Читайте данную работу прямо на сайте или скачайте
Устойчивость и стабилизация движений относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях
Реферат
Дипломная работ содержит 59 страниц, 42 использованных источника, 3 рисунка.
УСТОЙЧИВОСТЬ, СТАБИЛИЗАЦИЯ, ЧАСТИЧНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ, ЧАСТИЧНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ, ПОСТОЯННО ДЕЙСТВУЮЩИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ, ЧАСТЬ ПЕРЕМЕННЫХ, ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА, НЕЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА.
Объект исследования - динамическая система.
Предмет исследования - стойчивость и стабилизация движения относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях.
Цель работы - исследование стойчивости и стабилизации линейных и нелинейных систем относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях; анализ научной и учебной литературы по теме исследования.
Методы исследования - в основу исследования теории стойчивости и стабилизации относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях положены основные задачи частичной стойчивости Ляпунова, Румянцева, Воротникова. При решении полученных математических задач используется метод, основанный на нелинейной замене переменных, метод функций Ляпунова, где рассматривается ряд теорем об устойчивости движения относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях.
Полученные результаты - проанализирована научная и учебная литература по исследуемой теме, приведены основные определения и теоремы и словия стойчивости движения твердого тела с одной неподвижной точкой при постоянно действующих возмущениях; с помощью метода функций Ляпунова рассмотрен ряд теорем об стойчивости движения относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях, приводится обобщение теорема Ляпунова - Малкина об стойчивости и (одновременно) экспоненциальной асимптотической стойчивости по части переменных по линейному приближению, рассмотрена оптимальная стабилизация одной нелинейной системы при наличии постоянно действующих возмущений, исследована математическая модель на словие стойчивости и стабилизации движения относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях.
Область применения - в нелинейной теории правления, механике, биологии, экономике, на стыке физики, химии и теории правления, в системах с распределенными параметрами (в частных производных), в стохастических, дискретных, также в абстрактных динамических системах в метрическом пространстве.
Содержание
Введение 7
1 стойчивость линейных систем 13
1.1 Определение и основные теоремы а
13
1.2 стойчивость движения твердого тела с одной неподвижной точкой 19
1.3 гебраический критерий асимптотической 23
1.4а словие стойчивости и асимптотической устойчивости при не
малых постоянных возмущениях 24
1.5 Обобщение теоремы Ляпунова - Малкин 30
2 стойчивость нелинейных систем 32
2.1 стойчивость адвижения аотносительно ачасти апеременных при
постоянно действующих возмущениях для нелинейных систем
(1 случай) 32
2.1.1 Основные определения и теоремы 32
2.1.2 Пример адвижения аголономной амеханической асистемы 36
2.1.3 Распространение принципа сравнения с вектор - функциейа
Ляпунова на задачу а- стойчивости апри апостоянно
действующих возмущениях 37
2.2 стойчивость движения относительно части переменных при
постоянно действующих возмущениях для нелинейных систем
(2 случай) 38
2.3 Оптимальная стабилизация одной нелинейной системы при
наличии постоянно действующих возмущений 40
3 стойчивость и стабилизация движения асимметричного твердого тел 45
3.1 Стабилизация по части переменных перманентного вращения асимметричного твердого тела посредством одного маховик 45
3.2 стойчивость и стабилизация движения асимметричного твердого
тел 47
3.3 Динамическое уравнение Эйлера, описывающее гловое движение твердого тела под действием управляющих моментов 51
3.4 Динамическое уравнение Эйлера, описывающее гловое движение твердого тела под действием постоянно действующих возмущений 52
Заключение 54
Список использованных источников 56
Введение
Дипломная работ посвящена разделу общей теории стойчивости, в котором, в отличие от традиционных исследований в этой области, рассматриваются задачи стойчивости и стабилизации динамических систем не по всем, лишь по отношению к заданной части характеризующих их переменных. Такие задачи естественным образом возникают в приложениях, как из требования нормального функционирования, так и при оценке возможностей системы.
Начиная с середины XX столетия эти задачи, затем и тесно связанные с ней задачи стабилизации по отношению к части переменных стали систематически разрабатываться в научных центрах России и бывшего Р, также Европы, США, Индии, Японии и Китая. Благодаря большой математической общности постановки указанные задачи являются междисциплинарными и естественным образом возникают при моделировании многих явлений и правляемых процессов в самых разных разделах науки: механике, физике, экономике, биологии, и других. Они часто называются также задачами частичной стойчивости (стабилизации).
Начиная с основополагающих работ В.В. Румянцева [28 - 31], которые привлекли к задачам устойчивости по отношению к части переменных внимание многих ченых, ведущим методом исследования является метод функций Ляпунова, оказавшийся весьма эффективным при анализе как теоретических, так и прикладных проблем.
Однако хотя во многих важных прикладных задачах метод функций Ляпунова и позволяет получить строгие и легко интерпретируемые словия стойчивости по части переменных, тем не менее, в целом вопросы конструктивного построения функций Ляпунова остаются малоизученными. В такой ситуации значительный интерес представляет как дальнейшее развитие метода в плане ослабления требований к функциям Ляпунова и казания конструктивных путей их построения, так и развитие других подходов к задачам стойчивости по отношению к части переменных.
Исследование стойчивости относительно части переменныха позволяет выявить дополнительные свойства модели, которые не видны при исследовании лполной стойчивости. Перечислим некоторые из обнаруженных к настоящему времени таких возможностей, не имеющих места при исследовании стойчивости по отношению ко всем переменным [6].
1 Допустимость стойчивости в малом одной группы переменных при больших начальных возмущениях другой их группы ( 
аили при больших
2 Возможность инвариантности свойств устойчивости по части переменных при сколь годно больших постоянно действующих возмущениях [27], действующих по некоторым каналам системы.
3 Допустимость асимптотического характера стойчивости по части переменных при постоянно действующих возмущениях [4, 5].
