Диплом: Когомологии де Рама
Министерство образования Российской Федерации.
Саратовский Государственный Университет
имени Н.Г.Чернышевского.
кафедра геометрии.
Когомологии де Рама.
Дипломная работа
Студентки 5 курса механико-математического факультета, группы № 522,
****************************************************************
Научный руководитель:
*************
Зав. кафедрой:
*****************
Саратов, 2004
Оглавление.
Введение................................3
1. Цепи и интегрирование........................4
1.1 р-мерные симплексы и их свойства..............4
1.2 Дифференцируемые р-цепи на многообразии и их границы....7
1.3 Интегралы по р-мерным цепям................11
1.4 Теорема Стокса.....................13
2. Нульмерные и n-мерные когомологии...............15
2.1 Вычисление когомологий на компактном многообразии...16
2.2 Вычисление когомологий с компактным носителем.....19
Литература..........................24
Введение.
Теория гомологий и когомологий топологических пространств играет важную роль
в алгебраической топологии. Для дифференциальных многообразий имеется два
варианта теории гомологий и когомологий, а именно гомологии и когомологии с
произвольным носителем и компактным носителем. В качестве когомологий
многообразия берутся когомологии комплекса дифференциальных форм с
произвольными и компактными носителями, а в качестве гомологий берутся
гомологии комплекса конечных дифференциальных цепей и комплекса бесконечных
дифференциальных цепей. Кроме того, вычисляются нульмерные и n-мерные
когомологии обоих типов для n-мерных многообразий.
Данная дипломная работа состоит из двух разделов. Первый раздел состоит из
четырех пунктов, второй Ц из двух.
В пункте 1.1 рассматриваются определение р-мерного симплекса и его свойства.
В пункте 1.2 определяется сингулярный р-симплекс на дифференцируемом
многообразии, дифференцируемые р-цепи и бесконечные дифференцируемые р-цепи и
их границы. В пункте 1.3 рассматриваются р-мерные группы гомологий и
когомологий, для конечных и бесконечных цепей, а также Ц интеграл от р-формы
по р-цепям. В пункте 1.4 приводится теорема Стокса.
Раздел два посвящен вычислению когомологий. В пункте 2.1 вычисляются
когомологии на компактном многообразии, в пункте 2.2 Ц когомологии с
компактным носителем на многообразии.
Раздел 1. Цепи и интегрирование.
1.1 р-мерные симплексы и их свойства.
Определение: p-мерным симплексом
в р-мерном пространстве
будем называть объект, определенный неравенствами
, .
Рассмотрим примеры р-мерного симплекса.
р=1, тогда получаем - то есть отрезок [0,1]
р=2, тогда , и x1+ x2=1, то есть, получаем треугольник
р=3, тогда , и x1+ x2 +x3=1, то есть, получаем тетраэдр.
Для удобства введем в симплексе
так называемые барицентрические координаты, которые определяются следующими
формулами
, тогда
Определение. Отображение симплекса в определяется формулой
,
где - барицентрические координаты в .
По определению
, то
формула (1.1) действительно определяет отображение
. Это отображение очевидным образом продолжается до дифференцируемого
отображения симплекса
в пространстве
в
пространство
.
Рассмотрим образы симплекса
в симплексе
при данном отображении:
Симплекс
задается неравенствами
,
и y
0+ y1=1.
Тогда при отображении
получаем следующее:
Таким образом, получаем следующее отображение
Сравним отображения
и
при условии
. Если
-
барицентрические координаты в
, то
Так как
, то можно переписать это в виде:
С другой стороны получаем
Отсюда получаем, что
при условии
1.2 Дифференцируемые р-цепи на многообразии и их границы.
Пусть
М Ц n-мерное многообразие класса
со счетной базой.
В дальнейшем будем считать дифференцируемое отображение Ц дифференцируемым
отображением класса
.
