Лекция: Последовательные правила обнаружения

     6.Последовательные правила обнаружения.
6.1. Общие положения. Последовательный критерий отношения правдоподобия.
Рассмотренное правило Неймана-Пирсона предполагает, что задача проверки
статистических гипотез решается однократно, после получения выборки 
заранее заданного объёма 
. Как уже упоминалось, существует другой подход к решению этой задачи, при
котором возможность принятия решения в пользу гипотезы  
или   проверяется 
многократно, по мере получения каждого нового элемента выборки или группы
таких элементов, т.е. процедура проверки гипотез носит последовательный
характер.
При последовательном различении статистических гипотез для каждого  
шага, на котором делается попытка вынести решение, должны быть определены три
области выборочных значений: область  
принятия гипотезы ,
область  принятия
гипотезы  и 
область неопределённости, которой соответствует решение о продолжении
наблюдения, поскольку информации содержащейся в полученной выборке недостаточно
для принятия решения с заданными вероятностями ошибок  
и . Возможность
продолжения или прекращения наблюдения в зависимости от результатов наблюдения,
являющихся случайными, приводит к тому, что длительность последовательной
процедуры также является случайной величиной.
Описанная общая идея последовательной проверки гипотез может быть реализована в
виде различных решающих правил. Наиболее широко известно и хорошо изучено
решающее правило, предложенное А.Вальдом и названное им Упоследовательным
критерием отношения вероятностей (отношения правдоподобия)Ф. Это правило
предписывает сравнение отношения правдоподобия 
, полученного на каждом  
шаге, с двумя постоянными порогами  
и . В зависимости
от результатов этого сравнения выносятся следующие решения:
          (6.1)
где  - решение о продолжении наблюдения.
Таким образом, в пространстве решающей статистики  
область значений  
соответствует гипотезе 
, область  -
гипотезе , а
область  является
областью неопределенности (продолжения наблюдения).
Вальд совместно с Вольфовитцем доказал теорему, согласно которой описпнное
правило является оптимальным в том смысле, что требует минимального (в среднем)
объема выборки по сравнению с любым другим решающим правилом, обеспечивающим те
же вероятности ложной тревоги и правильного обнаружения. При доказательстве
теореме Вальда-Вольфовитца предполагалось, что различаемые гипотезы являются
простыми, выборка  
- однородной и независимой, УперескокФ статистики за порог в момент принятия
решения может считаться пренебрежимо малым. (Напомним, что однородной
называется выборка, распределение которой не зависит от времени). При более
широких условиях оптимальные свойства вальдовского правила могут утрачиваться,
однако во многих случаях оно является квазиоптимальным. Доказано также, что с
вероятностью равной единице, вальдовская последовательная процедура завершается
за конечное время.
6.2. Расчет параметров вальдовской процедуры.
Решающие пороги вальдовской процедуры могут быть найдены  на основе следующих
рассуждений. Условие принятия решения в пользу гипотезы 
, может быть представлено в виде 
. Поскольку это условие  справедливо для любой выборки, попадающей в область 
, можно проинтегрировать последнее неравенство по этой области:
     .
Интеграл, стоящий слева от знака неравенства выражает вероятность правильного
обнаружения ,
справа Ц вероятность ложной тревоги 
, таким образом  
или
      (14.2)
Последнее неравенство дает оценку сверху величины порога .
Аналогичным образом, интегрируя условие принятия решения в пользу гипотезы  
по области  
выборочных  значений, приводящих к такому решению получаем:
     .
Интеграл, стоящий слева от знака неравенства в этом случае выражает вероятность
пропуска цели ,
справа Ц вероятность правильного необнаружения 
, поэтому  или
      (14.3)
Обратим внимание, что в  отличие от решающего порога процедуры Неймана-Пирсона,
для расчета которого необходимо задаться видом и параметрами распределений 
, полученные выражения полностью определяются значениями вероятностей ошибок  
и  и не 
зависят от вида различаемых распределений.
Однако это утверждение справедливо только при условии, что УперескокомФ
статистики за порог можно пренебречь, т.е. неравенства могут быть заменены
равенствами. Указанное условие справедливо в случае близких гипотез, когда
среднее приращение статистики на один элемент выборки мало, соответственно,
пренебрежимо мал и УперескокФ. В общем случае, когда УперескокомФ пренебрегать
нельзя, вероятности ошибок зависят от его распределения, следовательно, и от
распределений .
Пороги, рассчитанные по вальдовским формулам, в этом случае существенно
УзавышаютФ вероятности ошибок по сравнению с их истинными значениями. Расчет
оптимальных порогов при наличии перескока возможен с применением численных
методов или математического моделирования.
Для удобства и наглядности дальнейшего изложения заменим статистику отношения
правдоподобия ее логарифмом  
с соответствующей заменой решающих порогов  
Вальдовскоее решающее правило при этом имеет вид:
     
