Курсовая: Расчет затвердевания плоской отливки
Министерство образования Российской Федерации
Сибирский государственный индустриальный университет
Кафедра литейного производства
Расчет затвердевания плоской отливки
в массивной форме
Выполнили: ст. гр. МЛА-97
Злобина С. А.
Карпинский А. В.
Кирина Л. В.
Тимаревский А. В.
Токар А. Н.
Проверил: доцент, к.т.н.
Передернин Л.В.
Новокузнецк 2001
Содержание
Содержание. 2
Задание. 3
Постановка задачи. 4
1. Графическое представление. 4
2. Математическая формулировка задачи. 5
Метод расчета. 7
Схема апроксимации. 8
Алгоритм расчета. 11
Идентификаторы.. 13
Блок-схема. 14
Программа. 17
Сравнение с инженерными методами расчета. 20
Результаты расчета. 21
Задание
Отливка в виде бесконечной плиты толщиной 2Lo=30 мм
Сплав: Латунь (10% Zn).
Форма: Песчано-глинистая объемная сырая (ПГФ).
Индексы: 1-Метв, 2- Меж, 4-форма.
а1=3,6×10-5 м2/с
а2=2,1×10-5 м2/с
l1=195 Вт/м×К
l2=101 Вт/м×К
r1=8600 кг/м3
r2=8000 кг/м3
L=221000 Дж/кг
b4=1300 Вт×с1/2/(м2×К)
Tф=293 К
Ts=1312,5 К
Tн=1345 К
N=100
et=0,01 c
eТ=0,01 oC
Постановка задачи
1.
Графическое представление
Принимаем следующие условия:
Отливка в виде бесконечной плиты толщиной 2Lo затвердевает в объемной массивной
песчано-глинистой форме. Принимаем, что теплофизические характеристики формы и
металла постоянны и одинаковы по всему объему, системы сосредоточенные,
геометрическая ось совпадает тепловой и поэтому можно рассматривать только
половину отливки. Lo<<Lф - форма массивная, т.е. форма за все время
охлаждения не прогревается до конца, Т
пов=Т
нач; такая
форма называется бесконечной
Вектор плотности теплового потока (удельный тепловой поток) имеет направление
перпендикулярное к поверхности раздела отливка-форма в любой момент времени t
k;
Нестационарное температурное поле Ц одномерное, Тj(х, t
k), j=1,2,4;
Температура затвердевания принимается постоянной, равной Ts;
Теплофизические характеристики сред, a
j=l
j/c
jr
j, j=1,2,4;
Теплоаккумулирующую способность формы примем постоянной, b
ф=
=const;
C,l,r - теплофизические характеристики формы;
Переохлаждение не учитываем;
Удельная теплота кристаллизации L(Дж/кг) выделяется только на фронте
затвердевания (nf) - условие Стефана;
Не учитывается диффузия химических элементов Ц квазиравновесное условие;
Перенос тепла за счет теплопроводности и конвекции учитывается введением
коэффициента эффективной электропроводности:
для жидкой среды l
2=n*l
0, где l
0 Ц
теплопроводность неподвижного жидкого металла; n=10;
Не учитывается усадка металла при переходе из жидкого состояния в твердое;
Передача тепла в жидком и твердом металле происходит за счет теплопроводности
и описывается законом Фурье:
q = - l
jgradT, плотность теплового потока,
Дж/(м
2с);
Отливка и форма имеют плотный контакт в период всего процесса затвердевания
(что реально для ПГФ);
теплоотдача на границе отливка Ц форма подчиняется закону Ньютона(-Рихтмона): q
1(t
k)=a(T
1к - T
ф) Ц для
каждого момента времени t
к, где a - коэффициент теплоотдачи, для
установившегося режима (автомодельного) a=
;
Полученная таким образом содержательная модель и ее графическая интерпретация
затвердевания плоской отливки в объемной массивной форме, упрощает
формулировку математической модели и достаточно хорошо отражает затвердевание
на тепловом уровне, т.е. позволяет получить закон T=f(x;t).
2. Математическая формулировка задачи
Математическая модель формулируется в виде краевой задачи, которая включает
следующие положения:
а) Математическое выражение уравнения распределения теплоты в изучаемых средах.
Дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье, которое имеет смысл связи,
между временным изменением температуры и ее пространственным распределением:
Или в соответствии с условием 5 запишем:
; xÌ[0,l
o], j=
(1)
б) Условия однозначности:
1. Теплофизические характеристики сред
r
j, l
j, c
j, b
j, a
j, T
L, T
S
2. Начальные условия
2.1 Считаем, что заливка происходит мгновенно и мгновенно же образуется
тончайшая корка твердого металла.
T
1н(x, t
н)= T
S(E)
(2)
2.2 Положение фронта затвердевания
t=t
нзадан. ,x=0, y(t
н)=0
(3)
2.3 Температура металла в отливке
T
j,iн=T
н ; j=2, iÌ(2,n)
(4)
2.4 Температура на внешней поверхности формы (контакт форма - атмосфера) и
температура формы.
T
4н=T
ф
(5)
3. Граничные условия
3.1 Условия сопряжения на фронте затвердевания (условия Стефана) i=nf
(6)
3.2 Температура на фронте затвердевания
(7)
3.3 Условие теплоотдачи на границе отливка-форма
(8)
- граничное условие третьего рода
3.4 Условие на оси симметрии
(9)
Задача, сформулированная в выражениях (1-9) есть краевая задача, которая
решается численным методом.
Аппроксимировав на сетке методом конечных разностей (МКР), получим дискретное
сеточное решение.
T
i=f(x
i;t
k).
Метод расчета
Будем использовать МКР Ц метод конечных разностей.
Сформулированную краевую задачу дискретизируем на сетке.
=
- шаг по пространству постоянный;
- шаг по времени переменный
Для аппроксимации задачи на выбранной сетке можно использовать разные методы
Ц шаблоны. Наиболее известные из них для данного типа задач четырех точечный
конечно разностный шаблон явный и неявный.
Явный четырех точечный шаблон Неявный четырех точечный шаблон
Использование явного шаблона для каждого временного шага получаем n+1
уравнение с n неизвестными и система решается методом Гауса, но сходимость
решения только при очень малых шагах.
Использование неявного шаблона обеспечивает абсолютную сходимость, но каждое
из уравнений имеет 3 неизвестных, обычным методом их решить невозможно.
По явному:
(10)
По неявному:
(11)
Сходимость обеспечивается при:
при явном шаблоне
(12)
-точность аппроксимации
(13)
Схема апроксимации
Аппроксимируем задачу 1-9 на четырех точечном неявном шаблоне
Начальные условия:
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
Граничные условия:
(19)
(20)
(21 a)
=>
(21)
Условие идеального контакта на границе отливка форма
(22)
Расчет временного шага :
Величина
-var
рассчитывается из условия, что за промежуток времени
фронт перейдет из точки nf в точку nf+1
Расчет ведут итерационными (пошаговыми) методами
Строим процедуру расчета следующим образом:
Вычисляем нулевое приближенное
для каждого шага,
За шаг итерации примем S,
Нулевое приближение S=0.
(23)
Уточняем шаг: S+1
(24)
d Ц параметр итерации от 0 до 1
для расчета возьмем d=0.
Число S итераций определяется заданной точностью:
Временного шага
(25)
И по температуре
(26)
et и eT Ц заданные точности по времени и температуре
et=0,01c, eT=0,1