Определение. Дифференцируемым сингулярным р-симплексом на М
называется отображение
, которое может быть продолжено до дифференцируемого отображения некоторой
окрестности симплекса
в в многообразие М.
Дифференцируемой р-цепью называется конечная линейная комбинация
(с вещественными коэффициентами) сингулярных р-симплексов.
Бесконечной дифференцируемой р-цепью называется бесконечная сумма
сингулярных р-симплексов, то есть такое отображение
множества дифференцируемых сингулярных р-симплексов в вещественную прямую, что
множество
(где
- множество тех
s, для которых
) локально конечно. Другими словами, дифференцируемой р-цепью называется
комбинация
, где
, причем
- локально
конечно, что значит
- окрестность
x, такая, что
U имеет непустое пересечение с
конечным числом
.
Лемма:1.1 На компактном многообразии бесконечная сингулярная
цепь является конечной.
Доказательство:
Пусть
М Ц компактное пространство, то есть хаусдорфово пространство,
любое открытое покрытие которого содержит конечное подпокрытие. Тогда
- окрестность
x, такая, что
имеет непустое пересечение с конечным числом
. Так как М Ц компактное, то существует конечное число окрестностей
, которые покрывают все пространство М. Перебрав все окрестности, каждая из
которых имеет непустое пересечение с конечным числом
, получим , что на компактном многообразии бесконечная сингулярная цепь имеет не
более конечного числа ненулевых коэффициентов, то определение бесконечной
дифференцируемой р-цепи совпадает с определением дифференцируемой р-цепи.
Лемма доказана.
Множество всех р-цепей образует векторное пространство относительно сложения
цепей и умножения на скаляр. Определим эти операции. Суммой р-цепей будем
называть линейную комбинацию сингулярных р-симплексов, коэффициенты которой
получены из суммы коэффициентов при соответствующих р-симплексах (при
умножении на скаляр Ц соответствующие коэффициенты умножаются на скаляр).
Множество всех р-цепей будем обозначать
(множество бесконечных р-цепей
). Если
f Ц дифференцируемое отображение
М1 в
М
2 , то есть получаем
Полагая для симплексов
и продолжая отображение по линейности получим линейное отображение
. Для бесконечных цепей на
f накладываются дополнительные условия.
Отображение
f называется собственным, если
компактно для любого компактного
.
Пусть
Ц собственное отображение и
Ц цепь на
, то есть
, где
. Положим
, где
,
(1.2)
причем
, если
ни для какого
s. Покажем, что сумма (1.2) конечна. Так как
Ц симплекс на
, то
Ц сингулярный симплекс на
, тогда
. Учитывая
возможность того, что
такие, что
, и
приводя подобные члены, получаем, что сумма (1.2) конечна. Множество симплексов
t, для которых
,
локально конечно. Поэтому формула (1.2) определяет бесконечную р-цепь на
.
Пусть
s Ц р-симплекс, тогда
- (р-1) Ц симплекс. Определим границу симплекса
s формулой
. То есть граница р- симплекса определяется (р-1)-симплексами, а знак указывает
направление обхода границы.
В качестве примера рассмотрим 2-симплекс:
Продолжим
по
линейности до отображения
. Для бесконечных цепей отображение определяется аналогично:
,
.
То есть для каждой р-цепи
с (р-1)-цепь
сопоставляет (р-1)-мерному сингулярному симплексу
t число
. Тогда и в случае конечных и в случае бесконечных цепей имеет место соотношение
.
Из определения р-цепи следует, что равенство
достаточно доказать для любого симплекса, тогда оно верно и для любой цепи.
Пусть
s есть q-мерный симплекс. Если
, то доказывать нечего. Если
, то
.
Так как
, то в нашем случае получим
, если
.
Тогда
положим
.
Таким образом, равенство
доказано.
1.3 Интегралы по р-мерным цепям.