Развитие исследований, проведенных к настоящему времени, можно словно разделить на два этапа. Первый этап (конец 50-х - начало 70-х годов XX века) связан почти исключительно с развитием метода функций Ляпунова и подытожен (по работам [12, 21, 24, 28, 29, 31, 36, 38, а40, 41, 42]) в обзорной статье А.С. Озиранера и В.В. Румянцева [26], сыгравшей существенную стимулирующую роль в инициировании дальнейшего исследования проблемы стойчивости (стабилизации) по части переменных.
Начиная с середины 70-х годов прошлого столетия (второй этап исследований) круг вопросов, решаемых в рамках данной проблемы, значительно расширился. В числе их оказались следующие направления исследований.
1 Дальнейшее развитие метода функций Ляпунова применительно к задаче стойчивости и стабилизации по части переменных при постоянно действующих возмущениях (п.д.в.) для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Потребность в этом, в частности, возникла вследствие ряда выявленных на первом этапе исследований существенных трудностей при переносе основных теорема метода функций Ляпунова на случай задачи стойчивости аи стабилизации по части переменных при постоянно действующих возмущениях (Озиранер А.С, Румянцев В.В.[26], Гермаидзе В.Е., Красовский Н.Н. [10]).
2 В работах К. Кордуняну [37], Каримова А.У.[14], Озиранера А.С. [25], Мики К., Масамиси А., Шойси С. [39], Игнатьева А.О.[13] метод функции Ляпунов используется для решения задач стойчивости по части переменным при постоянно действующих возмущениях и сохранения стойчивости. Одной из особенностей задачи устойчивости и стабилизации по части переменных при постоянно действующих возмущениях является ее отличный, в сравнении со случаем стойчивости и стабилизации при постоянно действующих возмущениях по отношению ко всем переменным, характер взаимоотношений с задачей частичной стойчивости при структурных (параметрических) возмущениях. Это видно же на примере асимптотической стойчивости по отношению к части переменных линейной стационарной системы, которая, будучи стойчива по этим переменным при постоянно действующих возмущениях, может, вообще говоря, терять стойчивость по казанным переменным даже при малых возмущениях своих коэффициентов. Именно задачи частичной устойчивости (стабилизации), в отличии от задач стойчивости (стабилизации) по всем переменным, становятся строгой математической базой для многих важных современных исследований.
Объект исследования - динамическая система.
Предмет исследования - стойчивость и стабилизация движений относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях.
Цель исследования - анализ стойчивости и стабилизации динамических систем по отношению к части переменных.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
1) проанализировать научную литературу, посвящённую проблеме стойчивости и стабилизации движения при постоянно действующих возмущениях и применить эти исследования для решения практической задачи;
2) рассмотреть устойчивость и стабилизацию движений относительно частим переменных при постоянно действующих возмущениях для линейных систем;
3) раскрыть определение стойчивости и стабилизации движения относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях;
4)
рассмотреть основные теоремы, исследующие словия ;
5) рассмотреть устойчивость и стабилизацию движений относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях для нелинейных систем;
6) с помощью метода функций Ляпунова рассмотреть ряд теорем об стойчивости движения относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях;
7) рассмотреть оптимальную стабилизацию нелинейных систем при наличии постоянно действующих возмущений выявить
8) провести анализ стойчивости и стабилизации движений относительно части переменных для конкретной математической модели с использованием современных методов.
Дипломная работ состоит из 3 разделов.
Первый раздел посвящен задаче об стойчивости и асимптотической стойчивости движения относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях, когда некоторые из них могут не быть достаточно малыми. Единообразным приемом, основанным на нелинейной замене переменных и дифференциальных неравенствах, приводятся словия стойчивости движения твердого тела с одной неподвижной точкой при постоянно действующих возмущениях.
Далее показывается, что задача об стойчивости движения относительно части переменных (ряд известных результатов, исходным пунктом в которых является теорема Ляпунова - Малкина об стойчивости и (одновременно)
экспоненциальной асимптотической стойчивости по части переменных по линейному приближению [1].
Во 2 разделе дается исследование нелинейных систем. С помощью метода функций Ляпунова рассматривается ряд теорем об стойчивости движения относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях. Опираясь на широко известную теорему Н.Н. Красовского об оптимальной стабилизации [16, а285] и метод оптимальной стабилизации линейных неоднородных правляемых систем [15, 73-83] приводиться построение правления оптимально стабилизирующего множество относительно решений уравнения.
В третьем разделе рассмотрена стабилизация по части переменных перманентного вращения асимметричного твердого тела с помощью одного маховика. Показано, что пока гиростат совершает заданное движение, маховик находится в состоянии покоя (управляющий двигатель включен). При появлении малых постоянных возмущений специальные стройства формируют и прикладывают к маховику правляющий момент, в результате основное тело гиростата с течением времени возвращается в исходный режим стационарного вращения, сам маховик - в состояние покоя. Также рассмотрен пример стойчивости (стабилизации) и правления по части переменных гловым движением асимметричного твердого тела. Рассмотрен этот же случай при постоянно действующих возмущениях.
1 стойчивость линейных систем
1.1
Определение и основные теоремы
Пусть имеем линейную стационарную систему обыкновенных дифференциальных уравнений возмущенного движения
или в переменных 
(1.1.1)а
где 
Наряду с системой (1.1) рассмотрим лвозмущенную систему
(1.1.2)
разобьем на две группы и представим 
аи 
ав виде 
.
Определение 1.1.1 (Воротников В.И. [4]). Движение 
асистемы (1.1.1)
называется 
амогут быть казаны положительные числа 
(1.1.3)
выполняется на всех движениях системы (1.2), начинающихся в области
(1.1.4)
при любых значениях 
(1.1.5)
в области (1.1.3).
Если, кроме того, 
апри 
, то движение
асистемы (1.1.1)
называется асимптотически
Замечание 1.1.1 Если вектор 
ав (1.1.5)
удовлетворяют соответственно словиям 
аи 
асистемы (1.1.1) 
аопределение 
а- в определение
Замечание 1.1.2 Определение 
Замечание 1.1.3 Определение асимптотической а асогласно [19].
