Контрольная: Контрольная работа

     №385. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.
     
По определению несобственного интеграла имеем:
     
     
Интеграл сходится.
     №301. Найти неопределенный интеграл.
     
Представим подинтегральную функцию в виде слагаемых
     
     
     №522. Даны дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение
порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
     
     
     Понизим порядок
дифференциального уравнения, т.е. введем новую функцию           , тогда
и получаем уравнение
     
Это линейное уравнение первого порядка.
Введем новые функции u=u(x) и v=v(x).
     Пусть                 , тогда                      , т.е.
     
                                                            (1)
     
Предположим, что функция               такова, что она обращает в
тождественный нуль выражение, стоящее в круглых скобках уравнения (1) т.е.,
что она является решением дифференциального уравнения.
     
это уравнение с разделяющимися переменными
     
     
Здесь
Подставляем значение v в уравнение (1), получаем
     
Следовательно,
     
а т.к.                , то
     
     решим отдельно интеграл
                                                                                                     
, тогда
     
общее решение данного дифференциального уравнения.
Найдем частное решение при заданных условиях
     
     Т.к.                      , то
     
     
Т.к.                    , то
     
                                                                 
- частное решение при заданных условиях.
     №543. Даны линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным
начальным условиям.
     
Составим характеристическое уравнение
     
Т.к.                  , то общее решение запишется в виде
     
Найдем частное решение т.к. в правой части стоит          , то
     
Найдем           и
     
     Подставим значение      и        в данное уравнение, получим:
     
Общее решение данного дифференциального уравнения.
Найдем частное решение при заданных начальных условиях
                             , т.к.                 , то
                                         , т.к.                 , то
решаем систему
     
и
     
- частное решение при заданных начальных условиях.