Определение. р-цепь с, удовлетворяющая условию
называется циклом; р-цепь вида
, где d Ц некоторая (р+1)-цепь называется границей.
Равенство
говорит о
том, что пространство границ есть подпространство пространства циклов.
Определение. Факторпространство пространства циклов по
пространству границ называется р-мерной группой гомологий и обозначается
. Для бесконечных цепей р-мерная группа гомологий обозначается
Из определения следует, что если
, то отображение
перестановочно с
.
Поэтому
переводит
циклы в циклы, границы в границы.
Теперь рассмотрим дифференциальные формы и операцию внешнего дифференцирования
Определение. Носителем формы ω называется наименьшее
замкнутое множество, вне которого она равна нулю.
Определение. Дифференциальная р-форма ω называется
замкнутой, если и
точной, если .
Замкнутые формы будем называть коциклами, точные Ц кограницами.
Из равенства
следует, что пространство кограниц есть подпространство пространства коциклов.
Определение. Факторпространство замкнутых р-форм по точным
р-формам называется р-мерной группой когомологий (де Рама) многообразия М и
обозначается
Определение. Факторпространство замкнутых р-форм с компактным
носителем по точным р-формам с компактным носителем называется р-мерной группой
когомологий с компактным носителем многообразия М и обозначается
Заметим, что для компактного многообразия носитель формы всегда является
компактным множеством. Тогда группа когомологий совпадает с группой
когомологий с компактным носителем.
Определим интеграл от р-формы по р-цепи:
Определение. Пусть s Ц сингулярный р-симплекс, а
Ц дифференциальная форма степени р. Форма
определена в некоторой окрестности евклидова р-симплекса
. Допустим, что,
где - стандартные
координаты в .
Положим по определению,
(1.3)
Продолжим (1.3) на любую конечную р-цепь по линейности. В общем случае нельзя
интегрировать произвольную р-форму по бесконечной р-цепи, так как это может
привести к расходящемуся бесконечному ряду.
Если ω Ц форма с компактным носителем, то для любой бесконечной цепи
сумма
имеет только конечное число ненулевых членов и поэтому определена.
Пусть
-
собственное дифференцируемое отображение. Из определения следует, что
, так как
и
.
1.4 Теорема Стокса.
Теорема Стокса. Для любой р-цепи с и (р-1)-формы
(соответственно бесконечной р-цепи с и (р-1)-формы с компактным носителем)
справедливо равенство
Доказательство.
Благодаря линейности по
с обеих частей формулы
достаточно рассмотреть случай
, где
- сингулярный
р-симплекс. В этом случае наша формула сводится к равенству
,
(1.4)
где
, а
рассматривается как сингулярный (р-1)-симплекс в
. По определению
.
Достаточно доказать формулу (1.4) для каждого члена этой суммы. Таким
образом, задача сводится к проверке равенства
.
(1.5)
Так как
, то в
правой части останутся только члены с
и
. Пусть
Ц евклидовы координаты в
. Тогда
и
.
В соответствии с определениями (1.5) сводится к равенству
.
Из равенства
следует, что интегралы точной формы по циклу и замкнутой формы по границе равны
нулю. Таким образом, справедливы следующие следствия:
Следствие 1. Билинейное отображение
,определяемое интегралом
, индуцирует билинейное отображение
.
То есть отображение
является билинейным и не зависит от выбора представителя.
Рассмотрим замкнутую р-форму ω и р-цикл с, такие что
и
. Тогда
.
Аналогично следствию 1 получаем:
Следствие 2. Билинейное отображение
,определяемое интегралом
, индуцирует билинейное отображение
.
Раздел 2. Нульмерные и n-мерные когомологии.
Согласно определению, не существует нульмерных кограниц. Поэтому нульмерная
группа когомологий совпадает с группой коциклов. Но 0-форма есть просто
функция, а 0-коцикл есть такая функция
f, что
, то есть локально постоянная функция. Таким образом,
является пространством всех локально постоянных вещественных функций на
М
. Поскольку любая локально постоянная функция постоянна на связных компонентах
многообразия
М, то
, где
Со(М) есть множество компонент в
М. В частности, если
М связно, то
.