Рассмотрим матрицы
(1.1.6)
(1.1.7)
где 
-
линейно-независимые векторы-столбцы матрицы 
аневырожденная, 
Теорема 1.1.1 (Воротников В.И. [4]). Пусть движение асистемы (1.1)
асимптотически 
астроки с номерами 
анулевые, то движение аи вектор - функцию авходят соответственно переменные 
аи функции 
ас номерами 
Доказательство. Сделаем в системе (1.1) замену переменных
аимеет вид (1.1.7). В новых переменных уравнения системы (1.1.1), согласно [2, 7] распадаются на две группы:
причем а
а- мерный вектор 
(1.1.8)
полностью определяет поведение переменных 
асистемы (1.1.1).
Рассмотрим наряду с (1.1.8) систему
Движение 
а 
ане содержит возмущений
асистемы (1.1) аи вектор - функцию авходят соответственно переменные аи ас номерами
Следствие. Если движение асистемы (1.1)
асимптотически
Пример 1.1.1 Пусть уравнения возмущенного движения (1.1) имеют вид
(1.1.9)
Систему (1.1.8) в данном случае составят уравнения
Собственные числа матрицы
аимеют отрицательные части 
нулевая, поэтому,
согласно теореме 1.1.1, движение 
системы (1.1.9) 
а 
. Таким образом, невозмущенное движение системы (1.1.9) 
Пример 1.1.2 Рассмотрим уравнения возмущенного движения регулируемой системы в критическом случае двух нулевых корней
(1.1.10)
где 
а- постоянные числа, 
Введем новую переменную [3]
, где 
(1.1.11)
Известные словия устойчивости в целом невозмущенного движения системы (1.1.11) [17] будут,
согласно [3], достаточными словиями а любом конечном числе 
аможно сделать достаточно малой за счет подходящего выбора величины 
Пусть вектор - функции 
аи ав системе (1.1.2)
имеют вид
где 
аи 
а- постоянные векторы соответствующих размеров.
Допустим, что 
алинейно - независимые векторы - столбцы матрицы 
алинейно независимы. Рассмотрим систему алгебраических уравнений для определения 
а
Предположим, что
(1.1.12)
а (1.1.13)
где 
а- достаточно малые положительные постоянные.
Теорема 1.1.2 (Воротников В.И. [4]). Если движение асистемы (1.1.1)
асимптотически 
аи любых довлетворяющих словиям (1.1.13)
возмущениях 
астроки с номерами анулевые, то это движение асимптотически а- стойчиво, причем в вектор аи вектор - функцию авходят соответственно переменные 
аи функции ас номерами а.
Пример 1.1.3 Пусть уравнения возмущенного движения (1.1) имеют вид
(1.1.14)
Поскольку 
(1.1.15)
После введения новой переменной 
асистема
априводиться к виду
Поэтому при выполнении условий (1.1.13) невозмущенное движение системы (1.1.14) асимптотически 
Дальнейшим развитием проблемы стойчивости на класс правляемых систем является задача стабилизации движения. Эта задача имеет большое значение в связи с бурным развитием теории правления и ее обширными практическими применениями.
Рассмотрим систему уравнений возмущенного движения правляемого объекта
или, в переменных 
(1.1.16)
правые части определены и непрерывны в области
(1.1.17)
Вектор правляющих воздействий 
аищем в виде 
(1.1.18)
система (1.1.16) при аудовлетворяет ограничениям, наложенным на систему (1.1.18). Пусть 
в котором 
Задача оптимальной стабилизации. Найти вектор-функцию 
асистемы (1.1.16)
асимптотически стойчиво относительно 
1.2 Устойчивость движения твердого тела с одной неподвижной точкой
Рассмотрим движение тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой, вызванное начальными и постоянно действующими возмущениями. Уравнения возмущенного движения имеют вид
(1.2.1)
где 
а
.
Будем изучать устойчивость невозмущенного движения системы (1.2.1) при ряде предположений относительно вида функций 
10. 
т.е. система (3.1) имеет вид
(1.2.2)
Введем новую переменную 
аили 
аимеем следующие оценки для системы (3.2):
) 
в области
(1.2.3)
б) 
в области
а
(1.2.4)
Из оценок а), б) следует,
что переменная 
асистемы (3.2) будет описываться уравнением
поэтому при словии 
адвижение 
асистемы (1.2.2)
асимптотически 
Если 
аили 
Теорема 1.2.1 (Воротников В.И. [4]). Пусть выполняется одно из трех словий
(1.2.5)
Если то движение
асистемы (1.2.2)
асимптотически 
аили 
то это движение
20. 
- кусочно-непрерывные функции 
а. Система (1.2.1) имеет вид
(1.2.6)
При словии аили аимеем оценки для системы
(3.6)
в области (3.3), (3.4) соответственно.
Поэтому переменная асистемы (1.2.6)
описывается уравнением
и, следовательно, выполняется неравенство
(1.2.7)а
Теорема 1.2.2 [4]. Пусть выполняется одно из трех условий (1.2.5).
Если
то движение асистемы (1.2.6)
асимптотически
30. 
, где 
- непрерывная функция в области 
Система (1.2.1)
примет вид
(1.2.8)
При словии аили аимеем оценки для системы (1.2.8)
(1.2.9)
в области (1.2.3), (1.2.4) соответственно.
Рассмотрим систему
, (1.2.10)
являющуюся системой сравнения для (1.2.9).
Теорема 1.2.3 (Воротников В.И. [4]). Пусть выполняется одно из двух условий: аили
то движение асистемы (1.2.8)
асимптотически
40. 
непрерывные по совокупности переменных функции в области 
аимеет вид
(1.2.11)
При словии аили аимеем оценки для системы (1.2.11)
(1.2.12)
в области (1.2.3), (1.2.4) соответственно.