Укрупненная функциональная схема устройства, реализующее вальдовское правило
при этом имеет вид
     
Вычислитель
Решающей
статистики
Накопитель
Решающее
устройство

На рисунках приведены некоторые примеры построения областей принятия решений и
продолжения наблюдения в пространстве статистики  
для последовательных решающих правил, а также правила Неймана-Пирсона.
     Процедура с переменными (зависящими от времени) порогами применяется для
уменьшения среднего значения и дисперсии ее длительности. Усеченная
последовательная процедура, предполагающая принудительное завершение  на
некотором  шаге ,
если до него решение не было принято, может рассматриваться  как частный случай
процедуры с переменными (смыкающимися) порогами. Процедура Неймана-Пирсона с
этой точки зрения представляет собой вырожденный  случай усеченной
последовательной процедуры, когда вплоть до шага  
решающие пороги не имеют конечных значений.
         6.3.          Средняя длительность последовательной процедуры.         
Важнейшей характеристикой последовательной процедуры является ее средняя 
длительность (математическое ожидание числа шагов процедуры при
справедливости гипотез  
и ).
При однородной независимой выборке  
накопленное к моменту принятия решения значение логарифма отношения
правдоподобия  
представляет собой сумму одинаково распределенных случайных слагаемых, число
которых также случайно. Для математических ожиданий таких сумм справедливо
соотношение
     
или  , где
     математическое ожидание накопленной к моменту решения статистики;
     математическое
ожидание числа шагов, затрачиваемых на принятие решения при соответствующей
гипотезе;
     математическое
ожидание при ращения решающей статистики на один шаг (информация
Кульбака-Леблера).
В случае близких гипотез, когда перескок статистики за пороги  
пренебрежимо мал, можно считать, что в момент принятия решения в пользу  
справедливо равенство 
, соответственно, при принятии решения в пользу  
справедливо .
Математическое ожидание решающей статистики  
при этом может быть представлено в виде суммы пороговых значений, взвешенных по
вероятности их достижения:
     
Таким образом
     
     
      (6.4).
В случае, когда перескоком решающей статистики пренебрегать нельзя (случай
средних и больших сигналов) формулы для средней длительности последовательной
процедуры имеют аналогичную структуру, однако в числитель должно быть введено
дополнительное слагаемое, равное математическому ожиданию УперескокаФ  
Для некоторых моделей сигналов эта величина может быть рассчитана аналитически.
При равных вероятностях ложной тревоги  
и пропуска  пороги
вальдовской процедуры расположены симметрично относительно нуля; выигрыш в
среднем объеме выборки, обеспечиваемый последовательным правилом по сравнению с
эквивалентным по надежности правилом Неймана-Пирсона, составляет около двух
раз.
В задачах радиолокационного обнаружения требования к вероятностям  
и  обычно сильно
различаются (),
вследствие чего расположение  порогов оказывается несимметричным (
). Пример: пусть ,
при этом значения вальдовских порогов 
. Формулы для мат. ожидания длительности последовательной процедуры при сильно
различающихся вероятностях ошибок упрощаются:
               ;  (14.4).
Если среднее приращение решающей статистики имеет при гипотезах  
и  одинаковый
порядок: .
(например, для полностью известного сигнала, сим. Раздел 4), можно записать
     ; ,
т.е..
Таким образом, при  
средняя длительность последовательной процедуры для гипотезы  
оказывается много меньше, чем для 
; например, при ,
величина  примерно
в десять раз меньше, чем 
.
Величину выигрыша вальдовской процедуры относительно процедуры Неймана-Пирсона
при несимметричных порогах оценим на примере полностью известного сигнала.
Пусть расчетное отношение сигнал/шум 
, соответственно ,
(см. формулу 2.5), тогда при
     : .
Длительность эквивалентной о надежности процедуры Неймана-Пирсона  
(см. раздел 5), т.е. выигрыш при гипотезе  
составляет около 16 раз, при альтернативе  
около  1,7 раз.
     Следует отметить, что объем выборки последовательной процедуры, 
завершающейся правильным обнаружением, примерно равен объему
выборки эквивалентного по надежности обнаружителя Неймана-Пирсона, т.е. 
. Выигрыш во времени принятия решения в этом случае достигается за счет
процедур, завершившихся пропуском, поскольку их средняя длительность 
.