Функция
f является
компактным коциклом, если она локально постоянна и
supp f компактен. Это означает, что
на некомпактных компонентах многообразия
М. Поэтому
, где
есть
множество компактных компонент многообразия
М. В частности, если
М
связно, то
для
компактного многообразия
М и
для некомпактного
М.
2.1 Вычисление когомологий на компактном многообразии.
Рассмотрим в
шар
радиуса
r. Тогда можно вычислить
для всех
р. Именно, справедлива
Теорема 2.1 (лемма Пуанкаре). Пусть w - форма степени
, определенная на ,
и пусть . Тогда
существует такая форма W, определенная на
, что .
Докажем теорему индукцией по размерности
n. Для
можно считать
; все
другие случаи тривиальны. Если
, то достаточно положить
, где
.
Сделаем следующее замечание:
Лемма 2.1. Если =0 и , то , где и .
Действительно,
,
где остальные члены не содержат
.
Перейдем к доказательству теоремы.
Пусть
Ц декартовы координаты в
, и пусть
- отображение, задаваемое формулами
,
,
где
- декартовы
координаты в
.
Тогда
для
и
. Пусть
р
Ц отображение шара
на
, определяемое
формулой
для
.
Имеем
. По
предположению индукции
для некоторой формы
на
. Положим
. Где
и
- формы от
. Определим форму W следующими условиями:
1.
2.
W=0,
3.
В терминах координат
условие 2. означает, что форма W может быть записана в виде
Условие 1. означает, что
Условие 2. означает, что
, если
.
Отсюда видно, что существует единственная форма W, удовлетворяющая условиям
1,2,3, которая может быть найдена с помощью интегрирования по
. Мы утверждаем, что
. Действительно,
.
Но
есть дифференциальная форма, не содержащая
. Поэтому
,
где
не зависит от
. Поскольку
, мы можем применить лемму 2.1. Таким образом,
, где
и
.
С другой стороны,
. Значит,
и
. Другими словами,
, что и доказывает теорему 2.1.
Следствие 2.1. для .
В доказательстве теоремы 2.1. коэффициенты формы W из коэффициентов формы w
интегрированием. Поэтому, если коэффициенты формы w дифференцируемо зависят
от некоторых дополнительных параметров, то форма W также дифференцируемо
зависит от этих параметров.
Следствие 2.2. Если в теореме 2.1. форма w дифференцируемо зависит от
параметров, то есть
, где Ц
дифференцируемые функции от
и (оператор d
берется по ), то
, где , причем
- дифференцируемые функции всех n+l переменных.
2.2 Вычисление когомологий с компактным носителем.
Мы хотим вычислить
для любого многообразия
М.
Лемма 2.2. Пусть w - такая n-форма, определенная на , что
1. supp, где - куб
2. .
Тогда мы можем найти такую (n-1)-форму W, что
3. supp,
4. .
Доказательство:
Доказательство проведем с помощью индукции. Для любой
k-формы p,
выраженной через
,
обозначим символом
максимум абсолютных значений ее коэффициентов в
. Мы будем говорить, что семейство форм
дифференцируемо зависит от
t, если каждый коэффициент есть
дифференцируемая функция от
. Здесь
t обозначает
s-мерный параметр,
. Наше индуктивное предположение состоит в следующем:
Пусть -
семейство форм на ,
дифференцируемо зависящее от t. Предположим, что для каждого значения t форма
удовлетворяет условиям 1. и 2. Тогда существует такое дифференцируемое семейство
форм ,
удовлетворяющее условию 3., что
и
5. ,
где зависит только от n и r
Для
мы можем
написать
.