Допустим, что
,
(1.2.13)
где 
Теорема 1.2.3 (Воротников В.И. [4]). Если движение 
асистемы
симптотически стойчиво по Ляпунову в целом, то движение асистемы (1.2.11)
асимптотически
50. 
, 
.
Теорема 1.2.4 (Воротников В.И. [4]). При выполнении словий 
, адвижение 
асистемы (1.2.1) 
В п.п. 10-50а а анайдется положительное число 
(1.2.14)
следует 
апри всех 
аили при 
, где 
1.3
Алгебраический критерий асимптотической
Сформулируем алгебраический критерий асимптотической асистемы (1.1.1). Допустим,
что 
аследующего вида:
)
строки матрицы 
аразмера 
б)
столбцы матрицы 
аразмера 
а(пусть эти столбцы матрицы аимеют номера 
а);
в)
строка с номером 
аразмера 
аявляется строкой
с номером 
аматрицы 
анулевые;
г) 
а единичная матрица размера
Теорема 1.3.1 (Воротников В.И. [4]). Для асимптотической асистемы (1.1) необходимо и достаточно, чтобы все корни уравнения
(1.3.1)
имели отрицательные вещественные части.
Замечание. Уравнение (1.3.1) является характеристическим уравнением введенной в [7] системы уравнений 
Пример 1.3.1
Пусть система (1.1.1) имеет вид (1.1.14). В данном случае 
аи 
Составим матрицы 
Уравнение (1.3.1) имеет вид
(1.3.2)
Корни уравнения (1.3.2) отрицательны, поэтому движение 
асистемы (1.1.14)
асимптотически
1.4 Условие стойчивости и асимптотической стойчивости при не малых постоянных возмущениях
Если движение асистемы
(1.4.1)
симптотически стойчиво по Ляпунову,
то это движение стойчиво при п.д.в., малых по величине (интегрально), малое изменение коэффициентов в системе (1.4.1) сохраняет асимптотическую стойчивость
[15, 19]. Если же движение системы (1)
асимптотически стойчиво относительно
1 это движение стойчиво относительно апри п.д.в., причем часть функций 
2 сколь годно малое изменение коэффициентов системы (1.4.1) может приводить к неустойчивости по
Наряду с системой (1.4.1) рассмотрим лвозмущенную систему
а (1.4.2)
где вектор - афункции а- постоянно действующие возмущения. (Вообще говоря 
Компоненты,
составляющие вектор аи вектор - функцию аи ав виде 
аи вектор - функции
Определение 1.4.1 (Воротников В.И [5]). Движение асистемы (1.1.1)
называется
1) 
, если для любого числа амогут быть казаны положительные числа
а
, 
(1.4.3)
выполняются на всех движениях системы (2), начинающихся в области
(1.4.4)
при любых значениях
(1.4.5)
в области (1.4.3).
2) асимптотически стойчивым относительно апри постоянно действующих возмущениях (в целом по ), если это движение стойчиво в смысле определения 1.4.1, в котором
(
и, кроме того,
апри .
Замечание 1.4.1 В отличие от ранее введенных определений стойчивости при п.д.в. (как по всем, так и по части переменных), в определении 1.4.1 допускаются сколь годно большие значения не только части компонент вектора
Замечание 1.4.2 Асимптотическая стойчивость по всем переменным невозмущенного движения асистемы (1.4.1) при п.д.в. 
а
а
невозможна даже в случае малых Поэтому введенное определение асимптотической стойчивости при п.д.в. имеет лишь по отношению к части компонент фазового вектора динамических систем.
Рассмотрим матрицы
(1.4.6)
вида:
а) строки матрицы 
аразмера 
агде 
б) столбцы матрицы 
аразмера 
а(пусть эти столбцы имеют номер 
ав матрице
в) строка с номером 
а
аматрицы 
аразмера 
аматрицы 
остальные строки матрицы 
г) 
где 
(1.4.7)
где 
аневырожденная,
Для рассматриваемого класса 
авектор - функции 
ав системе (1.4.2)
всегда можно представить в идее
где 
- постоянные векторы соответствующих размеров.
Теорема 1.4.1 (Воротников В.И. [5]). Пусть все корни уравнения
(1.4.8)
имеют отрицательные вещественные части.
1 Если у матрицы 
астолбцы с номерами а- нулевые, то движение
асистемы (1.4.1)
устойчиво относительно апри п.д.в. в целом по 
аи вектор - функцию авходят соответственно переменные аи функции ас номерами 
2 Пусть столбцы матрицы линейно независимы,
причем в области
выполняются словия
(1.4.9)
(1.4.10)
в которых 
а- элементы матрицы 
- достаточно малая положительная постоянная. Тогда движение асистемы (1)
асимптотически стойчиво относительно апри малых п.д.в,
удовлетворяющих словиям (1.4.9), (1.4.10). Если, кроме того, у матрицы астолбцы с номерами аи
Следствие 1.4.1 (Воротников В.И. [5]). Пусть все корни уравнения (1.4.7) имеют отрицательные вещественные части. Тогда движение асистемы (1.4.1)
устойчиво относительно апри п.д.в., малых в каждый момент времени.
Следствие 1.4.2 (Воротников В.И. [5]). Если все корни уравнения (1.4.7) имеют отрицательные вещественные части, столбцы матрицы алинейно независимы и выполняется тождество 
адвижения асистемы (1) при малых п.д.в. 
анеобходимо и достаточно выполнения словия (1.4.9).
Условие теоремы 1.4.1 о существовании нулевых столбцов в аможно ослабить при предположениях теории инвариантности [27]
(1.4.11)
Однако в этом случае ни одно из значений вектора 
ане может быть, вообще говоря, произвольным по величине.
Следствие 1.4.3 (Воротников В.И. [5]).
