
сравнений в соотнветствии с допущениями, сформулированными в задании
коннтрольной работы.