Определим функцию
равенством
.Очевидно, что
есть
дифференцируемое семейство 0-форм, удовлетворяющих условиям 3., 4. и 5.
Допустим, что предположение индукции выполнено для
n-1. Пусть
.
И пусть
есть
положительная форма на
, такая, что
supp
и
. Рассмотрим формы
на
(зависящие от
параметров
),
определяемые формулой
.
(2.1)
Они образуют дифференцируемое семейство
-форм, удовлетворяющее предположению индукции. Кроме того,
, если
. Поэтому мы
можем написать
(2.2)
Пусть
, где
Ц дифференцируемые функции на
. Определим форму
равенством
,
так что
, где
есть вложение
, заданное формулами
.
При вычислении формы
встретятся два типа членов: содержащие частные производные по
содержащие частную производную по
. Умножением на
мы
избавимся от членов, содержащих
, и, значит для каждого значения
будем иметь
, где
р есть проекция
вдоль
. Положим
. Тогда
. Положим
.
(2.3)
Имеем
. Но
, поскольку p есть (n-1)-форма на
. Поэтому
.
(2.4)
Далее, формы
p и
, а значит, и форма
обращаются в нуль при
. Если
или
, то последний интеграл также обращается в нуль, поскольку
.
Форма
обращается в нуль, если
, так как по индуктивному предположению 5.
при
.
Наконец, формы встречающиеся в правой части формулы (2.3), очевидно образуют
дифференцируемое семейство форм и удовлетворяют оценке 5., где
зависят от
и
от выбора
j. Лемма доказана.
С помощью леммы 2.2. доказывается
Лемма 2.3. Если М Ц связное n-мерное многообразие, то
есть либо R, либо {0} (то есть
не более чем одномерно).
Пусть
- такой атлас
на
М, что каждая окрестность
имеет вид
. Пусть W
- такая
n-форма, что
supp
и
. Лемма будет
доказана, если для любой
n-формы w с компактным носителем мы найдем
такое вещественное число
с, что
,
(2.5)
где
есть
(n-1)
-форма с компактным носителем. Пусть
- разбиение единицы, подчиненное покрытию
. Тогда
- конечная
сумма, и достаточно провести доказательство для каждого слагаемого в
отдельности. Поэтому можно считать, что
supp
для некоторого
j. Пусть
р Ц точка из
, а
q Ц из
.
Пусть
Ц такая
кривая, что
и
. Покроем
конечным
числом окрестностей
. Изменив, если потребуется, их нумерацию, мы можем считать, что это окрестности
, причем
Æ
Пусть
Ц такие
формы, что
supp,
.
Положим
.
Рассмотрим формы
и
на
с носителями в
. Поскольку
,
существуют константы
такие, что
. По лемме 2.2.
,
(2.6)
причем
supp.
Форма
определена в
и имеет носитель в
.
Определим на
М форму
, полагая
вне
и
на
. Тогда равенство (2.6) можно переписать в виде
.
(2.7)
Складывая с подходящими весами равенства (2.7) при
, мы получим равенство (2.5) , где
.
Литература.
1. Александров П.С. "Введение в теорию множеств и общую
топологию", Москва
2. Александров П.С., Пасынков Б.С. "Введение в теорию
размерности", Москва
3. Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. "Риманова геометрия", Санкт-
Петербург, Наука, 1994
4. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. "Современная
геометрия", Москва
5. Келли Дж. "Общая топология", Москва
6. Колмогоров А.Н., Фомин В.С "Элементы теории функций и
функционального анализа", Москва
7. Погорелов А.В. "Дифференциальная геометрия", Москва, Наука, 1969
8. Понтрягин Л.С. "Гладкие многообразия и их применение в теории
гомотопий", Москва, Наука, 1984
9. Постников М.М. "Группы Ли", Москва
10. Стернберг
11. Фоменко А.Т., Фукс Д.Б. "Курс гомотопической топологии", Москва,
Наука, 1989