Пусть все корни уравнения (1.4.7) имеют отрицательные вещественные части, а вектор - функции ав системе (2)
удовлетворяют соотношениям (1.4.11). Если, кроме того, выполняются равенства
(1.4.12)
то движение асистемы (1.4.1)
асимптотически стойчиво относительно апри п.д.в. в целом по 
Замечание 1.4.3 а
1 В системе (1.4.9) 
апостоянных величин,
входящих в векторы 
ауравнениями. Поскольку столбцы с номерами ав матрице аявляются линейно независимыми, то считая заданными компоненты вектора аи те компоненты из 
акомпонент из
2 Предположение о линейной независимости столбцов матрицы аво второй части теоремы 1.4.1 и следствии 1.4.2 не имеет принципиального значения и сделано лишь для прощения словий и доказательства.
3 Для асимптотической асистемы (1.4.1) будет 
асистемы 
асправедливо соотношение 
апри .
Пример 1.4.1 Пусть уравнения возмущенного движения (1) имеют вид
(1.4.13)
В данном случае
и все корни уравнения (2) имеют отрицательные вещественные части. Поскольку вторая строка матрицы асистемы (1.4.13)
устойчиво относительно апри п.д.в. в целом по 
(1.4.14)
и, следовательно, нулевое решение системы (1.4.13) асимптотически стойчиво относительно ав целом по апри п.д.в.,
удовлетворяющих словиям (1.4.10) сводиться к тому, что малые постоянные возмущения 
1.5 Обобщение теоремы Ляпунова - Малкина
Рассмотрим систему в виде двух групп уравнений
(2.3.1)
Здесь
асоответствующих размеров, элементы которых являются непрерывными при 
афункциями. Нелинейные возмущения 
ав области 
анепрерывны и удовлетворяют словиям теоремы существования и единственности решений.
Обозначим 
арешение системы (1),
удовлетворяющее начальному словию 
Определение
2.3.1 [32, 36]. Невозмущенное движение 
асистемы (2.3.1) равномерно устойчиво по Ляпунову и (одновременно) экспоненциально асимптотически 
если для любых значений 
анайдутся числа 
Предположим, что выполнены словия [32]
, (2.3.2)
апри 
Теорема 2.3.1 Пусть нулевое решение линейной системы
(2.3.3)
равномерно устойчиво по Ляпунову и (одновременно) экспоненциально асимптотически устойчиво. Тогда при выполнении словий (2.3.2), этим же свойствам стойчивости обладаета невозмущенное движение анелинейной системы
(2.3.1).
2 стойчивость нелинейных систем
2.1 стойчивость движения относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях для нелинейных систем (1 случай)
2.1.1 Основные определения и теоремы
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений возмущенного движения
(2.1.1.1)
в которой [26] 
а.Предположим, что:
) правые части системы (2.1.1) в области
(2.1.1.2)
непрерывны и довлетворяют словиям единственности решения;
б) решения системы (2.1.1.1)
- продолжимы.
Наряду с системой (2.1.1.1) рассмотрим лвозмущенную систему
(2.1.1.3) относительно которой предполагается выполнение словий а) и б), причем, вообще говоря, 
арешение системы (2.1.1.3),
определенное начальными словиями 
Обобщая введенные в работах [9], [10], [15], [19], [20] понятия на задачу стойчивости относительно части переменных, приведем следующие определения.
Определение 2.1.1.1 (Озиранер А.С.[25]). Движение асистемы (2.1.1.1)
называется 
а(соответственно 
аили 
) существуют 
а(соответственно 
аили ), такие, что всякое решение аса 
алюбой системы (2.1.3),
для которой в области (2.1.1.4) выполняется словие (2.1.5)
(2.1.1.4)
а (2.1.1.5)
(соответственно (2.1.1.6) и (2.1.1.7))
(2.1.1.6)
а
(2.1.1.7)
при всех аудовлетворяет неравенству 
Определение 2.1.1.2 (Озиранер А.С.[25]). Если в определении 2.1.1.1 для любого 
аили для любого 
а(соответственно 
аили ) не зависящими от аустойчивость при п.д.в., малых в каждый момент времени (малых в среднем или малых интегрально)
называется равномерной.
Если в определении 2.1.1.1
заменить неравенство аусловием 
а(
(2.1.1.8)
в предположении, что оно инвариантно в силу системы (2.1.1.1). Ясно, что из стойчивости при п.д.в. инвариантного множества (2.1.1.8) следует Цустойчивость при п.д.в. движения асистемы (2.1.1.1).
Очевидно также, что из устойчивости (равномерной стойчивости) при п.д.в., малых в среднем, вытекает устойчивость (равномерная стойчивость) при п.д.в., малых в каждый момент времени. А это, в свою очередь, влечет за собой стойчивость (равномерную устойчивость) при п.д.в., малых интегрально.
Рассмотрим теоремы, которые доказал Озиранер А.С. [25], с помощью метода функций Ляпунова.
Теорема 2.1.1.1 (Озиранер А.С.[25]). Предположим,
что существует функция 
(2.1.1.9) довлетворяющая неравенствам
(2.1.1.10)
(2.1.1.11) производная по времени,
от которой в силу системы (1.1.1)
(2.1.1.12)
Здесь 
а- непрерывные монотонно возрастающие функции, обращающиеся в нуль при 
асистемы (1.1.1)
равномерно аустойчиво при п.д.в.,малых в каждый момент времени.
Теорема 2.1.2 (Озиранер А.С.[25]). Предположим, что существует функция
(2.1.1.13)
(2.1.1.14)
Тогда инвариантное [24], [26] в силу системы (2.1.1.1) множество (2.1.1.8) равномерно стойчиво при постоянно действующих возмущениях, малых в среднем.
Замечание 2.1.1.1 Теоремы 2.1.1.1 и 2.1.1.2 обобщают на задачу стойчивости относительно части переменных результаты, полученные в [10], [15], [19];а кроме того, теорема 2.1.1.2 силивает теорему А.У. Каримова[14].
Следствие 2.1.1.1 Если в области (2.1.1.2) функции 
аи 
анепрерывны и ограничены, инвариантное множество (2.1.1.8) равномерно асимптотически устойчиво, то оно равномерно стойчиво при постоянно действующих возмущениях,
малых в среднем.
Действительно, при сделанных предположениях, как показано в [24], существует функция
Теорема 2.1.1.3 (Озиранер А.С. [25]). Предположим,
что для любого 
авыполняется словие 
аи 
(2.1.1.15) причем для любых 
атаких, что 
апри 
,
то движение асистемы (2.1.1.1)
равномерно аустойчиво при п.д.в.,
малых в каждый момент времени.
Теорема 2.1.1.4 (Озиранер А.С.[25]). Предположим, что существует функция
(2.1.1.16)
Тогда движение аравномерно
Если, кроме того, аудовлетворяет неравенству (2.1.1.13), то инвариантное множество (2.1.1.8) равномерно устойчиво при п.д.в., малых интегрально.
Замечание 2.1.1.2 Первое тверждение теоремы 2.1.1.4 обобщает на задачу устойчивости относительно части переменных результат, полученный в [9].
Замечание 2.1.1.3 В теоремах 2.1.1.1-2.1.1.4 можно отказаться от гладкости функции 
аследует понимать обобщенную производную[11, 32].
2.1.2 Пример движения голономной механической системы
Пример 2.1.2 Рассмотрим уравнения движения голономной механической системы в лагранжевых координатах
а (2.1.2.1)
Здесь 
- кинетическая энергия (
а- форма степени аотносительно 
Предположим, что система (3.1) имеет частное решение (положение равновесия)
(2.1.2.2)
Если ане зависит явно от времени, то уравнения (2.1.17) допускают (обобщенный) интеграл энергии
а (2.1.2.3)
Производная 
а (2.1.2.4)
(2.1.2.5)
Если 
аопределенно положительна по 
апри п.д.в. 
Если же, кроме того,
наложенные на систему связи не зависят от времени (
адопускает бесконечно малый высший предел по 
аограничены, то инвариантное в силу системы (2.1.2.1) множество 
2.1.3 Распространение принципа сравнения с вектор - функциейа Ляпунова на задачу
На задачу Цустойчивости при п.д.в. может быть распространен принцип сравнения с вектор - функциейа Ляпунов [20, 22] в форме Л. Хатвани [34].
Теорема 2.1.3.1 ( Озиранер А.С.[25]). Предположим, что:
I
Существует вектор - функция 
1) аи 
2) для некоторого 
(2.1.3.1)
3) 
4) 
аудовлетворяет системе дифференциальных неравенств
(2.1.3.2)
II
1)
Вектор - функция 
аопределена и непрерывна в области
где 
2)
каждая из функций 
3) 
Обозначима 
аи рассмотрим вспомогательную систему
(2.1.3.3)
если при словии 
арешение (
а асистемы (2.1.1.1) у- стойчиво (равномерно у-устойчиво) при п.д.в., малых
(соответственно) в каждый момент времени, в среднем или интегрально.
2.2 стойчивость движения относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях для нелинейных систем (2 случай)
Рассмотрим уравнения
(2.2.1)
где 
а- вектор - функции, характеризующие постоянно действующие возмущения, которые не обращаются в нуль при 
. Функции 
анепрерывные в области
(2.2.2)
и довлетворяющие словию, что уравнения (2.2.1) имеют при заданных начальных словиях единственное решение.
Здесь 
аобозначает евклидову норму вектора. Наряду с евклидовой нормой рассмотрим эквивалентную ей норму:
если 
абудем обозначать буквой 
арешение системы (2.2.1),
удовлетворяющее начальному словию 
- его
Определение 2.2.1 (Игнатьев А.О.[13]). Невозмущенное движение (тривиальное решение 
ауравнений (1)) назовем устойчивым при п.д.в. по отношению к 
(как бы мало оно ни было) существуют два других положительных числа 
аи 
для которых
апри произвольных 
ав области 
анеравенству 
В этом определении предполагается, что постоянно действующие возмущения и соответствующие им функции 
аи 
амалы при всех значениях
Определение 2.2.2 (Игнатьев А.О.[13]). Тривиальное решение ауравнений (2.2.1)(невозмущенное движение) назовем стойчивым при п.д.в., ограниченных в среднем, по отношению к
Т можно казать два таких числа 
аи 
(2.2.3) где 
а- какая-либо непрерывная функция, довлетворяющая словиям
а
апри (2.2.4) каждое решение 
ас начальными данными 
аудовлетворяет неравенству апри всех
Замечание 2.2.1 Из определений 2.2.1, 2.2.2 следует, что решение, стойчивое при п.д.в., ограниченных в среднем, относительно 
аиз определения 2.2.2
связано с числом 
аиз определения 2.2.1
соотношением 
Определение 2.2.3 [13]. Будем говорить, что решения системы (2.2.1) обладают свойством (R), если при некотором достаточно малом числе 
адля любого анайдется 
атакое, что из 
аследует адля всех 
выполняется равномерно по 
аиз области .
Теорема 2.2.1 [13]. Пусть в области (2.2.2)
частные производные 
асуществуют, непрерывны и ограничены.
Кроме того, решения системы (2.2.3) обладают свойством (R), и выполняется тождество 
Замечание 2.2.2 стойчивость при п.д.в., ограниченных в среднем по отношению к ав теореме 2.2.1,
доказана при произвольном значении
Теорема 2.2.2 [13]. Пусть при словиях теоремы 1 выполнено равенство
(2.2.5)
Тогда наряду с стойчивостью при п.д.в., ограниченных в среднем относительно
(2.2.6) а
Если предельное соотношение (2.2.5) выполнено равномерно относительно 
аиз области а
.
2.3 Оптимальная стабилизация одной нелинейной системы при наличии постоянно действующих возмущений
Рассмотрим нелинейное управляемое уравнение при нелич постоянно действующего возмущения
(2.3.1)
где 
В качестве критерия качества выберем функционал вида
(2.3.2)
Здесь 
аи 
Построение правления оптимально стабилизирующего множество 
аотносительно решений уравнения (2.3.1) проведем, опираясь на широко известную теорему IV Н.Н. Красовского об оптимальной стабилизации [16, а285] и метод оптимальной стабилизации линейных неоднородных правляемых систем [15, 73-83].
Функцию Ляпунова выберем в виде
(2.3.3)
Здесь 
аесть положительная вещественная постоянная, 
Будем считать, что выполняется неравенство
(2.3.4)
Составим выражение [19]
.
Из определения подынтегрального выражения функционала (2.3.2) следует, что при 
авыражение 
определяется в виде
С четом выражения (2.3.3)
Следовательно, оптимальная функция Ляпунова аудовлетворяет уравнению
(2.3.5)
Для определения коэффициентов 
аи функций 
априравняем коэффициенты при одинаковых степенях ав уравнении (2.3.5). в результате получим систему алгебро-дифференциальных уравнений
,
(2.3.6)
Решая систему, получим 
Проанализируем решение системы (2.4.6).
) Первое уравнение системы (2.4.6) является тем же уравнением, которое получается при решении задачи оптимальной стабилизации для уравнения
и критерия качества
Решение этой задачи существует при 
Отметим, что предпоследнее уравнение системы (2.3.6) получается из уравнения
(2.3.7)
где 
аявляется функцией Ляпунова асимптотически стойчивого уравнения
(2.3.8)
, следовательно, уравнение (2.3.7) имеет решение.
Решение уравнения (2.3.7)
находим путем интегрирования по переменной 
ав пределах от адо 
ана решениях 
апри начальном словии 
ауравнения (2.3.8),
т.е.
(2.3.9)
Данный интеграл в силу ограничений на функцию аи степенной устойчивости уравнения (2.1.7) равномерно абсолютно сходится относительно величин аиз произвольного отрезка начальных возмущений. С четом равенства (2.3.9) определим
Тогда
Этот интеграл также абсолютно сходится, исходя из ограничения на аи
б)
Следует особо отметить, что система (2.3.6) отличается от системы подобного типа в случае линейных правляемых систем тем, что аи аотсутствуют. В данном случае они определяются из системы (2.3.6).
Помимо того, что функции аи аопределяются из системы (2.3.6), они дополнительно должны довлетворять неравенству (2.3.4).
Необходимость этого следует из того, что 
адолжна быть в соответствии с теоремой IV определенно-положительной функцией.
Примечание. Неравенство (2.3.4) моделируется.
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 2.3.1 Пусть функция Ляпунова имеет вид (2.3.3) и выполнены словия:
)
б) справедливо неравенство (2.3.4), где аи аопределяются из системы (2.3.6), тогда задача (1)-(2) имеет единственное решение.
3 стойчивость и стабилизация движения асимметричного твердого тела
3.1 Некоторые сведения об
Для исследования устойчивости и стабилизации движения асимметричного твердого тела необходимо ввести некоторые сведения об
Введем два класса вспомогательных функций:
1
однозначные, непрерывные, довлетворяющие словию 
афункции
(3.1.1)
непрерывными частными производными по 
взятые в силу системы (2.1.1);
2 Непрерывные,
монотонно возрастающие при 
афункции 
атакие, что 
Определение 3.1.1 Функция 
аназывается афункция 
(3.1.2)
Приведем некоторые теоремы об стойчивости и асимптотической стойчивости относительно части переменных.
Теорема 3.1.1 [25] Если для системы 
авозможно казать функцию аудовлетворяющую в области 
аусловию
а
Систему
(2.1.1) представим в виде 
аи для любых чисел 
арассмотрим множество
Теорема 3.1.2 ([39]) Если 
аи, кроме того, для каждого анайдутся числа 
аи 
атакие, что 
апри 
симптотически
Теорема 3.1.3 ([41], [40]) Если 
аудовлетворяет словию
(3.1.3)
где 
симптотически
Теорема 3.1.4 ([40]) Если 
амножество 
аинвариантно, аудовлетворяет словию
(3.2.1.2), причем множество 
ане содержит целых траекторий, то движение симптотически
Теорема 3.1.5 ([25]) Если , аудовлетворяет словию
(3.1.3), причем множество 
ане содержит целых траекторий, кроме симптотически
Теорема 3.1.6 ([31], [30]) Если для системы (1.1.1)
возможно казать функцию 
аусловиям
то движение симптотически
Теорема 3.1.7 ([36], [6]) Для экспоненциальной асимптотической
где аи
3.2 Стабилизация по части переменных перманентного вращения асимметричного твердого тела посредством одного маховика
Стабилизация стационарных движений твердого тела (космического аппарата) часто осуществляется посредством связанных с телом вращающихся масс: маховиков и (или) силовых гироскопов.
В процессе стабилизации казанные массы принимают на себя возмущения, появляющиеся в результате отклонения тела от заданного состояния [5].
При проведении частичной (по части переменных) стабилизации стационарных движений основного тела, достаточно во многих практически важных случаях, связанные с телом массы могут только переводить (не принимая на себя) возмущения на неконтролируемую при стабилизации часть переменных.
Указанная ситуация не противоречит неизменности полного кинетического момента системы относительно центра масс в отсутствии внешних сил [6].
Пусть имеем асимметричное твердое тело, вдоль одной из главных центральных осей инерции которого закреплена ось вращения однородного симметричного маховика.
Угловое движение этой системы (гиростата) вокруг центра масс описывается уравнениями
(3.2.1)
в которых 
аинерции гиростата;
а к маховику.
Рис. 3.2.1 Вращение гиростата с постоянной гловой скоростью 
авокруг оси
Уравнения (3.2.1) допускают решение
(3.2.2)
соответствующее перманентному вращению (закрутке) основного тела гиростата с постоянной гловой скоростью авокруг оси а
акинетического момента гиростата совпадает с направлением оси
Вводя новые переменные 
(3.2.3)
Найдем позиционное правление 
асистемы (3.2.3).
отметим, что стабилизация по 
аозначает гашение малых прецессионных и нутационных колебаний вектора акинетического момента гиростата по отношению к связанным с телом осям 
аозначает, что в процессе стабилизации по амаховик лишь лпереводит малые возмущения в дополнительное вращение гиростата вокруг оси вращения
Покажем,
что при 
арешение этой задачи дает линейный закон правления
(3.2.4)
где 
Для доказательства рассмотрим линейную подсистему, описываемую поведение аэта подсистема полностью правляема. Поэтому коэффициенты в аможно выбрать так, что положение равновесия 
алинейной части системы
(3.2.3) равномерно стойчиво по Ляпунову. Поскольку нелинейные члены в системе
(3.2.3) обращаются в нуль при самой нелинейной системы (3.2.3).
Рис.
3.2.2 График изменения переменной
Рис.
3.2.3 График изменения переменной 
апри гашении возмущений
Техническая реализация закона правления (3.2.4) сводиться к следующему. Пока гиростат совершает заданное движение (3.2.2), маховик находится в состоянии покоя (управляющий двигатель включен). При появлении малых постоянных возмущений специальные стройства формируют и прикладывают к маховику правляющий момент (3.2.4). В результате основное тело гиростата с течением времени возвращается в исходный режим стационарного вращения, сам маховик - в состояние покоя.
Приведем результаты моделирования замкнутой системы (3.2.3), (3.2.4) при значениях параметров 
аи начальных данных 
аподчинено ограничению 
Расчет показывает, что коэффициенты 
аможно выбрать в виде 
а(графики апримерно такие же, как по харатеру, так и по скорости сходимости) и правления
3.3 Динамическое уравнение Эйлера, описывающее гловое движение твердого тела под действием правляющих моментов
Рассмотрим динамические уравнения Эйлера
(3.3.1)
описывающие вызванное начальными возмущениями гловое движение твердого тела относительно центра масс под действием ауправляющих моментов 
Предположим,
что 
В качестве функции Ляпунова авозьмем кинетическую энергию тела
Поскольку
то положение равновесия тела стойчиво (неасимптотически)
по Ляпунову. Значит, для каждого анайдутся числа 
аи 
атакие, что
Поэтому при любых 
афункция аудовлетворяет всем условиям теоремы 3.1.2.
Следовательно,
положение равновесия тела асимптотически стойчиво по отношению к
Можно отметить, что для функции амножество 
аявляется гиперплоскостью 
апусто и,
следовательно, не содержит целых траекторий системы (3.1.3). вместе с тем в множествах аи 
аесть целые траектории системы (3.1.3) вида 
аудовлетворяет всем условиям теоремы 3.1.4, но не довлетворяет всем словиям теорем 3.1.3, 3.1.5.
В случае 
а(или 
аположения равновесия тела может быть доказана с помощью функции
В этом случае выполняются словия теоремы 3.1.6
И значит,
в этом случае имеем асимптотическую стойчивость по 
апри любом значении 
Это свойство сохраняется и при постоянно действующих возмущениях 
авида 
а в области 
а
авыполняются словия существования, единственности и 
Таким образом, имеет место инвариантность свойства асимптотическойа стойчивости при постоянно действующих возмущениях казанного типа.
3.4 Динамическое уравнение Эйлера, описывающее гловое движение твердого тела под действием постоянно действующих возмущений
Рассмотрим систему (3.3.1),
замкнутую правлением 
(3.4.1)
Если предположить, что на систему (3.4.1) действуют возмущения
(3.4.2)
где
Вектор - функции атакие, что система (3.3.1)
имеет решение, отвечающее каждому набору начальных данных 
аи 
В случае а(или аположения равновесия тела может быть доказана с помощью функции
Выбор
Это гарантирует выполнения требований теорем 2.3.1 и 3.1.7.
Значит система (3.4.2)
при постоянно действующих возмущениях будет
Заключение
За последнее десятилетие развитие теории частичной стойчивости (стабилизации) было существенным. Более того, именно в этот период появились дополнительные стимулы к дальнейшей разработке такой теории. Помимо традиционных и не теряющих актуальности задач механики, частичная стойчивость оказалась подходящим понятием в бурно развивающихся на стыке физики и теории правления методах правления хаосом, частичное правление стало систематически исследоваться на стыке химии и теории управления. Получили развитие и ряд других теоретических и прикладных разделов современной нелинейной теории правления, посвященных различным аспектам инвариантности нетривиальных множеств и аттрактивности многомерных геометрических объектов, также тесно связанных с концепцией частичной стойчивости.
Направления исследования позволяют в значительной степени по-новому смотреть как на саму проблематику задач частичной устойчивости (стабилизации) и место этих задач в общей теории динамических систем, так и на перспективы их развития, ведь термины частичная устойчивость, частичная стабилизация, помимо технической сферы, используются при анализе химических процессов, в экономике и политике. Несмотря на появление и развитие новых более общих задач той же направленности, задачи частичной устойчивости (стабилизации) для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с интересной и поучительной историей их развития будут оставаться важным звенома дальнейших исследований.
Для достижения поставленной цели исследования были решены следующие задачи:
1) проанализирована научная литература, посвящённая проблеме стойчивости и стабилизации движения при постоянно действующих возмущениях и применены эти исследования для решения практической задачи;
2) рассмотрена устойчивость и стабилизацию движений относительно частим переменных при постоянно действующих возмущениях для линейных систем;
3) раскрыты определения стойчивости и стабилизации движения относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях;
4)
рассмотрены основные теоремы, исследующие словия ;
5) рассмотрена устойчивость и стабилизацию движений относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях для нелинейных систем;
6) с помощью метода функций Ляпунова рассмотрен ряд теорем об стойчивости движения относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях;
7) рассмотрена оптимальная стабилизация нелинейных систем при наличии постоянно действующих возмущений;
8) проведен анализ стойчивости и стабилизации движений относительно части переменных для конкретной математической модели с использованием современных методов.
В процессе теоретического исследования в соответствии с его целью и задачами получены достаточные условия